Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son dernier chiffre est divisible par 2, c'est-à-dire s'il est pair.
Test de divisibilité par 3
Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Test de divisibilité par 4
Un nombre est divisible par 4 si et seulement si les deux derniers chiffres du nombre sont des zéros ou divisibles par 4.
Test de divisibilité par 5
Un nombre est divisible par 5 si et seulement si le dernier chiffre est divisible par 5 (c'est-à-dire égal à 0 ou 5).
Test de divisibilité par 6
Un nombre est divisible par 6 si et seulement s'il est divisible par 2 et 3.
Test de divisibilité par 7
Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat de la soustraction de deux fois le dernier chiffre de ce nombre sans le dernier chiffre est divisible par 7 (par exemple, 259 est divisible par 7, puisque 25 - (2 9) = 7 est divisible par 7).
Test de divisibilité par 8
Un nombre est divisible par 8 si et seulement si ses trois derniers chiffres sont des zéros ou forment un nombre divisible par 8.
Test de divisibilité par 9
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Test de divisibilité par 10
Un nombre est divisible par 10 si et seulement s'il se termine par zéro.
Test de divisibilité par 11
Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme des chiffres avec des signes alternés est divisible par 11 (c'est-à-dire que 182919 est divisible par 11, puisque 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 est divisible par 11) - une conséquence du fait que tous les nombres de la forme 10 n lorsqu'ils sont divisés par 11 laissent un reste de (-1) n .
Test de divisibilité par 12
Un nombre est divisible par 12 si et seulement s'il est divisible par 3 et 4.
Test de divisibilité par 13
Un nombre est divisible par 13 si et seulement si le nombre de ses dizaines ajouté à quatre fois le nombre de uns est un multiple de 13 (par exemple, 845 est divisible par 13, puisque 84 + (4 5) = 104 est divisible par 13).
Test de divisibilité par 14
Un nombre est divisible par 14 si et seulement s'il est divisible par 2 et 7.
Test de divisibilité par 15
Un nombre est divisible par 15 si et seulement s'il est divisible par 3 et 5.
Test de divisibilité par 17
Un nombre est divisible par 17 si et seulement si le nombre de ses dizaines, additionné de 12 fois le nombre d'unités, est un multiple de 17 (par exemple, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+ 72=102→10+ 24 = 34. Puisque 34 est divisible par 17, alors 29053 est divisible par 17). Le signe n’est pas toujours pratique, mais il a une certaine signification en mathématiques. Il existe une méthode légèrement plus simple : un nombre est divisible par 17 si et seulement si la différence entre le nombre de ses dizaines et cinq fois le nombre d'unités est un multiple de 17 (par exemple, 32952→3295-10=3285→328). -25=303→30-15=15 puisque 15 n'est pas divisible par 17, alors 32952 n'est pas divisible par 17)
Test de divisibilité par 19
Un nombre est divisible par 19 si et seulement si le nombre de ses dizaines ajouté au double du nombre de uns est un multiple de 19 (par exemple, 646 est divisible par 19, puisque 64 + (6 2) = 76 est divisible par 19 ).
Test de divisibilité par 23
Un nombre est divisible par 23 si et seulement si son nombre de centaines ajouté au triple de son nombre de dizaines est un multiple de 23 (par exemple, 28842 est divisible par 23, puisque 288 + (3 * 42) = 414 continue 4 + (3 * 14) = 46 est évidemment divisible par 23).
Test de divisibilité par 25
Un nombre est divisible par 25 si et seulement si ses deux derniers chiffres sont divisibles par 25 (c'est-à-dire formant 00, 25, 50 ou 75) ou si le nombre est un multiple de 5.
Test de divisibilité par 99
Divisons le nombre en groupes de 2 chiffres de droite à gauche (le groupe le plus à gauche peut avoir un chiffre) et trouvons la somme de ces groupes en les comptant nombres à deux chiffres. Cette somme est divisible par 99 si et seulement si le nombre lui-même est divisible par 99.
Test de divisibilité par 101
Divisons le nombre en groupes de 2 chiffres de droite à gauche (le groupe le plus à gauche peut avoir un chiffre) et trouvons la somme de ces groupes avec des signes alternés, en les considérant comme des nombres à deux chiffres. Cette somme est divisible par 101 si et seulement si le nombre lui-même est divisible par 101. Par exemple, 590547 est divisible par 101, puisque 59-05+47=101 est divisible par 101).
Le texte de l'ouvrage est affiché sans images ni formules.
Version complète le travail est disponible dans l'onglet "Fichiers de travail" au format PDF
Dans les cours de mathématiques, lors de l'étude du thème « Signes de divisibilité », où nous avons fait connaissance avec les signes de divisibilité par 2 ; 5 ; 3 ; 9 ; 10, je voulais savoir s'il existe des signes de divisibilité par d'autres nombres et s'il existe une méthode universelle de divisibilité par n'importe quel nombre naturel. J'ai donc commencé un travail de recherche sur ce sujet.
But de l'étude:étude des signes de divisibilité nombres naturels jusqu'à 100, en plus des signes déjà connus de divisibilité des nombres naturels par des nombres entiers, étudiés à l'école.
Pour atteindre l'objectif, nous avons fixé Tâches:
Recueillir, étudier et systématiser du matériel sur les signes de divisibilité des nombres naturels, en utilisant diverses sources d'information.
Trouvez un test universel de divisibilité par n'importe quel nombre naturel.
Apprenez à utiliser le test de divisibilité de Pascal pour déterminer la divisibilité des nombres, et essayez également de formuler des tests de divisibilité par n'importe quel nombre naturel.
Objet d'étude : divisibilité des nombres naturels.
Sujet d'étude: signes de divisibilité des nombres naturels.
Méthodes de recherche: collecte d'informations; travailler avec des documents imprimés; analyse; la synthèse; analogie; enquête; enquête; systématisation et généralisation du matériel.
Hypothèse de recherche: S'il est possible de déterminer la divisibilité des nombres naturels par 2, 3, 5, 9, 10, alors il doit y avoir des signes permettant de déterminer la divisibilité des nombres naturels par d'autres nombres.
Nouveauté effectué travail de recherche est que cet ouvrage systématise la connaissance des signes de divisibilité et de la méthode universelle de divisibilité des nombres naturels.
Importance pratique: le matériel de ce travail de recherche peut être utilisé de la 6e à la 8e année dans les cours au choix lors de l'étude du thème « Divisibilité des nombres ».
Chapitre I. Définition et propriétés de la divisibilité des nombres
1.1.Définitions des notions de divisibilité et signes de divisibilité, propriétés de divisibilité.
La théorie des nombres est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres. L’objet principal de la théorie des nombres sont les nombres naturels. Leur propriété principale, prise en compte par la théorie des nombres, est la divisibilité. Définition: Un entier a est divisible par un entier b non nul s'il existe un entier k tel que a = bk (par exemple, 56 est divisible par 8, puisque 56 = 8x7). Test de divisibilité- une règle qui permet de déterminer si un nombre naturel donné est divisible par d'autres nombres par un nombre entier, c'est-à-dire sans laisser de trace.
Propriétés de divisibilité :
Tout nombre a autre que zéro est divisible par lui-même.
Zéro est divisible par tout b différent de zéro.
Si a est divisible par b (b0) et b est divisible par c (c0), alors a est divisible par c.
Si a est divisible par b (b0) et b est divisible par a (a0), alors a et b sont des nombres égaux ou opposés.
1.2. Propriétés de divisibilité d'une somme et d'un produit :
Si dans une somme d’entiers chaque terme est divisible par un certain nombre, alors la somme est divisée par ce nombre.
2) Si dans la différence des nombres entiers la fin et la sous-tranche sont divisibles par un certain nombre, alors la différence est également divisible par un certain nombre.
3) Si dans la somme d'entiers tous les termes sauf un sont divisibles par un certain nombre, alors la somme n'est pas divisible par ce nombre.
4) Si dans un produit d'entiers l'un des facteurs est divisible par un certain nombre, alors le produit est également divisible par ce nombre.
5) Si dans un produit d'entiers l'un des facteurs est divisible par m et l'autre par n, alors le produit est divisible par mn.
De plus, en étudiant les signes de divisibilité des nombres, je me suis familiarisé avec le concept "numéro racine numérique". Prenons un nombre naturel. Trouvons la somme de ses chiffres. Nous trouvons également la somme des chiffres dans le résultat, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un nombre à un chiffre. Le résultat obtenu est appelé la racine numérique du nombre. Par exemple, la racine numérique du nombre 654321 est 3 : 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. Et maintenant, vous pouvez réfléchir à la question : « Quels signes de divisibilité existent et existe-t-il un signe universel de divisibilité d'un nombre par un autre ?
Chapitre II. Critères de divisibilité des nombres naturels.
2.1. Signes de divisibilité par 2,3,5,9,10.
Parmi les signes de divisibilité, les plus pratiques et les plus connus du cours de mathématiques de 6e année sont :
Divisibilité par 2. Si un nombre naturel se termine par un chiffre pair ou zéro, alors le nombre est divisible par 2. Le nombre 52738 est divisible par 2, puisque le dernier chiffre est 8.
