Dans cet article, nous parlerons de nombres mixtes. Tout d’abord, définissons les nombres fractionnaires et donnons des exemples. Examinons ensuite le lien entre les nombres fractionnaires et les fractions impropres. Après cela, nous te montrerons comment convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre. Enfin, étudions le processus inverse, appelé séparation de la partie entière d'une fraction impropre.
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Nombres mixtes, définition, exemples
Les mathématiciens ont convenu que la somme n+a/b, où n est un nombre naturel et a/b est une fraction propre, peut être écrite sans le signe d'addition dans la forme. Par exemple, la somme 28+5/7 peut être brièvement écrite sous la forme . Un tel enregistrement était appelé mixte, et le numéro qui correspond à cet enregistrement mixte était appelé nombre mixte.
C’est ainsi que nous arrivons à la définition d’un nombre mixte.
Définition.
Numéro mixte- c'est le numéro égal à la somme nombre naturel n et fraction ordinaire propre a/b, et écrit sous la forme . Dans ce cas, le nombre n est appelé partie entière du nombre, et le nombre a/b est appelé partie fractionnaire d'un nombre.
Par définition, un nombre fractionnaire est égal à la somme de ses parties entière et fractionnaire, c'est-à-dire que l'égalité est valable, ce qui peut s'écrire ainsi : .
Donne moi exemples de nombres fractionnaires. Le nombre est un nombre mixte entier naturel 5 est la partie entière du nombre et est la partie fractionnaire du nombre. D'autres exemples de nombres fractionnaires sont .
Parfois, vous pouvez trouver des nombres en notation mixte, mais ayant une fraction impropre comme fraction, par exemple, ou. Ces nombres s'entendent comme la somme de leurs parties entières et fractionnaires, par exemple, Et . Mais de tels nombres ne correspondent pas à la définition d'un nombre fractionnaire, puisque la partie fractionnaire des nombres fractionnaires doit être une fraction propre.
Le nombre n’est pas non plus un nombre mixte, puisque 0 n’est pas un nombre naturel.
La relation entre les nombres fractionnaires et les fractions impropres
Suivre lien entre les nombres fractionnaires et les fractions impropres mieux avec des exemples.
Qu'il y ait un gâteau et encore 3/4 du même gâteau sur le plateau. Autrement dit, selon le sens de l'addition, il y a 1+3/4 gâteaux sur le plateau. Après avoir noté le dernier montant sous forme de nombre fractionnaire, nous déclarons qu'il y a un gâteau sur le plateau. Coupez maintenant le gâteau entier en 4 parties égales. En conséquence, il y aura 7/4 du gâteau sur le plateau. Force est de constater que la « quantité » du gâteau n’a pas changé, donc.
De l'exemple considéré, la connexion suivante est clairement visible : Tout nombre fractionnaire peut être représenté comme une fraction impropre.
Maintenant, qu'il y ait 7/4 du gâteau sur le plateau. Après avoir plié un gâteau entier en quatre parties, il y aura 1 + 3/4 sur le plateau, c'est-à-dire un gâteau. Il ressort clairement de cela.
De cet exemple, il ressort clairement que Une fraction impropre peut être représentée par un nombre fractionnaire. (Dans le cas particulier où le numérateur d'une fraction impropre est divisé également par le dénominateur, la fraction impropre peut être représentée comme un nombre naturel, par exemple puisque 8:4 = 2).
Conversion d'un nombre fractionnaire en fraction impropre
Pour l'exécution diverses actions Avec les nombres fractionnaires, la capacité de représenter les nombres fractionnaires sous forme de fractions impropres est utile. Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que tout nombre fractionnaire peut être converti en fraction impropre. Il est temps de comprendre comment une telle traduction est réalisée.
Écrivons un algorithme montrant comment convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre:
Regardons un exemple de conversion d'un nombre fractionnaire en fraction impropre.
Exemple.
Exprimez un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre.
Solution.
Effectuons toutes les étapes nécessaires de l'algorithme.
