Les expressions fractionnaires sont difficiles à comprendre pour un enfant. La plupart des gens ont des difficultés avec. Lorsqu'il étudie le sujet « additionner des fractions avec des nombres entiers », l'enfant tombe dans la stupeur et a du mal à résoudre le problème. Dans de nombreux exemples, avant d’effectuer une action, une série de calculs doit être effectuée. Par exemple, convertissez des fractions ou convertissez une fraction impropre en fraction propre.
Expliquons-le clairement à l'enfant. Prenons trois pommes, dont deux entières, et coupons la troisième en 4 parties. Séparez une tranche de la pomme coupée et placez les trois tranches restantes à côté de deux fruits entiers. On obtient ¼ de pomme d'un côté et 2 ¾ de l'autre. Si nous les combinons, nous obtenons trois pommes. Essayons de réduire 2 ¾ pommes de ¼, c'est-à-dire en retirant une autre tranche, nous obtenons 2 2/4 pommes.
Examinons de plus près les opérations avec des fractions contenant des entiers :
Rappelons d'abord la règle de calcul des expressions fractionnaires avec un dénominateur commun :
À première vue, tout est simple et facile. Mais cela ne s'applique qu'aux expressions qui ne nécessitent pas de conversion.
Comment trouver la valeur d'une expression dont les dénominateurs sont différents
Dans certaines tâches, vous devez trouver le sens d'une expression dont les dénominateurs sont différents. Regardons un cas précis :
3 2/7+6 1/3
Trouvons la valeur de cette expression en trouvant un dénominateur commun à deux fractions.
Pour les nombres 7 et 3, c'est 21. On laisse les parties entières identiques, et on ramène les parties fractionnaires à 21, pour cela on multiplie la première fraction par 3, la seconde par 7, on obtient :
21/06+21/07, n'oubliez pas que des parties entières ne peuvent pas être converties. En conséquence, nous obtenons deux fractions avec le même dénominateur et calculons leur somme :
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Que se passe-t-il si le résultat de l'addition est une fraction impropre qui a déjà une partie entière :
2 1/3+3 2/3
Dans ce cas, on additionne les parties entières et les parties fractionnaires, on obtient :
5 3/3, comme vous le savez, 3/3 est un, ce qui signifie 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Trouver la somme est clair, regardons la soustraction :
De tout ce qui a été dit, la règle pour les opérations avec des nombres mixtes suit :
- Si vous devez soustraire un entier d'une expression fractionnaire, vous n'avez pas besoin de représenter le deuxième nombre sous forme de fraction ; il suffit d'effectuer l'opération uniquement sur les parties entières.
Essayons de calculer nous-mêmes le sens des expressions :
Faisons le tri plus d'exemple sous la lettre "m":
4 5/11-2 8/11, le numérateur de la première fraction est inférieur à celui de la seconde. Pour ce faire, on emprunte un entier à la première fraction, on obtient,
3 5/11+11/11=3 entier 16/11, soustrayez la seconde de la première fraction :
3 16/11-2 8/11=1 entier 8/11
- Soyez prudent lorsque vous accomplissez la tâche, n'oubliez pas de convertir les fractions impropres en fractions mixtes, en mettant en évidence la partie entière. Pour cela, il faut diviser la valeur du numérateur par la valeur du dénominateur, ce que vous obtenez remplace la partie entière, le reste sera le numérateur, par exemple :
19/4=4 ¾, vérifions : 4*4+3=19, le dénominateur 4 reste inchangé.
Résumons :
Avant de commencer une tâche liée aux fractions, il est nécessaire d'analyser de quel type d'expression il s'agit, quelles transformations doivent être apportées à la fraction pour que la solution soit correcte. Recherchez une solution plus rationnelle. N'allez pas par la voie difficile. Planifiez toutes les actions, résolvez-les d'abord sous forme de brouillon, puis transférez-les sur votre cahier d'écolier.
Pour éviter toute confusion lors de la résolution d'expressions fractionnaires, vous devez suivre la règle de cohérence. Décidez de tout avec soin, sans vous précipiter.
Contenu de la leçonAdditionner des fractions avec des dénominateurs similaires
Il existe deux types d'addition de fractions :
- Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
- Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :
Exemple 2. Ajoutez des fractions et .
