Proportionnalité- c'est la dépendance d'une quantité par rapport à une autre, dans laquelle une modification d'une quantité entraîne une modification de l'autre du même montant.
La proportionnalité des quantités peut être directe ou inverse.
Proportionnalité directe
Proportionnalité directe est une dépendance de deux quantités dans laquelle une quantité dépend de la deuxième quantité de sorte que leur rapport reste inchangé. De telles quantités sont appelées directement proportionnel ou simplement proportionnel.
Considérons un exemple de proportionnalité directe sur la formule du chemin :
s = Vermont
Où s- Ceci est le chemin v- la vitesse, et t- temps.
Avec un mouvement uniforme, la trajectoire est proportionnelle au temps de mouvement. Si on prend la vitesse végale à 5 km/h, alors la distance parcourue s cela dépendra uniquement du temps de déplacement t:
Vitesse v= 5km/h | |||||
---|---|---|---|---|---|
Temps t(h) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Chemin s(km) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
L'exemple montre que de combien de fois le temps de déplacement augmente-t-il ? t, la distance parcourue augmente du même montant s. Dans l'exemple, nous avons doublé le temps à chaque fois, puisque la vitesse n'a pas changé, la distance a également doublé.
Dans ce cas, la vitesse ( v= 5 km/h) est un coefficient de proportionnalité directe, c'est-à-dire le rapport de la distance au temps, qui reste inchangé :
Si le temps de déplacement reste inchangé, alors avec un mouvement uniforme, la distance sera proportionnelle à la vitesse :
De ces exemples il résulte que deux quantités sont dites directement proportionnelles si, lorsque l'une d'elles augmente (ou diminue) de plusieurs fois, l'autre augmente (ou diminue) du même montant.
Formule de proportionnalité directe
Formule de proportionnalité directe:
oui = kx
Où oui Et X k est une valeur constante appelée coefficient de proportionnalité directe.
Coefficient de proportionnalité directe est le rapport de toutes les valeurs correspondantes de variables proportionnelles oui Et Xégal au même nombre.
Formule du coefficient de proportionnalité directe :
oui | = k |
X |
Proportionnalité inverse
Proportionnalité inverse est une dépendance de deux quantités, dans laquelle une augmentation d'une quantité entraîne une diminution proportionnelle de l'autre. De telles quantités sont appelées inversement proportionnel.
Considérons un exemple de proportionnalité inverse sur la formule du chemin :
s = Vermont
Où s- Ceci est le chemin v- la vitesse, et t- temps.
En passant par le même chemin avec à différentes vitesses le temps de déplacement sera inversement proportionnel à la vitesse. Si tu prends le chemin ségal à 120 km, alors le temps passé à parcourir ce chemin t cela dépendra uniquement de la vitesse de déplacement v:
Chemin s= 120km | ||||
---|---|---|---|---|
Vitesse v(km/h) | 10 | 20 | 40 | 80 |
Temps t(h) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
L'exemple montre que combien de fois la vitesse de déplacement augmente-t-elle ? v, le temps diminue du même montant t. Dans l'exemple, nous avons augmenté la vitesse de déplacement de 2 fois à chaque fois, et comme la distance à parcourir n'a pas changé, le temps pour parcourir cette distance a également été réduit de moitié.
Dans ce cas, le chemin ( s= 120 km) est un coefficient de proportionnalité inverse, c'est-à-dire le produit de la vitesse et du temps :
s = Vermont, donc 10 12 = 20 6 = 40 3 = 80 1,5 = 120
De cet exemple il résulte que deux quantités sont dites inversement proportionnelles si, lorsque l'une d'elles augmente plusieurs fois, l'autre diminue du même montant.
Formule de proportionnalité inverse
Formule de proportionnalité inverse:
oui = | k |
X |
Où oui Et X sont des variables, et k est une valeur constante appelée coefficient de proportionnalité inverse.
Facteur de proportionnalité inverse est le produit de toutes les valeurs correspondantes de variables inversement proportionnelles oui Et X, égal au même nombre.
Formule pour le coefficient de proportionnalité inverse.
Supposons que t soit le temps de déplacement du piéton (en secondes), s soit la distance parcourue par celui-ci (en mètres). Si un piéton se déplace uniformément à une vitesse de 5 m/sec, alors s = 5t. Il est logique que chaque valeur de la variable t corresponde à une seule valeur s. La formule s = 5t, où t ≥ 0, définit la fonction.
