Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons la tâche typique et la plus courante calculer l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie. Enfin, que tous ceux qui cherchent un sens aux mathématiques supérieures le trouvent. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.
Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :
1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls devraient d'abord lire la leçon Pas.
2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer l'intégrale définie. Installer au chaud relations amicales avec des intégrales définies peuvent être trouvées sur la page Intégrale définie. Exemples de solutions. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc également une question pertinente. Au minimum, vous devez être capable de construire une ligne droite, une parabole et une hyperbole.
Commençons par un trapèze courbe. Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par le graphique d'une fonction oui = F(X), axe BŒUF et des lignes X = un; X = b.
L'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie
Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions nous avons dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d’énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA. C'est, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Considérons l'intégrale définie
Intégrande
définit une courbe sur le plan (elle peut être dessinée si on le souhaite), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égal à la superficie trapèze courbé correspondant.
Exemple 1
, , , .
Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le point le plus important dans la décision est la construction du dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.
Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il vaut mieux construire toutes les lignes droites (si elles existent) et seulement Alors– paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. La technique de construction point par point se trouve dans le document de référence Graphiques et propriétés fonctions élémentaires . Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.
Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Faisons le dessin (notez que l'équation oui= 0 spécifie l'axe BŒUF):
Nous n'ombragerons pas le trapèze incurvé ; ici, il est évident de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :
Sur le segment [-2; 1] graphique de fonction oui = X 2 + 2 situés au dessus de l'axeBŒUF, C'est pourquoi:
Répondre: .
Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz
,
se référer à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions. Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.
Exemple 2
Calculer l'aire de la figure, limité par des lignes xy = 4, X = 2, X= 4 et axe BŒUF.
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.
Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieuBŒUF?
Exemple 3
Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes oui = ex, X= 1 et coordonnées des axes.
Solution : Faisons un dessin :
Si un trapèze courbé entièrement situé sous l'axe BŒUF , alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
Dans ce cas:
.
Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :
1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucun signification géométrique, alors cela peut être négatif.
2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.
Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.
Exemple 4
Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes oui = 2X – X 2 , oui = -X.
Solution : Vous devez d’abord faire un dessin. Lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole oui = 2X – X 2 et droit oui = -X. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :
Cela signifie que la limite inférieure d'intégration un= 0, limite supérieure d'intégration b= 3. Il est souvent plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration apparaissent « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :
Répétons que dans la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent déterminées « automatiquement ».
Et maintenant la formule de travail :
Si sur le segment [ un; b] une fonction continue F(X) Plus grand ou égal à une fonction continue g(X), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule :
Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais il est important de savoir quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.
Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc à partir de 2 X – X 2 doit être soustrait – X.
La solution terminée pourrait ressembler à ceci :
Le chiffre souhaité est limité par une parabole oui = 2X – X 2 en haut et droit oui = -X ci-dessous.
Sur le segment 2 X – X 2 ≥ -X. D'après la formule correspondante :
Répondre: .
En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple n°3) est un cas particulier de la formule
.
Parce que l'axe BŒUF donné par l'équation oui= 0, et le graphique de la fonction g(X) situé en dessous de l'axe BŒUF, Que
.
Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution
Exemple 5
Exemple 6
Trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes
Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... La zone du mauvais chiffre a été trouvée.
Exemple 7
Faisons d'abord un dessin :
La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, ils décident souvent qu'ils doivent trouver la zone de la figure qui est ombrée. vert!
Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:
1) Sur le segment [-1; 1] au dessus de l'axe BŒUF le graphique est situé droit oui = X+1;
2) Sur un segment au dessus de l'axe BŒUF le graphique d'une hyperbole est localisé oui = (2/X).
Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :
Répondre:
Exemple 8
Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes
Présentons les équations sous forme « scolaire »
et faites un dessin point par point :
Il ressort clairement du dessin que notre limite supérieure est « bonne » : b = 1.
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ?
Peut être, un=(-1/3) ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que un=(-1/4). Et si nous avions mal construit le graphique ?
Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.
Trouvons les points d'intersection des graphiques
Pour ce faire, nous résolvons l'équation :
.