Divisibilité par 3 . Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 3, alors le nombre est divisible par 3 (le nombre 567 est divisible par 3, puisque 5+6+7 = 18, et 18 est divisible par 3.)
Divisibilité par 5. Si un nombre naturel se termine par 5 ou zéro, alors le nombre est divisible par 5 (les nombres 130 et 275 sont divisibles par 5, puisque les derniers chiffres des nombres sont 0 et 5, mais le nombre 302 n'est pas divisible par 5, depuis le dernier chiffre les nombres ne sont pas 0 et 5).
Divisible par 9. Si la somme des chiffres est divisible par 9, alors le nombre est divisible par 9 (676332 est divisible par 9 car 6+7+6+3+3+2=27, et 27 est divisible par 9).
Divisibilité par 10 . Si un nombre naturel se termine par 0, alors ce nombre est divisible par 10 (230 est divisible par 10, puisque le dernier chiffre du nombre est 0).
2.2. Signes de divisibilité par 4,6,8,11,12,13, etc.
Après avoir travaillé avec diverses sources, j'ai découvert d'autres signes de divisibilité. Je vais en décrire quelques-uns.
Division par 6 . Il faut vérifier la divisibilité du nombre qui nous intéresse par 2 et 3. Un nombre est divisible par 6 si et seulement s'il est pair et que sa racine numérique est divisible par 3. (Par exemple, 678 est divisible par 6, puisqu'il est pair et 6 +7+8=21, 2+1=3) Autre signe de divisibilité : un nombre est divisible par 6 si et seulement si le quadruple nombre de dizaines ajouté au nombre d'unités est divisible par 6. (73,7*4+3=31, 31 n'est pas divisible par 6, ce qui signifie que 7 n'est pas divisible par 6.)
Division par 8. Un nombre est divisible par 8 si et seulement si ses trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8. (12 224 est divisible par 8 car 224 :8 = 28). Un nombre à trois chiffres est divisible par 8 si et seulement si le nombre d'unités ajouté au double du nombre de dizaines et au quadruple du nombre de centaines est divisible par 8. Par exemple, 952 est divisible par 8 puisque 9 * 4 + 5 * 2 + 2 = 48 est divisible par 8 .
Division par 4 et 25. Si les deux derniers chiffres sont des zéros ou expriment un nombre divisible par 4 et/ou 25, alors le nombre est divisible par 4 et/ou 25 (le nombre 1500 est divisible par 4 et 25, puisqu'il se termine par deux zéros, le nombre 348 est divisible par 4, puisque 48 est divisible par 4, mais ce nombre n'est pas divisible par 25, car 48 n'est pas divisible par 25, le nombre 675 est divisible par 25, car 75 est divisible par 25, mais pas divisible par 4 .k. 75 n'est pas divisible par 4).
Connaître les principaux signes de divisibilité en nombres premiers, nous pouvons déduire des signes de divisibilité en nombres composés :
Test de divisibilité pour11 . Si la différence entre la somme des chiffres pairs et la somme des chiffres impairs est divisible par 11, alors le nombre est divisible par 11 (le nombre 593868 est divisible par 11, puisque 9 + 8 + 8 = 25, et 5 + 3 + 6 = 14, leur différence est 11 et 11 est divisé par 11).
Test de divisibilité par 12 : un nombre est divisible par 12 si et seulement si les deux derniers chiffres sont divisibles par 4 et que la somme des chiffres est divisible par 3.
parce que 12= 4 ∙ 3, c'est-à-dire le nombre doit être divisible par 4 et 3.
Test de divisibilité par 13 : Un nombre est divisible par 13 si et seulement si la somme alternée des nombres formés par des triplets successifs de chiffres du nombre donné est divisible par 13. Comment savoir, par exemple, que le nombre 354862625 est divisible par 13 ? 625-862+354=117 est divisible par 13, 117:13=9, ce qui signifie que le nombre 354862625 est divisible par 13.
Test de divisibilité par 14 : Un nombre est divisible par 14 si et seulement s'il se termine par un chiffre pair et lorsque le résultat de la soustraction de deux fois le dernier chiffre de ce nombre sans le dernier chiffre est divisible par 7.
parce que 14= 2 ∙ 7, c'est-à-dire le nombre doit être divisible par 2 et 7.
Test de divisibilité par 15 : Un nombre est divisible par 15 si et seulement s'il se termine par 5 et 0 et que la somme des chiffres est divisible par 3.
parce que 15= 3 ∙ 5, c'est-à-dire le nombre doit être divisible par 3 et 5.
Test de divisibilité par 18 : Un nombre est divisible par 18 si et seulement s'il se termine par un chiffre pair et que la somme de ses chiffres est divisible par 9.
parce que18= 2 ∙ 9, c'est-à-dire le nombre doit être divisible par 2 et 9.
Test de divisibilité par 20 : Un nombre est divisible par 20 si et seulement si le nombre se termine par 0 et que l'avant-dernier chiffre est pair.
parce que 20 = 10 ∙ 2 soit le nombre doit être divisible par 2 et 10.
Test de divisibilité par 25 : un nombre contenant au moins trois chiffres est divisible par 25 si et seulement si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 25.
Test de divisibilité pour30 .
Test de divisibilité pour59 . Un nombre est divisible par 59 si et seulement si le nombre de dizaines ajouté au nombre d'unités multiplié par 6 est divisible par 59. Par exemple, 767 est divisible par 59, puisque 76 + 6*7 = 118 et 11 + 6* sont divisibles par 59 8 = 59.
Test de divisibilité pour79 . Un nombre est divisible par 79 si et seulement si le nombre de dizaines ajouté au nombre d'unités multiplié par 8 est divisible par 79. Par exemple, 711 est divisible par 79, puisque 79 est divisible par 71 + 8*1 = 79.
Test de divisibilité pour99. Un nombre est divisible par 99 si et seulement si la somme des nombres formant des groupes de deux chiffres (commençant par des uns) est divisible par 99. Par exemple, 12573 est divisible par 99, puisque 1 + 25 + 73 = 99 est divisible par 99.
Test de divisibilité pour100 . Seuls les nombres dont les deux derniers chiffres sont des zéros sont divisibles par 100.
Test de divisibilité par 125 : un nombre contenant au moins quatre chiffres est divisible par 125 si et seulement si le nombre formé par les trois derniers chiffres est divisible par 125.
Toutes les caractéristiques ci-dessus sont résumées sous forme de tableau. (Annexe 1)
2.3 Tests de divisibilité par 7.
1) Prenons le nombre 5236 pour tester. Écrivons ce nombre comme suit : 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 (« systématique » forme d'écriture d'un nombre), et partout on remplace la base 10 par la base 3) ; 3 3 *5 + 3 2 *2 + 3*3 + 6 = 168. Si le nombre obtenu est divisible (non divisible) par 7, alors ce nombre est également divisible (non divisible) par 7. Puisque 168 est divisible par 7 , alors 5236 est divisible par 7. 68:7=24, 5236:7=748.
2) Dans ce signe, vous devez agir exactement de la même manière que dans le précédent, à la seule différence que la multiplication doit commencer par l'extrême droite et se multiplier non pas par 3, mais par 5. (5236 est divisible par 7, puisque 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)
3) Ce signe est moins facile à mettre en œuvre dans l’esprit, mais est aussi très intéressant. Doublez le dernier chiffre et soustrayez le deuxième à droite, doublez le résultat et ajoutez le troisième à droite, etc., en alternant soustraction et addition et en diminuant chaque résultat, si possible, de 7 ou d'un multiple de sept. Si le résultat final est divisible (non divisible) par 7, alors le nombre testé est divisible (non divisible) par 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7= 5.
4) Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la somme alternée des nombres formés par des triplets successifs de chiffres d'un nombre donné est divisible par 7. Comment savez-vous, par exemple, que le nombre 363862625 est divisible par 7 ? 625-862+363=126 est divisible par 7, 126:7=18, ce qui signifie que le nombre 363862625 est divisible par 7, 363862625:7=51980375.
5) L'un des signes les plus anciens de divisibilité par 7 est le suivant. Les chiffres du numéro doivent être pris dans l'ordre inverse, de droite à gauche, en multipliant le premier chiffre par 1, le deuxième par 3, le troisième par 2, le quatrième par -1, le cinquième par -3, le sixième par - 2, etc (si le nombre de caractères est supérieur à 6, la séquence de facteurs 1, 3, 2, -1, -3, -2 doit être répétée autant de fois que nécessaire). Les produits résultants doivent être additionnés. Le nombre d'origine est divisible par 7 si la somme calculée est divisible par 7. Voici par exemple ce que donne ce signe pour le nombre 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14 : 7=2, ce qui signifie que le nombre 5236 est divisible par 7.
6) Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le triple du nombre de dizaines ajouté au nombre d'unités est divisible par 7. Par exemple, 154 est divisible par 7, puisque le nombre 49 est 7, ce que l'on obtient à partir de ce critère : 15*3 + 4 = 49.
