«Équations logarithmiques».
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Pourquoi les logarithmes ont-ils été inventés ? Pour accélérer les calculs. Pour résoudre des problèmes astronomiques.
DANS école moderne La principale forme d'enseignement des mathématiques, le maillon principal de l'intégration des diverses formes organisationnelles d'enseignement, reste la leçon. Au cours du processus d'apprentissage, le matériel mathématique est réalisé et assimilé principalement dans le processus de résolution de problèmes. Par conséquent, dans les cours de mathématiques, la théorie n'est pas étudiée indépendamment de la pratique. Afin de résoudre avec succès des équations logarithmiques, pour lesquelles seulement 3 heures sont allouées dans le programme, vous devez avoir une connaissance approfondie des formules des logarithmes et des propriétés de la fonction logarithmique. Thème "Equations logarithmiques" dans le domaine pédagogique le plan se passe bien derrière les fonctions logarithmiques et les propriétés des logarithmes. La situation est quelque peu compliquée par rapport aux équations exponentielles par la présence de restrictions sur le domaine de définition des fonctions logarithmiques. L'utilisation de formules pour le logarithme d'un produit, d'un quotient et autres sans réserves supplémentaires peut conduire à la fois à l'acquisition de racines étrangères et à la perte de racines. Par conséquent, il est nécessaire de surveiller attentivement l’équivalence des transformations effectuées.
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"L'invention des logarithmes, tout en réduisant le travail de l'astronome, prolongea sa vie."
Sujet : «Équations logarithmiques». Objectifs : Pédagogique : 1. Familiariser et consolider les méthodes de base de résolution équations logarithmiques, évitez l’apparition d’erreurs typiques. 2. Offrir à chaque enseignant la possibilité de tester ses connaissances et d'améliorer son niveau. 3.Activer le travail de la classe à travers différentes formes travail. Développemental : 1.Développer des compétences de maîtrise de soi. Éducatif : 1. Favoriser une attitude responsable envers le travail.
2. Cultivez la volonté et la persévérance pour obtenir les résultats finaux.
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Leçon n° 1. Sujet de la leçon : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques » Type de leçon : Leçon sur l'introduction d'un nouveau matériel Équipement : Multimédia.
Déroulement de la leçon. 1Point organisationnel : 2.Mise à jour des connaissances de base ;
Définition : Une équation contenant une variable sous le signe logarithmique est dite logarithmique. L'exemple le plus simple d'équation logarithmique est l'équation logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) Méthodes de solution Résolution d'équations basées sur la définition du logarithme, par exemple, l'équation logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) a une solution x = ab. Méthode de potentialisation. Par potentialisation on entend le passage d'une égalité contenant des logarithmes à une égalité qui n'en contient pas : si logaf(x) = logag(x), alors f(x) = g(x), f(x)>0, g (x )>0, a>0, a≠ 1. Méthode d'introduction d'une nouvelle variable. Méthode pour prendre les logarithmes des deux côtés d’une équation. Une méthode pour réduire les logarithmes à la même base. Fonctionnel - méthode graphique.
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1 méthode :
Sur la base de la définition du logarithme, des équations sont résolues dans lesquelles le logarithme est déterminé à partir des bases et du nombre donnés, le nombre est déterminé à partir du logarithme et de la base donnés, et le nombre est déterminé à partir de numéro donné et la base est déterminée pour le logarithme. Log2 4√2= x, log3√3 x = - 2, logx 64= 3, 2x= 4√2, x =3√3 – 2, x3 =64, 2x = 25/2, x =3- 3, x3 = 43, x =5/2. x = 1/27. x =4.
