Date : 20/11/2014
Qu'est-ce qu'un dérivé ?
Tableau des dérivés.
La dérivée est l'un des principaux concepts des mathématiques supérieures. Dans cette leçon, nous présenterons ce concept. Faisons connaissance, sans formulations ni preuves mathématiques strictes.
Cette connaissance vous permettra de :
Comprendre l'essence des tâches simples avec des dérivés ;
Résolvez avec succès ces tâches les plus simples ;
Préparez-vous à des leçons plus sérieuses sur les produits dérivés.
Tout d'abord, une agréable surprise.)
La définition stricte de la dérivée repose sur la théorie des limites et la chose est assez compliquée. C'est bouleversant. Mais l'application pratique des dérivés, en règle générale, ne nécessite pas des connaissances aussi étendues et approfondies !
Pour mener à bien la plupart des tâches à l'école et à l'université, il suffit de savoir juste quelques termes- comprendre la tâche, et juste quelques règles- pour le résoudre. C'est tout. Ceci me rend heureux.
Commençons par faire connaissance ?)
Termes et désignations.
Il existe de nombreuses opérations mathématiques différentes en mathématiques élémentaires. Addition, soustraction, multiplication, exponentiation, logarithme, etc. Si vous ajoutez une opération supplémentaire à ces opérations, les mathématiques élémentaires deviennent plus élevées. Cette nouvelle opération s'appelle différenciation. La définition et la signification de cette opération seront discutées dans des leçons séparées.
Il est important de comprendre ici que la différenciation est simplement une opération mathématique sur une fonction. Nous prenons n'importe quelle fonction et, selon certaines règles, la transformons. Le résultat sera une nouvelle fonction. Cette nouvelle fonction s'appelle : dérivé.
Différenciation- action sur une fonction.
Dérivé- le résultat de cette action.
Tout comme, par exemple, somme- le résultat de l'addition. Ou privé- le résultat de la division.
Connaissant les termes, vous pouvez au moins comprendre les tâches.) Les formulations sont les suivantes : trouver la dérivée d'une fonction ; prenons la dérivée ; différencier la fonction ; calculer la dérivée et ainsi de suite. C'est tout même. Bien entendu, il existe également des tâches plus complexes, pour lesquelles la recherche de la dérivée (différenciation) ne sera qu'une des étapes de la résolution du problème.
La dérivée est indiquée par un tiret en haut à droite de la fonction. Comme ça: oui" ou f"(x) ou St) et ainsi de suite.
En lisant igrek coup, ef coup de x, es coup de te, eh bien, tu comprends...)
Un nombre premier peut également indiquer la dérivée d'une fonction particulière, par exemple : (2x+3)", (X 3 )" , (péché)" etc. Les dérivées sont souvent notées à l'aide de différentielles, mais nous ne considérerons pas une telle notation dans cette leçon.
Supposons que nous ayons appris à comprendre les tâches. Il ne reste plus qu'à apprendre à les résoudre.) Je vous le rappelle encore une fois : trouver la dérivée est transformation d'une fonction selon certaines règles.Étonnamment, ces règles sont très peu nombreuses.
Pour trouver la dérivée d’une fonction, il suffit de connaître trois choses. Trois piliers sur lesquels repose toute différenciation. Voici ces trois piliers :
1. Tableau des dérivées (formules de différenciation).
3. Dérivée d'une fonction complexe.
Commençons dans l'ordre. Dans cette leçon, nous examinerons le tableau des dérivées.
Tableau des dérivés.
Il existe un nombre infini de fonctions dans le monde. Parmi cet ensemble se trouvent les fonctions les plus importantes pour une utilisation pratique. Ces fonctions se retrouvent dans toutes les lois de la nature. A partir de ces fonctions, comme à partir de briques, on peut construire toutes les autres. Cette classe de fonctions est appelée fonctions élémentaires. Ce sont ces fonctions qui sont étudiées à l'école - linéaire, quadratique, hyperbole, etc.
