1.Partie introductive.
La 11e année est une étape cruciale chemin de vie, l'année où vous obtenez votre diplôme d'études secondaires et, bien sûr, l'année où sont résumés les résultats des sujets les plus importants que vous avez étudiés en cours d'algèbre. Nous consacrerons notre leçon à la répétition.Objectif de la leçon : systématiser les méthodes de résolution d'équations exponentielles et logarithmiques. Et l'épigraphe de notre leçon sera les motsle mathématicien polonais moderne Stanislav Kowal : "Les équations sont la clé d'or qui ouvre tous les sésames mathématiques." (DIAPOSITIVE 2)
2. Comptage oral.
Le philosophe anglais Herbert Spencer a dit : "Les routes ne sont pas des connaissances qui se déposent dans le cerveau comme de la graisse, les routes sont celles qui se transforment en muscles mentaux."(DIAPOSITIVE 3)
(Nous travaillons avec des cartes pour 2 options, puis les vérifions.)
RÉSOUDRE ET ÉCRIRE DES RÉPONSES. (1 possibilité)370 + 230 3 0,3 7 – 2,1 -23 – 29 -19 + 100
: 50 + 4,1: 7: (-13) : (-3)
· 30 : 100 · 1,4 · (-17) – 13
340 20 + 0,02 – 32 + 40
________ __________ __________ _________ _________
? ? ? ? ?
RÉSOUDRE ET ÉCRIRE DES RÉPONSES. (Option 2)280 + 440 2 0,4 8 – 3,2 -35 – 33 -64 + 100
: 60 +1,2: 8: (-17) : (-2)
· 40 : 100 · 1,6 · (-13) – 12
220 50 +0,04 – 48 + 30
_________ ________ _________ _________ _________
? ? ? ? ?
Le temps de fonctionnement est écoulé. Échangez des cartes avec votre voisin.
Vérifiez l'exactitude de la solution et des réponses.(DIAPOSITIVE 4)
Et évaluez-le selon les critères suivants. (DIAPOSITIVE 5)
3. Répétition du matériel.
a) Graphiques et propriétés des fonctions exponentielles et logarithmiques. (DIAPOSITIVE 6-9)
b) Compléter oralement les tâches écrites au tableau. (De la banque de tâches de l'examen d'État unifié)
c) Rappelons la solution des équations exponentielles et logarithmiques les plus simples.
4 x – 1 = 1 27 x = 2·4 X = 64 5 X = 8 X
enregistrer 6 x = 3enregistrer 7 (x+3) = 2enregistrer 11 (2x – 5) =enregistrer 11 (x+6)enregistrer 5 X 2 = 0
4. Travaillez en groupe.
Poète grec ancien Niveus a soutenu que « les mathématiques ne peuvent pas être apprises en regardant votre voisin le faire ». Nous allons donc désormais travailler de manière indépendante.
Un groupe d'étudiants faibles résout les équations de la partie 1 de l'examen d'État unifié.
1.Logarithmique
.
.
Si une équation a plus d’une racine, répondez par la plus petite.
2.Indicatif
Un groupe d'élèves plus forts continue de répéter les méthodes de résolution d'équations.
Suggérer une méthode pour résoudre les équations.
1. 4. enregistrer 6x (X 2 – 8x) =enregistrer 6x (2x – 9)
2. 5.lg 2 x 4 – LG X 14 = 2
3. 6.journal 3 x + journal 9 x + journal 81 x = 7
5. Devoirs:
№ 163-165(a), 171(a), 194(a),195(a)
6. Résumé de la leçon.
Revenons à l'épigraphe de notre leçon : « La résolution d'équations est la clé d'or qui ouvre toutes les graines de sésame. »
Je souhaite que chacun de vous trouve sa propre clé d'or dans la vie, avec l'aide de laquelle toutes les portes s'ouvriront devant vous.
Évaluer le travail de la classe et de chaque élève individuellement, vérifier les feuilles d'évaluation et attribuer des notes.
7. Réflexion.
L'enseignant doit savoir avec quelle indépendance et avec quelle confiance l'élève a accompli les tâches. Pour ce faire, les élèves répondront aux questions du test (questionnaire), puis l'enseignant traitera les résultats.