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2méthode :
Résolvez les équations : lg(x2-6x+9) - 2lg(x - 7) = log9. La condition de vérification est toujours faite en utilisant l'équation d'origine. (x2-6x+9) >0, x≠ 3, X-7 >0; x >7 ; x>7. Tout d’abord, vous devez transformer l’équation sous la forme log ((x-3)/(x-7))2 = log9 en utilisant le logarithme de la formule du quotient. ((x-3)/(x-7))2 = 9, (x-3)/(x-7) = 3, (x-3)/(x-7)= - 3, x- 3 = 3x -21, x -3 = - 3x +21, x =9. x=6. racine étrangère. La vérification montre la racine 9 de l'équation. Réponse : 9
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Méthode 3 :
Résolvez les équations : log62 x + log6 x +14 = (√16 – x2)2 + x2, 16 – x2 ≥0 ; - 4≤ x ≤ 4 ;
x >0, x >0, O.D.Z. [ 0,4). log62 x + log6 x +14 = 16 – x2 +x2, log62 x + log6 x -2 = 0 remplacer log6 x = t t 2 + t -2 =0 ; D = 9 ; t1 =1, t2 = -2.
log6 x = 1, x = 6 racine étrangère.
log6 x = -2, x = 1/36, la vérification montre que 1/36 est la racine.
Réponse : 1/36.
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4méthode :
Résolvez l'équation = ZX, prenez le logarithme en base 3 des deux côtés de l'équation Question : 1. Est-ce une transformation équivalente ?
2. Si oui, pourquoi ? Nous obtenons log3=log3(3x) . Compte tenu du Théorème 3, on obtient : log3 x2 log3x = log3 3x, 2log3x log3x = log3 3+ log3x, 2 log32x = log3x +1, 2 log32x - log3x -1=0, remplacer log3x = t, x >0 2 t2 + t - 2 =0 ; D = 9 ; t1 =1, t2 = -1/2 log3х = 1, x=3, log3х = -1/2, x= 1/√3. Réponse : (3 ; 1/√3. ).
Résolvez les équations : log3 x = 12. Puisque la fonction y = log3 x est croissante et que la fonction y = 12 est décroissante sur (0; + ∞), alors l'équation donnée sur cet intervalle a une racine. Ce qui peut être facilement trouvé. Lorsque x=10, l’équation donnée se transforme en l’égalité numérique correcte 1=1. La réponse est x=10.
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Résumé de la leçon. Quelles méthodes de résolution d’équations logarithmiques avons-nous appris en classe ? Devoir : Déterminez la méthode de résolution et résolvez le n° 1547 (a, b), le n° 1549 (a, b), le n° 1554 (a, b). matériel théorique et regardez les exemples du §52.
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Leçon 2. Sujet de cours : « Application diverses méthodes lors de la résolution d'équations logarithmiques. Type de cours : Leçon pour consolider ce qui a été appris. 1. Point d'organisation : 2. « Testez-vous » 1)log-3 ((x-1)/5)=?
2) log5 (121 – x2), (121 – x2) ≥ 0, x
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3. Exécution d'exercices : n° 1563 (b)
Comment pouvez-vous résoudre cette équation ? (méthode d'introduction d'une nouvelle variable) log3 2x +3 log3x +9 = 37/ log3 (x/27) ; x>0 Notons log3x = t ; t 2 -3 t +9 =37/(t-3) ; t ≠ 3, (t-3) (t 2 -3 t +9) = 37, t3-27 = 37 ; t3= 64 ; t=4.
log3x = 4 ; x=81. En vérifiant nous sommes convaincus que x=81 est la racine de l'équation.
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N° 1564 (a) (méthode du logarithme)
log3 x X = 81, prenez le logarithme en base 3 des deux côtés de l'équation ;
log3 x log3 X = log3 81 ; log3x log3x = log381; log3 2x =4; log3x =2, x=9 ; log3 x = -2, x = 1/9. En vérifiant on est convaincu que x=9 et x=1/9 sont les racines de l'équation.
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4. Minute d'éducation physique (aux pupitres, assis).
1 Le domaine de définition de la fonction logarithmique y = log3 X est l'ensemble
nombres positifs
. 2La fonction y = log3 X augmente de façon monotone. 3. La plage de valeurs de la fonction logarithmique va de 0 à l'infini. 4 logас/в = logас - logав. 5 Il est vrai que log8 8-3 =1.