Différenciation des fonctions « from scratch », c'est-à-dire Basé sur la définition de la dérivée et la théorie des limites, c'est une chose qui demande beaucoup de travail. Et les mathématiciens sont aussi des gens, oui, oui !) Alors ils ont simplifié leur vie (et celle de nous). Ils ont calculé avant nous les dérivées des fonctions élémentaires. Le résultat est un tableau de dérivées, où tout est prêt.)
La voici, cette plaque pour les fonctions les plus populaires. A gauche se trouve une fonction élémentaire, à droite sa dérivée.
Fonction oui |
Dérivée de la fonction y oui" |
|
1 | C (valeur constante) | C" = 0 |
2 | X | x" = 1 |
3 | x n (n - n'importe quel nombre) | (x n)" = nx n-1 |
x 2 (n = 2) | (x2)" = 2x | |
4 | péché x | (péché x)" = cosx |
parce que x | (cos x)" = - péché x | |
tgx | ||
ctg x | ||
5 | arc péché x | |
arccos x | ||
arctan x | ||
arcctg x | ||
4 | un X | |
e X | ||
5 | enregistrer un X | |
lnx ( une = e) |
Je recommande de prêter attention au troisième groupe de fonctions dans ce tableau de dérivées. Dérivé fonction de puissance- une des formules les plus courantes, si ce n'est la plus courante ! Comprenez-vous l'indice ?) Oui, il est conseillé de connaître le tableau des dérivées par cœur. Soit dit en passant, ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Essayez de résoudre plus d'exemples, le tableau lui-même sera mémorisé !)
Comme vous le comprenez, trouver la valeur de table de la dérivée n'est pas la tâche la plus difficile. Par conséquent, très souvent, de telles tâches nécessitent des puces supplémentaires. Soit dans le libellé de la tâche, soit dans la fonction originale, qui ne semble pas être dans le tableau...
Regardons quelques exemples :
1. Trouvez la dérivée de la fonction y = x 3
Il n'y a pas une telle fonction dans le tableau. Mais il existe une dérivée de la fonction puissance dans vue générale(troisième groupe). Dans notre cas n=3. Nous substituons donc trois au lieu de n et notons soigneusement le résultat :
(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2
C'est ça.
Répondre: y" = 3x 2
2. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction y = sinx au point x = 0.
Cette tâche signifie que vous devez d'abord trouver la dérivée du sinus, puis substituer la valeur x = 0 dans ce même dérivé. Exactement dans cet ordre ! Sinon, il arrive qu'ils substituent immédiatement zéro dans la fonction d'origine... On nous demande de trouver non pas la valeur de la fonction d'origine, mais la valeur son dérivé. Permettez-moi de vous rappeler que la dérivée est une nouvelle fonction.
A l'aide de la tablette on trouve le sinus et la dérivée correspondante :
y" = (péché x)" = cosx
Nous substituons zéro dans la dérivée :
y"(0) = cos 0 = 1
Ce sera la réponse.
3. Différencier la fonction :
Quoi, ça inspire ?) Une telle fonction n'existe pas dans le tableau des dérivées.
Je vous rappelle que différencier une fonction, c'est simplement trouver la dérivée de cette fonction. Si vous oubliez la trigonométrie élémentaire, rechercher la dérivée de notre fonction est assez fastidieux. Le tableau n'aide pas...
Mais si nous voyons que notre fonction est cosinus double angle, alors tout s'améliore tout de suite !
Oui oui! N'oubliez pas que transformer la fonction d'origine avant différenciation tout à fait acceptable ! Et cela rend la vie beaucoup plus facile. En utilisant la formule du cosinus à double angle :
Ceux. notre fonction délicate n'est rien de plus que y = cosx. Et c'est une fonction de table. On obtient immédiatement :
Répondre: y" = - péché x.