Pendant le cours, j'ai travaillé activement/passivementJe suis satisfait/pas satisfait de mon travail en classe
La leçon m'a semblé courte/longue
Pendant le cours je n'étais pas fatigué/fatigué
Mon humeur s'est améliorée / s'est détériorée
Le matériel de cours était clair/pas clair pour moi
utile/inutile
intéressant / ennuyeux
«Équations logarithmiques».
Diapositive 2
Pourquoi les logarithmes ont-ils été inventés ? Pour accélérer les calculs. Pour résoudre des problèmes astronomiques.
DANS école moderne La principale forme d'enseignement des mathématiques, le maillon principal de l'intégration des diverses formes organisationnelles d'enseignement, reste la leçon. Au cours du processus d'apprentissage, le matériel mathématique est réalisé et assimilé principalement dans le processus de résolution de problèmes. Par conséquent, dans les cours de mathématiques, la théorie n'est pas étudiée indépendamment de la pratique. Afin de résoudre avec succès des équations logarithmiques, pour lesquelles seulement 3 heures sont allouées dans le programme, vous devez avoir une connaissance approfondie des formules des logarithmes et des propriétés de la fonction logarithmique. Thème "Equations logarithmiques" dans le domaine pédagogique le plan se passe bien derrière les fonctions logarithmiques et les propriétés des logarithmes. La situation est un peu plus compliquée par rapport à équations exponentielles la présence de restrictions sur le domaine de définition des fonctions logarithmiques. L'utilisation de formules pour le logarithme d'un produit, d'un quotient et autres sans réserves supplémentaires peut conduire à la fois à l'acquisition de racines étrangères et à la perte de racines. Par conséquent, il est nécessaire de surveiller attentivement l’équivalence des transformations effectuées.
Diapositive 3
"L'invention des logarithmes, tout en réduisant le travail de l'astronome, prolongea sa vie."
Sujet : «Équations logarithmiques». Objectifs : Pédagogique : 1. Familiariser et consolider les méthodes de base de résolution d'équations logarithmiques, pour éviter l'apparition d'erreurs typiques. 2. Offrir à chaque enseignant la possibilité de tester ses connaissances et d'améliorer son niveau. 3.Activer le travail de la classe à travers différentes formes travail. Développemental : 1.Développer des compétences de maîtrise de soi. Éducatif : 1. Favoriser une attitude responsable envers le travail.
2. Cultivez la volonté et la persévérance pour obtenir les résultats finaux.
Diapositive 4
Leçon n° 1. Sujet de la leçon : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques » Type de leçon : Leçon sur l'introduction d'un nouveau matériel Équipement : Multimédia.
Déroulement de la leçon. 1Point organisationnel : 2.Mise à jour des connaissances de base ;
Simplifier:
Diapositive 5
Définition : Une équation contenant une variable sous le signe logarithmique est dite logarithmique. L'exemple le plus simple d'équation logarithmique est l'équation logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) Méthodes de solution Résolution d'équations basées sur la définition du logarithme, par exemple, l'équation logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) a une solution x = ab. Méthode de potentialisation. Par potentialisation on entend le passage d'une égalité contenant des logarithmes à une égalité qui n'en contient pas : si logaf(x) = logag(x), alors f(x) = g(x), f(x)>0, g (x )>0, a>0, a≠ 1. Méthode d'introduction d'une nouvelle variable. Méthode pour prendre les logarithmes des deux côtés d’une équation. Une méthode pour réduire les logarithmes à la même base. Fonctionnel - méthode graphique.
Diapositive 6 1 méthode : Sur la base de la définition du logarithme, des équations sont résolues dans lesquelles le logarithme est déterminé à partir des bases et du nombre donnés, le nombre est déterminé à partir du logarithme et de la base donnés, et le nombre est déterminé à partir de
numéro donné
et la base est déterminée pour le logarithme. Log2 4√2= x, log3√3 x = - 2, logx 64= 3, 2x= 4√2, x =3√3 – 2, x3 =64, 2x = 25/2, x =3- 3, x3 = 43, x =5/2. x = 1/27. x =4.