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N° 1704.(a)
1-√x =In x Puisque la fonction y=In x est croissante et que la fonction y =1-√x est décroissante sur (0; + ∞), alors l'équation donnée sur cet intervalle a une racine. Ce qui peut être facilement trouvé. Lorsque x=1, l’équation donnée se transforme en l’égalité numérique correcte 1=1.
1/4 > 1/8 est sans aucun doute correct.
(1/2)2 > (1/2)3, ce qui n'inspire pas non plus de doute. Un nombre plus grand correspond à un logarithme plus grand, ce qui signifie log(1/2)2 > log(1/2)3 ; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). Après réduction par lg(1/2) nous avons 2 > 3. - Où est l'erreur ?
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6.Exécutez le test :<. :="" log5x="х" .="" log4="">
1Trouvez le domaine de définition : y = log0,3 (6x –x2). 1(-∞ ;0) Ư(6 ; + ∞); 2. (-∞ ; -6) Ư(0 ; + ∞); 3.(-6;0). 4.(0;6).
2. Trouvez la plage de valeurs : y = 2,5 + log1,7 x. 1(2,5 ; + ∞); 2. (-∞; 2,5); 3 (- ∞ ; + ∞) ; 4. (0 ; + ∞).
3.Comparez : log0.5 7 et log0.5 5. 1.>. 2.
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Réponse : 4 ; 3;2;1;2.
Résumé de la leçon : Pour bien résoudre les équations logarithmiques, vous devez améliorer vos compétences en résolution de problèmes pratiques, car elles constituent le contenu principal de l'examen et de la vie. Devoirs : n° 1563 (a, b), n° 1464 (b, c), n° 1567 (b).
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Leçon 3. Sujet de la leçon : « Résolution d'équations logarithmiques » Type de leçon : leçon de généralisation, systématisation des connaissances 1. Mise à jour des connaissances de base :
N° 1 Lequel des nombres est -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 sont les racines de l'équation log2 x=x-2 ? N°2 Résolvez les équations : a) log16x= 2 ; c) log2 (2x-x2) -=0 ;
d) log3 (x-1)=log3 (2x+1) n° 3 Résoudre les inégalités : a) log3x> log3 5 ; b) log0,4x0. N°4 Trouver le domaine de définition de la fonction : y = log2 (x + 4) N°5 Comparez les nombres : log3 6/5 et log3 5/6 ; log0,2 5 et. Log0.2 17. N° 6 Déterminer le nombre de racines de l'équation : log3 X= =-2x+4.
Aperçu :
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Légendes des diapositives :
Logarithmes Résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités
Le concept de logarithme Pour tout degré et avec un exposant réel arbitraire est défini et égal à un nombre réel positif : L'exposant 𝑝 du degré est appelé le logarithme de ce degré avec la base. Le logarithme d'un nombre positif sur une base positive et inégale : est l'exposant auquel une fois élevé le nombre est obtenu. ou alors PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES 1) Si alors. Si alors. 2) Si alors. Si alors.
En toutes égalités. 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; ; 10) , ; 11) , ; 12) si ; 13) si – nombre pair , si est un nombre impair.: .
Logarithme décimal et logarithme naturel Un logarithme décimal est un logarithme si sa base est 10. Désignation
№ 10. ; № 11. ; № 12. ; № 13. ; № 14. ; № 15. ; № 16. ; № 17. ; № 18. ; № 19. ; № 20. ; № 21. ;
N° 22. ; N° 23. ; N° 24. ; N° 25. ; N° 26. Trouvez la valeur de l'expression if ; N° 27. Trouvez la valeur de l'expression if ; N° 28. Trouvez la valeur de l'expression if.
Résolution d'exemples avec les logarithmes n°1. . Répondre. . N ° 2. . Répondre. . N ° 3. . Répondre. . N° 4. . Répondre. . N° 5. . Répondre. .