Exemple pour les diplômés avancés et les étudiants :
4. Trouvez la dérivée de la fonction :
Bien entendu, une telle fonction n’existe pas dans le tableau des dérivées. Mais si vous vous souvenez des mathématiques élémentaires, des opérations avec des puissances... Alors il est tout à fait possible de simplifier cette fonction. Comme ça:
Et x à la puissance un dixième est déjà une fonction tabulaire ! Troisième groupe, n=1/10. On écrit directement selon la formule :
C'est tout. Ce sera la réponse.
J'espère que tout est clair avec le premier pilier de différenciation - le tableau des dérivés. Reste à s'occuper des deux baleines restantes. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons les règles de différenciation.
Si vous suivez la définition, alors la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction Δ ouià l'incrément d'argument Δ X:
Tout semble clair. Mais essayez d'utiliser cette formule pour calculer, disons, la dérivée de la fonction F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X péché X. Si vous faites tout par définition, après quelques pages de calculs, vous vous endormirez simplement. Il existe donc des moyens plus simples et plus efficaces.
Pour commencer, notons que parmi toute la variété des fonctions, on peut distinguer les fonctions dites élémentaires. Ce sont des expressions relativement simples, dont les dérivées sont calculées et tabulées depuis longtemps. De telles fonctions sont assez faciles à mémoriser – ainsi que leurs dérivées.
Dérivées de fonctions élémentaires
Les fonctions élémentaires sont toutes celles listées ci-dessous. Les dérivées de ces fonctions doivent être connues par cœur. De plus, il n'est pas du tout difficile de les mémoriser - c'est pourquoi ils sont élémentaires.
Ainsi, dérivées de fonctions élémentaires :
Nom | Fonction | Dérivé |
Constante | F(X) = C, C ∈ R. | 0 (oui, zéro !) |
Puissance avec exposant rationnel | F(X) = X n | n · X n − 1 |
Sinus | F(X) = péché X | parce que X |
Cosinus | F(X) = cos X | −péché X(moins sinus) |
Tangente | F(X) = tg X | 1/cos 2 X |
Cotangente | F(X) = ctg X | − 1/péché 2 X |
Un algorithme naturel | F(X) = journal X | 1/X |
Logarithme arbitraire | F(X) = journal un X | 1/(X dans un) |
Fonction exponentielle | F(X) = e X | e X(Rien n'a changé) |
Si une fonction élémentaire est multipliée par une constante arbitraire, alors la dérivée de la nouvelle fonction est également facilement calculée :
(C · F)’ = C · F ’.
En général, les constantes peuvent être soustraites du signe de la dérivée. Par exemple:
(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Bien évidemment, les fonctions élémentaires peuvent s’ajouter les unes aux autres, se multiplier, se diviser – et bien plus encore. De nouvelles fonctions apparaîtront ainsi, non plus particulièrement élémentaires, mais également différentiables par rapport à Certaines règles. Ces règles sont discutées ci-dessous.
Dérivée de la somme et de la différence
Soit les fonctions données F(X) Et g(X), dont les dérivés nous sont connus. Par exemple, vous pouvez prendre les fonctions élémentaires évoquées ci-dessus. Ensuite, vous pouvez trouver la dérivée de la somme et de la différence de ces fonctions :
- (F + g)’ = F ’ + g ’
- (F − g)’ = F ’ − g ’
Ainsi, la dérivée de la somme (différence) de deux fonctions est égale à la somme (différence) des dérivées. Il peut y avoir plus de termes. Par exemple, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.
À proprement parler, il n’existe pas de concept de « soustraction » en algèbre. Il existe une notion d'« élément négatif ». Donc la différence F − g peut être réécrit comme une somme F+ (−1) g, et il ne reste alors qu'une seule formule - la dérivée de la somme.