Diapositive 7
2méthode :
Résolvez les équations : lg(x2-6x+9) - 2lg(x - 7) = log9. La condition de vérification est toujours faite en utilisant l'équation d'origine. (x2-6x+9) >0, x≠ 3, X-7 >0; x >7 ; x>7. Tout d’abord, vous devez transformer l’équation sous la forme log ((x-3)/(x-7))2 = log9 en utilisant le logarithme de la formule du quotient. ((x-3)/(x-7))2 = 9, (x-3)/(x-7) = 3, (x-3)/(x-7)= - 3, x- 3 = 3x -21, x -3 = - 3x +21, x =9. x=6. racine étrangère. La vérification montre la racine 9 de l'équation. Réponse : 9
Diapositive 8
Méthode 3 :
Résolvez les équations : log62 x + log6 x +14 = (√16 – x2)2 + x2, 16 – x2 ≥0 ; - 4≤ x ≤ 4 ;
Résolvez l'équation = ZX, prenez le logarithme en base 3 des deux côtés de l'équation Question : 1. Est-ce une transformation équivalente ?
2. Si oui, pourquoi ? Nous obtenons log3=log3(3x) . Compte tenu du Théorème 3, on obtient : log3 x2 log3x = log3 3x, 2log3x log3x = log3 3+ log3x, 2 log32x = log3x +1, 2 log32x - log3x -1=0, remplacer log3x = t, x >0 2 t2 + t - 2 =0 ; D = 9 ; t1 =1, t2 = -1/2 log3х = 1, x=3, log3х = -1/2, x= 1/√3. Réponse : (3 ; 1/√3. ).
Diapositive 10
Méthode 5 :
Résolvez les équations : log9(37-12x) log7-2x 3 = 1, 37-12x >0, x0, x
Diapositive 11
6 méthode
Résolvez les équations : log3 x = 12. Puisque la fonction y = log3 x est croissante et que la fonction y = 12 est décroissante sur (0; + ∞), alors l'équation donnée sur cet intervalle a une racine. Ce qui peut être facilement trouvé. Lorsque x=10, l’équation donnée se transforme en l’égalité numérique correcte 1=1. La réponse est x=10.
Diapositive 12 Résumé de la leçon. Quelles méthodes de résolution d'équations logarithmiques avons-nous appris en classe ? Devoir : Déterminez la méthode de résolution et résolvez le n° 1547 (a, b), le n° 1549 (a, b), le n° 1554 (a, b). matériel théorique
et regardez les exemples du §52.
Diapositive 13 Leçon 2. Sujet de cours : « Application diverses méthodes
lors de la résolution d'équations logarithmiques. Type de cours : Leçon pour consolider ce qui a été appris. 1. Point d'organisation : 2. « Testez-vous » 1)log-3 ((x-1)/5)=?
2) log5 (121 – x2), (121 – x2) ≥ 0, x
Diapositive 14
3. Exécution d'exercices : n° 1563 (b)
Comment pouvez-vous résoudre cette équation ? (méthode d'introduction d'une nouvelle variable) log3 2x +3 log3x +9 = 37/ log3 (x/27) ; x>0 Notons log3x = t ; t 2 -3 t +9 =37/(t-3) ; t ≠ 3, (t-3) (t 2 -3 t +9) = 37, t3-27 = 37 ; t3= 64 ; t=4.
log3x = 4 ; x=81. En vérifiant nous sommes convaincus que x=81 est la racine de l'équation.
Diapositive 15
N° 1564 (a) (méthode du logarithme)
log3 x X = 81, prenez le logarithme en base 3 des deux côtés de l'équation ;
log3 x log3 X = log3 81 ; log3x log3x = log381 ; log3 2x =4;
log3x =2, x=9 ;
1-√x =In x Puisque la fonction y=In x est croissante et que la fonction y =1-√x est décroissante sur (0; + ∞), alors l'équation donnée sur cet intervalle a une racine. Ce qui peut être facilement trouvé. Lorsque x=1, l’équation donnée se transforme en l’égalité numérique correcte 1=1.
Réponse : x=1.