Supposons que n soit le nombre de paquets de glace, p soit leur coût (en roubles). Si le prix d'un paquet de glace est de 6 roubles, alors p = 6n. Il est logique que chaque valeur de la variable n corresponde à une seule valeur p.
La formule p = 6n, où n € N, définit la fonction.
Dans les exemples considérés, nous avons travaillé avec des fonctions spécifiées par des formules de la forme y = kx, où x et y sont des variables, k ne l'est pas égal à zéro nombre.
Une fonction qui peut être spécifiée par une formule de la forme y = kx, où k est un nombre non nul, est appelée proportionnalité directe (= proportionnalité).
Le nombre k est appelé coefficient de proportionnalité. La variable y est dite proportionnelle à la variable x.
Le domaine de définition de la proportionnalité directe peut être l’ensemble de tous les nombres ou n’importe quel sous-ensemble de celui-ci. Dans les exemples donnés, dans le premier cas, la fonction a été définie sur l'ensemble des nombres positifs, dans le second, sur l'ensemble des nombres naturels.
De la formule y = kh pour x ≠ 0, il s'ensuit que y/x = k. L’inverse est également vrai : si y/x = k, alors y = khx. Par conséquent, pour savoir si la fonction x - y est directement proportionnelle, comparez les quotients y/x pour toutes les paires de valeurs correspondantes des variables x et y, dans lesquelles x ≠ 0. Si ces quotients sont égaux nombre k, non nul, et si x égal à 0 correspond à y égal à 0 (si 0 est inclus dans le domaine de définition de la fonction), alors la dépendance de y sur x est une proportionnalité directe.
Considérons la théorie dans la pratique et analysons un exemple.
Exemple. La fonction a – b est donnée par les valeurs
Si a = -4, alors b = -12. Si a = -3, alors b = -9. Si a = -1,5, alors b = -4,5. Si a = 2,5, alors b = 7,5. Si a = 5, alors b = 15. Si a = 6,1, alors b = 18,3.
Cette fonction est-elle directement proportionnelle ?
Pour chaque paire (a; b) de valeurs correspondantes des variables a et b, on trouve le quotient b/a.
Si a = -4, alors b = -12, alors k = 3. Si a = -3, alors b = -9, alors k = 3. Si a = -1,5, alors b = -4, 5, alors k = 3. Si a = 2,5, alors b = 7,5, alors k = 3. Si a = 5, alors b = 15, alors k = 3. Si a = 6,1, alors b = 18,3, ce qui signifie k = 3.
Il s'avère que les quotients trouvés sont égaux au même nombre 3. Cela signifie que la fonction f que nous considérons est une proportionnalité directe.
La proportionnalité directe se caractérise par certaines propriétés.
Si la fonction x – y est une proportionnalité directe et (x 1 ; y 1), (x 2 ; y 2) sont des paires de valeurs correspondantes des variables x et y, et x 2 ≠ 0, alors x 1 / x 2 = oui 1 / oui 2.
Preuve.
Soit k le coefficient de proportionnalité. De la formule y = khx nous avons que y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 (puisque x 2 ≠ 0 et k ≠ 0, alors y 2 ≠ 0). De là, nous obtenons y 1 / y 2 = kh 1 / kh 2 = x 1 / x 2.
Si les valeurs des variables x et y sont nombres positifs, alors on peut formuler la propriété prouvée de proportionnalité directe comme suit :
lorsque la valeur de x augmente plusieurs fois, la valeur correspondante de y augmente du même montant ; de même : lorsque la valeur de x diminue plusieurs fois, la valeur correspondante de y augmente du même montant.
La propriété établie de proportionnalité directe est pratique à utiliser pour résoudre des problèmes.
En 8 heures, le tourneur a réalisé 17 pièces. Combien d'heures faudra-t-il à un opérateur de tour pour produire 85 pièces s'il travaille avec la même productivité ?
Solution.
Supposons qu'un tourneur ait besoin de x heures pour produire 85 pièces. à productivité constante, le nombre de pièces produites est directement proportionnel au temps passé, alors 8/x = 17/85.
Donc 17x = 8 ∙ 85 ; x = (8 ∙ 85)/17 ; x = 40.
Réponse : le retourneur aura besoin de 40 heures.
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Exemple
1,6 / 2 = 0,8 ; 4/5 = 0,8 ; 5,6 / 7 = 0,8, etc.Facteur de proportionnalité
Une relation constante de quantités proportionnelles est appelée facteur de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité montre combien d'unités d'une quantité il y a par unité d'une autre.