Un nombre fractionnaire est égal à la somme de ses parties entière et fractionnaire : .
Après avoir écrit le nombre 5 sous la forme 5/1, la dernière somme prendra la forme .
Pour finir de convertir le nombre fractionnaire d'origine en une fraction impropre, il ne reste plus qu'à additionner des fractions de dénominateurs différents : .
Un bref résumé de l’ensemble de la solution est : .
Répondre:
Ainsi, pour convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre, vous devez effectuer la chaîne d'actions suivante : . Enfin reçu , que nous utiliserons plus loin.
Exemple.
Écrivez le nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre.
Solution.
Utilisons la formule pour convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre. Dans cet exemple n=15 , a=2 , b=5 . Ainsi, .
Répondre:
Séparer la partie entière d'une fraction impropre
Il n’est pas habituel d’écrire une fraction impropre dans la réponse. La fraction impropre est d'abord remplacée soit par un nombre naturel égal (lorsque le numérateur est divisible par le dénominateur), soit la soi-disant séparation de la partie entière de la fraction impropre est effectuée (lorsque le numérateur n'est pas divisible par le dénominateur ).
Définition.
Séparer la partie entière d'une fraction impropre- Il s'agit du remplacement d'une fraction par un nombre fractionnaire égal.
Reste à savoir comment isoler la partie entière d'une fraction impropre.
C'est très simple : la fraction impropre a/b est égale à un nombre fractionnaire de la forme où q est le quotient partiel et r est le reste lorsque a est divisé par b. C'est-à-dire que la partie entière est égale au quotient incomplet de la division a par b, et le reste est égal au numérateur de la partie fractionnaire.
Prouvons cette affirmation.
Pour ce faire, il suffit de le montrer. Convertissons le mixte en une fraction impropre comme nous l'avons fait dans le paragraphe précédent : . Puisque q est un quotient incomplet et que r est le reste de la division de a par b, alors l'égalité a=b·q+r est vraie (si nécessaire, voir
Comment séparer la partie entière d’une fraction impropre ? Pour isoler la partie entière d'une fraction impropre, il faut : Diviser le numérateur par le dénominateur avec le reste ; Un quotient incomplet sera une partie entière ; Le reste (s'il y en a un) est donné par le numérateur et le diviseur est le dénominateur de la fraction. Numéros complets 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.
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« Notes de cours de mathématiques » - Suivez l'exemple. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (au tableau) d) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, g, h (au tableau). 12 kg de concombres ont été récoltés dans le jardin. Les 2/3 de tous les concombres étaient marinés. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Montrez la fraction 2/8+3/8. Formulez la règle de soustraction. Apprendre du nouveau matériel :
"Comparer des fractions décimales" - Le but de la leçon. Comparez les nombres : Comptage mental. 9,85 et 6,97 ; 75,7 et 75,700 ; 0,427 et 0,809 ; 5.3 et 5.03 ; 81.21 et 81.201 ; 76.005 et 76.05 ; 3,25 et 3,502 ; Lire les fractions : 41,1 ; 77,81 ; 21.005 ; 0,0203. 41.1 ; 77,81 ; 21.005 ; 0,0203. Égalisez le nombre de décimales. Plan de cours. Places des fractions décimales. Cours de renforcement en 5ème.
"Règles d'arrondi des nombres" - 1.8. 48. Bravo ! 3. 3. Apprenez à appliquer la règle d'arrondi à l'aide d'exemples. Essayez de comparer. Arrondissez les nombres entiers à la dizaine la plus proche. 1. N'oubliez pas la règle d'arrondi des nombres. Est-il pratique de travailler avec un tel numéro ? Cent millièmes. 3. Notez le résultat. 5312. >. 2. Dérivez une règle pour arrondir les fractions décimales à un chiffre donné.
