L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation.
À la suite de la résolution des problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées est apparu et exactement Certaines règles différenciation. Les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez pas besoin de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il vous suffit d'utiliser le tableau de dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.
Pour trouver la dérivée, il vous faut une expression sous le signe premier décomposer des fonctions simples en composants et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. Autres dérivés fonctions élémentaires on retrouve dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, somme et quotient sont dans les règles de différenciation. La table des dérivées et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.
Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de fonctions, c'est-à-dire
À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de "x" est égale à un et que la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :
Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. On différencie comme dérivée d'une somme dont le deuxième terme a un facteur constant il peut être soustrait du signe de la dérivée :
Si des questions se posent encore quant à l'origine de quelque chose, elles sont généralement résolues après s'être familiarisé avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous passons à eux en ce moment.
Tableau des dérivées de fonctions simples
1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours égal à zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire. | |
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « X ». Toujours égal à un. Il est également important de s'en souvenir longtemps | |
3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en puissances. | |
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1 | |
5. Dérivé racine carrée | |
6. Dérivée du sinus | |
7. Dérivée du cosinus | |
8. Dérivée de la tangente | |
9. Dérivée de cotangente | |
10. Dérivée de l'arc sinus | |
11. Dérivée de l'arccosinus | |
12. Dérivée de l'arctangente | |
13. Dérivée de l'arc cotangent | |
14. Dérivée du logarithme népérien | |
15. Dérivée d'une fonction logarithmique | |
16. Dérivée de l'exposant | |
17. Dérivée d'une fonction exponentielle |
Règles de différenciation
1. Dérivée d'une somme ou d'une différence | |
2. Dérivé du produit | |
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant | |
3. Dérivée du quotient | |
4. Dérivée d'une fonction complexe |
Règle 1.Si les fonctions
sont différentiables à un moment donné, alors les fonctions sont différentiables au même point
et
ceux. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à somme algébrique dérivées de ces fonctions.
Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est à dire.
Règle 2.Si les fonctions
sont différentiables à un moment donné, alors leur produit est différentiable au même point
et
ceux. La dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.
Corollaire 1. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée:
Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chaque facteur et de tous les autres.
Par exemple, pour trois multiplicateurs :
Règle 3.Si les fonctions
différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également dérivableu/v, et
ceux. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et le numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur.
Où chercher des choses sur d'autres pages
Pour trouver la dérivée d'un produit et d'un quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, il y a donc plus d'exemples sur ces dérivées dans l'article"Dérivée du produit et quotient des fonctions".
Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans une somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est soustraite du signe des dérivées. Ce erreur typique, ce qui se produit au stade initial de l'étude des dérivées, mais à mesure que l'étudiant moyen résout plusieurs exemples en une ou deux parties, il ne commet plus cette erreur.
Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est abordé dans l'exemple 10).
Autre erreur commune- solution mécanique de la dérivée d'une fonction complexe comme dérivée d'une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais nous allons d’abord apprendre à trouver les dérivées de fonctions simples.
En chemin, on ne peut pas se passer de transformer les expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir le manuel dans une nouvelle fenêtre. Des actions avec des pouvoirs et des racines Et Opérations avec des fractions .
Si vous cherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon « Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines ».
Si vous avez une tâche comme , alors vous suivrez la leçon « Dérivées de fonctions trigonométriques simples ».
Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée
Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Nous définissons les parties de l'expression de fonction : l'expression entière représente un produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :
Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme le deuxième terme a un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, « X » devient un et moins 5 devient zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». On obtient les valeurs dérivées suivantes :
Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :
Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l’ancien numérateur. On a:
Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :
Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, , alors bienvenue en classe "Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines" .
Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors une leçon pour toi "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .
Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons pris connaissance de la dérivée dans le tableau des dérivées. En utilisant la règle de différenciation du produit et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :
Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Dans cette fonction on voit un quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. En utilisant la règle de différenciation des quotients, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulée de la dérivée de la racine carrée, on obtient :
Pour supprimer une fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .
Résoudre des problèmes physiques ou des exemples mathématiques est totalement impossible sans la connaissance de la dérivée et des méthodes de calcul. La dérivée est l’un des concepts les plus importants de l’analyse mathématique. Nous avons décidé de consacrer l’article d’aujourd’hui à ce sujet fondamental. Qu'est-ce qu'une dérivée, quelle est sa signification physique et géométrique, comment calculer la dérivée d'une fonction ? Toutes ces questions peuvent être regroupées en une seule : comment comprendre la dérivée ?