N° 6. . Répondre. . N ° 7. . Répondre. . N° 8. . Répondre. . N° 9. . Répondre. . N° 10. . Répondre. .
N° 11. Réponse. . N° 12. . Répondre. . N° 13. . Répondre. N° 14. . Répondre. .
N° 15. . Répondre. N° 16. . Répondre. N° 17. . Répondre. . N° 18. . Répondre. . N° 19. . Répondre. .
N° 20. . Répondre. . N° 21. . Répondre. . N° 22. . Répondre. . N° 23. . N° 24. . Répondre. . N° 25. . Répondre. .
N° 26. . E si, alors. Répondre. . N° 27. . E si, alors. Répondre. . N° 28. . Si. Répondre. .
Les équations logarithmiques les plus simples L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme : ; , où et sont des nombres réels, sont des expressions contenant.
Méthodes de résolution des équations logarithmiques les plus simples 1. Par définition du logarithme. A) Si, alors l'équation est équivalente à l'équation. B) L'équation est équivalente au système
2. Méthode de potentialisation. A) Si cette équation est équivalente au système B) L'équation est équivalente au système
Résolution des équations logarithmiques les plus simples n°1. Résolvez l'équation. Solution. ; ; ; ; . Répondre. . #2 : Résolvez l’équation. Solution. ; ; ; . Répondre. .
#3 : Résolvez l’équation. Solution. . Répondre. .
#4 : Résolvez l’équation. Solution. . Répondre. .
Méthodes de résolution d'équations logarithmiques 1. Méthode de potentialisation. 2. Méthode fonctionnelle-graphique. 3. Méthode de factorisation. 4. Méthode de remplacement variable. 5. Méthode du logarithme.
Caractéristiques de la résolution d'équations logarithmiques Appliquez les propriétés les plus simples des logarithmes. Distribuez les termes contenant des inconnues, en utilisant les propriétés les plus simples des logarithmes, de manière à ce que les logarithmes des rapports n'apparaissent pas. Appliquer des chaînes de logarithmes : la chaîne est développée en fonction de la définition d'un logarithme. Application des propriétés de la fonction logarithmique.
N°1. Résolvez l’équation. Solution. Transformons cette équation en utilisant les propriétés du logarithme. Cette équation est équivalente au système :
Résolvons la première équation du système : . Compte tenu de cela et, nous obtenons. Répondre. .
#2 : Résolvez l’équation. Solution. . En utilisant la définition d'un logarithme, on obtient : Vérifions en substituant les valeurs trouvées de la variable dans trinôme quadratique, on obtient donc les valeurs sont les racines de cette équation. Répondre. .
#3 : Résolvez l’équation. Solution. On retrouve le domaine de définition de l'équation : . Transformons cette équation
Compte tenu du domaine de définition de l'équation, on obtient. Répondre. .
#4 : Résolvez l’équation. Solution. Domaine d'équation : . Transformons cette équation : . Résolvez en utilisant la méthode de remplacement de variable. Soit alors l'équation sous la forme :
En considérant cela, nous obtenons l’équation Substitution inverse : Réponse.
#5 : Résolvez l’équation. Solution. Vous pouvez deviner la racine de cette équation : . On vérifie : ; ; . La véritable égalité est donc la racine de cette équation. Et maintenant : LOGARIFTH HARD ! Prenons le logarithme des deux côtés de l'équation comme base. Nous obtenons équation équivalente: .
Reçu équation quadratique, pour lequel une racine est connue. En utilisant le théorème de Vieta, on trouve la somme des racines : , donc on trouve la deuxième racine : . Répondre. .
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N° 1 Lequel des nombres est -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 sont les racines de l'équation log2 x=x-2 ? N°2 Résolvez les équations : a) log16x= 2 ; c) log2 (2x-x2) -=0 ;
Inégalités logarithmiques Les inégalités logarithmiques sont des inégalités de la forme où sont des expressions contenant. Si dans les inégalités l'inconnue est sous le signe du logarithme, alors les inégalités sont classées comme inégalités logarithmiques.