F(X) = X 2 + péché x ; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Fonction F(X) est la somme de deux fonctions élémentaires, donc :
F ’(X) = (X 2 + péché X)’ = (X 2)’ + (péché X)’ = 2X+ cosx ;
On raisonne de la même manière pour la fonction g(X). Seulement il y a déjà trois termes (du point de vue de l'algèbre) :
g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Répondre:
F ’(X) = 2X+ cosx ;
g ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Dérivé du produit
Les mathématiques sont une science logique, c'est pourquoi beaucoup de gens croient que si la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, alors la dérivée du produit grève">égal au produit de dérivés. Mais allez vous faire foutre ! La dérivée d'un produit se calcule selon une toute autre formule. A savoir :
(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’
La formule est simple, mais elle est souvent oubliée. Et pas seulement les écoliers, mais aussi les étudiants. Le résultat est des problèmes mal résolus.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = X 3 cosx ; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
Fonction F(X) est le produit de deux fonctions élémentaires, donc tout est simple :
F ’(X) = (X 3 parce que X)’ = (X 3)' parce que X + X 3 (car X)’ = 3X 2 parce que X + X 3 (−péché X) = X 2 (3cos X − X péché X)
Fonction g(X) le premier multiplicateur est un peu plus compliqué, mais le schéma général ne change pas. Évidemment, le premier facteur de la fonction g(X) est un polynôme et sa dérivée est la dérivée de la somme. Nous avons:
g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
Répondre:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X péché X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Veuillez noter qu'à la dernière étape, la dérivée est factorisée. Formellement, cela n'est pas nécessaire, mais la plupart des dérivées ne sont pas calculées seules, mais pour examiner la fonction. Cela signifie qu'en outre la dérivée sera assimilée à zéro, ses signes seront déterminés, et ainsi de suite. Dans un tel cas, il est préférable de factoriser une expression.
S'il y a deux fonctions F(X) Et g(X), et g(X) ≠ 0 sur l'ensemble qui nous intéresse, on peut définir une nouvelle fonction h(X) = F(X)/g(X). Pour une telle fonction vous pouvez également trouver la dérivée :
Pas faible, non ? D'où vient le moins ? Pourquoi g 2 ? Et comme ça ! C’est l’une des formules les plus complexes – vous ne pouvez pas la comprendre sans bouteille. Il est donc préférable de l'étudier sur exemples spécifiques.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions :
Le numérateur et le dénominateur de chaque fraction contiennent des fonctions élémentaires, il suffit donc de connaître la formule de la dérivée du quotient :
Selon la tradition, factorisons le numérateur - cela simplifiera grandement la réponse :
Une fonction complexe n’est pas nécessairement une formule d’un demi-kilomètre. Par exemple, il suffit de prendre la fonction F(X) = péché X et remplacez la variable X, disons, sur X 2 + ln X. Cela va fonctionner F(X) = péché ( X 2 + ln X) - c'est une fonction complexe. Il a également un dérivé, mais il ne sera pas possible de le trouver en utilisant les règles évoquées ci-dessus.
Que dois-je faire? Dans de tels cas, remplacer une variable et une formule par la dérivée d'une fonction complexe permet de :
F ’(X) = F ’(t) · t', Si X est remplacé par t(X).
En règle générale, la situation concernant la compréhension de cette formule est encore plus triste qu'avec la dérivée du quotient. Par conséquent, il est également préférable de l'expliquer avec des exemples précis, avec Description détaillée chaque étape.
Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = e 2X + 3 ; g(X) = péché ( X 2 + ln X)
Notez que si dans la fonction F(X) au lieu de l'expression 2 X+ 3 sera facile X, alors on obtient une fonction élémentaire F(X) = e X. Par conséquent, nous effectuons un remplacement : soit 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = e t. On recherche la dérivée d'une fonction complexe à l'aide de la formule :
F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Et maintenant, attention ! Nous effectuons le remplacement inverse : t = 2X+ 3. On obtient :
F ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Voyons maintenant la fonction g(X). Il faut évidemment le remplacer X 2 + ln X = t. Nous avons:
g ’(X) = g ’(t) · t' = (péché t)’ · t' = cos t · t ’
Remplacement inversé : t = X 2 + ln X. Alors:
g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).