Signification géométrique et physique de la dérivée
Qu'il y ait une fonction f(x) , spécifié dans un certain intervalle (un B) . Les points x et x0 appartiennent à cet intervalle. Lorsque x change, la fonction elle-même change. Changer l'argument - la différence de ses valeurs x-x0 . Cette différence s’écrit deltax et est appelé incrément d’argument. Un changement ou un incrément d'une fonction est la différence entre les valeurs d'une fonction en deux points. Définition du dérivé :
La dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction en un point donné à l'incrément de l'argument lorsque ce dernier tend vers zéro.
Sinon, cela peut s'écrire ainsi :
Quel est l'intérêt de trouver une telle limite ? Et voici ce que c'est :
la dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle entre l'axe OX et la tangente au graphique de la fonction en un point donné.
Signification physique de la dérivée : la dérivée de la trajectoire par rapport au temps est égale à la vitesse du mouvement rectiligne.
En effet, depuis l'école tout le monde sait que la vitesse est un chemin particulier x=f(t) et le temps t . vitesse moyenne pendant une certaine période :
Pour connaître la vitesse de déplacement à un instant donné t0 vous devez calculer la limite :
Première règle : définir une constante
La constante peut être soustraite du signe dérivé. De plus, cela doit être fait. Lorsque vous résolvez des exemples en mathématiques, prenez-le comme règle : Si vous pouvez simplifier une expression, assurez-vous de la simplifier .
Exemple. Calculons la dérivée :
Deuxième règle : dérivée de la somme des fonctions
La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Il en va de même pour la dérivée de la différence de fonctions.
Nous ne donnerons pas de démonstration de ce théorème, mais considérerons plutôt un exemple pratique.
Trouvez la dérivée de la fonction :
Troisième règle : dérivée du produit de fonctions
La dérivée du produit de deux fonctions différentiables est calculée par la formule :
Exemple : trouver la dérivée d'une fonction :
Solution:
Il est important de parler ici du calcul des dérivées de fonctions complexes. La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante.
Dans l’exemple ci-dessus, nous rencontrons l’expression :
Dans ce cas, l’argument intermédiaire est 8x à la puissance cinq. Afin de calculer la dérivée d'une telle expression, nous calculons d'abord la dérivée de la fonction externe par rapport à l'argument intermédiaire, puis multiplions par la dérivée de l'argument intermédiaire lui-même par rapport à la variable indépendante.
Règle quatre : dérivée du quotient de deux fonctions
Formule pour déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions :
Nous avons essayé de parler de produits dérivés pour les nuls à partir de zéro. Ce sujet n'est pas aussi simple qu'il y paraît, alors soyez prévenu : il y a souvent des pièges dans les exemples, alors soyez prudent lors du calcul des dérivées.
Pour toute question sur ce sujet ou sur d’autres sujets, vous pouvez contacter le service étudiants. En peu de temps, nous vous aiderons à résoudre les tests les plus difficiles et à comprendre les tâches, même si vous n'avez jamais effectué de calculs de dérivées auparavant.
Qu'est-ce qu'un dérivé ?
Définition et signification d'une fonction dérivée
Beaucoup seront surpris par la place inattendue de cet article dans le cours de mon auteur sur la dérivée d’une fonction d’une variable et ses applications. Après tout, comme depuis l'école : le manuel standard donne d'abord la définition d'une dérivée, sa signification géométrique, mécanique. Ensuite, les étudiants trouvent les dérivées des fonctions par définition et, en fait, ce n'est qu'alors qu'ils perfectionnent la technique de différenciation en utilisant tables dérivées.
Mais de mon point de vue, l'approche suivante est plus pragmatique : tout d'abord, il convient de BIEN COMPRENDRE limite d'une fonction, et en particulier, quantités infinitésimales. Le fait est que la définition de dérivé est basée sur la notion de limite, ce qui est mal pris en compte dans le cursus scolaire. C'est pourquoi une partie importante des jeunes consommateurs du granite du savoir ne comprend pas l'essence même du dérivé. Ainsi, si vous avez peu de connaissances en calcul différentiel ou si un cerveau avisé a réussi à se débarrasser de ce bagage au fil des années, commencez par limites de fonction. En même temps, maîtrisez/mémorisez leur solution.
Le même sens pratique veut qu'il soit avantageux d'abord apprendre à trouver des dérivés, y compris dérivées de fonctions complexes. La théorie reste la théorie, mais, comme on dit, il faut toujours faire la différence. À cet égard, il est préférable de suivre les leçons de base énumérées, et peut-être maître de la différenciation sans même se rendre compte de l'essence de leurs actes.