2.4.Test de Pascal.
Une grande contribution à l'étude des signes de divisibilité des nombres a été apportée par B. Pascal (1623-1662), mathématicien et physicien français. Il a trouvé un algorithme permettant de trouver des signes de divisibilité d'un nombre entier par n'importe quel autre nombre entier, qu'il a publié dans le traité « Sur la nature de la divisibilité des nombres ». Presque tous les tests de divisibilité actuellement connus sont un cas particulier du test de Pascal : « Si la somme des restes lors de la division d'un nombreun par chiffres par numéroV divisé parV , puis le numéroUN divisé parV ». Le connaître est utile encore aujourd’hui. Comment prouver les tests de divisibilité formulés ci-dessus (par exemple, le test familier de divisibilité par 7) ? Je vais essayer de répondre à cette question. Mais d’abord, convenons d’une façon d’écrire les nombres. Pour écrire un nombre dont les chiffres sont indiqués par des lettres, on s'engage à tracer un trait sur ces lettres. Ainsi, abcdef désignera un nombre ayant f unités, e dizaines, d centaines, etc. :
abcdef = une . 10 5 + b. 10 4 + c. 10 3 + d. 10 2 + e. 10 + f. Je vais maintenant prouver le test de divisibilité par 7 formulé ci-dessus. Nous avons :
10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1
1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1
(restes de la division par 7).
En conséquence, nous obtenons la 5ème règle formulée ci-dessus : pour connaître le reste de la division d'un nombre naturel par 7, il faut signer les coefficients (restes de division) sous les chiffres de ce nombre de droite à gauche : il faut ensuite multiplier chaque chiffre par le coefficient en dessous et additionner le résultat des produits; la somme trouvée aura le même reste une fois divisée par 7 que le nombre pris.
Prenons comme exemple les nombres 4591 et 4907 et, en agissant comme indiqué dans la règle, nous trouverons le résultat :
-1 2 3 1
4+10+27+1 = 38 - 4 = 34 : 7 = 4 (reste 6) (non divisible par 7)
-1 2 3 1
4+18+0+7 = 25 - 4 = 21 : 7 = 3 (divisible par 7)
De cette façon, vous pouvez trouver un test de divisibilité par n'importe quel nombre T. Il vous suffit de trouver quels coefficients (restes de division) doivent être signés sous les chiffres du nombre A pris. Pour ce faire, vous devez remplacer chaque puissance de dix par 10, si possible, par le même reste lorsqu'il est divisé par T, identique au nombre 10. Quand T= 3 ou t = 9, ces coefficients se sont avérés très simples : ils sont tous égaux à 1. Le test de divisibilité par 3 ou 9 s'est donc avéré très simple. À T= 11, les coefficients n'étaient pas non plus compliqués : ils sont alternativement égaux à 1 et - 1. Et quand t = 7 les coefficients se sont avérés plus compliqués ; Le test de divisibilité par 7 s’est donc révélé plus complexe. Après avoir examiné les signes de division jusqu'à 100, j'étais convaincu que les coefficients les plus complexes pour les nombres naturels sont 23 (à partir de 10 23 les coefficients sont répétés), 43 (à partir de 10 39 les coefficients sont répétés).
Tous les signes répertoriés de divisibilité des nombres naturels peuvent être divisés en 4 groupes :
1 groupe- lorsque la divisibilité des nombres est déterminée par le(s) dernier(s) chiffre(s) - ce sont des signes de divisibilité par 2, par 5, par une unité numérique, par 4, par 8, par 25, par 50.
2ème groupe- lorsque la divisibilité des nombres est déterminée par la somme des chiffres du nombre - ce sont des signes de divisibilité par 3, par 9, par 7, par 37, par 11 (1 signe).
3 groupe- lorsque la divisibilité des nombres est déterminée après avoir effectué quelques actions sur les chiffres du nombre - ce sont des signes de divisibilité par 7, par 11 (1 signe), par 13, par 19.
4 groupe- lorsque d'autres signes de divisibilité sont utilisés pour déterminer la divisibilité d'un nombre - ce sont des signes de divisibilité par 6, par 15, par 12, par 14.
partie expérimentale
Enquête
L'enquête a été menée auprès des élèves de 6e et 7e années. 58 élèves de l'école secondaire municipale n°1 Karaidel du district MR Karaidel de la République de Biélorussie ont participé à l'enquête. Il leur a été demandé de répondre aux questions suivantes :
Pensez-vous qu’il existe d’autres signes de divisibilité différents de ceux étudiés en cours ?
Existe-t-il des signes de divisibilité pour d’autres nombres naturels ?
Aimeriez-vous connaître ces signes de divisibilité ?
Connaissez-vous des signes de divisibilité des nombres naturels ?
Les résultats de l'enquête ont montré que 77 % des personnes interrogées estiment qu'il existe d'autres signes de divisibilité en plus de ceux étudiés à l'école ; 9% ne le pensent pas, 13% des personnes interrogées ont eu du mal à répondre. A la deuxième question, « Souhaitez-vous connaître les tests de divisibilité des autres nombres naturels ? 33 % ont répondu par l'affirmative, 17 % des personnes interrogées ont répondu « Non » et 50 % ont eu du mal à répondre. A la troisième question, 100% des personnes interrogées ont répondu par l'affirmative. La quatrième question a reçu une réponse positive de 89 % et « Non » de 11 % des étudiants qui ont participé à l'enquête pendant les travaux de recherche.
Conclusion
Ainsi, au cours des travaux, les tâches suivantes ont été résolues :
étudié matériel théorique sur cette question;
en plus des signes que je connais pour 2, 3, 5, 9 et 10, j'ai appris qu'il existe aussi des signes de divisibilité par 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, etc. .;
3) Le test de Pascal a été étudié - un test universel de divisibilité par n'importe quel nombre naturel ;
En travaillant avec différentes sources, en analysant le matériel trouvé sur le sujet à l'étude, je suis devenu convaincu qu'il existe des signes de divisibilité par d'autres nombres naturels. Par exemple, le 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, ce qui a confirmé la justesse de mon hypothèse sur l'existence d'autres signes de divisibilité des nombres naturels. J'ai également découvert qu'il existe un critère universel de divisibilité, dont l'algorithme a été trouvé par le mathématicien français Pascal Blaise et publié dans son traité « Sur la nature de la divisibilité des nombres ». En utilisant cet algorithme, vous pouvez obtenir un test de divisibilité par n'importe quel nombre naturel.
Le résultat d'un travail de recherche est devenu un matériel systématisé sous la forme d'un tableau « Signes de divisibilité des nombres », qui peut être utilisé dans les cours de mathématiques, en activités extra-scolaires afin de préparer les étudiants à la résolution des problèmes de l'Olympiade, en préparant les étudiants à l'examen d'État unifié et à l'examen d'État unifié.
À l’avenir, je prévois de continuer à travailler sur l’application des tests de divisibilité des nombres à la résolution de problèmes.
Liste des sources utilisées
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Vorobiev V.N. Signes de divisibilité.-M. : Nauka, 1988.-96 p.
Vygodsky M.Ya. Manuel de mathématiques élémentaires. - Elista. : Dzhangar, 1995. - 416 p.
Gardner M. Loisirs mathématiques. / Sous. Éd. Y.A. Smorodinsky. - M. : Onyx, 1995. - 496 p.
Gelfman E.G., Beck E.F. etc. Le cas de la divisibilité et autres histoires : Didacticiel en mathématiques pour la 6ème année. - Tomsk : Maison d'édition de l'Université de Tomsk, 1992. - 176 p.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathématiques : référence. matériaux : Livre. pour les étudiants. - 2e éd. - M. : Éducation, 1990. - 416 p.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.V. Travaux parascolaires en mathématiques de la 6e à la 8e année. Moscou : Éducation, 1984. - 289 p.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. M. : Éducation, 1989. - 97 p.
Koulanine E.D. Mathématiques. Annuaire. -M. : EKSMO-Presse, 1999-224 p.
Perelman Ya.I. Algèbre divertissante. M. : Triada-Litera, 1994. -199.
Tarassov B.N. Pascal. -M. : Mol. Garde, 1982.-334 p.
http://dic.academic.ru/ (Wikipédia - l'encyclopédie libre).
http://www.bymath.net (encyclopédie).