"Ajouter des nombres fractionnaires" - 25. Exemple 4. Trouver la valeur de la différence 3 4\9-1 5\6. 3 4\9=3 818 ; 1 5\6=1 15\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Notes de cours en 6e
Cours de mathématiques en 4ème
sujet:
Sujet de cours : Isoler la partie entière d'une fraction impropre.
Objectif didactique : créer les conditions pour la formation d'un nouveau informations pédagogiques.
Buts et objectifs de la leçon :
1. Formez le concept d'un nombre fractionnaire.
2. Développer la capacité d'isoler une partie entière d'une fraction impropre.
3. Développer des compétences informatiques.
4. Développer la capacité d'analyser et de résoudre des problèmes de mots pour trouver une partie d'un nombre et
chiffres de sa part.
5. Développer pensée logiqueétudiants.
Acquis d'apprentissage prévus, formation de l'UUD :
Sujet : élargir le concept de nombre, développer des compétences dans la traduction de fractions impropres
en nombre mixte et appliquer les connaissances et les compétences acquises lors de l'exécution de diverses tâches.
Méta-sujet : développer la capacité de voir un problème mathématique dans le contexte du problème
situations dans d'autres disciplines, dans la vie environnante.
UUD cognitive : développer des idées sur les nombres ; capacité à travailler avec un manuel,
sources d'informations supplémentaires (analyser,
extraire le nécessaire
information); la capacité de faire des généralisations, des conclusions et d’établir des relations de cause à effet.
UUD communicative : cultiver le respect de l'autre, développer la capacité d'entrer dans
dialogue pédagogique avec l'enseignant, avec les camarades de classe, dans le respect des normes de comportement de parole, de capacité
poser des questions, écouter et répondre aux questions des autres, la capacité de formuler une hypothèse.
UUD réglementaire :
déterminer le but de la tâche, apprendre à planifier les étapes de travail,
contrôler vos actions, détecter et corriger les erreurs, évaluer de manière critique
les résultats de leur travail et du travail de chacun, sur la base des critères existants, forment
la capacité de mobiliser force et énergie, pour surmonter les obstacles.
Objectifs éducatifs personnels : former la motivation pédagogique, l'initiative, développer les compétences
discours mathématique oral et écrit compétent, capacité d’auto-évaluation de ses actions.
Ressources : projecteur multimédia, présentation.
Type de cours : apprentissage de nouveau matériel.
Étape de la leçon
Activités des enseignants
Activité étudiante
Organisationnel
moment
Salutations, vérifiez
préparation à la formation
profession, organisation de l'attention
enfants.
.
Inclus dans les affaires
rythme de la leçon.
Utilisé
méthodes, techniques,
formes
Verbal
UUD formé
Être capable de rédiger votre
pensées verbalement
(UUD communicative).
L'écoute et
comprendre le discours des autres
(UUD communicative).
Comme vous l'aurez compris d'après ce que vous lisez,
aujourd'hui en classe nous continuerons
travailler sur les fractions.
Les gars, en classe vous devriez
découvrir de nouvelles connaissances, mais comment
connu, chaque nouvelle connaissance
en rapport avec ce que nous avons déjà appris.
Nous commencerons donc par la répétition.
Comptage verbal
Mise à jour
connaissances et
compétences
Pratique
Les réponses sont enregistrées dans
colonne,
vérifiez les réponses en
diapositives.
sur
leçon
prononcer
Être capable de
sous-séquence
Actions
(UUD Réglementaire).
Être capable de se transformer
informations d'un
formulaires à un autre
(UUD cognitive)
.Être capable de rédiger votre
pensées à l'oral et à l'écrit
formulaire (Communication
UUD).
Sondage éclair :
Quelles règles appliquez-vous
utilisé lorsque :
1. Trouvez la somme des fractions.
2. Trouvez la différence des fractions.
3. Trouvez le numéro par pièce.
4. Recherchez la pièce par numéro.
Ils disent les règles.
Participer à une conversation avec
professeur.
Être capable de rédiger votre
pensées verbalement
(UUD communicative).