La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux égale un :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :
Exemple 3. Ajoutez des fractions et .
Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :
Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez une pizza à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;
Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.
Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.
Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.
L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.
Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.
Exemple 1. Additionnons les fractions et
Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.
LCM (2 et 3) = 6
Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.
Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.
Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :
La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).
Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).
Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. DANS établissements d'enseignement Il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :
Mais il y a aussi revers médailles. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.
Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :
- Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
- Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
- Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
- Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression .
Utilisons les instructions données ci-dessus.
Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions
Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4
Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction
Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :
Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires
On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :
Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :
L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.
Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, surlignez toute la partie de celle-ci.
Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :
Nous avons reçu une réponse
Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
Il existe deux types de soustraction de fractions :
- Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
- Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.
Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons ceci :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.
Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.
Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.
Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.
Exemple 1. Trouvez le sens de l’expression :
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).
Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.
LCM (3 et 4) = 12
Revenons maintenant aux fractions et
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :
On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :
Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Nous avons reçu une réponse
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza
Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :
La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :
La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).
Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.
Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au dessus de la deuxième fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. Le LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. On l'écrit au-dessus de la troisième fraction :
Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.
La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Que peut-on faire ? Vous pouvez raccourcir cette fraction.
Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.
On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :
Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10
Nous avons reçu une réponse
Multiplier une fraction par un nombre
Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur inchangé.
Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.
Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1
L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza
Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :
Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la fraction par 4
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières
Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :
Le nombre multiplié par la fraction et le dénominateur de la fraction sont résolus s'ils ont diviseur commun, supérieur à un.
Par exemple, une expression peut être évaluée de deux manières.
Première façon. Multipliez le nombre 4 par le numérateur de la fraction et laissez le dénominateur de la fraction inchangé :
Deuxième façon. Le quatre étant multiplié et le quatre au dénominateur de la fraction peut être réduit. Ces quatre peuvent être réduits de 4, puisque le plus grand diviseur commun à deux quatre est le quatre lui-même :
Nous avons obtenu le même résultat 3. Après avoir réduit les quatre, de nouveaux nombres se forment à leur place : deux uns. Mais multiplier un par trois, puis diviser par un ne change rien. La solution peut donc s’écrire brièvement :
La réduction peut être effectuée même lorsque nous avons décidé d'utiliser la première méthode, mais au stade de la multiplication du nombre 4 et du numérateur 3 nous avons décidé d'utiliser la réduction :
Mais par exemple, l'expression ne peut être calculée que de la première manière - multipliez 7 par le dénominateur de la fraction et laissez le dénominateur inchangé :
Cela est dû au fait que le nombre 7 et le dénominateur de la fraction n'ont pas de diviseur commun supérieur à un et ne s'annulent donc pas.
Certains élèves raccourcissent par erreur le nombre à multiplier et le numérateur de la fraction. Vous ne pouvez pas faire ça. Par exemple, l'entrée suivante n'est pas correcte :
Réduire une fraction signifie que à la fois numérateur et dénominateur sera divisé par le même nombre. Dans le cas de l'expression, la division est effectuée uniquement au numérateur, car l'écrire équivaut à écrire . Nous voyons que la division s'effectue uniquement au numérateur et qu'aucune division ne se produit au dénominateur.
Multiplier des fractions
Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.
Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.
Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire fraction donnée. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :
L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :
Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :
Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :
Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :
En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.
Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :
Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15
Représenter un nombre entier sous forme de fraction
Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :
Nombres réciproques
Maintenant, nous allons faire connaissance avec très sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des "numéros inversés".
Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.
Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :
Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.
Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :
Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :
Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :
Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.
L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.
Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.
Diviser une fraction par un nombre
Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?
On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.
L’une des choses les plus difficiles à comprendre pour un élève sont les diverses opérations avec des fractions simples. Cela est dû au fait qu’il est encore difficile pour les enfants de penser de manière abstraite et que les fractions, en fait, leur ressemblent exactement. Par conséquent, lors de la présentation du matériel, les enseignants ont souvent recours à des analogies et expliquent littéralement la soustraction et l'addition de fractions avec leurs doigts. Bien qu'aucune leçon de mathématiques à l'école ne soit complète sans règles et définitions.