Diapositive 18
N° 1574(b)
log3 (x + 2y) -2log3 4 =1- log3 (x - 2y), log3 (x 2 - 4y 2) = log3 48, log1/4 (x -2y) = -1 ; log1/4 (x -2y) = -1 ;
x 2 - 4y 2 – 48 =0, x =4 +2y, x =8, x -2y = 4 ; 16у = 32 ; y =2. En vérifiant on s'assure que les valeurs trouvées sont des solutions du système.
Diapositive 19
5. Quel délice Logarithmique « comédie 2 > 3 »
1/4 > 1/8 est sans aucun doute correct.
(1/2)2 > (1/2)3, ce qui n'inspire pas non plus de doute. Un nombre plus grand correspond à un logarithme plus grand, ce qui signifie log(1/2)2 > log(1/2)3 ; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). Après réduction de lg(1/2) nous avons 2 > 3. - Où est l'erreur ?<. :="" log5x="х" .="" log4="">
Diapositive 20
6.Exécutez le test :
1Trouvez le domaine de définition : y = log0,3 (6x –x2). 1(-∞ ;0) Ư(6 ; + ∞); 2. (-∞ ; -6) Ư(0 ; + ∞); 3.(-6;0). 4.(0;6).
2. Trouvez la plage de valeurs : y = 2,5 + log1,7 x. 1(2,5 ; + ∞); 2. (-∞; 2,5); 3 (- ∞ ; + ∞) ; 4. (0 ; + ∞).
3.Comparez : log0.5 7 et log0.5 5. 1.>. 2.
Diapositive 21
Réponse : 4 ; 3;2;1;2.
Résumé de la leçon : Pour bien résoudre les équations logarithmiques, vous devez améliorer vos compétences en résolution de problèmes pratiques, car elles constituent le contenu principal de l'examen et de la vie. Devoirs : n° 1563 (a, b), n° 1464 (b, c), n° 1567 (b).
Diapositive 22
Leçon 3. Sujet de la leçon : « Résolution d'équations logarithmiques » Type de leçon : leçon de généralisation, systématisation des connaissances 1. Mise à jour des connaissances de base :
N° 1 Lequel des nombres est -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 sont les racines de l'équation log2 x=x-2 ? N°2 Résolvez les équations : a) log16x= 2 ; c) log2 (2x-x2) -=0 ;
d) log3 (x-1)=log3 (2x+1) n° 3 Résoudre les inégalités : a) log3x> log3 5 ; b) log0,4x0. N°4 Trouver le domaine de définition de la fonction : y = log2 (x + 4) N°5 Comparez les nombres : log3 6/5 et log3 5/6 ; log0,2 5 et. Log0.2 17. N° 6 Déterminer le nombre de racines de l'équation : log3 X= =-2x+4. Aperçu : https://accounts.google.com
Légendes des diapositives :
En toutes égalités. 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; ;
10) , ; 11) , ; 12) si ; 13) si – nombre pair, si est un nombre impair.
Logarithme décimal et logarithme naturel Un logarithme décimal est un logarithme si sa base est 10. Désignation logarithme décimal: . Un logarithme est appelé logarithme népérien si sa base est égale à un nombre. Désignation logarithme népérien: .
Exemples avec des logarithmes Trouver le sens de l'expression : N° 1. ; N° 2. ; N° 3. ; N° 4. ; N° 5. ; N° 6. ; N° 7. ; N° 8. ; N° 9. ;
№ 10. ; № 11. ; № 12. ; № 13. ; № 14. ; № 15. ; № 16. ; № 17. ; № 18. ; № 19. ; № 20. ; № 21. ;
N° 22. ; N° 23. ; N° 24. ; N° 25. ; N° 26. Trouvez la valeur de l'expression if ; N° 27. Trouvez la valeur de l'expression if ; N° 28. Trouvez la valeur de l'expression if.
Résolution d'exemples avec les logarithmes n°1. . Répondre. . N ° 2. . Répondre. . N ° 3. . Répondre. . N° 4. . Répondre. . N° 5. . Répondre. .
N° 6. . Répondre. . N° 7. . Répondre. . N° 8. . Répondre. . N° 9. . Répondre. . N° 10. . Répondre. .
