Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. Il est absolument nécessaire de pouvoir les résoudre.
Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a, b et c sont des nombres arbitraires et a ≠ 0.
Avant d'étudier des méthodes de résolution spécifiques, notez que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :
- Ils n'ont pas de racines ;
- Avoir exactement une racine ;
- Ils ont deux racines différentes.
C'est une différence importante entre les équations quadratiques et les équations linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d’une équation ? Il y a une chose merveilleuse à cela - discriminant.
Discriminant
Qu'il soit donné équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac.
Il faut connaître cette formule par cœur. D’où cela vient n’a plus d’importance maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:
- Si D< 0, корней нет;
- Si D = 0, il y a exactement une racine ;
- Si D > 0, il y aura deux racines.
Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme beaucoup de gens le croient pour une raison quelconque. Jetez un œil aux exemples et vous comprendrez tout vous-même :
Tâche. Combien de racines ont les équations quadratiques :
- x 2 − 8x + 12 = 0 ;
- 5x2 + 3x + 7 = 0 ;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
une = 1, b = −8, c = 12 ;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Le discriminant est donc positif, donc l’équation a deux racines différentes. Nous analysons la deuxième équation de la même manière :
une = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines. La dernière équation restante est :
une = 1 ; b = −6 ; c = 9 ;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Discriminant égal à zéro- il y aura une racine.
Veuillez noter que des coefficients ont été notés pour chaque équation. Oui, c’est long, oui, c’est fastidieux, mais on ne va pas mélanger les probabilités et faire des erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.
D'ailleurs, si vous comprenez, au bout d'un moment, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à faire cela quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tant que ça.
Racines d'une équation quadratique
Passons maintenant à la solution elle-même. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :
Formule de base pour les racines d'une équation quadratique
Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtiendrez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0 ;
- 15 − 2x − x2 = 0 ;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Première équation :
X 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = −2 ; c = −3 ;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Trouvons-les :
Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = −2 ; c = 15 ;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fin(aligner)\]
Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ une = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N’importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :
Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lors de la substitution de coefficients négatifs dans la formule. Là encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera : regardez la formule littéralement, notez chaque étape - et très bientôt vous vous débarrasserez des erreurs.
Équations quadratiques incomplètes
Il arrive qu'une équation quadratique soit légèrement différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:
- x2 + 9x = 0 ;
- x 2 - 16 = 0.
Il est facile de remarquer qu’il manque un des termes dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standards : elles ne nécessitent même pas de calculer le discriminant. Alors, introduisons un nouveau concept :
L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est égal à zéro.
Bien entendu, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro : b = c = 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 = 0. Évidemment, une telle équation a une racine unique : x = 0.
Considérons les cas restants. Soit b = 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0. Transformons-la un peu :
Puisque la racine carrée arithmétique n'existe que pour un nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a) ≥ 0. Conclusion :
- Si dans une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 l'inégalité (−c /a) ≥ 0 est satisfaite, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus ;
- Si (−c /a)< 0, корней нет.
Comme vous pouvez le constater, aucun discriminant n'était nécessaire : il n'y a aucun calcul complexe dans les équations quadratiques incomplètes. En fait, il n'est même pas nécessaire de se souvenir de l'inégalité (−c /a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S’il y a un nombre positif, il y aura deux racines. S’il est négatif, il n’y aura aucune racine.
Regardons maintenant les équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :
Sortir le facteur commun des parenthèsesLe produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, examinons quelques-unes de ces équations :
Tâche. Résoudre des équations quadratiques :
- x 2 - 7x = 0 ;
- 5x2 + 30 = 0 ;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 ; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Il n'y a pas de racines, parce que un carré ne peut pas être égal à un nombre négatif.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5 ; x 2 = −1,5.