Proportionnalité directe
Proportionnalité directe- la dépendance fonctionnelle, dans laquelle une certaine quantité dépend d'une autre quantité de telle sorte que leur rapport reste constant. En d'autres termes, ces variables changent proportionnellement, en parts égales, c'est-à-dire que si l'argument change deux fois dans n'importe quelle direction, alors la fonction change également deux fois dans la même direction.
Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :
F(X) = unX,un = const
Proportionnalité inverse
Proportionnalité inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une augmentation de la valeur indépendante (argument) entraîne une diminution proportionnelle de la valeur dépendante (fonction).
Mathématiquement proportionnalité inverse s'écrit sous forme de formule :
Propriétés de la fonction :
Sources
Fondation Wikimédia. 2010.
- Deuxième loi de Newton
- Barrière coulombienne
Voyez ce qu’est la « proportionnalité directe » dans d’autres dictionnaires :
proportionnalité directe- - [A.S. Goldberg. Dictionnaire de l'énergie anglais-russe. 2006] Thèmes énergétiques en général EN rapport direct... Guide du traducteur technique
proportionnalité directe-tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys : engl. proportionnalité directe vok. direkte Proportionalität, f rus. proportionnalité directe, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORTIONNALITÉ- (du latin proportionalis proportionné, proportionnel). Proportionnalité. Dictionnaire mots étrangers, inclus dans la langue russe. Chudinov A.N., 1910. PROPORTIONNALITÉ lat. proportionnel, proportionnel. Proportionnalité. Explication 25000... ... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe
PROPORTIONNALITÉ- PROPORTIONNALITÉ, proportionnalité, pluriel. non, femme (livre). 1. résumé nom à la proportionnelle. Proportionnalité des pièces. Proportionnalité corporelle. 2. Un tel rapport entre les quantités lorsqu'elles sont proportionnelles (voir proportionnel... Dictionnaire Ouchakova
Proportionnalité- Deux grandeurs mutuellement dépendantes sont dites proportionnelles si le rapport de leurs valeurs reste inchangé Contenu 1 Exemple 2 Coefficient de proportionnalité... Wikipédia.
PROPORTIONNALITÉ- PROPORTIONNALITÉ, et, féminine. 1. voir proportionnel. 2. En mathématiques : une telle relation entre des quantités dans laquelle une augmentation de l'une d'elles entraîne une modification de l'autre du même montant. Ligne droite (avec une coupe avec une augmentation d'une valeur... ... Dictionnaire explicatif d'Ojegov
proportionnalité- Et; et. 1. à Proportionnel (1 valeur) ; proportionnalité. P. pièces. P. physique. P. représentation au parlement. 2. Mathématiques. Dépendance entre des quantités proportionnellement changeantes. Facteur de proportionnalité. Ligne directe (dans laquelle avec... ... Dictionnaire encyclopédique
Graphique de proportionnalité directe
Objectifs de la leçon:
Déterminer le type de graphique de proportionnalité directe ;
Étudier la dépendance de l'emplacement du graphique de proportionnalité directe sur le plan de coordonnées sur le signe du nombre k ;
Développer la capacité de construire un graphique de proportionnalité directe à l'aide d'une formule et d'effectuer l'action inverse - écrire la formule d'une fonction selon le graphique ;
Contribuer au développement de l'indépendance, de la responsabilité et de l'exactitude lors de la construction des dessins ;
Apprendre à poser et à résoudre des problèmes ;
Cultivez la volonté et la persévérance pour obtenir les résultats finaux, une attitude respectueuse envers les camarades de classe.
Résultats prévus :
Compétences en matière : répétition matériel théorique sur ce sujet; formation de connaissances et de compétences sur la matière étudiée, consolidation des compétences dans la construction d'un graphique de proportionnalité directe ;
Compétences personnelles d'apprentissage : développer des compétences d'auto-analyse et de maîtrise de soi, des compétences d'élaboration d'algorithmes pour accomplir une tâche donnée, une motivation durable pour apprendre ;
Contrôle de gestion réglementaire : définir un objectif, rechercher les moyens pour l'atteindre, identifier les écarts par rapport à la norme dans son travail, comprendre les causes des erreurs ;
UUD cognitive : la capacité de remplacer les termes par des définitions, de mettre en évidence et de formuler un problème, d'exprimer le sens d'une situation à l'aide d'un algorithme ;
Activités d'apprentissage communicatives : régulation de ses propres activités par des actions de parole, capacité à organiser des interactions pédagogiques en équipe, en binôme, capacité à exprimer un point de vue, en le justifiant par des arguments.