Concepts de base
Avant de commencer, il est conseillé de comprendre quelques définitions et règles de base. Dans un premier temps, il est important de comprendre ce qu’est une fraction. Il fait référence à un nombre qui représente une ou plusieurs fractions d’une unité. Par exemple, si vous coupez un pain en 8 morceaux et que vous en mettez 3 tranches dans une assiette, alors 3/8 sera une fraction. De plus, dans cet écrit, ce sera une fraction simple, où le nombre au-dessus de la ligne est le numérateur et en dessous le dénominateur. Mais si vous l’écrivez sous la forme 0,375, ce sera déjà une fraction décimale.
De plus, les fractions simples sont divisées en fractions propres, impropres et mixtes. Les premiers incluent tous ceux dont le numérateur inférieur au dénominateur. Si au contraire le dénominateur est inférieur au numérateur, ce sera déjà une fraction impropre. Si le nombre correct est précédé d’un nombre entier, on parle de nombres mixtes. Ainsi, la fraction 1/2 est correcte, mais 7/2 ne l’est pas. Et si vous l'écrivez sous cette forme : 3 1/2, alors il deviendra mixte.
Pour mieux comprendre ce qu'est l'addition de fractions et pour l'effectuer facilement, il est également important de se rappeler son essence dans ce qui suit. Si le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre, la fraction ne change pas. C'est cette propriété qui permet d'effectuer des opérations simples avec des fractions ordinaires et autres. En fait, cela signifie que 1/15 et 3/45 sont essentiellement le même nombre.
Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
Effectuer cette action ne pose généralement pas beaucoup de difficultés. Dans ce cas, l’ajout de fractions est très similaire à une opération similaire avec des nombres entiers. Le dénominateur reste inchangé et les numérateurs sont simplement additionnés. Par exemple, si vous devez additionner les fractions 2/7 et 3/7, alors la solution au problème scolaire dans votre cahier ressemblera à ceci :
2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.
De plus, cette addition de fractions peut être expliquée par exemple simple. Prendre pomme ordinaire et coupé, par exemple, en 8 parties. Disposez d'abord 3 parties séparément, puis ajoutez-y 2 autres. En conséquence, la tasse contiendra 5/8 d'une pomme entière. Le problème arithmétique lui-même s’écrit comme suit :
3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.
Mais il existe souvent des problèmes plus complexes où vous devez additionner, par exemple 5/9 et 3/5. C'est là que surgissent les premières difficultés du travail avec les fractions. Après tout, l’ajout de tels nombres nécessitera des connaissances supplémentaires. Vous devrez désormais vous souvenir pleinement de leur propriété principale. Pour additionner des fractions de l'exemple, vous devez d'abord les ramener à un dénominateur commun. Pour ce faire, il suffit de multiplier 9 et 5 ensemble, de multiplier respectivement le numérateur « 5 » par 5 et « 3 » par 9. Ainsi, les fractions suivantes sont déjà additionnées : 25/45 et 27/45. . Il ne reste plus qu'à additionner les numérateurs et obtenir la réponse 52/45. Sur une feuille de papier, un exemple ressemblerait à ceci :
5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 1 7 / 45.
Mais pour additionner des fractions avec de tels dénominateurs, il ne suffit pas toujours de multiplier les nombres sous la ligne. Ils recherchent d’abord le plus petit dénominateur commun. Par exemple, comme pour les fractions 2/3 et 5/6. Pour eux ce sera le chiffre 6. Mais la réponse n’est pas toujours évidente. Dans ce cas, il convient de rappeler la règle permettant de trouver le plus petit commun multiple (en abrégé LCM) de deux nombres.
Il s’entend comme le plus petit facteur commun de deux nombres entiers. Pour le trouver, ils décomposent chacun en facteurs premiers. Notez maintenant ceux d’entre eux qui apparaissent au moins une fois dans chaque numéro. Ils les multiplient ensemble et obtiennent le même dénominateur. En réalité, tout semble un peu plus simple.
Par exemple, vous devez additionner les fractions 4/15 et 1/6. Donc 15 s'obtient en multipliant nombres simples 3 et 5, et six font deux et trois. Cela signifie que le LCM pour eux sera de 5 x 3 x 2 = 30. Maintenant, en divisant 30 par le dénominateur de la première fraction, nous obtenons le multiplicateur de son numérateur - 2. Et pour la deuxième fraction, ce sera le nombre 5. . Ainsi, il ne reste plus qu'à additionner les fractions ordinaires 8/30 et 5/30 et obtenir une réponse de 13/30. Tout est extrêmement simple. Dans votre cahier, vous devez écrire cette tâche comme ceci :
4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.