Je recommande de commencer par les documents de cette page après avoir lu l'article. Les problèmes les plus simples avec les dérivés, où l'on considère notamment le problème de la tangente au graphe d'une fonction. Mais tu peux attendre. Le fait est que de nombreuses applications de la dérivée ne nécessitent pas de compréhension, et il n'est pas surprenant que la leçon théorique soit apparue assez tard - alors que j'avais besoin d'expliquer trouver des intervalles croissants/décroissants et des extrema les fonctions. De plus, il était sur le sujet depuis assez longtemps. Fonctions et graphiques», jusqu'à ce que je décide finalement de le mettre plus tôt.
Par conséquent, chers théières, ne vous précipitez pas pour absorber l’essence du dérivé comme des animaux affamés, car la saturation sera insipide et incomplète.
Le concept d'augmentation, de diminution, de maximum, de minimum d'une fonction
Beaucoup aides à l'enseignement conduit au concept de dérivée en utilisant quelques problèmes pratiques, et j'ai également proposé exemple intéressant. Imaginez que nous sommes sur le point de nous rendre dans une ville accessible de différentes manières. Laissons immédiatement de côté les chemins sinueux et courbes et considérons uniquement les autoroutes droites. Cependant, les directions en ligne droite sont également différentes : vous pouvez accéder à la ville par une autoroute plate. Ou le long d'une autoroute vallonnée - de haut en bas, de haut en bas. Une autre route ne fait que monter, et une autre descend tout le temps. Les amateurs de l'extrême choisiront un itinéraire à travers une gorge avec une falaise abrupte et une montée raide.
Mais quelles que soient vos préférences, il est conseillé de connaître la zone ou au moins de la localiser. Carte topographique. Que se passe-t-il si ces informations manquent ? Après tout, vous pouvez choisir, par exemple, un chemin lisse, mais tomber sur une piste de ski avec des Finlandais joyeux. Ce n'est pas un fait que le navigateur et même image satellite fournira des données fiables. Il serait donc bien de formaliser le relief du chemin à l'aide des mathématiques.
Regardons une route (vue latérale) :
Au cas où, je vous rappelle un fait élémentaire : les voyages, ça se passe de gauche à droite. Pour simplifier, nous supposons que la fonction continu dans la zone considérée.
Quelles sont les caractéristiques de ce graphique ?
À intervalles fonction augmente, c'est-à-dire chaque valeur suivante de celui-ci plus le précédent. En gros, le calendrier est respecté en bas en haut(on monte la colline). Et sur l'intervalle la fonction diminue- chaque valeur suivante moins précédent, et notre emploi du temps est en cours de haut en bas(on descend la pente).
Faisons également attention aux points particuliers. Au point où nous arrivons maximum, c'est existe une telle section du chemin où la valeur sera la plus grande (la plus élevée). Au même moment, il est atteint le minimum, Et existe son quartier dans lequel la valeur est la plus petite (la plus basse).
Nous examinerons une terminologie et des définitions plus strictes en classe. à propos des extrema de la fonction, mais pour l'instant étudions une autre fonctionnalité importante : les intervalles la fonction augmente, mais elle augmente Avec à des vitesses différentes . Et la première chose qui attire l'attention, c'est que le graphique s'envole pendant l'intervalle beaucoup plus cool, que sur l'intervalle . Est-il possible de mesurer la pente d’une route à l’aide d’outils mathématiques ?
Taux de changement de fonction
L'idée est la suivante : prenons une certaine valeur (lire "delta x"), que nous appellerons incrément d'argument, et commençons à « l’essayer » à différents points de notre chemin :
1) Regardons le point le plus à gauche : en passant la distance, on monte la pente jusqu'à une hauteur (ligne verte). La quantité s'appelle incrément de fonction, et dans ce cas cet incrément est positif (la différence des valeurs le long de l'axe est supérieure à zéro). Créons un ratio qui sera une mesure de la pente de notre route. Évidemment, il s’agit d’un nombre très spécifique, et puisque les deux incréments sont positifs, alors .
Attention! Les désignations sont UN symbole, c'est-à-dire que vous ne pouvez pas « arracher » le « delta » du « X » et considérer ces lettres séparément. Bien entendu, le commentaire concerne également le symbole d'incrément de fonction.
Explorons de manière plus significative la nature de la fraction résultante. Soyons d'abord à une hauteur de 20 mètres (au point noir gauche). Après avoir parcouru la distance de mètres (ligne rouge de gauche), nous nous retrouverons à une altitude de 60 mètres. Alors l’incrément de la fonction sera mètres (ligne verte) et : . Ainsi, à chaque mètre cette section de la route la hauteur augmente moyenne par 4 mètres...vous avez oublié votre matériel d'escalade ? =) En d'autres termes, la relation construite caractérise le TAUX MOYEN DE CHANGEMENT (dans ce cas, la croissance) de la fonction.