Annexe 1
TABLEAU DES SIGNES DE SIGNIFICATION
Signe |
Exemple |
|
Le numéro se termine par un chiffre pair. |
………………2(4,6,8,0) |
|
La somme des nombres est divisible par 3. |
3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3 |
|
Nombre dont les deux derniers chiffres sont des zéros ou divisibles par 4. |
………………12 |
|
Le numéro se termine par le chiffre 5 ou 0. |
………………0(5) |
|
Le nombre se termine par un chiffre pair et la somme des chiffres est divisible par 3. |
375018 : 8, nombre pair 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3 |
|
Le résultat de la soustraction de deux fois le dernier chiffre de ce nombre sans le dernier chiffre est divisé par 7. |
36 - (2 × 4) = 28, 28:7 |
|
Ses trois derniers chiffres sont des zéros ou forment un nombre divisible par 8. |
……………..064 |
|
La somme de ses chiffres est divisible par 9. |
3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9 |
|
Le nombre se termine par zéro |
………………..0 |
|
La somme des chiffres d'un nombre à signes alternés est divisible par 11. |
1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22 |
|
Les deux derniers chiffres du nombre sont divisibles par 4 et la somme des chiffres est divisible par 3. |
2+1+6=9, 9:3 et 16:4 |
|
Le nombre de dizaines d’un nombre donné ajouté à quatre fois le nombre d’unités est un multiple de 13. |
84 + (4 × 5) = 104, |
|
Un nombre se termine par un chiffre pair et lorsque le résultat de la soustraction de deux fois le dernier chiffre de ce nombre sans le dernier chiffre est divisible par 7. |
364 : 4 - nombre pair 36 - (2 × 4) = 28, 28:7 |
|
Le nombre 5 est divisé par 0 et la somme des chiffres est divisible par 3. |
6+3+4+8+0=21, 21:3 |
|
Ses quatre derniers chiffres sont des zéros ou forment un nombre divisible par 16. |
…………..0032 |
|
Le nombre de dizaines d'un nombre donné ajouté au nombre d'unités multiplié par 12 est un multiple de 17. |
29053→2905+36=2941→294+12= 306 → 30 + 72 = 102 → 10 + 24 = 34. Puisque 34 est divisible par 17, alors 29053 est divisible par 17 |
|
Le nombre se termine par un chiffre pair et la somme de ses chiffres est divisible par 9. |
2034 : 4 - nombre pair |
|
Le nombre de dizaines d'un nombre donné ajouté à deux fois le nombre d'unités est un multiple de 19 |
64 + (6 × 2) = 76, |
|
Le nombre se termine par 0 et l'avant-dernier chiffre est pair |
…………………40 |
|
Un nombre composé des deux derniers chiffres est divisible par 25 |
…………….75 |
|
Un nombre est divisible par 30 si et seulement s'il se termine par 0 et que la somme de tous les chiffres est divisible par 3. |
……………..360 |
|
Un nombre est divisible par 59 si et seulement si le nombre de dizaines ajouté au nombre d'unités multiplié par 6 est divisible par 59. |
Par exemple, 767 est divisible par 59, puisque 76 + 6*7 = 118 et 11 + 6*8 = 59 sont divisibles par 59. |
|
Un nombre est divisible par 79 si et seulement si le nombre de dizaines ajouté au nombre d'unités multiplié par 8 est divisible par 79. |
Par exemple, 711 est divisible par 79, puisque 79 est divisible par 71 + 8*1 = 79 |
|
Un nombre est divisible par 99 si et seulement si la somme des nombres formant des groupes de deux chiffres (commençant par des uns) est divisible par 99. |
Par exemple, 12573 est divisible par 99, puisque 1 + 25 + 73 = 99 est divisible par 99. |
|
à 125 |
Un nombre composé des trois derniers chiffres est divisible par 125 |
……………375 |
La série d'articles sur les critères de divisibilité se poursuit test de divisibilité par 3. Cet article donne d'abord une formulation du test de divisibilité par 3, et donne des exemples d'utilisation de ce test pour savoir lesquels des entiers donnés sont divisibles par 3 et lesquels ne le sont pas. Vous trouverez ci-dessous une preuve du test de divisibilité par 3. Sont également considérées des approches permettant d'établir la divisibilité par 3 de nombres donnés comme valeur d'une expression.
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Test de divisibilité par 3, exemples
Commençons avec formulations du test de divisibilité par 3: un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, mais si la somme des chiffres d'un nombre donné n'est pas divisible par 3, alors le nombre lui-même n'est pas divisible par 3.
De la formulation ci-dessus, il ressort clairement que le test de divisibilité par 3 ne peut être utilisé sans la possibilité d'effectuer l'addition d'entiers naturels. Aussi, pour réussir le test de divisibilité par 3, il faut savoir que de tous les nombres naturels à un chiffre, les nombres 3, 6 et 9 sont divisibles par 3, mais les nombres 1, 2, 4, 5, 7 et 8 n'est pas divisible par 3.
Nous pouvons maintenant considérer le plus simple exemples d'utilisation du test de divisibilité par 3. Voyons si le nombre est divisible par 3 42. Pour ce faire, on calcule la somme des chiffres du nombre ?42, elle est égale à 4+2=6. Puisque 6 est divisible par 3, alors, grâce au test de divisibilité par 3, nous pouvons dire que le nombre ?42 est également divisible par 3. Mais voici l'ensemble nombre positif 71 n'est pas divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres est 7+1=8, et 8 n'est pas divisible par 3.
0 est-il divisible par 3 ? Pour répondre à cette question, vous n’aurez pas besoin de la propriété de divisibilité par 3 ; ici, vous devez vous souvenir de la propriété de divisibilité correspondante, qui stipule que zéro est divisible par n’importe quel nombre entier. Donc 0 est divisible par 3.
Dans certains cas, pour montrer qu'un nombre donné a ou non la capacité d'être divisible par 3, le test de divisibilité par 3 doit être utilisé plusieurs fois de suite. Donnons un exemple.
Montrer que le nombre 907 444 812 est divisible par 3.
La somme des chiffres du nombre 907 444 812 est 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Pour savoir si 39 est divisible par 3, calculons sa somme de chiffres : 3+9=12. Et pour savoir si 12 est divisible par 3, on trouve la somme des chiffres du nombre 12, on a 1+2=3. Puisque nous avons reçu le nombre 3, qui est divisible par 3, alors, en vertu du test de divisibilité par 3, le nombre 12 est divisible par 3. Par conséquent, 39 est divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres est 12, et 12 est divisible par 3. Enfin, 907 333 812 est divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres est 39, et 39 est divisible par 3.
Pour consolider le matériel, nous analyserons la solution d'un autre exemple.
Le nombre est-il divisible par 3 ? 543205 ?
Calculons la somme des chiffres de ce nombre : 5+4+3+2+0+5=19. À son tour, la somme des chiffres du nombre 19 est égale à 1+9=10, et la somme des chiffres du nombre 10 est 1+0=1. Puisque nous avons reçu le nombre 1, qui n'est pas divisible par 3, du test de divisibilité par 3 il s'ensuit que 10 n'est pas divisible par 3. Par conséquent, 19 n’est pas divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres est 10, et 10 n’est pas divisible par 3. Par conséquent, le nombre initial ?543205 n’est pas divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres, égale à 19, n’est pas divisible par 3.
Il est à noter que diviser directement un nombre donné par 3 permet également de conclure si un nombre donné est divisible par 3 ou non. Nous voulons dire par là qu'il ne faut pas négliger la division au profit du critère de divisibilité par 3. DANS dernier exemple, en divisant 543 205 par 3 avec une colonne, on serait convaincu que 543 205 n'est pas divisible par 3, d'où on pourrait dire que 543 205 ? n'est pas divisible par 3.
Preuve du test de divisibilité par 3
La représentation suivante du nombre a nous aidera à prouver le test de divisibilité par 3. Nous pouvons développer n'importe quel nombre naturel a en chiffres, après quoi la règle de multiplication par 10, 100, 1 000 et ainsi de suite nous permet d'obtenir une représentation de la forme a=a n ·10 n +a n?1 ·10 n?1 + …+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0, où a n, a n?1, ..., a 0 sont les nombres de gauche à droite dans la notation du nombre a. Pour plus de clarté, nous donnons un exemple d'une telle représentation : 528=500+20+8=5·100+2·10+8.
Écrivons maintenant un certain nombre d'égalités assez évidentes : 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 et ainsi de suite. .
En substituant dans l'égalité a=a n ·10 n +a n?1 ·10 n?1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 au lieu de 10, 100, 1 000 et ainsi de suite les expressions 3· 3+1 , 33·3+1 , 999+1=333·3+1 et ainsi de suite, on obtient
.
Les propriétés d'addition d'entiers naturels et les propriétés de multiplication d'entiers naturels permettent de réécrire l'égalité résultante comme suit :
Expression est la somme des chiffres du nombre a. Par souci de concision et de commodité, désignons-le par la lettre A, c'est-à-dire que nous acceptons . On obtient alors une représentation du nombre a de la forme que nous utiliserons pour prouver le test de divisibilité par 3.
De plus, pour prouver le test de divisibilité par 3, nous avons besoin des propriétés de divisibilité suivantes :
- Pour qu'un entier a soit divisible par un entier b il faut et il suffit que le module du nombre a soit divisible par le module du nombre b ;
- si dans l'égalité a=s+t tous les termes sauf un sont divisibles par un entier b, alors ce terme est également divisible par b.
Nous sommes désormais parfaitement préparés et pouvons réaliser preuve de divisibilité par 3, par commodité, nous formulons ce critère sous la forme d'une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par 3.
Pour qu'un entier a soit divisible par 3, il faut et suffisant que la somme de ses chiffres soit divisible par 3.
Pour a=0 le théorème est évident.