Ainsi, un=(-1/3).
L’autre solution est triviale. L'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes. Les calculs ici ne sont pas les plus simples. Sur le segment
, ,
selon la formule appropriée :
Répondre:
Pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.
Exemple 9
Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes
Solution : Représentons cette figure dans le dessin.
Pour faire un dessin point par point il faut savoir apparence sinusoïdes. De manière générale, il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires, ainsi que certaines valeurs sinusoïdales. On les retrouve dans le tableau des valeurs fonctions trigonométriques . Dans certains cas (par exemple, dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.
Il n’y a ici aucun problème avec les limites de l’intégration ; elles découlent directement de la condition :
– « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :
Sur un segment, le graphique d'une fonction oui= péché 3 X situé au dessus de l'axe BŒUF, C'est pourquoi:
(1) Vous pouvez voir comment les sinus et les cosinus sont intégrés dans les puissances impaires dans la leçon Intégrales de fonctions trigonométriques. Nous pinçons un sinus.
(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique principale sous la forme
(3) Changeons la variable t=cos X, alors : est situé au dessus de l'axe, donc :
.
.
Note: notez comment l'intégrale de la tangente au cube est prise ici ; identité trigonométrique
.
Nous avons compris comment trouver l'aire d'un trapèze courbe G. Voici les formules résultantes :
pour une fonction continue et non négative y=f(x) sur le segment,
pour une fonction continue et non positive y=f(x) sur le segment.
Cependant, lorsque vous résolvez des problèmes de recherche de zone, vous devez souvent traiter des figures plus complexes.
Dans cet article, nous parlerons du calcul de l'aire des figures dont les limites sont spécifiées explicitement par des fonctions, c'est-à-dire comme y=f(x) ou x=g(y), et nous analyserons en détail la solution de problèmes typiques. exemples.
Navigation dans les pages.
Formule pour calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=f(x) ou x=g(y).
Théorème.
Soit les fonctions et définies et continues sur l'intervalle, et pour toute valeur x de . Alors aire de la figure G, délimitée par des lignes x=a , x=b , et est calculé par la formule .
Une formule similaire est valable pour l'aire d'une figure délimitée par les droites y=c, y=d et : .
Preuve.
Montrons la validité de la formule pour trois cas :
Dans le premier cas, lorsque les deux fonctions sont non négatives, en raison de la propriété d'additivité de l'aire, la somme de l'aire de la figure originale G et du trapèze curviligne est égale à l'aire de la figure. Ainsi,
C'est pourquoi, . La dernière transition est possible grâce à la troisième propriété de l'intégrale définie.
De même, dans le second cas, l’égalité est vraie. Voici une illustration graphique :
Dans le troisième cas, lorsque les deux fonctions sont non positives, on a . Illustrons ceci :
Nous pouvons maintenant passer au cas général où les fonctions et coupent l'axe Ox.
Notons les points d'intersection. Ces points divisent le segment en n parties, où . La figure G peut être représentée par une union de figures . Évidemment, sur son intervalle, il relève de l'un des trois cas considérés précédemment, leurs aires se trouvent donc comme
Ainsi,
La dernière transition est valide en raison de la cinquième propriété de l'intégrale définie.
Illustration graphique du cas général.Donc la formule éprouvé.
Il est temps de passer à la résolution d'exemples de recherche de l'aire de figures délimitée par les lignes y=f(x) et x=g(y).
Exemples de calcul de l'aire d'une figure délimitée par les lignes y=f(x) ou x=g(y) .
Nous commencerons à résoudre chaque problème en construisant une figure sur un plan. Cela nous permettra d'imaginer une figure complexe comme une union de plus chiffres simples. Si vous rencontrez des difficultés avec la construction, veuillez vous référer aux articles : ; Et .
Exemple.
Calculer l'aire de la figure, limité par une parabole et des lignes droites, x=1, x=4.
Solution.
Traçons ces lignes sur un avion.
Partout sur le segment le graphique d'une parabole au-dessus de la ligne droite. Par conséquent, nous appliquons la formule obtenue précédemment pour l'aire et calculons l'intégrale définie à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :
Compliquons un peu l'exemple.