Être capable de naviguer
votre système de connaissances :
distinguer le nouveau du déjà
connu avec
enseignants
(Cognitif
UUD).
L'écoute et
comprendre le discours des autres
(UUD communicative).
Tsélépolagani
e et motivation
3. Énoncé du problème
Verbal
Être capable de rédiger votre
pensées verbalement
(UUD communicative).
Être capable de naviguer
.
.
votre système de connaissances :
distinguer le nouveau du déjà
connu avec
(Cognitif
enseignants
UUD).
Les enfants expriment
choix
leur
les décisions.
4. « Formulation du problème et
Objectifs de la leçon
Sélectionnez une fraction entière de cette fraction
Partie. Qu'offres-tu?
Selon vous, quel est le but ?
allons-nous donner une leçon?
Un objectif est formulé
leçon et sujet
par les étudiants.
Objectif : apprendre
mettre en évidence une partie entière
à partir d'une fraction impropre
Verbal,
pratique
Pouvoir en obtenir de nouveaux
connaissances : trouver des réponses à
des questions à l'aide du manuel,
votre expérience de vie et
informations reçues sur
(Cognitif
leçon
UUD).
Être capable de rédiger votre
pensées sous forme orale;
écouter et comprendre la parole
(Communicatif
autres
UUD).
Donc toute fraction impropre
peut être représenté sous la forme
nombre mixte.
Toute la partie est naturelle
nombre et la partie fractionnaire
fraction appropriée.
.
.
Élaboration d'un algorithme.
Verbalement
clairement
pratique,
reproducteur
analyse
travail
leçon
prononcer
Par
Être capable de
compilé collectivement
plan (UUD Réglementaire).
Être capable de
sous-séquence
Actions
(UUD Réglementaire).
Être capable de rédiger votre
pensées à l'oral et à l'écrit
formulaire; écouter et comprendre
discours
autres
(UUD communicative)
Être capable de
sous-séquence
Actions
(UUD Réglementaire).
Être capable de faire le travail
proposé
plan
(UUD Réglementaire).
prononcer
leçon
sur
Assimilation
nouvelle connaissance
et les moyens
assimilation
5.Découverte de quelque chose de nouveau :
Explication au tableau.
Écrivez la fraction 16/5 sous la forme
privé
Quelle règle as-tu utilisée ?
à partir d'une fraction impropre
sélectionner une partie entière
Pour sortir du mal
sélectionner des fractions entières
pièce nécessaire :
diviser avec le reste
numérateur activé
dénominateur;
reçu incomplet
écrire le quotient dans
Être capable de faire le nécessaire
ajustements en vigueur
après son achèvement le
Comment séparer la partie entière d’une fraction impropre ? Pour isoler la partie entière d'une fraction impropre, il faut : Diviser le numérateur par le dénominateur avec le reste ; Un quotient incomplet sera une partie entière ; Le reste (s'il y en a un) est donné par le numérateur et le diviseur est le dénominateur de la fraction. Numéros complets 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.
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« Notes de cours de mathématiques » - Suivez l'exemple. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (au tableau) d) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, g, h (au tableau). 12 kg de concombres ont été récoltés dans le jardin. Les 2/3 de tous les concombres étaient marinés. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Montrez la fraction 2/8+3/8. Formulez la règle de soustraction. Apprendre du nouveau matériel :
"Comparer des fractions décimales" - Le but de la leçon. Comparez les nombres : Comptage mental. 9,85 et 6,97 ; 75,7 et 75,700 ; 0,427 et 0,809 ; 5.3 et 5.03 ; 81.21 et 81.201 ; 76.005 et 76.05 ; 3,25 et 3,502 ; Lire les fractions : 41,1 ; 77,81 ; 21.005 ; 0,0203. 41.1 ; 77,81 ; 21.005 ; 0,0203. Égalisez le nombre de décimales. Plan de cours. Places des fractions décimales. Cours de renforcement en 5ème.