Si a est non nul, alors le module du nombre a est un nombre naturel, alors la représentation est possible, où est la somme des chiffres du nombre a.
Puisque la somme et le produit des entiers sont un entier, alors c'est un entier, alors, par la définition de la divisibilité, le produit est divisible par 3 pour tout a 0, a 1, ..., a n.
Si la somme des chiffres d'un nombre a est divisible par 3, c'est-à-dire que A est divisible par 3, alors, en raison de la propriété de divisibilité indiquée avant le théorème, il est divisible par 3, donc a est divisible par 3. La suffisance est donc prouvée.
Si a est divisible par 3, alors il est également divisible par 3, alors, en raison de la même propriété de divisibilité, le nombre A est divisible par 3, c'est-à-dire que la somme des chiffres du nombre a est divisible par 3. La nécessité est avérée.
Autres cas de divisibilité par 3
Parfois, les entiers ne sont pas spécifiés explicitement, mais comme valeur d'une expression avec une variable à valeur donnée variable. Par exemple, la valeur d’une expression pour un nombre naturel n est un nombre naturel. Il est clair qu'en spécifiant ainsi les nombres, la division directe par 3 n'aidera pas à établir leur divisibilité par 3, et le test de divisibilité par 3 ne peut pas toujours être appliqué. Nous allons maintenant examiner plusieurs approches pour résoudre de tels problèmes.
L'essence de ces approches est de représenter l'expression originale comme un produit de plusieurs facteurs, et si au moins un des facteurs est divisible par 3, alors, en raison de la propriété de divisibilité correspondante, il sera possible de conclure que l'ensemble du produit est divisible par 3.
Parfois le binôme de Newton permet de mettre en œuvre cette approche. Regardons l'exemple de solution.
La valeur de l’expression est-elle divisible par 3 pour tout nombre naturel n ?
L'égalité est une évidence. Utilisons la formule binomiale de Newton :
Dans la dernière expression, on peut retirer 3 des parenthèses, et on obtiendra. Le produit obtenu est divisé par 3, car il contient un facteur de 3 et la valeur de l'expression entre parenthèses pour n naturel représente un nombre naturel. Il est donc divisible par 3 pour tout entier naturel n.
Dans de nombreux cas, la méthode d’induction mathématique permet de prouver la divisibilité par 3. Regardons son application lors de la résolution d'un exemple.
Montrer que pour tout entier naturel n, la valeur de l'expression est divisible par 3.
Pour le prouver, nous utiliserons la méthode de l’induction mathématique.
Lorsque n=1, la valeur de l'expression est , et 6 est divisé par 3.
Supposons que la valeur de l’expression soit divisible par 3 lorsque n=k, c’est-à-dire divisible par 3.
Considérant qu'elle est divisible par 3, nous montrerons que la valeur de l'expression pour n=k+1 est divisible par 3, c'est-à-dire que nous montrerons que est divisible par 3.
Faisons quelques transformations :
L'expression est divisible par 3 et l'expression est divisible par 3, donc leur somme est divisible par 3.
Ainsi, en utilisant la méthode d'induction mathématique, la divisibilité par 3 pour tout nombre naturel n a été prouvée.
Montrons une autre approche pour prouver la divisibilité par 3. Si nous montrons que pour n=3 m, n=3 m+1 et n=3 m+2, où m est un entier arbitraire, la valeur d'une expression (avec la variable n) est divisible par 3, alors cela prouvera Divisibilité d'une expression par 3 pour tout entier n. Considérons cette approche lors de la résolution de l'exemple précédent.
Montrez ce qui est divisible par 3 pour tout nombre naturel n.
Pour n=3·m nous avons. Le produit obtenu est divisible par 3, car il contient un facteur 3 divisible par 3.
Le produit obtenu est également divisible par 3.
Et ce produit est divisible par 3.
Il est donc divisible par 3 pour tout entier naturel n.
En conclusion, nous présentons la solution d’un autre exemple.
La valeur de l'expression est-elle divisible par 3 ? pour un nombre naturel n.
Pour n=1 nous avons. La somme des chiffres du nombre obtenu est 3, donc le test de divisibilité par 3 permet de dire que ce nombre est divisible par 3.
Pour n=2 nous avons. La somme des chiffres et de ce nombre est 3, il est donc divisible par 3.
Il est clair que pour tout autre nombre naturel n nous aurons des nombres dont la somme des chiffres est 3, donc ces nombres sont divisibles par 3.
Ainsi, car tout nombre naturel n est divisible par 3.
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Mathématiques, 6e année, manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014
Mathématiques, 6e année, manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
Le matériel théorique du manuel est présenté de manière à ce que l'enseignant puisse appliquer une approche pédagogique par problèmes. Grâce à un système de notation, des exercices de quatre niveaux de difficulté sont distingués. Dans chaque paragraphe, des tâches de contrôle sont formulées en fonction de ce que les élèves doivent savoir et être capables de faire pour atteindre le niveau du standard d'enseignement mathématique. Les devoirs sont donnés à la fin du manuel papiers de test et des réponses. Les illustrations en couleur (dessins et diagrammes) fournissent haut niveau clarté du matériel pédagogique.
Conforme aux exigences de la Federal State Educational Standard LLC.
Tâches.
4. Dessinez un triangle ABC et marquez le point O à l'extérieur (comme sur la figure 11). Construire une figure symétrique triangle ABC par rapport au point O.
5. Dessinez un triangle KMN et construisez une figure symétrique à ce triangle par rapport à :
a) ses sommets sont des points M ;
b) point O - le milieu du côté MN.
6. Construisez une figure symétrique :
a) le rayon OM par rapport au point O ; notez quel point est symétrique au point O ;
b) le rayon OM par rapport à un point arbitraire A n'appartenant pas à ce rayon ;
c) la droite AB relative au point O n'appartenant pas à cette droite ;
d) la ligne AB relative au point O appartenant à cette ligne ; notez quel point est symétrique au point O.
Dans chaque cas, caractérisez la position relative des figures à symétrie centrale.
Table des matières
Chapitre I. Nombres positifs et négatifs. Coordonnées
§ 1. Rotation et symétrie centrale
§ 2. Nombres positifs et négatifs. Ligne de coordonnées
§ 3. Module d'un nombre. Numéros opposés
§ 4. Comparaison des nombres
§ 5. Parallélisme des lignes
§6. Expressions numériques, contenant les signes « + », « - »
§ 7. Somme algébrique et ses propriétés
§ 8. Règle de calcul de la valeur somme algébrique deux nombres
§ 9. Distance entre les points d'une ligne de coordonnées
§ dix. Symétrie axiale
§ 11. Intervalles numériques
§ 12. Multiplication et division de nombres positifs et négatifs
§ 13. Coordonnées
§ 14. Plan de coordonnées
§ 15. Multiplication et division des fractions ordinaires
§ 16. Règle de multiplication pour les problèmes combinatoires
Chapitre II. Conversion d'expressions littérales
§ 17. Parenthèses extensibles
§ 18. Simplification des expressions
§ 19. Solution d'équations
§ 20. Résoudre des problèmes de composition d'équations
§ 21. Deux problèmes principaux sur les fractions
§ 22. Cercle. Circonférence
§ 23. Cercle. Aire d'un cercle
§ 24. Ballon. Sphère
Chapitre III. Divisibilité des nombres naturels
§ 25. Diviseurs et multiples
§ 26. Divisibilité d'un produit
§ 27. Divisibilité de la somme et de la différence des nombres
§ 28. Tests de divisibilité par 2, 5, 10, 4 et 25
§ 29. Tests de divisibilité par 3 et 9
§ 30. Nombres premiers. Factoriser un nombre en facteurs premiers
§ 31. Le plus grand diviseur commun
§ 32. Nombres premiers entre eux. Test de divisibilité d'un produit. Multiple moins commun
Chapitre IV. Les mathématiques autour de nous
§ 33. Le rapport de deux nombres
§ 34. Schémas
§ 35. Proportionnalité des quantités
§ 36. Résoudre des problèmes en utilisant des proportions
§ 37. Tâches diverses
§ 38. Première connaissance de la notion de « probabilité »
§ 39. Première connaissance du calcul des probabilités
Tests à domicile
Sujets pour les activités du projet
Réponses
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Cordialement, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko est l'auteur de ce site.
Chers amis!
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Chers amis!
Ce n'est un secret pour personne que certains enfants ont des difficultés avec les multiplications et les divisions longues. Le plus souvent, cela est dû à une connaissance insuffisante des tables de multiplication. Je vous suggère d'apprendre vos tables de multiplication en utilisant le loto. Voir plus de détails ici. Téléchargez le loto ici.
Chers amis! Vous serez bientôt confronté (ou avez déjà été confronté) à la nécessité de décider pourcentage de problèmes. De tels problèmes commencent à être résolus dès la 5e année et sont terminés. mais ils n’en finissent pas de résoudre des problèmes de pourcentages ! Ces tâches se retrouvent aussi bien dans les tests que dans les examens : aussi bien ceux de transfert que l'Examen d'État unifié et l'Examen d'État unifié. Ce qu'il faut faire? Nous devons apprendre à résoudre de tels problèmes. Mon livre « Comment résoudre les problèmes de pourcentage » vous y aidera. Détails ici!