Note : valeurs numériques L'exemple considéré ne correspond qu'approximativement aux proportions du dessin.
2) Parcourons maintenant la même distance à partir du point noir le plus à droite. Ici, la montée est plus progressive, donc l'augmentation (ligne cramoisie) est relativement faible, et le rapport par rapport au cas précédent sera très modeste. Relativement parlant, mètres et taux de croissance des fonctions est . Autrement dit, ici, pour chaque mètre du chemin, il y a moyenne un demi-mètre de montée.
3) Une petite aventure à flanc de montagne. Regardons le point noir supérieur situé sur l'axe des ordonnées. Supposons qu'il s'agisse de la barre des 50 mètres. Nous surmontons à nouveau la distance, ce qui nous fait tomber plus bas - au niveau de 30 mètres. Puisque le mouvement s'effectue de haut en bas(dans le sens « contre » de l'axe), puis le final l'incrément de la fonction (hauteur) sera négatif: mètres (segment marron sur le dessin). Et dans ce cas, nous parlons déjà de taux de diminution Caractéristiques: , c'est-à-dire que pour chaque mètre de trajet de cette section, la hauteur diminue moyenne de 2 mètres. Prenez soin de vos vêtements au cinquième point.
Posons-nous maintenant la question : quelle valeur de « l'étalon de mesure » est-il préférable d'utiliser ? C’est tout à fait compréhensible, 10 mètres, c’est très dur. Une bonne douzaine de buttes peuvent facilement s'y installer. Quelles que soient les bosses, il peut y avoir une gorge profonde en contrebas, et après quelques mètres, il y a son autre côté avec une montée encore plus raide. Ainsi, avec un mètre dix, nous n'obtiendrons pas une description intelligible de telles sections du chemin à travers le rapport .
De la discussion ci-dessus, la conclusion suivante découle : comment moins de valeur , plus nous décrirons avec précision la topographie de la route. De plus, les faits suivants sont vrais :
– Pour tout le monde points de levage vous pouvez sélectionner une valeur (même si elle est très petite) qui correspond aux limites d'une augmentation particulière. Cela signifie que l'incrément de hauteur correspondant sera garanti positif et que l'inégalité indiquera correctement la croissance de la fonction en chaque point de ces intervalles.
- De même, pour toute point de la pente, il existe une valeur qui s'adaptera complètement à cette pente. Par conséquent, l'augmentation de hauteur correspondante est clairement négative, et l'inégalité montrera correctement la diminution de la fonction en chaque point de l'intervalle donné.
– Un cas particulièrement intéressant est celui où le taux de variation de la fonction est nul : . Premièrement, un incrément de hauteur nul () est le signe d'un chemin fluide. Et deuxièmement, il existe d’autres situations intéressantes, dont vous voyez des exemples sur la figure. Imaginez que le destin nous amène tout en haut d'une colline avec des aigles planant ou au fond d'un ravin avec des grenouilles qui coassent. Si vous faites un petit pas dans n'importe quelle direction, le changement de hauteur sera négligeable et on peut dire que le taux de changement de la fonction est en réalité nul. C'est exactement l'image observée aux points.
Ainsi, nous avons eu une formidable opportunité de caractériser avec une parfaite précision le taux de changement d’une fonction. Après tout, l'analyse mathématique permet d'orienter l'incrément de l'argument vers zéro : , c'est-à-dire de le faire infinitésimal.
Du coup, une autre question logique se pose : est-il possible de connaître la route et son horaire une autre fonction, lequel nous le ferait savoir sur toutes les sections plates, les montées, les descentes, les sommets, les vallées, ainsi que le taux de croissance/diminution à chaque point du parcours ?
Qu'est-ce qu'un dérivé ? Définition du dérivé.
Signification géométrique de la dérivée et du différentiel
Veuillez lire attentivement et pas trop rapidement - le matériel est simple et accessible à tous ! Ce n’est pas grave si à certains endroits quelque chose ne semble pas très clair, vous pourrez toujours revenir à l’article plus tard. J'en dirai plus, il est utile d'étudier la théorie plusieurs fois afin d'en comprendre bien tous les points (le conseil est particulièrement pertinent pour les étudiants « techniques », pour qui les mathématiques supérieures jouent un rôle important dans le processus éducatif).
Naturellement, dans la définition même de la dérivée en un point on la remplace par :
Où en sommes-nous arrivés ? Et nous sommes arrivés à la conclusion que pour la fonction conforme à la loi est mis en conformité autre fonction, qui est appelée fonction dérivée(ou simplement dérivé).