Exemple.
Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes.
Solution.
En quoi est-ce différent des exemples précédents ? Auparavant, nous avions toujours deux droites parallèles à l’axe des x, mais maintenant nous n’en avons qu’un x=7. La question se pose immédiatement : où trouver la deuxième limite d'intégration ? Jetons un coup d'œil au dessin pour cela.
Il est devenu clair que la limite inférieure d'intégration lors de la recherche de l'aire d'une figure est l'abscisse du point d'intersection du graphique de la droite y=x et de la semi-parabole. On retrouve cette abscisse de l'égalité :
L’abscisse du point d’intersection est donc x=2.
Note.
Dans notre exemple et dans le dessin il est clair que les droites et y=x se coupent au point (2;2) et les calculs précédents semblent inutiles. Mais dans d’autres cas, les choses ne sont pas aussi évidentes. Par conséquent, nous vous recommandons de toujours calculer analytiquement les abscisses et les ordonnées des points d'intersection des lignes.
Bien évidemment, le graphe de la fonction y=x se situe au dessus du graphe de la fonction sur l'intervalle. Nous appliquons la formule pour calculer la superficie :
Rendons la tâche encore plus difficile.
Exemple.
Calculer l'aire de la figure, limité par les horaires fonctions et .
Solution.
Construisons un graphique proportionnalité inverse et des paraboles .
Avant d'appliquer la formule pour trouver l'aire d'une figure, il faut décider des limites de l'intégration. Pour ce faire, nous trouverons l'abscisse des points d'intersection des droites, assimilant les expressions et .
Pour les valeurs non nulles de x, l'égalité est équivalent à l'équation du troisième degré avec des coefficients entiers. Vous pouvez vous référer à la section pour mémoriser l'algorithme permettant de le résoudre.
Il est facile de vérifier que x=1 est la racine de cette équation : .
En divisant l'expression pour le binôme x-1, on a :
Ainsi, les racines restantes sont trouvées à partir de l'équation :
Maintenant, d'après le dessin, il est devenu clair que le chiffre G est contenu au-dessus de la ligne bleue et en dessous de la ligne rouge sur l'intervalle. . Ainsi, la surface requise sera égale à
Regardons un autre exemple typique.
Exemple.
Calculer l'aire d'une figure délimitée par des courbes et l'axe des abscisses.
Solution.
Faisons un dessin.
C'est normal fonction de puissance avec exposant un tiers, graphique de fonction peut être obtenu à partir du graphique en l’affichant symétriquement par rapport à l’axe des x et en l’élevant de un.
Trouvons les points d'intersection de toutes les lignes.
L'axe des abscisses a l'équation y=0.
Les graphiques des fonctions et y=0 se coupent au point (0;0) puisque x=0 est la seule vraie racine de l'équation.
Graphiques de fonctions et y=0 se coupent au point (2;0) puisque x=2 est la seule racine de l'équation .
Graphiques de fonctions et se croisent au point (1;1) puisque x=1 est la seule racine de l'équation . Cette affirmation n’est pas tout à fait évidente, mais la fonction est strictement croissante, et - donc strictement décroissante, l'équation a au plus une racine.
Seule remarque : dans ce cas, pour trouver l'aire il faudra utiliser une formule de la forme . Autrement dit, les lignes de délimitation doivent être représentées comme des fonctions de l'argument y, et la ligne noire.
Déterminons les points d'intersection des lignes.
Commençons par les graphiques de fonctions et :
Trouvons le point d'intersection des graphiques de fonctions et :
Il reste à trouver le point d'intersection des droites et :
Comme vous pouvez le constater, les valeurs sont les mêmes.
Résumer.
Nous avons analysé tous les cas les plus courants de recherche de l'aire d'une figure délimitée par des lignes explicitement définies. Pour ce faire, vous devez être capable de construire des lignes sur un plan, de trouver les points d'intersection des lignes et d'appliquer la formule pour trouver l'aire, ce qui implique la possibilité de calculer certaines intégrales.
Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure
Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons la tâche typique et la plus courante – comment utiliser une intégrale définie pour calculer l'aire d'une figure plane. Enfin, ceux qui recherchent un sens aux mathématiques supérieures puissent-ils le trouver. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.
Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :
1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls devraient d'abord lire la leçon Pas.
2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer l'intégrale définie. Vous pouvez établir des relations amicales chaleureuses avec certaines intégrales de la page Intégrale définie. Exemples de solutions.
En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus urgent. À cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et, au minimum, de pouvoir construire une droite, une parabole et une hyperbole. Cela peut être fait (pour beaucoup, c'est nécessaire) en utilisant matériel méthodologique et des articles sur les transformations géométriques des graphiques.
En fait, tout le monde est familier avec la tâche consistant à trouver l'aire à l'aide d'une intégrale définie depuis l'école, et nous n'irons pas beaucoup plus loin que le programme scolaire. Cet article n'existait peut-être pas du tout, mais le fait est que le problème se produit dans 99 cas sur 100, lorsqu'un étudiant souffre d'une école détestée et maîtrise avec enthousiasme un cours de mathématiques supérieures.
Les supports de cet atelier sont présentés simplement, en détail et avec un minimum de théorie.
Commençons par un trapèze courbe.
Trapèze curviligne est une figure plate délimitée par un axe, des droites, et le graphique d'une fonction continue sur un intervalle qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :
Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions J'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d’énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.
C'est, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.
Exemple 1
Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le premier et le plus important point de la décision est la construction d'un dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.
Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il vaut mieux construire toutes les lignes droites (si elles existent) et seulement Alors– paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point, la technique de construction point par point se trouve dans le document de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.
Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :
Je n’ombragerai pas le trapèze incurvé ; il est évident ici de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :
Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:
Répondre:
Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz , reportez-vous à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions.
Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.
Exemple 2
Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes , et des axes
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.
Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieu ?
Exemple 3
Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.
Solution: Faisons un dessin :
Si un trapèze courbe est localisé sous l'essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
Dans ce cas:
Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:
1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.
2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.
Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.
Exemple 4
Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .
Solution: Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :
Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .
Si possible, il vaut mieux ne pas utiliser cette méthode..
Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». La technique de construction point par point des différents graphiques est abordée en détail dans l'aide Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.
Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :
Je répète que lors de la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».
Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur le segment Plus grand ou égal à une fonction continue , alors l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et les droites , , peut être trouvée à l'aide de la formule :
Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe et, en gros, il est important de savoir quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.
Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de
La solution terminée pourrait ressembler à ceci :
La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :
Répondre:
En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n°3) est un cas particulier de la formule . Puisque l'axe est spécifié par l'équation et que le graphique de la fonction est situé pas plus haut axes, alors
Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution
Exemple 5
Exemple 6
Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes , .
Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... la zone du mauvais chiffre a été trouvée, c'est exactement comme ça que votre humble serviteur a fait des erreurs à plusieurs reprises. Voici un cas réel :
Exemple 7
Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .
Solution: Commençons par faire un dessin :
...Eh, le dessin est nul, mais tout semble lisible.
La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, un « problème » se produit souvent : il faut trouver l'aire d'une figure ombrée en vert !
Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:
1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;
2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une hyperbole.
Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :
Répondre:
Passons à une autre tâche significative.
Exemple 8
Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,
Présentons les équations sous forme « scolaire » et faisons un dessin point par point :
D'après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : .
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ? Peut être ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que... Ou la racine. Et si nous avions mal construit le graphique ?
Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.
Trouvons les points d'intersection d'une droite et d'une parabole.
Pour ce faire, nous résolvons l'équation :
,
Vraiment, .
La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes ; les calculs ici ne sont pas des plus simples ;
Sur le segment , selon la formule correspondante :
Répondre:
Eh bien, à la fin de la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.
Exemple 9
Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes , ,
Solution: Représentons cette figure dans le dessin.
Bon sang, j'ai oublié de signer le planning et, désolé, je ne voulais pas refaire la photo. Pas un jour de dessin, bref, aujourd'hui c'est le jour =)
Pour une construction point par point, il est nécessaire de connaître l'aspect d'une sinusoïde (et en général il est utile de connaître graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que certaines valeurs sinusoïdales, on les trouve dans table trigonométrique. Dans certains cas (comme dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.