Ajout de chiffres.
- a+b=c, où a et b sont des termes, c est la somme.
- Pour trouver le terme inconnu, vous devez soustraire le terme connu de la somme.
Soustraire des nombres.
- a-b=c, où a est le minuend, b est le sous-trahend, c est la différence.
- Pour trouver le menu inconnu, vous devez ajouter le sous-titre à la différence.
- Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la fin du menu.
Multiplier des nombres.
- a·b=c, où a et b sont des facteurs, c est le produit.
- Pour trouver un facteur inconnu, vous devez diviser le produit par le facteur connu.
Division des nombres.
- a:b=c, où a est le dividende, b est le diviseur, c est le quotient.
- Pour trouver le dividende inconnu, vous devez multiplier le diviseur par le quotient.
- Pour trouver un diviseur inconnu, vous devez diviser le dividende par le quotient.
Lois d'addition.
- a+b=b+a(commutatif : réarranger les termes ne change pas la somme).
- (une+b)+c=une+(b+c)(combinatif : pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux termes, vous pouvez ajouter la somme du deuxième et du troisième au premier nombre).
Tableau d'addition.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Lois de la multiplication.
- a·b=b·a(commutatif : réarranger les facteurs ne change pas le produit).
- (une b) c=une (bc)(combinatif : pour multiplier le produit de deux nombres par un troisième nombre, on peut multiplier le premier nombre par le produit du deuxième et du troisième).
- (a+b)c=ac+bc(loi distributive de multiplication relative à l'addition : pour multiplier la somme de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier chaque terme par ce nombre et additionner les résultats obtenus).
- (a-b) c=a c-b c(loi distributive de multiplication relative à la soustraction : afin de multiplier la différence de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier la fin et soustraire par ce nombre séparément et soustraire le deuxième du premier résultat).
Table de multiplication.
2·1=2; 3·1=3; 4·1=4; 5·1=5; 6·1=6; 7·1=7; 8·1=8 ; 9·1=9.
2·2=4; 3·2=6; 4·2=8 ; 5·2=10 ; 6·2=12 ; 7·2=14 ; 8·2=16 ; 9·2=18.
2·3=6; 3·3=9; 4·3=12 ; 5·3=15 ; 6·3=18 ; 7·3=21 ; 8·3=24 ; 9·3=27.
2·4=8 ; 3·4=12 ; 4·4=16 ; 5·4=20 ; 6·4=24 ; 7·4=28 ; 8·4=32 ; 9·4=36.
2,5=10 ; 3,5=15 ; 4·5=20 ; 5,5 = 25 ; 6,5=30 ; 7,5=35 ; 8·5=40 ; 9·5=45.
2·6=12 ; 3,6 = 18 ; 4·6=24 ; 5·6=30 ; 6·6=36 ; 7·6=42 ; 8·6=48 ; 9·6=54.
2·7=14 ; 3·7=21 ; 4·7=28 ; 5·7=35 ; 6·7=42 ; 7·7=49 ; 8·7=56 ; 9·7=63.
2·8=16 ; 3,8 = 24 ; 4·8=32 ; 5·8=40 ; 6·8=48 ; 7·8=56 ; 8·8=64 ; 9·8=72.
2·9=18 ; 3·9=27 ; 4·9=36 ; 5·9=45 ; 6·9=54 ; 7·9=63 ; 8·9=72 ; 9·9=81.
2·10=20 ; 3·10=30 ; 4·10=40 ; 5·10=50 ; 6·10=60 ; 7·10=70 ; 8·10=80 ; 9·10=90.
Diviseurs et multiples.
- Diviseur entier naturel UN nommer l'entier naturel auquel UN divisé sans reste. (Les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sont des diviseurs du nombre 24, puisque 24 est divisible par chacun d'eux sans reste) 1 est le diviseur de tout nombre naturel. Le plus grand diviseur d’un nombre est le nombre lui-même.
- Multiples entier naturel b est un nombre naturel divisible par b. (Les nombres 24, 48, 72,... sont des multiples du nombre 24, puisqu'ils sont divisibles par 24 sans reste). Le plus petit multiple d’un nombre est le nombre lui-même.
Critères de divisibilité des nombres naturels.
- Les nombres utilisés pour compter des objets (1, 2, 3, 4,...) sont appelés nombres naturels. L'ensemble des nombres naturels est désigné par la lettre N.
- Nombres 0, 2, 4, 6, 8 appelé même en chiffres. Les nombres qui se terminent par des chiffres pairs sont appelés nombres pairs.
- Nombres 1, 3, 5, 7, 9 appelé impair en chiffres. Les nombres qui se terminent par des chiffres impairs sont appelés nombres impairs.
- Test de divisibilité par le nombre 2. Tous les nombres naturels se terminant par un chiffre pair sont divisibles par 2.
- Test de divisibilité par le nombre 5. Tous les nombres naturels se terminant par 0 ou 5 sont divisibles par 5.
- Test de divisibilité pour le nombre 10. Tous les nombres naturels se terminant par 0 sont divisibles par 10.
- Test de divisibilité par le nombre 3. Si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3.
- Test de divisibilité pour le chiffre 9. Si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 9, alors le nombre lui-même est divisible par 9.
- Test de divisibilité par le nombre 4. Si un nombre composé des deux derniers chiffres d'un nombre donné est divisible par 4, alors le nombre donné lui-même est divisible par 4.
- Test de divisibilité pour le nombre 11. Si la différence entre la somme des chiffres aux endroits impairs et la somme des chiffres aux endroits pairs est divisible par 11, alors le nombre lui-même est divisible par 11.
- Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs : un et le nombre lui-même.
- Un nombre qui a plus de deux diviseurs est appelé composé.
- Le nombre 1 n'est ni un nombre premier ni un nombre composé.
- Écrire un nombre composé comme produit de nombres premiers uniquement s'appelle factoriser un nombre composé en facteurs premiers. N'importe lequel nombre composé peut être représenté de manière unique comme un produit de facteurs premiers.
- Le plus grand diviseur commun d'un nombre naturel donné est le plus grand nombre naturel par lequel chacun de ces nombres est divisé.
- Plus grand diviseur commun de nombres donnés égal au produit facteurs premiers communs dans les expansions de ces nombres. Exemple. PGCD(24, 42)=2·3=6, puisque 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, leurs facteurs premiers communs sont 2 et 3.
- Si les nombres naturels n'ont qu'un seul diviseur commun - un, alors ces nombres sont appelés relativement premiers.
- Le plus petit commun multiple d'un nombre naturel donné est le plus petit nombre naturel qui est un multiple de chacun des nombres donnés. Exemple. LCM(24, 42)=168. C'est le plus petit nombre divisible par 24 et 42.
- Pour trouver le LCM de plusieurs nombres naturels donnés, vous devez : 1) décomposer chacun des nombres donnés en facteurs premiers ; 2) écrivez la décomposition du plus grand nombre et multipliez-la par les facteurs manquants lors de la décomposition d'autres nombres.
- Le plus petit multiple de deux nombres relativement premiers est égal au produit de ces nombres.
b- le dénominateur de la fraction indique en combien de parties égales elle est divisée ;
un-le numérateur de la fraction indique combien de ces parties ont été prises. La barre de fraction signifie le signe de division.
Parfois, au lieu d'une ligne fractionnaire horizontale, ils mettent une ligne oblique, et une fraction ordinaire s'écrit comme ceci : un B.
- U fraction propre le numérateur est inférieur au dénominateur.
- U fraction impropre le numérateur est supérieur au dénominateur ou égal au dénominateur.
Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, vous obtenez une fraction égale.
Diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur diviseur commun autre qu’un s’appelle réduire la fraction.
- Un nombre composé d’une partie entière et d’une partie fractionnaire est appelé nombre fractionnaire.
- Pour représenter une fraction impropre sous forme de nombre fractionnaire, vous devez diviser le numérateur de la fraction par le dénominateur, puis le quotient incomplet sera la partie entière du nombre fractionnaire, le reste sera le numérateur de la partie fractionnaire et le le dénominateur restera le même.
- Pour représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre, vous devez multiplier la partie entière du nombre fractionnaire par le dénominateur, ajouter le numérateur de la partie fractionnaire au résultat obtenu et l'écrire au numérateur de la fraction impropre, en laissant le dénominateur le même.
- Rayon Oh avec le point de départ au point À PROPOS, sur lequel sont indiqués coupe unique vers et direction, appelé faisceau de coordonnées.
- Le nombre correspondant au point du rayon de coordonnées est appelé coordonner ce point. Par exemple , A(3). Lire : point A de coordonnée 3.
- Plus petit dénominateur commun ( MNT) de ces fractions irréductibles est le plus petit commun multiple ( CNP) dénominateurs de ces fractions.