La dérivée caractérise taux de changement les fonctions Comment? L’idée fonctionne comme un fil rouge dès le début de l’article. Considérons un point domaine de définition les fonctions Soit la fonction dérivable en un point donné. Alors:
1) Si , alors la fonction augmente au point . Et évidemment il y a intervalle(même très petit), contenant un point auquel la fonction grandit, et son graphique va « de bas en haut ».
2) Si , alors la fonction diminue au point . Et il y a un intervalle contenant un point auquel la fonction diminue (le graphique va de « haut en bas »).
3) Si , alors infiniment proche près d'un point, la fonction maintient sa vitesse constante. Cela se produit, comme indiqué, avec une fonction constante et aux points critiques de la fonction, en particulier aux points minimum et maximum.
Un peu de sémantique. Que signifie le verbe « différencier » au sens large ? Différencier signifie mettre en évidence une caractéristique. En différenciant une fonction, on « isole » le taux de sa variation sous la forme d'une dérivée de la fonction. Au fait, que signifie le mot « dérivé » ? Fonction arrivé de la fonction.
Les termes sont interprétés avec beaucoup de succès par le sens mécanique de la dérivée
:
Considérons la loi de changement des coordonnées d'un corps, en fonction du temps, et la fonction de la vitesse de déplacement d'un corps donné. La fonction caractérise le taux de changement des coordonnées du corps, c'est donc la dérivée première de la fonction par rapport au temps : . Si le concept de « mouvement du corps » n’existait pas dans la nature, alors il n’y aurait pas dérivé concept de « vitesse du corps ».
L'accélération d'un corps est le taux de changement de vitesse, donc : . Si les concepts initiaux de « mouvement du corps » et de « vitesse du corps » n’existaient pas dans la nature, alors il n’existerait pas dérivé concept d’« accélération du corps ».
Lorsqu'une personne a fait les premiers pas indépendants dans l'étude de l'analyse mathématique et commence à poser des questions inconfortables, il n'est plus si facile de s'en tirer avec l'expression selon laquelle « le calcul différentiel a été trouvé dans le chou ». Le moment est donc venu de déterminer et de révéler le secret de la naissance. tableaux de dérivés et règles de différenciation. Commencé dans l'article sur la signification de la dérivée, que je recommande fortement d'étudier, car là-bas, nous venons d'examiner le concept de dérivé et avons commencé à cliquer sur des problèmes sur le sujet. Cette même leçon a d’ailleurs une orientation pratique prononcée,
les exemples discutés ci-dessous peuvent, en principe, être maîtrisés de manière purement formelle (par exemple, lorsqu'il n'y a pas de temps/d'envie de se plonger dans l'essence du dérivé). Il est également hautement souhaitable (mais là encore pas nécessaire) de pouvoir trouver des dérivées en utilisant la méthode « ordinaire » - au moins au niveau de deux leçons de base : Comment trouver la dérivée ? et la dérivée d'une fonction complexe.
Mais il y a une chose dont nous ne pouvons définitivement plus nous passer maintenant, c'est limites de fonction. Vous devez COMPRENDRE ce qu'est une limite et être capable de les résoudre au moins à un niveau intermédiaire. Et tout cela parce que la dérivée
la fonction en un point est déterminée par la formule :
Je vous rappelle les appellations et les termes : ils appellent incrément d'argument;
– incrément de fonction ;
– ce sont des symboles UNIQUES (« delta » ne peut pas être « arraché » de « X » ou « Y »).
Évidemment, ce qu’est une variable « dynamique » est une constante et le résultat du calcul de la limite - nombre (parfois - "plus" ou "moins" l'infini).
En tant que point, vous pouvez considérer TOUTE valeur appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle une dérivée existe.
Remarque : la clause « dans lequel le dérivé existe » – en général c'est significatif! Ainsi, par exemple, bien qu'un point soit inclus dans le domaine de définition d'une fonction, sa dérivée
n'existe pas là-bas. Donc la formule
non applicable au point
et une formulation abrégée sans réserve serait incorrecte. Des faits similaires sont vrais pour d’autres fonctions avec des « ruptures » dans le graphique, en particulier pour l’arc sinus et l’arc cosinus.
Ainsi, après avoir remplacé , nous obtenons la deuxième formule de travail :
Faites attention à une circonstance insidieuse qui peut dérouter la théière : dans cette limite, « x », étant lui-même une variable indépendante, joue le rôle d'une statistique, et la « dynamique » est à nouveau fixée par l'incrément. Le résultat du calcul de la limite
est la fonction dérivée.
Sur la base de ce qui précède, nous formulons les conditions de deux problèmes typiques :
- Trouver dérivée en un point, en utilisant la définition de dérivée.