Il n'y a ici aucun problème avec les limites d'intégration ; elles découlent directement de la condition : « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :
Sur le segment, le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :
En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus urgent. À cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et, au minimum, d'être capable de construire une droite et une hyperbole.
Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par un axe, des droites et le graphique d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :
Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique.
Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.
C'est, une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.
Exemple 1
Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le premier et le plus important point de la décision est la construction du dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.
Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il vaut mieux construire toutes les lignes droites (si elles existent) et seulement Alors- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point.
Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :
Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:
Répondre:
Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.
Exemple 3
Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.
Solution: Faisons un dessin :
Si un trapèze courbe est localisé sous l'essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
Dans ce cas:
Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:
1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.
2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.
Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.
Exemple 4
Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .
Solution: Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :
Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .
Si possible, il vaut mieux ne pas utiliser cette méthode..
Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.
Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :
Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur le segment Plus grand ou égal à une fonction continue , alors l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et les droites , , peut être trouvée à l'aide de la formule :
Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe et, en gros, il est important de savoir quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.
Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de
La solution terminée pourrait ressembler à ceci :
La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :
Répondre:
Exemple 4
Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .
Solution: Commençons par faire un dessin :
La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, un « problème » se produit souvent : il faut trouver l'aire d'une figure ombrée en vert !
Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies.
Vraiment:
1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;
2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une hyperbole.
Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :
Comment calculer le volume d'un corps de révolutionen utilisant une intégrale définie ?
Imaginez quelques silhouette plate sur le plan de coordonnées. Nous avons déjà trouvé sa zone. Mais, en plus, cette figure peut également être tournée, et pivotée de deux manières :
Autour de l'axe des x ;
Autour de l'axe y .
Cet article examinera les deux cas. La deuxième méthode de rotation est particulièrement intéressante ; elle pose le plus de difficultés, mais en fait la solution est presque la même que dans la rotation plus courante autour de l'axe des x.
Commençons par le type de rotation le plus populaire.
Calculer l'aire d'une figure- C'est peut-être l'un des problèmes les plus difficiles de la théorie des aires. En géométrie scolaire, ils vous apprennent à trouver les zones du principal formes géométriques comme par exemple triangle, losange, rectangle, trapèze, cercle, etc. Cependant, vous devez souvent calculer les aires de figures plus complexes. C'est pour résoudre de tels problèmes qu'il est très pratique d'utiliser le calcul intégral.
Définition.
Trapèze curviligne appelons une figure G délimitée par les droites y = f(x), y = 0, x = a et x = b, et la fonction f(x) est continue sur le segment [a; b] et ne change pas son signe dessus (Fig. 1). L'aire d'un trapèze courbe peut être désignée par S(G).
Une intégrale définie ʃ a b f(x)dx pour la fonction f(x), qui est continue et non négative sur l'intervalle [a; b], et est l'aire du trapèze courbe correspondant.
Autrement dit, pour trouver l'aire d'une figure G délimitée par les droites y = f(x), y = 0, x = a et x = b, il est nécessaire de calculer l'intégrale définie ʃ a b f(x)dx .
Ainsi, S(G) = ʃabf(x)dx.
Si la fonction y = f(x) n'est pas positive sur [a; b], alors l'aire d'un trapèze courbe peut être trouvée en utilisant la formule S(G) = -ʃabf(x)dx.
Exemple 1.
Calculer l'aire de la figure délimitée par les droites y = x 3 ; y = 1 ; x = 2.
Solution.
Les lignes données forment la figure ABC, qui est représentée par des hachures dans riz. 2.
L'aire requise est égale à la différence entre les aires du trapèze courbe DACE et du carré DABE.
En utilisant la formule S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), on trouve les limites de l'intégration. Pour ce faire, nous résolvons un système de deux équations :
(y = x 3,
(y = 1.
Ainsi, nous avons x 1 = 1 – la limite inférieure et x = 2 – la limite supérieure.
Donc, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (unités carrées).
Réponse : 11/4 m². unités
Exemple 2.