- Réduire les fractions au plus petit dénominateur commun, il faut : 1) trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, ce sera le plus petit commun dénominateur. 2) trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction en divisant le nouveau dénominateur par le dénominateur de chaque fraction. 3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.
- De deux fractions ayant le même dénominateur, celle avec le plus grand numérateur est la plus grande et celle avec le plus petit numérateur est la plus petite.
- De deux fractions ayant les mêmes numérateurs, celle avec le plus petit dénominateur est la plus grande et celle avec le plus grand dénominateur est la plus petite.
- Pour comparer des fractions avec des numérateurs et des dénominateurs différents, vous devez réduire les fractions à leur plus petit dénominateur commun, puis comparer les fractions avec les mêmes dénominateurs.
Opérations sur les fractions ordinaires.
- Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.
- Si vous devez additionner des fractions avec des dénominateurs différents, réduisez d’abord les fractions au plus petit dénominateur commun, puis additionnez les fractions avec les mêmes dénominateurs.
- Pour soustraire des fractions ayant des dénominateurs similaires, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, en laissant le dénominateur identique.
- Si vous devez soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, elles sont d'abord ramenées à un dénominateur commun, puis les fractions avec les mêmes dénominateurs sont soustraites.
- Lors d'opérations d'addition ou de soustraction sur des nombres fractionnaires, ces opérations sont effectuées séparément pour les parties entières et pour les parties fractionnaires, puis le résultat est écrit sous forme de nombre fractionnaire.
- Le produit de deux fractions ordinaires est égal à une fraction dont le numérateur est égal au produit des numérateurs, et le dénominateur est égal au produit des dénominateurs de ces fractions.
- Pour multiplier une fraction commune par un nombre naturel, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre, mais laisser le dénominateur inchangé.
- Deux nombres dont le produit est égal à un sont appelés nombres réciproques.
- Lors de la multiplication de nombres fractionnaires, ils sont d'abord convertis en fractions impropres.
- Pour trouver une fraction d’un nombre, vous devez multiplier le nombre par cette fraction.
- Pour diviser une fraction commune par une fraction commune, vous devez multiplier le dividende par l'inverse du diviseur.
- Lors de la division de nombres fractionnaires, ils sont d'abord convertis en fractions impropres.
- Pour diviser une fraction commune par un nombre naturel, vous devez multiplier le dénominateur de la fraction par cet nombre naturel et laisser le numérateur inchangé. ((2/7) :5=2/(7·5)=2/35).
- Pour trouver un nombre par sa fraction, il faut diviser le nombre qui lui correspond par cette fraction.
- Une fraction décimale est un nombre écrit selon le système décimal et comportant des chiffres inférieurs à un. (3,25 ; 0,1457, etc.)
- Les chiffres après la virgule dans une fraction décimale sont appelés chiffres décimaux.
- La décimale ne changera pas si vous ajoutez ou supprimez des zéros à la fin de la décimale.
Pour additionner des fractions décimales, vous devez : 1) égaliser le nombre de décimales dans ces fractions ; 2) notez-les les uns après les autres de manière à ce que la virgule soit écrite sous la virgule ; 3) effectuez l'addition sans faire attention à la virgule et mettez une virgule dans la somme sous les virgules dans les fractions ajoutées.
Pour soustraire des fractions décimales, vous devez : 1) égaliser le nombre de décimales dans la fin et la soustraction ; 2) signez le sous-titre sous le menu de manière à ce que la virgule soit sous la virgule ; 3) effectuez la soustraction, sans faire attention à la virgule, et dans le résultat obtenu, placez une virgule sous les virgules du menu et de la soustraction.
- Pour multiplier une fraction décimale par un nombre naturel, vous devez la multiplier par ce nombre, en ignorant la virgule, et dans le produit obtenu, séparer autant de chiffres à droite par une virgule qu'il y en avait après la virgule décimale dans cette fraction.
- Pour multiplier une fraction décimale par une autre, vous devez effectuer la multiplication sans faire attention aux virgules et, dans le résultat obtenu, séparer autant de chiffres de droite par une virgule qu'il y en avait après les points décimaux dans les deux facteurs ensemble.
- Pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite de 1, 2, 3, etc.
- Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc. vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche de 1, 2, 3, etc.
- Pour diviser une fraction décimale par un nombre naturel, vous devez diviser la fraction par ce nombre, comme on divise les nombres naturels, et mettre une virgule dans le quotient lorsque la division de la partie entière est terminée.
- Pour diviser une fraction décimale par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche de 1, 2, 3, etc.
- Pour diviser un nombre par une fraction décimale, vous devez déplacer les virgules du dividende et du diviseur d'autant de chiffres vers la droite qu'il y a après la virgule décimale du diviseur, puis diviser par l'entier naturel.
- Diviser une décimale par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite de 1, 2, 3, etc. (Diviser une décimale par 0,1, 0,01, 0,001, etc. revient à multiplier cette décimale par 10, 100, 1000, etc.)
Pour arrondir un nombre à n'importe quel chiffre, nous soulignons le chiffre de ce chiffre, puis nous remplaçons tous les chiffres après celui souligné par des zéros, et s'ils sont après la virgule décimale, nous les supprimons. Si le premier chiffre remplacé par un zéro ou supprimé est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors le chiffre souligné reste inchangé. Si le premier chiffre remplacé par un zéro ou supprimé est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors le chiffre souligné est augmenté de 1.
La moyenne arithmétique de plusieurs nombres.
La moyenne arithmétique de plusieurs nombres est le quotient de la somme de ces nombres divisée par le nombre de termes.
La plage d'un certain nombre de nombres.
La différence entre le plus grand et valeurs les plus basses d’une série de données est appelée plage d’une série de nombres.
Mode de série de nombres.
Le nombre qui apparaît avec la fréquence la plus élevée parmi les nombres donnés dans une série est appelé le mode de la série de nombres.
- Une centième partie s’appelle un pourcentage. Achetez un livre qui enseigne « Comment résoudre les problèmes de pourcentage ».
- Pour exprimer des pourcentages sous forme de fraction ou de nombre naturel, vous devez diviser le pourcentage par 100 %. (4%=0,04 ; 32%=0,32).
- Pour exprimer un nombre en pourcentage, vous devez le multiplier par 100 %. (0,65=0,65·100%=65% ; 1,5=1,5·100%=150 %).
- Pour trouver le pourcentage d'un nombre, vous devez exprimer le pourcentage d'un nombre ordinaire ou décimal et multipliez la fraction obtenue par le nombre donné.
- Pour trouver un nombre par son pourcentage, vous devez exprimer le pourcentage sous forme de fraction ordinaire ou décimale et diviser le nombre donné par cette fraction.
- Pour déterminer le pourcentage entre le premier nombre et le second, vous devez diviser le premier nombre par le second et multiplier le résultat par 100 %.
- Le quotient de deux nombres est appelé le rapport de ces nombres. un B ou un B– le rapport des nombres a et b, et a est le terme précédent, b est le terme suivant.
- Si les membres d’une relation donnée sont réorganisés, alors la relation résultante est appelée l’inverse de la relation donnée. Les relations b/a et a/b sont mutuellement inverses.
- Le rapport ne changera pas si les deux termes du rapport sont multipliés ou divisés par le même nombre autre que zéro.
- L'égalité de deux rapports s'appelle proportion.
- a:b=c:d. C'est une proportion. Lire: UN Ceci s'applique à b, Comment c fait référence à d. Les nombres a et d sont appelés les termes extrêmes de la proportion, et les nombres b et c sont appelés les termes moyens de la proportion.
- Le produit des termes extrêmes d’une proportion est égal au produit de ses termes médians. Pour les proportions a:b=c:d ou a/b=c/d la propriété principale s'écrit ainsi : a·d=b·c.
- Pour trouver le terme extrême inconnu d’une proportion, vous devez diviser le produit des termes moyens de la proportion par le terme extrême connu.
- Pour trouver le terme moyen inconnu d’une proportion, vous devez diviser le produit des termes extrêmes de la proportion par le terme moyen connu. Problèmes de proportions.
Laissez la valeur ouiça dépend de la taille X. Si en augmentant X plusieurs fois la taille à augmente du même montant, alors ces valeurs X Et à sont appelés directement proportionnels.
Si deux quantités sont directement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises de la première quantité est égal au rapport de deux valeurs correspondantes de la deuxième quantité.
Le rapport entre la longueur d’un segment sur une carte et la longueur de la distance correspondante au sol est appelé échelle de la carte.
Laissez la valeur àça dépend de la taille X. Si en augmentant X plusieurs fois la taille à diminue du même montant, alors ces valeurs X Et à sont dits inversement proportionnels.
Si deux quantités sont inversement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes de l'autre quantité.
- Un ensemble est une collection de certains objets ou nombres, compilés selon certains les propriétés générales ou des lois (beaucoup de lettres sur une page, beaucoup de fractions propres avec un dénominateur de 5, beaucoup d'étoiles dans le ciel, etc.).
- Les ensembles sont constitués d'éléments et peuvent être finis ou infinis. Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé ensemble vide et est noté O.