- Trouver fonction dérivée, en utilisant la définition de dérivée. Cette version, d'après mes observations, est beaucoup plus courante et recevra la plus grande attention.
La différence fondamentale entre les tâches est que dans le premier cas, vous devez trouver le numéro (éventuellement, l'infini), et dans le second –
fonction De plus, le dérivé peut ne pas exister du tout.
Comment ?
Créez un ratio et calculez la limite.
D'où vient-il? tableau des dérivés et règles de différenciation ? Grâce à la seule limite
Cela semble magique, mais
en réalité - un tour de passe-passe et pas de fraude. À la leçon Qu'est-ce qu'un dérivé ? J'ai commencé à regarder exemples spécifiques, où, en utilisant la définition, j'ai trouvé les dérivées de linéaire et fonction quadratique. Aux fins de l'échauffement cognitif, nous continuerons à perturber tableau des dérivés, peaufinant l'algorithme et les solutions techniques :
En gros, vous devez prouver cas particulier dérivé fonction de puissance, qui apparaît généralement dans le tableau : .
La solution est techniquement formalisée de deux manières. Commençons par la première approche, déjà familière : l'échelle commence par une planche et la fonction dérivée commence par la dérivée en un point.
Considérons un point (spécifique) appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle il y a une dérivée. Fixons l'incrément à ce stade (bien sûr, sans aller au-delà o/o -ya) et composez l'incrément correspondant de la fonction :
Calculons la limite :
L'incertitude 0:0 est éliminée par une technique standard, envisagée au premier siècle avant JC. Multiplions
numérateur et dénominateur de l'expression conjuguée :
La technique permettant de résoudre une telle limite est discutée en détail dans la leçon d’introduction. sur les limites des fonctions.
Puisque vous pouvez choisir N'IMPORTE QUEL point de l'intervalle comme
Ensuite, après avoir effectué le remplacement, on obtient :
Réjouissons-nous encore une fois des logarithmes :
Trouver la dérivée d'une fonction en utilisant la définition de la dérivée
Solution : Considérons une approche différente pour promouvoir la même tâche. C'est exactement la même chose, mais plus rationnel en termes de design. L'idée est de se débarrasser
indice et utilisez une lettre au lieu d'une lettre.
Considérons un point arbitraire appartenant à domaine de définition fonction (intervalle) et définissez l’incrément dedans. Mais ici d'ailleurs, comme dans la plupart des cas, on peut le faire sans aucune réserve, puisque la fonction logarithmique est dérivable en tout point du domaine de définition.
Alors l’incrément correspondant de la fonction est :
Trouvons la dérivée :
La simplicité du design est contrebalancée par la confusion qui peut
se produisent chez les débutants (et pas seulement). Après tout, nous sommes habitués au fait que la lettre « X » change dans la limite ! Mais ici tout est différent : - une statue antique, et - un visiteur vivant, marchant d'un pas vif dans le couloir du musée. Autrement dit, « x » est « comme une constante ».
Je commenterai l'élimination de l'incertitude étape par étape :
(1) Utilisation de la propriété logarithme.
(2) Entre parenthèses, divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.
(3) Au dénominateur, on multiplie et divise artificiellement par « x » pour que
profitez de la merveilleuse limite , tandis que infinitésimal se démarque.
Réponse : par définition d'une dérivée :
Ou en bref :
Je propose de construire vous-même deux autres formules de tableau :
Trouver la dérivée par définition
Dans ce cas, il est pratique de réduire immédiatement l'incrément compilé à dénominateur commun. Un échantillon approximatif du devoir à la fin de la leçon (première méthode).
Trouver la dérivée par définition
Et ici, tout doit être réduit à une limite remarquable. La solution est formalisée de la deuxième manière.
Un certain nombre d'autres dérivés tabulaires. Liste complète peut être trouvé dans un manuel scolaire, ou, par exemple, dans le 1er volume de Fichtenholtz. Je ne vois pas l'intérêt de copier des preuves de règles de différenciation à partir de livres - elles sont également générées
formule
Passons aux tâches réellement rencontrées : Exemple 5
Trouver la dérivée d'une fonction , en utilisant la définition de la dérivée
Solution : utilisez le premier style de conception. Considérons un point appartenant et fixons l'incrément de l'argument sur celui-ci. Alors l’incrément correspondant de la fonction est :
Peut-être que certains lecteurs n’ont pas encore pleinement compris le principe selon lequel des augmentations doivent être réalisées. Prenez un point (nombre) et trouvez la valeur de la fonction qu'il contient : , c'est-à-dire dans la fonction
au lieu de "X", vous devez le remplacer. Maintenant, prenons-le
Incrément de fonction compilé Il peut être avantageux de simplifier immédiatement. Pour quoi? Faciliter et raccourcir la solution à une limite supplémentaire.