Analysons deux types de solutions aux systèmes d'équations :
1. Résoudre le système en utilisant la méthode de substitution.
2. Résoudre le système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système.
Pour résoudre le système d'équations par méthode de substitution vous devez suivre un algorithme simple :
1. Exprimez. À partir de n'importe quelle équation, nous exprimons une variable.
2. Remplacer. Nous substituons la valeur résultante dans une autre équation au lieu de la variable exprimée.
3. Résolvez l'équation résultante avec une variable. Nous trouvons une solution au système.
Résoudre système par méthode d'addition (soustraction) terme par terme besoin de:
1. Sélectionnez une variable pour laquelle nous ferons des coefficients identiques.
2. Nous ajoutons ou soustrayons des équations, ce qui donne une équation à une variable.
3. Résolvez l’équation linéaire résultante. Nous trouvons une solution au système.
La solution du système réside dans les points d’intersection des graphiques de fonctions.
Examinons en détail la solution des systèmes à l'aide d'exemples.
Exemple 1:
Résolvons par méthode de substitution
Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution2x+5y=1 (1 équation)
x-10y=3 (2ème équation)
1. Exprimer
On peut voir que dans la deuxième équation il y a une variable x avec un coefficient de 1, ce qui signifie qu'il est plus simple d'exprimer la variable x à partir de la deuxième équation.
x=3+10a
2.Après l'avoir exprimé, nous substituons 3+10y dans la première équation au lieu de la variable x.
2(3+10 ans)+5 ans=1
3. Résolvez l'équation résultante avec une variable.
2(3+10y)+5y=1 (ouvrez les parenthèses)
6+20 ans+5 ans=1
25 ans = 1-6
25 ans = -5 | : (25)
y=-5:25
y=-0,2
La solution du système d'équations sont les points d'intersection des graphiques, nous devons donc trouver x et y, car le point d'intersection est constitué de x et y, trouvons x, au premier point où nous l'avons exprimé, nous y substituons y. .
x=3+10a
x=3+10*(-0,2)=1
Il est d'usage d'écrire des points en premier lieu on écrit la variable x, et en second lieu la variable y.
Réponse : (1 ; -0,2)
Exemple n°2 :
Résolvons en utilisant la méthode d'addition (soustraction) terme par terme.
Résoudre un système d'équations par la méthode d'addition3x-2y=1 (1 équation)
2x-3y=-10 (2ème équation)
1. Nous choisissons une variable, disons que nous choisissons x. Dans la première équation, la variable x a un coefficient de 3, dans la seconde - 2. Nous devons rendre les coefficients identiques, pour cela nous avons le droit de multiplier les équations ou de diviser par n'importe quel nombre. On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 et obtenons un coefficient total de 6.
3x-2a=1 |*2
6x-4a=2
2x-3a=-10 |*3
6x-9a=-30
2. Soustrayez la seconde de la première équation pour éliminer la variable x. Résolvez l’équation linéaire.
__6x-4a=2
5 ans = 32 | :5
y=6,4
3. Trouvez x. Nous substituons le y trouvé dans n’importe laquelle des équations, disons dans la première équation.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Le point d'intersection sera x=4,6 ; y=6,4
Réponse : (4.6 ; 6.4)
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Sur cette base, pour les équations, utilisez diverses méthodes et des théorèmes pour trouver des solutions. Résoudre des équations de ce genre signifie trouver les racines requises sous forme générale. Notre service vous permet de résoudre en ligne même les équations algébriques les plus complexes. Vous pouvez obtenir à la fois une solution générale de l'équation et une solution particulière pour les valeurs numériques des coefficients que vous spécifiez. Pour résoudre une équation algébrique sur le site, il suffit de remplir correctement seulement deux champs : les côtés gauche et droit de l'équation donnée. U équations algébriques avec des coefficients variables, il existe un nombre infini de solutions, et en fixant certaines conditions, les solutions privées sont sélectionnées parmi l'ensemble des solutions. Équation quadratique. L'équation quadratique a la forme ax^2+bx+c=0 pour a>0. Résoudre des équations quadratiques implique de trouver les valeurs de x auxquelles l'égalité ax^2+bx+c=0 est vraie. Pour ce faire, trouvez la valeur discriminante à l'aide de la formule D=b^2-4ac. Si le discriminant est inférieur à zéro, alors l'équation n'a pas de racines réelles (les racines proviennent