N° 11. Réponse. . N° 12. . Répondre. . N° 13. . Répondre. N° 14. . Répondre. .
N° 15. . Répondre. N° 16. . Répondre. N° 17. . Répondre. . N° 18. . Répondre. . N° 19. . Répondre. .
N° 20. . Répondre. . N° 21. . Répondre. . N° 22. . Répondre. . N° 23. . N° 24. . Répondre. . N° 25. . Répondre. .
N° 26. . E si, alors. Répondre. . N° 27. . E si, alors. Répondre. . N° 28. . Si. Répondre. .
Les équations logarithmiques les plus simples L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme : ; , où et sont des nombres réels, sont des expressions contenant.
Méthodes de résolution des équations logarithmiques les plus simples 1. Par définition du logarithme. A) Si, alors l'équation est équivalente à l'équation. B) L'équation est équivalente au système
2. Méthode de potentialisation. A) Si cette équation est équivalente au système B) L'équation est équivalente au système
Résolution des équations logarithmiques les plus simples n°1. Résolvez l'équation. Solution. ; ; ; ; . Répondre. . #2 : Résolvez l’équation. Solution. ; ; ; . Répondre. .
#3 : Résolvez l’équation. Solution. . Répondre. .
#4 : Résolvez l’équation. Solution. . Répondre. .
Méthodes de résolution d'équations logarithmiques 1. Méthode de potentialisation. 2. Méthode fonctionnelle-graphique. 3. Méthode de factorisation. 4. Méthode de remplacement variable. 5. Méthode du logarithme.
Caractéristiques de la résolution d'équations logarithmiques Appliquez les propriétés les plus simples des logarithmes. Distribuez les termes contenant des inconnues, en utilisant les propriétés les plus simples des logarithmes, de manière à ce que les logarithmes des rapports n'apparaissent pas. Appliquer des chaînes de logarithmes : la chaîne est développée en fonction de la définition d'un logarithme. Application des propriétés de la fonction logarithmique.
N°1. Résolvez l’équation. Solution. Transformons cette équation en utilisant les propriétés du logarithme. Cette équation est équivalente au système :
Résolvons la première équation du système : . Compte tenu de cela et, nous obtenons. Répondre. .
#2 : Résolvez l’équation. Solution. . En utilisant la définition d'un logarithme, on obtient : Vérifions en substituant les valeurs des variables trouvées dans trinôme quadratique, on obtient donc les valeurs sont les racines de cette équation. Répondre. .
#3 : Résolvez l’équation. Solution. On retrouve le domaine de définition de l'équation : . Transformons cette équation
Compte tenu du domaine de définition de l'équation, on obtient. Répondre. .
#4 : Résolvez l’équation. Solution. Domaine d'équation : . Transformons cette équation : . Résolvez en utilisant la méthode de remplacement de variable. Soit alors l'équation sous la forme :
En considérant cela, nous obtenons l’équation Substitution inverse : Réponse.
#5 : Résolvez l’équation. Solution. Vous pouvez deviner la racine de cette équation : . On vérifie : ; ; . La véritable égalité est donc la racine de cette équation. Et maintenant : LOGARIFTH HARD ! Prenons le logarithme des deux côtés de l'équation comme base. Nous obtenons équation équivalente: .
Reçu équation quadratique, pour lequel une racine est connue. En utilisant le théorème de Vieta, on trouve la somme des racines : , donc on trouve la deuxième racine : . Répondre. .
Réponse : 4 ; 3;2;1;2.
Pour utiliser les aperçus de présentation, créez un compte pour vous-même ( compte) Google et connectez-vous : https://accounts.google.com
Diapositive 22
Inégalités logarithmiques Les inégalités logarithmiques sont des inégalités de la forme où sont des expressions contenant. Si dans les inégalités l'inconnue est sous le signe du logarithme, alors les inégalités sont classées comme inégalités logarithmiques.
Propriétés des logarithmes exprimées par des inégalités 1. Comparaison des logarithmes : A) Si, alors ; B) Si, alors. 2. Comparaison d'un logarithme avec un nombre : A) Si, alors ; B) Si, alors.