LCM(15, 6) = 30.
Ajout de nombres mixtes
Maintenant que vous connaissez toutes les techniques de base pour additionner des fractions simples, vous pouvez vous essayer à des exemples plus complexes. Et ce seront des nombres fractionnaires, ce qui signifie une fraction de cette forme : 2 2 / 3. Ici, la partie entière est écrite avant la fraction appropriée. Et beaucoup de gens sont confus lorsqu'ils effectuent des actions avec de tels chiffres. En réalité, les mêmes règles s'appliquent ici.
Pour additionner des nombres fractionnaires, additionnez séparément les parties entières et les fractions propres. Et puis ces 2 résultats sont résumés. En pratique, tout est beaucoup plus simple, il suffit de s'entraîner un peu. Par exemple, le problème nécessite d'ajouter les nombres fractionnaires suivants : 1 1/3 et 4 2/5. Pour ce faire, ajoutez d’abord 1 et 4 pour obtenir 5. Ajoutez ensuite 1/3 et 2/5 en utilisant les techniques du plus petit dénominateur commun. La solution sera le 15/11. Et la réponse finale est 5 11/15. Dans un cahier d'écolier, cela paraîtra beaucoup plus court :
1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .
Ajouter des décimales
En plus des fractions ordinaires, il existe également des décimales. Soit dit en passant, ils sont beaucoup plus courants dans la vie. Par exemple, le prix dans un magasin ressemble souvent à ceci : 20,3 roubles. C'est la même fraction. Bien sûr, ceux-ci sont beaucoup plus faciles à plier que les modèles ordinaires. En gros, il suffit d'ajouter 2 nombres ordinaires, l'essentiel est de mettre une virgule au bon endroit. C'est là que surgissent les difficultés.
Par exemple, vous devez ajouter 2,5 et 0,56. Pour le faire correctement, vous devez ajouter un zéro au premier à la fin, et tout ira bien.
2,50 + 0,56 = 3,06.
Il est important de savoir que n’importe quelle décimale peut être convertie en fraction, mais que toutes les fractions ne peuvent pas être écrites sous forme décimale. Ainsi, d'après notre exemple, 2,5 = 2 1/2 et 0,56 = 14/25. Mais une fraction comme 1/6 ne sera qu’approximativement égale à 0,16667. La même situation se produira avec d'autres nombres similaires - 2/7, 1/9 et ainsi de suite.
Conclusion
De nombreux écoliers ne comprennent pas côté pratique opérations avec des fractions, traitez ce sujet avec négligence. Pourtant, ces connaissances de base vous permettront de cliquer comme des fous exemples complexes avec des logarithmes et trouver des dérivées. Par conséquent, cela vaut la peine de bien comprendre une fois les opérations avec des fractions, afin de ne pas vous mordre les coudes de frustration plus tard. Après tout, il est peu probable qu’un enseignant du secondaire revienne sur ce sujet déjà abordé. Tout lycéen devrait être capable de réaliser de tels exercices.
Les fractions sont des nombres ordinaires et peuvent également être additionnées et soustraites. Mais comme ils ont un dénominateur, ils nécessitent des règles plus complexes que pour les nombres entiers.
Considérons le cas le plus simple, lorsqu'il existe deux fractions avec les mêmes dénominateurs. Alors:
Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé.
Pour soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction, et encore une fois laisser le dénominateur inchangé.
Dans chaque expression, les dénominateurs des fractions sont égaux. Par définition de l'addition et de la soustraction de fractions, nous obtenons :
Comme vous pouvez le constater, ce n’est rien de compliqué : on ajoute ou soustrait simplement les numérateurs et c’est tout.
Mais même dans un tel gestes simples les gens parviennent à faire des erreurs. Ce qu’on oublie le plus souvent, c’est que le dénominateur ne change pas. Par exemple, en les additionnant, ils commencent également à s'additionner, ce qui est fondamentalement faux.