Calculer l'aire de la figure délimitée par les droites y = √x ; y = 2 ; x = 9.
Solution.
Les lignes données forment la figure ABC, qui est limitée ci-dessus par le graphique de la fonction
y = √x, et ci-dessous se trouve un graphique de la fonction y = 2. Le chiffre résultant est représenté par des hachures dans riz. 3.
La surface requise est S = ʃ a b (√x – 2). Trouvons les limites de l'intégration : b = 9, pour trouver a, résolvons le système de deux équations :
(y = √x,
(y = 2.
Ainsi, nous avons que x = 4 = a - c'est la limite inférieure.
Donc, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (unités carrées).
Réponse : S = 2 2/3 m². unités
Exemple 3.
Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes y = x 3 – 4x ; y = 0 ; x ≥ 0.
Solution.
Traçons la fonction y = x 3 – 4x pour x ≥ 0. Pour ce faire, trouvons la dérivée y' :
y' = 3x 2 – 4, y' = 0 à x = ±2/√3 ≈ 1,1 – points critiques.
Si nous traçons les points critiques sur la droite numérique et organisons les signes de la dérivée, nous constatons que la fonction décroît de zéro à 2/√3 et augmente de 2/√3 jusqu'à plus l'infini. Alors x = 2/√3 est le point minimum, la valeur minimale de la fonction y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Déterminons les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées :
si x = 0, alors y = 0, ce qui signifie A(0; 0) est le point d'intersection avec l'axe Oy ;
si y = 0, alors x 3 – 4x = 0 ou x(x 2 – 4) = 0, ou x(x – 2)(x + 2) = 0, d'où x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (ne convient pas, car x ≥ 0).
Les points A(0; 0) et B(2; 0) sont les points d'intersection du graphique avec l'axe Ox.
Les lignes données forment la figure OAB, qui est représentée par des hachures dans riz. 4.
Puisque la fonction y = x 3 – 4x prend une valeur négative sur (0 ; 2), alors
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
On a : ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, d'où S = 4 m². unités
Réponse : S = 4 m². unités
Exemple 4.
Trouver l'aire de la figure délimitée par la parabole y = 2x 2 – 2x + 1, les droites x = 0, y = 0 et la tangente à cette parabole au point d'abscisse x 0 = 2.
Solution.
Tout d'abord, créons une équation pour la tangente à la parabole y = 2x 2 – 2x + 1 au point d'abscisse x₀ = 2.
Puisque la dérivée y’ = 4x – 2, alors pour x 0 = 2 on obtient k = y’(2) = 6.
Trouvons l'ordonnée du point tangent : y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Par conséquent, l’équation tangente a la forme : y – 5 = 6(x – 2) ou y = 6x – 7.
Construisons une figure délimitée par des lignes :
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabole. Points d'intersection avec les axes de coordonnées : A(0; 1) – avec l'axe Oy ; avec l'axe Ox - il n'y a pas de points d'intersection, car l'équation 2x 2 – 2x + 1 = 0 n'a pas de solution (D< 0). Найдем вершину параболы:
xb = 2/4 = 1/2 ;
y b = 1/2, c'est-à-dire que le sommet du point de la parabole B a les coordonnées B(1/2 ; 1/2).
Ainsi, la figure dont l'aire doit être déterminée est représentée par des hachures sur riz. 5.
On a : S O A B D = S OABC – S ADBC.
Trouvons les coordonnées du point D à partir de la condition :
6x – 7 = 0, c'est-à-dire x = 7/6, ce qui signifie DC = 2 – 7/6 = 5/6.
On trouve l'aire du triangle DBC à l'aide de la formule S ADBC = 1/2 · DC · BC. Ainsi,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 m². unités
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (unités carrées).
On obtient finalement : S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unités carrées).
Réponse : S = 1 1/4 carré. unités
Nous avons examiné des exemples trouver les aires de figures délimitées par des lignes données. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, vous devez être capable de tracer des lignes et des graphiques de fonctions sur un plan, de trouver les points d'intersection des lignes, d'appliquer une formule pour trouver l'aire, ce qui implique la capacité de calculer certaines intégrales.
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