Montrant le lien entre le signe de la dérivée et la nature de la monotonie de la fonction.
Veuillez être extrêmement prudent sur les points suivants. Regardez, le planning de QUOI vous est donné ! Fonction ou son dérivé
Si on lui donne un graphique de la dérivée, alors nous nous intéresserons uniquement aux fonctions signes et zéros. En principe, les « collines » ou les « creux » ne nous intéressent pas !
Tache 1.
La figure montre un graphique d'une fonction définie sur l'intervalle. Déterminez le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction est négative.
Solution:
Sur la figure, les zones de fonction décroissante sont mises en évidence en couleur :
Ces régions décroissantes de la fonction contiennent 4 valeurs entières.
Tâche 2.
La figure montre un graphique d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle ou coïncide avec la ligne.
Solution:
Une fois que la tangente au graphique d'une fonction est parallèle (ou coïncide) avec une droite (ou, ce qui revient au même), ayant pente , égal à zéro, alors la tangente a un coefficient angulaire .
Cela signifie à son tour que la tangente est parallèle à l'axe, puisque la pente est la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe.
Par conséquent, nous trouvons des points extrêmes (points maximum et minimum) sur le graphique - c'est en ces points que les fonctions tangentes au graphique seront parallèles à l'axe.
Il y a 4 de ces points.
Tâche 3.
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle ou coïncide avec la ligne.
Solution:
Puisque la tangente au graphique d’une fonction est parallèle (ou coïncide) avec une droite qui a une pente, alors la tangente a également une pente.
Cela signifie à son tour cela aux points de contact.
Par conséquent, nous regardons combien de points sur le graphique ont une ordonnée égale à .
Comme vous pouvez le constater, il existe quatre de ces points.
Tâche 4.
La figure montre un graphique d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez le nombre de points auxquels la dérivée de la fonction est 0.
Solution:
La dérivée est égale à zéro aux points extrêmes. Nous en avons 4 :
Tâche 5.
La figure montre un graphique d'une fonction et onze points sur l'axe des x :. En combien de ces points la dérivée de la fonction est-elle négative ?
Solution:
Sur les intervalles de fonction décroissante, sa dérivée prend des valeurs négatives. Et la fonction diminue par points. Il y a 4 de ces points.
Tâche 6.
La figure montre un graphique d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez la somme des points extrêmes de la fonction.
Solution:
Points extrêmes– ce sont les points maximum (-3, -1, 1) et minimum (-2, 0, 3).
Somme des points extremum : -3-1+1-2+0+3=-2.
Tâche 7.
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez les intervalles d'augmentation de la fonction. Dans votre réponse, indiquez la somme des points entiers compris dans ces intervalles.
Solution:
La figure met en évidence les intervalles où la dérivée de la fonction est non négative.
Il n'y a pas de points entiers sur le petit intervalle croissant ; sur l'intervalle croissant, il y a quatre valeurs entières : , , et .
Leur somme :
Tâche 8.
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction définie sur l'intervalle. Trouvez les intervalles d'augmentation de la fonction. Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.
Solution:
Sur la figure, tous les intervalles sur lesquels la dérivée est positive sont surlignés en couleur, ce qui signifie que la fonction elle-même augmente sur ces intervalles.
La longueur du plus grand d'entre eux est de 6.
Tâche 9.
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction définie sur l'intervalle. À quel moment du segment prend-il la plus grande valeur ?
Solution:
Voyons comment le graphique se comporte sur le segment, ce qui nous intéresse seulement le signe de la dérivée .
Le signe de la dérivée sur est moins, puisque le graphique sur ce segment est en dessous de l'axe.
Signification géométrique dérivée X Y 0 tangente α k – coefficient angulaire de la droite (tangente) La signification géométrique de la dérivée : si une tangente peut être tracée au graphique de la fonction y = f(x) au point en abscisse, non- parallèle à l'axe y, alors il exprime le coefficient angulaire de la tangente, c'est-à-dire Puisque l'égalité de la droite est vraie
X y Si α 0. Si α > 90°, alors k 90°, puis k 90°, puis k 90°, puis k 90°, puis k title="х y Si α 0. Si α > 90°, puis k
X y Tâche 1. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à ce graphique tracée au point d'abscisse -1. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x =
Y x x0x La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0. Réponse : -0,25
La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-6;6). Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des points entiers compris dans ces intervalles. B =...