Se débarrasser de la mauvaise habitude d’ajouter des dénominateurs est assez simple. Essayez la même chose lors de la soustraction. En conséquence, le dénominateur sera nul et la fraction perdra (du coup !) son sens.
N'oubliez donc pas une fois pour toutes : lors de l'addition et de la soustraction, le dénominateur ne change pas !
De nombreuses personnes font également des erreurs en additionnant plusieurs fractions négatives. Il y a une confusion avec les signes : où mettre un moins et où mettre un plus.
Ce problème est également très simple à résoudre. Il suffit de rappeler que le moins avant le signe d'une fraction peut toujours être transféré au numérateur - et vice versa. Et bien sûr, n’oubliez pas deux règles simples :
- Plus par moins donne moins ;
- Deux négatifs font un affirmatif.
Regardons tout cela avec des exemples précis :
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Dans le premier cas tout est simple, mais dans le second on introduit des moins dans les numérateurs des fractions :
Que faire si les dénominateurs sont différents
Vous ne pouvez pas additionner directement des fractions avec des dénominateurs différents. En tout cas, cette méthode m'est inconnue. Cependant, les fractions originales peuvent toujours être réécrites pour que les dénominateurs deviennent les mêmes.
Il existe de nombreuses façons de convertir des fractions. Trois d'entre eux sont abordés dans la leçon « Réduire des fractions à un dénominateur commun », nous ne nous y attarderons donc pas ici. Regardons quelques exemples :
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Dans le premier cas, on réduit les fractions à un dénominateur commun en utilisant la méthode des « entrecroisés ». Dans la seconde, nous chercherons le CNO. Notez que 6 = 2 · 3 ; 9 = 3 · 3. Les derniers facteurs de ces développements sont égaux et les premiers sont relativement premiers. Par conséquent, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Que faire si une fraction a une partie entière
Je peux vous plaire : les dénominateurs différents dans les fractions ne sont pas le plus grand mal. Beaucoup plus d'erreurs se produisent lorsque la partie entière est mise en évidence dans les fractions additionnelles.
Bien sûr, il existe ses propres algorithmes d'addition et de soustraction pour de telles fractions, mais ils sont assez complexes et nécessitent une longue étude. Meilleure utilisation diagramme simple, donné ci-dessous :
- Convertissez toutes les fractions contenant une partie entière en fractions impropres. On obtient des termes normaux (même avec des dénominateurs différents), qui sont calculés selon les règles évoquées ci-dessus ;
- En fait, calculez la somme ou la différence des fractions résultantes. En conséquence, nous trouverons pratiquement la réponse ;
- Si c'est tout ce qui était requis dans le problème, nous effectuons la transformation inverse, c'est-à-dire On se débarrasse d'une fraction impropre en mettant en évidence la partie entière.
Les règles pour passer aux fractions impropres et mettre en évidence la partie entière sont décrites en détail dans la leçon « Qu'est-ce qu'une fraction numérique ». Si vous ne vous en souvenez pas, assurez-vous de le répéter. Exemples :
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Tout est simple ici. Les dénominateurs à l'intérieur de chaque expression sont égaux, il ne reste donc plus qu'à convertir toutes les fractions en fractions impropres et à compter. Nous avons:
Pour simplifier les calculs, j'ai sauté certaines étapes évidentes dans les derniers exemples.
Une petite note à propos de deux derniers exemples, où les fractions dont la partie entière est mise en évidence sont soustraites. Le moins avant la deuxième fraction signifie que c'est la fraction entière qui est soustraite, et pas seulement sa partie entière.
Relisez cette phrase, regardez les exemples – et réfléchissez-y. C'est là que les débutants admettent quantité énorme erreurs. Ils adorent confier de telles tâches à essais. Vous les rencontrerez également à plusieurs reprises dans les tests de cette leçon, qui sera publiée prochainement.
Résumé : schéma général de calcul
En conclusion, je vais donner un algorithme général qui vous aidera à trouver la somme ou la différence de deux fractions ou plus :
- Si une ou plusieurs fractions ont une partie entière, convertissez ces fractions en fractions impropres ;
- Ramenez toutes les fractions à un dénominateur commun de la manière qui vous convient (à moins, bien sûr, que les auteurs des problèmes ne l'aient fait) ;
- Ajoutez ou soustrayez les nombres résultants selon les règles d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs similaires ;
- Si possible, raccourcissez le résultat. Si la fraction est incorrecte, sélectionnez la partie entière.