"Règles d'arrondi des nombres" - 1.8. 48. Bravo ! 3. 3. Apprenez à appliquer la règle d'arrondi à l'aide d'exemples. Essayez de comparer. Arrondissez les nombres entiers à la dizaine la plus proche. 1. N'oubliez pas la règle d'arrondi des nombres. Est-il pratique de travailler avec un tel numéro ? Cent millièmes. 3. Notez le résultat. 5312. >. 2. Dérivez une règle pour arrondir les fractions décimales à un chiffre donné.
"Ajouter des nombres fractionnaires" - 25. Exemple 4. Trouver la valeur de la différence 3 4\9-1 5\6. 3 4\9=3 818 ; 1 5\6=1 15\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Notes de cours en 6e
Voulez-vous vous sentir comme un sapeur ? Alors cette leçon est pour vous ! Parce que maintenant nous allons étudier les fractions - ce sont des objets mathématiques si simples et inoffensifs qui, en termes de capacité à « époustoufler », sont supérieurs au reste du cours d'algèbre.
Le principal danger des fractions est qu'elles se produisent dans vrai vie. C'est en quoi ils diffèrent, par exemple, des polynômes et des logarithmes, que vous pouvez étudier et facilement oublier après l'examen. Par conséquent, le matériel présenté dans cette leçon peut, sans exagération, être qualifié d'explosif.
Une fraction numérique (ou simplement une fraction) est une paire d'entiers écrits séparés par une barre oblique ou une barre horizontale.
Fractions écrites sur une ligne horizontale :
Les mêmes fractions écrites avec une barre oblique :
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.
Les fractions sont généralement écrites sur une ligne horizontale - il est plus facile de travailler avec elles de cette façon et elles sont plus belles. Le nombre écrit en haut s'appelle le numérateur de la fraction et le nombre écrit en dessous s'appelle le dénominateur.
Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction avec un dénominateur de 1. Par exemple, 12 = 12/1 est la fraction de l'exemple ci-dessus.
En général, vous pouvez mettre n’importe quel nombre entier au numérateur et au dénominateur d’une fraction. La seule limite est que le dénominateur doit être différent de zéro. Souviens-toi du vieux bonne règle: "On ne peut pas diviser par zéro !"
Si le dénominateur a toujours un zéro, la fraction est appelée fraction indéfinie. Un tel enregistrement n’a aucun sens et ne peut pas être utilisé dans les calculs.
La propriété principale d'une fraction
Les fractions a /b et c /d sont dites égales si ad = bc.
De cette définition il résulte qu’une même fraction peut s’écrire de différentes manières. Par exemple, 1/2 = 2/4, puisque 1 4 = 2 2. Bien sûr, il existe de nombreuses fractions qui ne sont pas égales les unes aux autres. Par exemple, 1/3 ≠ 5/4, puisque 1 4 ≠ 3 5.
Une question raisonnable se pose : comment trouver toutes les fractions égales à une fraction donnée ? Nous donnons la réponse sous forme de définition :
La propriété principale d'une fraction est que le numérateur et le dénominateur peuvent être multipliés par le même nombre autre que zéro. Cela donnera une fraction égale à celle donnée.
C'est une propriété très importante - rappelez-vous-en. En utilisant la propriété de base d’une fraction, vous pouvez simplifier et raccourcir de nombreuses expressions. À l'avenir, il « apparaîtra » constamment sous la forme de diverses propriétés et théorèmes.
Fractions impropres. Sélection d'une pièce entière
Si le numérateur inférieur au dénominateur, une telle fraction est dite propre. Sinon (c'est-à-dire lorsque le numérateur est supérieur ou au moins égal au dénominateur), la fraction est dite impropre et une partie entière peut y être distinguée.