Volet correctif de la leçon :
Répétition répétée d'informations à l'aide de supports matérialisés ;
Elaboration et application de l'algorithme ;
Automatisation de la prononciation et de l'écriture de termes à structure syllabique complexe.
Type de cours : maîtriser de nouvelles connaissances et compétences à l'aide d'éléments.
Principes de formation :
Scientificité ;
Systématicité et cohérence ;
Visibilité;
Confort.
Méthodes d'enseignement : individuelle, frontale, de groupe, verbale-visuelle, recherche partielle.
Matériel de cours : ordinateur, projecteur, présentation multimédia.
Matériel : portrait de R. Descartes, affiche avec déclaration, outils de dessin, crayons de couleur, fiches individuelles et travail en équipeétudiants; Polycopié.
Manuel : « Algèbre. 7e année » : manuel pour les établissements d'enseignement/ [, ]; édité par . – 19e éd. – M. : Éducation, 2012.
Plan de cours:
1. Moment organisationnel.
2. Motivation de la leçon.
3. Actualisation des connaissances de base des étudiants.
4. Formulation du sujet de la leçon, des buts, des objectifs.
5. Étape principale de la leçon :
1) maîtriser de nouvelles connaissances en suivant des instructions ;
2) élaborer un algorithme de construction d'un graphe de proportionnalité directe ;
3) travaux de recherche.
6. Minute d'éducation physique.
7. Consolidation primaire :
1) effectuer des tâches pour développer l'algorithme ;
2) travail indépendant.
8. Devoirs.
9. Résumé de la leçon.
10. Réflexion.
Pendant les cours
I. Moment organisationnel.
(Diapositive 1) Salutation mutuelle. Vérification de la préparation à la leçon.
II. Motivation.
1. (Diapositive 2) – Je voudrais commencer la leçon par les mots suivants : « Je pense, donc j'existe », qui ont été prononcés par le scientifique français René Descartes.
René Descartes est mieux connu comme un grand philosophe. Mais c’est précisément en mathématiques que ses mérites sont si grands qu’il figure à juste titre parmi les grands mathématiciens. Les gars ont préparé des rapports sur la vie et l'œuvre de Descartes.
(Diapositive 3) Message 1. Descartes est né en France, dans la petite ville de Lae. Son père était avocat, sa mère est décédée quand René avait 1 an. Après avoir été diplômé d'un collège pour fils de familles aristocratiques, il commence, à l'instar de son frère, à étudier. A 22 ans, il quitte la France et sert dans diverses troupes comme officier volontaire.
Descartes dans son enseignement philosophique a développé l'idée de la toute-puissance de l'esprit humain et a donc été persécuté église catholique. Voulant trouver refuge pour des travaux tranquilles sur la philosophie et les mathématiques, auxquels il s'intéresse depuis son enfance, Descartes s'installe en Hollande en 1629, où il vécut presque jusqu'à la fin de sa vie. Tous les ouvrages majeurs de Descartes sur la philosophie, les mathématiques, la physique, la cosmologie et la physiologie ont été écrits par lui en Hollande.
(Diapositive 4) Message 2. Descartes a introduit dans les mathématiques les signes « + » et « - » pour désigner les quantités positives et négatives, la désignation d'un degré et le signe pour désigner une quantité infiniment grande. Pour les quantités variables et inconnues, Descartes a adopté la notation x, y, z, et pour les quantités connues et constantes – a, b, c. Ces notations sont utilisées en mathématiques jusqu'à aujourd'hui. Il a introduit un système de coordonnées qui porte son nom. Pendant 150 ans, les mathématiques se sont développées selon les voies tracées par Descartes.
Suivons les conseils du scientifique. Nous serons actifs, attentifs, nous raisonnerons, penserons et apprendrons de nouvelles choses, car la connaissance vous sera utile plus tard dans la vie. Et je voudrais proposer ces paroles de R. Descartes comme devise de notre leçon : « Le respect d'autrui engendre le respect de soi. »
2. – Travaillons maintenant avec les termes mathématiques que nous utiliserons dans la leçon. Effectuez vous-même la tâche n°1 à partir de la carte.
Carte, tâche 1. Corrigez les erreurs commises dans l'orthographe des termes :
Cordées
Ardinata
Coefficient
Argument
En changeant
Échangez les cartes et vérifiez que toutes les erreurs sont corrigées.
(Diapositive 5) – Vérifions la diapositive.
III. Actualisation des connaissances.
– Rappelons la matière principale des leçons précédentes, sur laquelle nous nous appuierons.