Propriétés des logarithmes exprimées par des inégalités 1. Comparaison des logarithmes : A) Si, alors ; B) Si, alors. 2. Comparaison d'un logarithme avec un nombre : A) Si, alors ; B) Si, alors.
Propriétés de monotonie des logarithmes 1) Si, alors et. 2) Si, alors et 3) Si, alors. 4) Si, alors 5) Si, alors et
6) Si, alors et 7) Si la base du logarithme est variable, alors
Méthodes de résolution inégalités logarithmiques 1. Méthode de potentialisation. 2. Application des propriétés les plus simples des logarithmes. 3. Méthode de factorisation. 4. Méthode de remplacement variable. 5. Application des propriétés de la fonction logarithmique.
Résoudre les inégalités logarithmiques #1 : Résoudre l'inégalité. Solution. 1) Trouver le domaine de définition de cette inégalité. 2) Transformons donc cette inégalité, .
3) En considérant cela, nous obtenons. Répondre. . #2 : Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Trouver le domaine de définition de cette inégalité
Des deux premières inégalités : . Estimons. Considérons les inégalités. La condition suivante doit être remplie : . Si, alors, alors.
2) Transformons cette inégalité, donc résolvons l'équation. La somme des coefficients est donc une des racines. Divisez le fournôme par le binôme, nous obtenons.
Ensuite, en résolvant cette inégalité par la méthode des intervalles, nous déterminons. En considérant cela, on trouve les valeurs de la quantité inconnue. Répondre. .
#3 : Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Transformons-nous. 2) Cette inégalité prend la forme : et
Répondre. . N°4. Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Transformez cette équation. 2) L'inégalité équivaut à un système d'inégalités :
3) Résolvez l’inégalité. 4) Considérez le système et résolvez-le. 5) Résoudre les inégalités. a) Si donc,
Solution de l'inégalité. b) Si donc, . Compte tenu de ce que nous avons considéré, nous obtenons une solution à l'inégalité. 6) Nous comprenons. Répondre. .
N°5. Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Transformer cette inégalité 2) L'inégalité est équivalente à un système d'inégalités :
Répondre. . N°6. Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Transformer cette inégalité. 2) Compte tenu des transformations de l'inégalité, cette inégalité est équivalente au système d'inégalités :
N°7. Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Trouver le domaine de définition de cette inégalité : .
2) Transformer cette inégalité. 3) Nous utilisons la méthode de remplacement de variable. Soit, alors l'inégalité peut être représentée comme : . 4) Effectuons le remplacement inverse :
5) Résoudre les inégalités.
6) Résoudre les inégalités
7) On obtient un système d'inégalités. Répondre. .
Mon thème travail méthodologique en 2013 – 2014 année académique, et plus tard au cours de l'année universitaire 2015-2016 « Logarithmes. Résoudre des équations logarithmiques et des inégalités. Ce travail est présenté sous forme de présentation pour les cours.
RESSOURCES ET LITTÉRATURE UTILISÉES 1. Algèbre et principes d'analyse mathématique. 10 11 années. À 14h00 Partie 1. Manuel pour les étudiants établissements d'enseignement (niveau de base) / A.G. Mordkovitch. M. : Mnemosyne, 2012. 2. L'algèbre et les débuts de l'analyse. 10 11 années. Cours triactif modulaire / A.R. Riazanovsky, S.A. Chestakov, I.V. Iachchenko. M. : Maison d'édition « Education Nationale », 2014. 3. Examen d'État unifié. Mathématiques : options d'examen standards : 36 options / éd. I.V. Iachchenko. M. : Maison d'édition « Éducation Nationale », 2015.