Propriétés de monotonie des logarithmes 1) Si, alors et. 2) Si, alors et 3) Si, alors. 4) Si, alors 5) Si, alors et
6) Si, alors et 7) Si la base du logarithme est variable, alors
Méthodes de résolution inégalités logarithmiques 1. Méthode de potentialisation. 2. Application des propriétés les plus simples des logarithmes. 3. Méthode de factorisation. 4. Méthode de remplacement variable. 5. Application des propriétés de la fonction logarithmique.
Résoudre les inégalités logarithmiques #1 : Résoudre l'inégalité. Solution. 1) Trouver le domaine de définition de cette inégalité. 2) Transformons donc cette inégalité, .
3) En considérant cela, nous obtenons. Répondre. . #2 : Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Trouver le domaine de définition de cette inégalité
Des deux premières inégalités : . Estimons. Considérons les inégalités. La condition suivante doit être remplie : . Si, alors, alors.
2) Transformons cette inégalité, donc résolvons l'équation. La somme des coefficients est donc une des racines. Divisez le fournôme par le binôme, nous obtenons.
Ensuite, en résolvant cette inégalité par la méthode des intervalles, nous déterminons. En considérant cela, on trouve les valeurs de la quantité inconnue. Répondre. .
#3 : Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Transformons-nous. 2) Cette inégalité prend la forme : et
Répondre. . N°4. Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Transformez cette équation. 2) L'inégalité équivaut à un système d'inégalités :
3) Résolvez l’inégalité. 4) Considérez le système et résolvez-le. 5) Résoudre les inégalités. a) Si donc,
Solution des inégalités. b) Si, alors, donc . Compte tenu de ce que nous avons considéré, nous obtenons une solution à l'inégalité. 6) Nous comprenons. Répondre. .
N°5. Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Transformer cette inégalité 2) L'inégalité est équivalente à un système d'inégalités :
Répondre. . N°6. Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Transformer cette inégalité. 2) Compte tenu des transformations de l'inégalité, cette inégalité est équivalente au système d'inégalités :
N°7. Résolvez l’inégalité. Solution. 1) Trouver le domaine de définition de cette inégalité : .
2) Transformer cette inégalité. 3) Nous utilisons la méthode de remplacement de variable. Soit alors l'inégalité peut être représentée sous la forme : . 4) Effectuons le remplacement inverse :
5) Résoudre les inégalités.
6) Résoudre les inégalités
7) On obtient un système d'inégalités. Répondre. .
Mon thème travail méthodologique en 2013 – 2014 année académique, et plus tard au cours de l'année universitaire 2015-2016 « Logarithmes. Résoudre des équations logarithmiques et des inégalités. Ce travail est présenté sous forme de présentation pour les cours.
RESSOURCES ET LITTÉRATURE UTILISÉES 1. Algèbre et principes d'analyse mathématique. 10 11 années. À 14h00 Partie 1. Manuel pour les étudiants établissements d'enseignement (niveau de base) / A.G. Mordkovitch. M. : Mnemosyne, 2012. 2. L'algèbre et les débuts de l'analyse. 10 11 années. Cours triactif modulaire / A.R. Riazanovsky, S.A. Chestakov, I.V. Iachchenko. M. : Maison d'édition « Education Nationale », 2014. 3. Examen d'État unifié. Mathématiques : options d'examen standards : 36 options / éd. I.V. Iachchenko. M. : Maison d'édition « Éducation Nationale », 2015.
4. Examen d'État unifié 2015. Mathématiques. 30 variantes de tâches de test standards et 800 tâches de la partie 2 / I.R. Vysotski, P.I. Zakharov, V.S. Panferov, S.E. Positselski, A.V. Semenov, M.A. Semionova, I.N. Sergueïev, V.A. Smirnov, S.A. Chestakov, D.E. Shnol, I.V. Iachchenko ; édité par I.V. Iachchenko. M. : Maison d'édition « Examen », maison d'édition MTsNMO, 2015. 5. Examen d'État unifié-2016 : Mathématiques : 30 options d'épreuves d'examen pour la préparation à l'examen d'État unifié : niveau profil / éd. I.V. Iachchenko. M. : AST : Astrel, 2016. 6. mathege.ru. Banque ouverte de tâches en mathématiques.