- Un tas de DANS appelé un sous-ensemble d'un ensemble UN, si tous les éléments de l'ensemble DANS sont des éléments de l'ensemble UN.
- Intersection d'ensembles UN Et DANS est un ensemble dont les éléments appartiennent à l'ensemble UN et beaucoup DANS.
- Union d'ensembles UN Et DANS est un ensemble dont les éléments appartiennent à au moins un de ces ensembles UN Et DANS.
Beaucoup de chiffres.
- N– ensemble de nombres naturels : 1, 2, 3, 4,…
- Z– un ensemble d'entiers : …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q- un tas de nombres rationnels, représentable sous forme de fraction m/n, Où m- entier, n– naturel (-2 ; 3/5 ; v9 ; v25, etc.)
- Une ligne de coordonnées est une ligne droite sur laquelle sont donnés une direction positive, un point de référence (point O) et un segment unitaire.
- Chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un certain nombre, appelé coordonnée de ce point. Par exemple, UNE(5). Ils lisent : point A de coordonnée cinq. À 3). Ils lisent : point B avec coordonnée moins trois.
- Module du nombre a (écrire |une|) est la distance de l'origine au point correspondant à numéro donné UN. Le module de n’importe quel nombre n’est pas négatif. |3|=3; |-3|=3, car la distance de l'origine au nombre -3 et au nombre 3 est égale à trois segments unitaires. |0|=0 .
- Par définition du module d'un nombre : |une|=une, Si un?0 Et |une|=-une, Si un B.
- Si, en comparant les nombres a et b, la différence un B est un nombre négatif, alors a , alors on les appelle inégalités strictes.
- Si les inégalités s’écrivaient par des signes ? ou ?, alors on les appelle inégalités non strictes.
Propriétés des inégalités numériques.
G) Inégalité de la forme x?a. Répondre:
Signes de divisibilité des nombres il est utile de connaître 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 et d'autres nombres pour résoudre rapidement des problèmes de notation numérique des nombres. Au lieu de diviser un nombre par un autre, il suffit de vérifier un certain nombre de signes, sur la base desquels on peut déterminer sans ambiguïté si un nombre est divisible par un autre (qu'il s'agisse d'un multiple) ou non.
Signes fondamentaux de divisibilité
Donne moi signes de base de la divisibilité des nombres:
- Test de divisibilité d'un nombre par « 2 » Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8)
Exemple : Le nombre 1256 est un multiple de 2 car il se termine par 6. Mais le nombre 49603 n'est pas divisible par 2 car il se termine par 3. - Test de divisibilité d'un nombre par « 3 » Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
Exemple : Le nombre 4761 est divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres est 18 et il est divisible par 3. Et le nombre 143 n'est pas un multiple de 3, puisque la somme de ses chiffres est 8 et il n'est pas divisible par 3. - Test de divisibilité d'un nombre par « 4 » Un nombre est divisible par 4 si les deux derniers chiffres du nombre sont zéro ou si le nombre composé des deux derniers chiffres est divisible par 4
Exemple : Le nombre 2344 est un multiple de 4, puisque 44 / 4 = 11. Et le nombre 3951 n'est pas divisible par 4, puisque 51 n'est pas divisible par 4. - Test de divisibilité d'un nombre par « 5 » Un nombre est divisible par 5 si le dernier chiffre du nombre est 0 ou 5
Exemple : Le nombre 5830 est divisible par 5 car il se termine par 0. Mais le nombre 4921 n'est pas divisible par 5 car il se termine par 1. - Test de divisibilité d'un nombre par « 6 » Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et 3.
Exemple : Le nombre 3504 est un multiple de 6 car il se termine par 4 (divisible par 2) et la somme des chiffres du nombre est 12 et il est divisible par 3 (divisible par 3). Et le nombre 5432 n'est pas complètement divisible par 6, bien que le nombre se termine par 2 (le critère de divisibilité par 2 est respecté), mais la somme des chiffres est 14 et il n'est pas complètement divisible par 3. - Test de divisibilité d'un nombre par « 8 » Un nombre est divisible par 8 si les trois derniers chiffres du nombre sont zéro ou si le nombre composé des trois derniers chiffres du nombre est divisible par 8
Exemple : Le nombre 93112 est divisible par 8, puisque le nombre 112 / 8 = 14. Et le nombre 9212 n'est pas un multiple de 8, puisque 212 n'est pas divisible par 8. - Test de divisibilité d'un nombre par « 9 » Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9
Exemple : Le nombre 2916 est un multiple de 9, puisque la somme des chiffres est 18 et il est divisible par 9. Et le nombre 831 n'est pas divisible par 9, puisque la somme des chiffres du nombre est 12 et il est non divisible par 9. - Test de divisibilité d'un nombre par « 10 » Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0
Exemple : Le nombre 39590 est divisible par 10 car il se termine par 0. Et le nombre 5964 n'est pas divisible par 10 car il ne se termine pas par 0. - Test de divisibilité d'un nombre par « 11 » Un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres aux endroits impairs est égale à la somme des chiffres aux endroits pairs ou si les sommes doivent différer de 11
Exemple : Le nombre 3762 est divisible par 11, puisque 3 + 6 = 7 + 2 = 9. Mais le nombre 2374 n'est pas divisible par 11, puisque 2 + 7 = 9, et 3 + 4 = 7. - Test de divisibilité d'un nombre par « 25 » Un nombre est divisible par 25 s'il se termine par 00, 25, 50 ou 75
Exemple : Le nombre 4950 est un multiple de 25 car il se termine par 50. Et 4935 n'est pas divisible par 25 car il se termine par 35.
Signes de divisibilité par un nombre composé
Pour savoir si un nombre donné est divisible par un nombre composé, vous devez prendre en compte ce nombre composé dans facteurs premiers entre eux, dont les signes de divisibilité sont connus. Les nombres premiers entre eux sont des nombres qui n'ont pas de facteur commun autre que 1. Par exemple, un nombre est divisible par 15 s'il est divisible par 3 et 5.
Considérons un autre exemple de diviseur composé : un nombre est divisible par 18 s'il est divisible par 2 et 9. Dans ce cas, on ne peut pas factoriser 18 en 3 et 6, car ils ne sont pas relativement premiers, puisqu'ils ont un diviseur commun. 3. Vérifions cela par exemple.
Le nombre 456 est divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres est 15, et divisible par 6, puisqu'il est divisible à la fois par 3 et par 2. Mais si vous divisez 456 par 18 manuellement, vous obtenez un reste. Si vous vérifiez les signes de divisibilité par 2 et 9 pour le nombre 456, vous voyez immédiatement qu'il est divisible par 2, mais pas divisible par 9, puisque la somme des chiffres du nombre est 15 et qu'il n'est pas divisible par 9.
Pour simplifier la division des nombres naturels, des règles de division en nombres des dix premiers et en nombres 11, 25 ont été dérivées, qui sont combinées dans la section signes de divisibilité des nombres naturels. Vous trouverez ci-dessous les règles selon lesquelles l'analyse d'un nombre sans le diviser par un autre nombre naturel répondra à la question : un nombre naturel est-il un multiple des nombres 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 et l'unité numérique ?
Les nombres naturels dont le premier chiffre se termine par 2,4,6,8,0 sont appelés pairs.
Test de divisibilité des nombres par 2
Tous les nombres naturels pairs sont divisibles par 2, par exemple : 172, 94,67, 838, 1670.
Test de divisibilité des nombres par 3
Tous les nombres naturels dont la somme des chiffres est divisible par 3 sont divisibles par 3. Par exemple :
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Test de divisibilité des nombres par 4
Tous les nombres naturels sont divisibles par 4 dont les deux derniers chiffres sont des zéros ou un multiple de 4. Par exemple :
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Test de divisibilité des nombres par 5
Test de divisibilité des nombres par 6
Les nombres naturels qui sont divisibles par 2 et 3 en même temps sont divisibles par 6 (tous nombres pairs, qui sont divisibles par 3). Par exemple : 126 (b - pair, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).
Test de divisibilité des nombres par 9
Les nombres naturels dont la somme des chiffres est un multiple de 9 sont divisibles par 9. Par exemple :
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Test de divisibilité des nombres par 10
Test de divisibilité des nombres par 11
Seuls les nombres naturels sont divisibles par 11 pour lesquels la somme des chiffres occupant des places paires est égale à la somme des chiffres occupant des places impaires, ou la différence entre la somme des chiffres occupant des places impaires et la somme des chiffres pairs. places est un multiple de 11. Par exemple :
105787 (1 + 5 + 8 = 14 et 0 + 7 + 7 = 14) ;
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 et 1 + 3 + 2 = 6) ;
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Test de divisibilité des nombres par 25
Diviser par 25 correspond aux nombres naturels dont les deux derniers chiffres sont des zéros ou un multiple de 25. Par exemple :
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Signe de divisibilité des nombres par unité numérique
Les nombres naturels dont le nombre de zéros est supérieur ou égal au nombre de zéros de l'unité numérique sont divisés en une unité numérique. Par exemple : 12 000 est divisible par 10, 100 et 1 000.