On utilise des formules, on ouvre les parenthèses et on réduit tout ce qui peut être réduit :
La dinde est éviscérée, pas de problème avec le rôti :
Finalement:
Puisque nous pouvons choisir n’importe quel nombre réel comme valeur, nous effectuons le remplacement et obtenons .
Répondre : un-prieuré.
À des fins de vérification, trouvons la dérivée en utilisant les règles
différenciation et tableaux :
Il est toujours utile et agréable de connaître à l’avance la bonne réponse, il est donc préférable de différencier la fonction proposée de manière « rapide », soit mentalement, soit dans un brouillon, au tout début de la solution.
Trouver la dérivée d'une fonction par définition de la dérivée
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Le résultat est évident :
Revenons au style n°2 : exemple 7
Voyons immédiatement ce qui devrait se passer. Par règle de différenciation des fonctions complexes:
Solution : considérer un point arbitraire auquel il appartient, définir l'incrément de l'argument et compenser l'incrément
Trouvons la dérivée :
(1) On utilise la formule trigonométrique
(2) Sous le sinus, nous ouvrons les parenthèses, sous le cosinus, nous présentons des termes similaires.
(3) Sous le sinus on annule les termes, sous le cosinus on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme.
(4) En raison de l'étrangeté du sinus, nous supprimons le « moins ». Sous cosinus
nous indiquons que le terme .
(5) On effectue une multiplication artificielle au dénominateur afin d'utiliser d'abord merveilleuse limite . Ainsi, l’incertitude est éliminée, mettons de l’ordre dans le résultat.
Réponse : par définition Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté du problème considéré repose sur
complexité à la limite + légère originalité du packaging. Dans la pratique, les deux méthodes de conception sont utilisées, c'est pourquoi je décris les deux approches de manière aussi détaillée que possible. Ils sont équivalents, mais néanmoins, selon mon impression subjective, il est plus conseillé aux nuls de s'en tenir à l'option 1 avec « X-zéro ».
À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction
C'est une tâche que vous devez résoudre vous-même. L'échantillon est conçu dans le même esprit que l'exemple précédent.
Examinons une version plus rare du problème :
Trouvez la dérivée d'une fonction en un point en utilisant la définition de la dérivée.
Premièrement, quel devrait être le résultat final ? Nombre Calculons la réponse de la manière standard :
Solution : d'un point de vue clarté, cette tâche est beaucoup plus simple, puisque dans la formule, au lieu de
une valeur spécifique est prise en compte.
Fixons l'incrément au point et composons l'incrément correspondant de la fonction :
Calculons la dérivée au point :
Nous utilisons une formule de différence tangente très rare et encore une fois on réduit la solution à la première
limite remarquable :
Réponse : par définition de dérivée en un point.
Le problème n’est pas si difficile à résoudre et « en vue générale« - il suffit de remplacer le clou ou simplement selon la méthode de conception. Dans ce cas, il est clair que le résultat ne sera pas un nombre, mais une fonction dérivée.
Exemple 10 À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction à ce point
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.
La tâche bonus finale est destinée principalement aux étudiants ayant une étude approfondie de l'analyse mathématique, mais elle ne fera de mal à personne d'autre :
La fonction sera-t-elle différentiable ? à ce point?
Solution : Il est évident qu'une fonction donnée par morceaux est continue en un point, mais y sera-t-elle dérivable ?
L'algorithme de résolution, et pas seulement pour les fonctions par morceaux, est le suivant :
1) Trouver la dérivée gauche en un point donné : .
2) Trouver la dérivée droite en un point donné : .
3) Si les dérivées unilatérales sont finies et coïncident :
, alors la fonction est différentiable au point
géométriquement, il y a ici une tangente commune (voir la partie théorique de la leçon Définition et signification du dérivé).
Si deux sont reçus différentes significations: (dont l'un peut s'avérer infini), alors la fonction n'est pas différenciable à ce point.
Si les deux dérivées unilatérales sont égales à l'infini
(même s'ils ont des signes différents), alors la fonction n'est pas
est différentiable au point, mais il existe une dérivée infinie et une tangente verticale commune au graphe (voir exemple leçon 5Équation normale) .
Le problème B9 donne le graphique d’une fonction ou d’une dérivée à partir de laquelle vous devez déterminer l’une des quantités suivantes :
- La valeur de la dérivée à un moment donné x 0,
- Points maximum ou minimum (points extremum),
- Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).
Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui rend la solution beaucoup plus facile. Malgré le fait que la tâche appartient à la section de l'analyse mathématique, même les étudiants les plus faibles peuvent la réaliser, car il n'y a pas de connaissances approfondies. connaissance théorique pas requis ici.
Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - ils seront tous discutés ci-dessous.
Lisez attentivement les conditions du problème B9 pour éviter de commettre des erreurs stupides : parfois vous tombez sur des textes assez longs, mais il y a peu de conditions importantes qui affectent le déroulement de la solution.
Calcul de la valeur dérivée. Méthode en deux points
Si le problème est donné un graphique d'une fonction f(x), tangente à ce graphique en un certain point x 0, et qu'il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée à ce point, l'algorithme suivant est appliqué :
- Trouvez deux points « adéquats » sur le graphique tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est un point clé de la solution, et toute erreur ici entraînera une réponse incorrecte.
- Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
- Enfin, on retrouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.
Notons encore une fois : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme cela arrive souvent. La ligne tangente contiendra nécessairement au moins deux de ces points - sinon le problème ne sera pas formulé correctement.
Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2 ; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .
Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3 ; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .
Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5 ; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Depuis dernier exemple on peut formuler une règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de tangence est nulle. Dans ce cas, vous n’avez même pas besoin de compter quoi que ce soit : il suffit de regarder le graphique.
Calcul des points maximum et minimum
Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction, le problème B9 donne un graphique de la dérivée et nécessite de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans cette situation, la méthode en deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Tout d'abord, définissons la terminologie :
- Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≥ f(x).
- Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≤ f(x).
Afin de trouver les points maximum et minimum à partir du graphique dérivé, suivez simplement ces étapes :
- Redessinez le graphique dérivé en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données inutiles ne font qu'interférer avec la décision. Par conséquent, nous marquons les zéros de la dérivée sur l'axe des coordonnées - et c'est tout.
- Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seules deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin original : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Et vice versa, si le graphe dérivé se situe en dessous de l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
- Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe de moins à plus, c'est le point minimum. A l’inverse, si le signe de la dérivée passe du plus au moins, c’est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.
Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues – il n’y en a pas d’autres dans le problème B9.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−5; 5]. Trouvez le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.
Débarrassons-nous des informations inutiles et ne laissons que les limites [−5; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. On note également les signes :
Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7]. Trouvez le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.
Redessinons le graphique en ne laissant que les limites [−3; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notons les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:
Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe du plus au moins - c'est le point maximum.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−6; 4]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x), appartenant au segment [−4; 3].
Des conditions du problème il résulte qu'il suffit de considérer uniquement la partie du graphe limitée par le segment [−4 ; 3]. Par conséquent, nous construisons un nouveau graphe sur lequel nous marquons uniquement les frontières [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3,5 et x = 2. On obtient :
Sur ce graphique il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est à ce point que le signe de la dérivée passe du plus au moins.
Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès nous pouvons prendre x = −3,4. Si le problème est correctement rédigé, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, puisque les points « sans domicile fixe » ne participent pas directement à la résolution du problème. Bien entendu, cette astuce ne fonctionnera pas avec des points entiers.
Trouver des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes
Dans un tel problème, comme les points maximum et minimum, il est proposé d'utiliser le graphe dérivé pour trouver les zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue. Tout d’abord, définissons ce que sont l’augmentation et la diminution :
- Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En d’autres termes, plus la valeur de l’argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
- Une fonction f(x) est dite décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Ceux. valeur plus élevée L’argument correspond à la plus petite valeur de la fonction.
Formulons des conditions suffisantes pour augmenter et diminuer :
- Pour qu'une fonction continue f(x) augmente sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
- Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.
Acceptons ces déclarations sans preuves. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extremum :
- Supprimez toutes les informations inutiles. Dans le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne les laisserons donc que.
- Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f’(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f’(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème impose des restrictions sur la variable x, nous les marquons en plus sur un nouveau graphique.
- Maintenant que l'on connaît le comportement de la fonction et les contraintes, il reste à calculer la quantité requise dans le problème.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7.5]. Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des entiers compris dans ces intervalles.
Comme d'habitude, redessinons le graphique et marquons les limites [−3 ; 7,5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1,5 et x = 5,3. Puis on note les signes de la dérivée. Nous avons:
Puisque la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui se trouvent à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−10 ; 4]. Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.
Débarrassons-nous des informations inutiles. Laissons seulement les frontières [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui étaient cette fois quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Marquons les signes de la dérivée et obtenons l'image suivante :
Nous nous intéressons aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire tel où f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Puisque nous devons trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous notons la valeur l 2 = 5 comme réponse.