La partie entière est écrite avec un grand chiffre devant la fraction et ressemble à ceci (marqué en rouge) :
Pour isoler toute la partie d'une fraction impropre, vous devez suivre trois étapes simples :
- Trouvez combien de fois le dénominateur rentre dans le numérateur. En d’autres termes, trouvez l’entier maximum qui, multiplié par le dénominateur, sera toujours inférieur au numérateur (au plus égal). Ce nombre sera la partie entière, on l'écrit donc devant ;
- Multipliez le dénominateur par la partie entière trouvée à l'étape précédente et soustrayez le résultat du numérateur. Le « stub » résultant est appelé le reste de la division ; il sera toujours positif (dans les cas extrêmes, zéro). On l'écrit au numérateur de la nouvelle fraction ;
- Nous réécrivons le dénominateur sans changement.
Eh bien, est-ce difficile ? À première vue, cela peut être difficile. Mais avec un peu de pratique, vous parviendrez à le faire quasiment oralement. En attendant, jetez un œil aux exemples :
Tâche. Sélectionnez la pièce entière dans les fractions indiquées :
Dans tous les exemples, la partie entière est surlignée en rouge et le reste de la division est surligné en vert.
Faites attention à la dernière fraction, où le reste de la division s'avère être égal à zéro. Il s'avère que le numérateur est complètement divisé par le dénominateur. C'est tout à fait logique, car 24 : 6 = 4 est une donnée concrète de la table de multiplication.
Si tout est fait correctement, le numérateur de la nouvelle fraction sera certainement inférieur au dénominateur, c'est-à-dire la fraction deviendra correcte. Je noterai également qu'il vaut mieux mettre en évidence toute la partie à la toute fin du problème, avant d'écrire la réponse. Sinon, les calculs peuvent être considérablement compliqués.
Aller à une fraction impropre
Il y a aussi une opération inverse, où l'on se débarrasse de la pièce entière. C'est ce qu'on appelle la transition de fraction impropre et c'est beaucoup plus courant car travailler avec des fractions impropres est beaucoup plus facile.
Le passage à une fraction impropre s'effectue également en trois étapes :
- Multipliez la partie entière par le dénominateur. Le résultat peut être des chiffres assez importants, mais cela ne devrait pas nous déranger ;
- Ajoutez le nombre obtenu au numérateur de la fraction d'origine. Écrivez le résultat au numérateur de la fraction impropre ;
- Réécrivez le dénominateur - encore une fois, sans changement.
Voici des exemples précis :
Tâche. Convertir en fraction impropre :
Pour plus de clarté, la partie entière est à nouveau surlignée en rouge et le numérateur de la fraction d'origine est surligné en vert.
Considérons le cas où le numérateur ou le dénominateur d'une fraction contient un nombre négatif. Par exemple:
En principe, il n’y a rien de criminel là-dedans. Cependant, travailler avec de telles fractions peut s’avérer peu pratique. Par conséquent, en mathématiques, il est d'usage de placer des moins comme signes de fraction.
C'est très simple à faire si vous vous souvenez des règles :
- "Plus pour moins donne moins." Par conséquent, si le numérateur contient un nombre négatif et que le dénominateur contient un nombre positif (ou vice versa), n'hésitez pas à rayer le moins et à le placer devant la fraction entière ;
- "Deux négatifs font un affirmatif". Lorsqu'il y a un moins au numérateur et au dénominateur, nous les biffons simplement - non actions supplémentaires non requis.
Bien entendu, ces règles peuvent également s’appliquer dans le sens inverse, c’est-à-dire Vous pouvez saisir un signe moins sous le signe de la fraction (le plus souvent au numérateur).
Nous ne considérons délibérément pas le cas du «plus sur plus» - avec cela, je pense, tout est clair. Voyons comment ces règles fonctionnent dans la pratique :
Tâche. Retirez les négatifs des quatre fractions écrites ci-dessus.
Faites attention à la dernière fraction : il y a déjà un signe moins devant elle. Cependant, il est « brûlé » selon la règle « moins pour moins donne un plus ».
De plus, ne déplacez pas les moins dans les fractions avec la partie entière en surbrillance. Ces fractions sont d'abord converties en fractions impropres - et ce n'est qu'alors que les calculs commencent.