du corps des nombres complexes), s'il est égal à zéro, alors l'équation a une racine réelle, et si le discriminant est supérieur à zéro , alors l'équation a deux racines réelles, qui sont trouvées par la formule : D = -b+-sqrt/2a. Pour résoudre une équation quadratique en ligne, il vous suffit de saisir les coefficients de l'équation (entiers, fractions ou décimaux). S'il y a des signes de soustraction dans une équation, vous devez mettre un signe moins devant les termes correspondants de l'équation. Vous pouvez résoudre une équation quadratique en ligne en fonction du paramètre, c'est-à-dire des variables contenues dans les coefficients de l'équation. Notre service en ligne pour trouver solutions générales. Équations linéaires. Pour des solutions équations linéaires(ou systèmes d'équations), il existe quatre méthodes principales utilisées dans la pratique. Nous décrirons chaque méthode en détail. Méthode de substitution. La résolution d'équations à l'aide de la méthode de substitution nécessite d'exprimer une variable en fonction des autres. Après cela, l’expression est remplacée par d’autres équations du système. D'où le nom de la méthode de solution, c'est-à-dire qu'au lieu d'une variable, son expression est substituée par les variables restantes. En pratique, la méthode nécessite des calculs complexes, même si elle est facile à comprendre, donc résoudre une telle équation en ligne permettra de gagner du temps et de faciliter les calculs. Il vous suffit d'indiquer le nombre d'inconnues dans l'équation et de renseigner les données des équations linéaires, puis le service effectuera le calcul. Méthode Gauss. La méthode s'appuie sur les transformations les plus simples du système afin d'arriver à un système triangulaire équivalent. A partir de là, les inconnues sont déterminées une à une. En pratique, il faut résoudre une telle équation en ligne avec Description détaillée, grâce auquel vous aurez une bonne compréhension de la méthode gaussienne de résolution de systèmes d'équations linéaires. Notez le système d'équations linéaires dans le format correct et tenez compte du nombre d'inconnues afin de résoudre avec précision le système. Méthode de Cramer. Cette méthode résout des systèmes d’équations dans les cas où le système a une solution unique. La principale action mathématique ici est le calcul des déterminants matriciels. La résolution d'équations selon la méthode Cramer s'effectue en ligne, vous recevez instantanément le résultat avec une description complète et détaillée. Il suffit de remplir le système de coefficients et de sélectionner le nombre de variables inconnues. Méthode matricielle. Cette méthode consiste à collecter les coefficients des inconnues de la matrice A, les inconnues de la colonne X et les termes libres de la colonne B. Ainsi, le système d'équations linéaires se réduit à une équation matricielle de la forme AxX = B. Cette équation n'a de solution unique que si le déterminant de la matrice A est différent de zéro, sinon le système n'a pas de solutions, ou un nombre infini de solutions. Résoudre des équations à l'aide de la méthode matricielle implique de trouver la matrice inverse A.
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Le seul point négatif (bien qu'il soit difficile de qualifier cela d'inconvénient) de cela calculateur en ligne c'est qu'il ne sait pas construire des sphères et autres figures tridimensionnelles - seulement un plan.
Comment utiliser la calculatrice mathématique
1. L'écran (écran de la calculatrice) affiche l'expression saisie et le résultat de son calcul en symboles ordinaires, comme on l'écrit sur papier. Ce champ sert simplement à visualiser la transaction en cours. L'entrée apparaît à l'écran lorsque vous tapez une expression mathématique dans la ligne de saisie.
2. Le champ de saisie de l'expression est destiné à enregistrer l'expression qui doit être calculée. Il convient de noter ici que les symboles mathématiques utilisés dans logiciels d'ordinateur, ne coïncident pas toujours avec ceux que nous utilisons habituellement sur papier. Dans l'aperçu de chaque fonction de la calculatrice, vous trouverez la désignation correcte pour une opération spécifique et des exemples de calculs dans la calculatrice. Sur cette page ci-dessous se trouve une liste de toutes les opérations possibles dans la calculatrice, indiquant également leur orthographe correcte.