C'est tout! Comme le montre la dernière expression, tout le problème a été réduit au calcul de la somme dérivée.
Répondre:
F ’(X) = 2 · e
2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) parce que ( X 2 + ln X).
Très souvent dans mes cours, au lieu du terme « dérivé », j'utilise le mot « premier ». Par exemple, une prime du montant égal à la somme coups. Est-ce plus clair ? Bon, c'est bien.
Ainsi, calculer la dérivée revient à s'affranchir de ces mêmes coups selon les règles évoquées ci-dessus. Comme dernier exemple Revenons à la puissance dérivée avec un exposant rationnel :
(X n)’ = n · X n − 1
Peu de gens savent que dans le rôle n pourrait bien performer un nombre fractionnaire. Par exemple, la racine est X 0,5. Et s’il y avait quelque chose d’extraordinaire sous la racine ? Encore une fois, le résultat sera une fonction complexe - ils aiment donner de telles constructions à essais et les examens.
Tâche. Trouvez la dérivée de la fonction :
Tout d’abord, réécrivons la racine sous la forme d’une puissance avec un exposant rationnel :
F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Maintenant, nous effectuons un remplacement : laissez X 2 + 8X − 7 = t. On trouve la dérivée à l'aide de la formule :
F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Faisons le remplacement inverse : t = X 2 + 8X− 7. Nous avons :
F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Enfin, revenons aux sources :
Le processus de recherche de la dérivée d'une fonction s'appelle différenciation. La dérivée doit être trouvée dans un certain nombre de problèmes au cours de l'analyse mathématique. Par exemple, lors de la recherche de points extrêmes et de points d'inflexion d'un graphe de fonctions.
Comment trouver?
Pour trouver la dérivée d'une fonction il faut connaître la table des dérivées des fonctions élémentaires et appliquer les règles de base de différenciation :
- Déplacer la constante au-delà du signe de la dérivée : $$ (Cu)" = C(u)" $$
- Dérivée de la somme/différence des fonctions : $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- Dérivée du produit de deux fonctions : $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- Dérivée d'une fraction : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
- Dérivée d'une fonction complexe : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
Exemples de solutions
Exemple 1 |
Trouver la dérivée de la fonction $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ |
Solution |
La dérivée de la somme/différence des fonctions est égale à la somme/différence des dérivées : $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ En utilisant la règle de la dérivée d'une fonction puissance $ (x^p)" = px^(p-1) $ nous avons : $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Il a également été pris en compte que la dérivée d'une constante est égale à zéro. Si vous ne parvenez pas à résoudre votre problème, envoyez-le-nous. Nous fournirons solution détaillée. Vous pourrez visualiser la progression du calcul et obtenir des informations. Cela vous aidera à obtenir votre note de votre professeur en temps opportun ! |
Répondre |
$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
Notion de dérivé
Laissez la fonction F(X) est défini sur un certain intervalle X. Donnons la valeur de l'argument au point X 0 X incrément arbitraire Δ X de sorte que le point x0 + Δ X appartenait également à X. Puis le correspondant incrément de la fonction f(x) sera Δ à = F(x0 + Δ X) - F(x0).
Définition 1. Dérivée de la fonction f(x)à ce point x0 est appelée la limite du rapport de l'incrément de la fonction en ce point à l'incrément de l'argument en Δ X 0 (si cette limite existe).
Pour désigner la dérivée d'une fonction, on utilise les symboles oui" (x0) ou F"(x0):
Si à un moment donné x0 la limite (4.1) est infinie :
alors ils disent ça au point x0 fonction F(X) Il a dérivée infinie.
Si la fonction F(X) a une dérivée en chaque point de l'ensemble X, alors la dérivée f"(x) est également fonction de l'argument X, défini sur X.
Signification géométrique de la dérivée
Découvrir signification géométrique dérivée, nous devrons déterminer la tangente au graphique de la fonction en un point donné.