N'oubliez pas qu'il est préférable de mettre en évidence toute la partie à la toute fin du problème, juste avant d'écrire la réponse.
Trouvez le numérateur et le dénominateur. Une fraction comprend deux nombres : le nombre situé au-dessus de la ligne est appelé numérateur et le nombre situé en dessous de la ligne est appelé dénominateur. Le dénominateur représente quantité totale parties en lesquelles un tout est divisé, et le numérateur est le nombre considéré de ces parties.
- Par exemple, dans la fraction ½, le numérateur est 1 et le dénominateur est 2.
Déterminez le dénominateur. Si deux fractions ou plus ont un dénominateur commun, ces fractions ont le même numéro sous la ligne, c'est-à-dire que dans ce cas, un certain tout est divisé en le même nombre de parties. Ajouter des fractions avec un dénominateur commun est très simple, puisque le dénominateur de la fraction additionnée sera le même que les fractions ajoutées. Par exemple:
- Les fractions 3/5 et 2/5 ont un dénominateur commun de 5.
- Les fractions 3/8, 5/8, 17/8 ont un dénominateur commun de 8.
Déterminez les numérateurs. Pour additionner des fractions avec un dénominateur commun, additionnez leurs numérateurs et écrivez le résultat au-dessus du dénominateur des fractions à additionner.
- Les fractions 3/5 et 2/5 ont les numérateurs 3 et 2.
- Les fractions 3/8, 5/8, 17/8 ont les numérateurs 3, 5, 17.
Additionnez les numérateurs. Dans le problème 3/5 + 2/5, additionnez les numérateurs 3 + 2 = 5. Dans le problème 3/8 + 5/8 + 17/8, additionnez les numérateurs 3 + 5 + 17 = 25.
Notez la fraction totale. N'oubliez pas que lors de l'addition de fractions avec un dénominateur commun, celui-ci reste inchangé - seuls les numérateurs sont ajoutés.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Convertissez la fraction si nécessaire. Parfois, une fraction peut être écrite sous forme de nombre entier plutôt que sous forme de fraction ou de nombre décimal. Par exemple, la fraction 5/5 peut facilement être convertie en 1, puisque toute fraction dont le numérateur est égal à son dénominateur est 1. Imaginez un gâteau coupé en trois parties. Si vous mangez les trois parts, vous aurez mangé la tarte entière (une).
- N'importe quelle fraction peut être convertie en nombre décimal ; Pour ce faire, divisez le numérateur par le dénominateur. Par exemple, la fraction 5/8 peut s'écrire comme suit : 5 ÷ 8 = 0,625.
Si possible, simplifiez la fraction. Une fraction simplifiée est une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs.
- Par exemple, considérons la fraction 3/6. Ici, le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun égal à 3, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur sont complètement divisibles par 3. Par conséquent, la fraction 3/6 peut s'écrire comme suit : 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .
Si nécessaire, convertissez la fraction impropre en fraction mixte(numéro mixte). Une fraction impropre a un numérateur supérieur à son dénominateur, par exemple 25/8 (une fraction propre a un numérateur inférieur à son dénominateur). Une fraction impropre peut être convertie en une fraction mixte, composée d'une partie entière (c'est-à-dire un nombre entier) et d'une partie fractionnaire (c'est-à-dire une fraction propre). Pour convertir une fraction impropre, telle que 25/8, en un nombre fractionnaire, procédez comme suit :
- Divisez le numérateur d'une fraction impropre par son dénominateur ; notez le quotient incomplet (réponse complète). Dans notre exemple : 25 ÷ 8 = 3 plus un reste. Dans ce cas, la réponse entière est la partie entière du nombre fractionnaire.
- Trouvez le reste. Dans notre exemple : 8 x 3 = 24 ; soustrayez le résultat obtenu du numérateur d'origine : 25 - 24 = 1, c'est-à-dire que le reste est 1. Dans ce cas, le reste est le numérateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire.
- Écrivez la fraction mixte. Le dénominateur ne change pas (c'est-à-dire qu'il est égal au dénominateur de la fraction impropre), donc 25/8 = 3 1/8.