3. Barre d'outils - ce sont des boutons de calculatrice qui remplacent la saisie manuelle de symboles mathématiques indiquant l'opération correspondante. Certains boutons de la calculatrice (fonctions supplémentaires, convertisseur d'unités, solution de matrices et d'équations, graphiques) complètent la barre des tâches avec de nouveaux champs où sont saisies les données d'un calcul spécifique. Le champ « Historique » contient des exemples d'écriture d'expressions mathématiques, ainsi que vos six entrées les plus récentes.
Veuillez noter que lorsque vous appuyez sur les boutons permettant d'appeler des fonctions supplémentaires, un convertisseur d'unités, de résoudre des matrices et des équations et de tracer des graphiques, l'ensemble du panneau de la calculatrice monte, couvrant une partie de l'écran. Remplissez les champs obligatoires et appuyez sur la touche "I" (surlignée en rouge dans l'image) pour voir l'affichage en taille réelle.
4. Le pavé numérique contient des chiffres et des signes opérations arithmétiques. Le bouton "C" supprime toute l'entrée dans le champ de saisie de l'expression. Pour supprimer les caractères un par un, vous devez utiliser la flèche à droite de la ligne de saisie.
Essayez de toujours fermer les parenthèses à la fin d'une expression. Pour la plupart des opérations, ce n'est pas critique ; le calculateur en ligne calculera tout correctement. Toutefois, dans certains cas, des erreurs peuvent survenir. Par exemple, lors d'une élévation à une puissance fractionnaire, des parenthèses non fermées feront passer le dénominateur de la fraction dans l'exposant dans le dénominateur de la base. La parenthèse fermante est affichée en gris pâle sur l’écran et doit être fermée une fois l’enregistrement terminé.
Clé | Symbole | Opération |
---|---|---|
pi | pi | Pi constant |
e | e | Numéro d'Euler |
% | % | Pour cent |
() | () | Ouvrir/Fermer les supports |
, | , | Virgule |
péché | péché(?) | Sinus d'angle |
parce que | parce que(?) | Cosinus |
bronzer | bronzage (y) | Tangente |
sinh | sinh() | Sinus hyperbolique |
matraque | matraque() | Cosinus hyperbolique |
tanh | tanh() | Tangente hyperbolique |
péché -1 | un péché() | Sinus inversé |
cos-1 | acos() | Cosinus inverse |
bronzage -1 | un bronzage() | Tangente inversée |
péché -1 | asinh() | Sinus hyperbolique inverse |
coche -1 | acosh() | Cosinus hyperbolique inverse |
tan -1 | atanh() | Tangente hyperbolique inverse |
x2 | ^2 | La quadrature |
x3 | ^3 | cube |
xy | ^ | Exponentiation |
10x | 10^() | Exponentiation en base 10 |
ex | exp() | Exponentiation du nombre d'Euler |
vx | carré(x) | Racine carrée |
3 vx | carré3(x) | 3ème racine |
yvx | carré (x, y) | Extraction de racines |
bûche 2 x | log2(x) | Logarithme binaire |
enregistrer | journal(x) | Logarithme décimal |
dans | ln(x) | Un algorithme naturel |
journal y x | journal(x,y) | Logarithme |
I/II | Réduire/Appeler des fonctions supplémentaires | |
Unité | Convertisseur d'unité | |
Matrice | Matrices | |
Résoudre | Équations et systèmes d'équations | |
Graphique | ||
Fonctions supplémentaires (appel avec la touche II) | ||
module | module | Division avec reste |
! | ! | Factorielle |
je/j | je/j | Unité imaginaire |
Concernant | Concernant() | Isoler toute la partie réelle |
Je suis | Je suis() | Hors la partie réelle |
|x| | abdos() | La valeur absolue d'un nombre |
Arg | argument() | Argument de fonction |
rNC | ncr() | Coefficient binominal |
pgcd | pgcd() | PGCD |
lcm | lcm() | CNP |
somme | somme() | Valeur totale de toutes les décisions |
fac | factoriser() | Factorisation première |
différence | diff() | Différenciation |
Degré | Degrés | |
Rad | Radians |