Définition 2. Tangente au graphique de la fonction y = f(X) au point M. appelée position limite de la sécante M.N., quand est le but N tend vers le point M. le long de la courbe F(X).
Laissons le point M. sur la courbe F(X) correspond à la valeur de l'argument x0, et pointez N- valeur de l'argumentation x0 + Δ X(Fig. 4.1). De la définition d'une tangente il résulte que pour son existence en un point x0 il faut qu'il y ait une limite égale à l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe Oh. D'un triangle M.N.A. il s'ensuit que
Si la dérivée de la fonction F(X) au point x0 existe, alors d’après (4.1), on obtient
De là découle une conclusion claire selon laquelle dérivé f"(x0) égal au coefficient angulaire (tangente de l'angle d'inclinaison à la direction positive de l'axe Ox) de la tangente au graphique de la fonction y = F(X)V pointM(x0, F(x0)). Dans ce cas, l'angle de la tangente est déterminé à partir de la formule (4.2) :
Signification physique du dérivé
Supposons que la fonction l = f(t) décrit la loi du mouvement d'un point matériel en ligne droite comme une dépendance au chemin je de temps t. Alors la différence Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - est le chemin parcouru pendant l'intervalle de temps Δ t, et le rapport Δ je/Δ t - vitesse moyenne dans le temps Δ t. Alors la limite définit vitesse de point instantanéeà un moment donné t comme la dérivée du chemin par rapport au temps.
Dans un certain sens, la dérivée de la fonction à = f(x) peut également être interprété comme le taux de changement d'une fonction : plus la valeur est grande F"(X), plus l'angle d'inclinaison de la tangente à la courbe est grand, plus le graphique est raide F(X) et la fonction se développe plus rapidement.
Dérivées droite et gauche
Par analogie avec les concepts de limites unilatérales d'une fonction, les concepts de dérivées droite et gauche d'une fonction en un point sont introduits.
Définition 3. Droite gauche) dérivée d'une fonction à = f(x)à ce point x0 est appelée la limite droite (gauche) de la relation (4.1) pour Δ X 0 si cette limite existe.
Le symbolisme suivant est utilisé pour désigner les dérivées unilatérales :
Si la fonction F(X) a au point x0 dérivée, alors il a des dérivées gauche et droite à ce stade, qui coïncident.
Donnons un exemple d'une fonction qui a des dérivées unilatérales en un point qui ne sont pas égales les unes aux autres. Ce F(X) = |X|. En effet, au moment x = 0 nous avons f' +(0) = 1, F" -(0) = -1 (Fig. 4.2) et f' +(0) ≠ f' -(0), c'est-à-dire la fonction n'a pas de dérivée en X = 0.
L'opération consistant à trouver la dérivée d'une fonction s'appelle différenciation; une fonction qui a une dérivée en un point s'appelle différentiable.
Le lien entre différentiabilité et continuité d'une fonction en un point est établi par le théorème suivant.
THÉORÈME 1 . Si une fonction est dérivable en un point x 0, alors elle est continue en ce point.
L'inverse n'est pas vrai : fonction F(X), continue en un point, peut ne pas avoir de dérivée en ce point. Un tel exemple est la fonction à = |X|; c'est continu en un point X= 0, mais n'a pas de dérivée à ce stade.
Ainsi, l’exigence de différentiabilité d’une fonction est plus forte que l’exigence de continuité, puisque la seconde découle automatiquement de la première.
Équation de la tangente au graphique d'une fonction en un point donné
Comme indiqué dans la section 3.9, l'équation d'une droite passant par un point M.(x0, oui 0) Avec pente k ressemble à
Soit la fonction donnée à = F(X). Puis puisque son dérivé à un moment donné M.(x0, oui 0) est la pente de la tangente au graphique de cette fonction au point M, alors il s'ensuit que l'équation de la tangente au graphique de la fonction F(X) à ce stade a la forme