4. Examen d'État unifié 2015. Mathématiques. 30 variantes de tâches de test standards et 800 tâches de la partie 2 / I.R. Vysotski, P.I. Zakharov, V.S. Panferov, S.E. Positselski, A.V. Semenov, M.A. Semionova, I.N. Sergueïev, V.A. Smirnov, S.A. Chestakov, D.E. Shnol, I.V. Iachchenko ; édité par I.V. Iachchenko. M. : Maison d'édition « Examen », maison d'édition MTsNMO, 2015. 5. Examen d'État unifié-2016 : Mathématiques : 30 options d'épreuves d'examen pour la préparation à l'examen d'État unifié : niveau profil / éd. I.V. Iachchenko. M. : AST : Astrel, 2016. 6. mathege.ru. Banque ouverte de tâches en mathématiques.
Le comptage et les calculs sont la base de l'ordre dans la tête
Johann Heinrich Pestalozzi
Rechercher les erreurs :
- journal 3 24 – journal 3 8 = 16
- journal 3 15 + journal 3 3 = journal 3 5
- journal 5 5 3 = 2
- journal 2 16 2 = 8
- 3log 2 4 = log 2 (4*3)
- 3log 2 3 = log 2 27
- journal 3 27 = 4
- journal 2 2 3 = 8
Calculer:
- journal 2 11 – journal 2 44
- bûche 1/6 4 + bûche 1/6 9
- 2log 5 25 +3log 2 64
Trouver x :
- journal 3 x = 4
- journal 3 (7x-9) = journal 3 x
Examen par les pairs
De vraies égalités
Calculer
-2
-2
22
Trouver x
Résultats du travail oral :
"5" - 12-13 bonnes réponses
"4" - 10-11 bonnes réponses
"3" - 8-9 bonnes réponses
"2" - 7 ou moins
Trouver x :
- journal 3 x = 4
- journal 3 (7x-9) = journal 3 x
Définition
- Une équation contenant une variable sous le signe du logarithme ou dans la base du logarithme est appelée logarithmique
Par exemple, ou
- Si une équation contient une variable qui n’est pas sous le signe logarithmique, alors elle ne sera pas logarithmique.
Par exemple,
Ne sont pas logarithmiques
Sont logarithmiques
1. Par définition du logarithme
La solution de l'équation logarithmique la plus simple repose sur l'application de la définition du logarithme et la résolution de l'équation équivalente.
Exemple 1
2. Potentisation
Par potentialisation, nous entendons le passage d'une égalité contenant des logarithmes à une égalité n'en contenant pas :
Après avoir résolu l'égalité résultante, vous devez vérifier les racines,
parce que l'utilisation des formules de potentialisation se développe
domaine d'équation
Exemple 2
Résoudre l'équation
En potentialisant, on obtient :
Examen:
Si
Répondre
Exemple 2
Résoudre l'équation
En potentialisant, on obtient :
est la racine de l’équation originale.
SOUVIENS-TOI!
Logarithme et ODZ
ensemble
travaillent
partout!
Doux couple !
Deux bottes, c'est une paire !
IL
- LOGARITHME !
ELLE
-
ODZ!
Deux en un !
Deux rives d'une rivière !
Nous ne pouvons pas vivre
ami sans
ami!
Proches et inséparables !
3. Application des propriétés des logarithmes
Exemple 3
Résoudre l'équation
0 En passant à la variable x, on obtient : ; x = 4 satisfont à la condition x 0, donc les racines de l'équation originale. "largeur="640"
4. Introduction d'une nouvelle variable
Exemple 4
Résoudre l'équation
En passant à la variable x, on obtient :
; X = 4 satisfont à la condition x 0 donc
racines de l’équation originale.
Déterminez la méthode de résolution des équations :
Candidature
saint des logarithmes
Par définition
Introduction
nouvelle variable
Potentialisation
La noix de la connaissance est très dure,
Mais n'ose pas reculer.
"Orbit" vous aidera à le mâcher,
Et réussissez l'examen de connaissances.
№ 1 Trouver le produit des racines de l'équation
4) 1,21
3) 0 , 81
2) - 0,9
1) - 1,21
№ 2 Spécifiez l'intervalle auquel le racine de l'équation
1) (- ∞;-2]
3)
2) [ - 2;1]
4) }