1. Définir la proportionnalité directe.
2. (Diapositive 6) – Utilisez la formule pour déterminer laquelle des fonctions est directement proportionnelle :
une) y = 182x ; c) y = -17x2 ;
b) y = ; d) y = 3x + 11.
3. Carte, tâche 2. Répartissez les formules en 2 groupes. Dans le premier groupe, écrivez les fonctions directement proportionnelles, dans le second, celles qui ne le sont pas. Pour une proportionnalité directe, soulignez le coefficient k.
y = 2x ; y = 3x – 7 ; y = -0,2x ; y = ; y = x2 ; oui = x ; y = 8 + 3x ; oui = -x ; y = 70x
(Diapositive 7) – Testez-vous. Qui l'a complété sans erreurs ? Bien joué. Je vois que vous êtes bien préparé pour la leçon et prêt à apprendre du nouveau matériel.
IV. Formulation du sujet de la leçon, des buts, des objectifs.
Nous avons maintenant considéré la proportionnalité directe donnée par la formule. Pensez à comment vous pouvez définir cette fonction autrement ? Quelle méthode est la plus visuelle ? Alors, le sujet de notre cours... (formulé par les étudiants).
Les élèves notent le sujet de la leçon dans leur cahier.
Sur la base des questions directrices de l’enseignant, les élèves formulent les buts et objectifs de la leçon.
V. L'étape principale de la leçon.
1. – Faisons un petit travail pratique.
Chaque élève reçoit une feuille de papier avec la formule de proportionnalité directe. Le but est de travailler avec la formule selon les instructions écrites dans la tâche 3 de la fiche.
(Diapositive 8) y = x y = - x
y = 1,5x y = -1,5x
Carte, tâche 3. Instructions :
- remplissez le tableau des valeurs de fonction pour -3 ≤ x ≤ 3 avec l'étape 1 ; marquer les points dans le plan de coordonnées dont les coordonnées sont placées dans le tableau ; relier les points.
Ensuite les élèves répondent aux questions du professeur :
Où sont les points que vous avez tracés ?
Que s’est-il passé lorsque vous avez relié les points ?
Quelle est la particularité de l'emplacement d'une ligne droite dans le plan de coordonnées ?
Quelle conclusion peut-on en tirer ?
Les élèves formulent une conclusion sur le type de graphique de proportionnalité directe et ses caractéristiques.
Trouvons-le dans le manuel et comparons-le avec celui que nous avons reçu.
2. – Pour construire une droite, combien de points faut-il connaître ?
Nous en avons déjà un. Lequel?
Alors, de combien de points faut-il encore disposer pour construire un graphique de proportionnalité directe ?
Sur la base de ces conclusions, les élèves créent un algorithme pour construire un graphique de proportionnalité directe.
Algorithme
1. Trouvez les coordonnées d'un point sur le graphique d'une fonction donnée (autre que l'origine).
2. Marquez ce point sur le plan de coordonnées.
3. Tracez une ligne droite passant par ce point et l’origine.
3. – Nous allons maintenant faire une petite recherche et tirer une conclusion, et vous découvrirez de quoi il s’agit plus tard.
Levez la main si vous aviez une fonction avec un coefficient k positif. Dans quels quartiers de coordonnées se trouvent vos graphiques ?
Levez la main si vous aviez une fonction avec un coefficient k négatif. Dans quels quartiers de coordonnées se trouvent vos graphiques ?
Par conséquent travail de recherche Les élèves tirent des conclusions sur l'emplacement des graphiques de proportionnalité directe en fonction du signe du coefficient k et les comparent avec les conclusions du manuel.
VI. Minute d'éducation physique. (Diapositive 10)
Ils se levèrent rapidement et sourirent.
Ils s'étendaient de plus en plus haut.
Allez, redresse tes épaules,
Augmenter, abaisser.
Tournez à droite, tournez à gauche,
Touchez vos mains avec vos genoux.
Ils s'assirent et se levèrent. Ils s'assirent et se levèrent.
Et ils ont couru sur place.
VII. Consolidation primaire.
1. Réaliser une tâche pour développer un algorithme pour construire un graphe de proportionnalité directe, trouver à partir du graphe les valeurs d'une fonction basée sur une valeur connue de l'argument et vice versa.
Les élèves complètent les numéros 000(a, b) du manuel dans leurs cahiers et au tableau.
En accomplissant cette tâche, nous répétons avec les élèves la règle de trouver la valeur d'une fonction à partir d'un graphique valeur donnée argument et vice versa (on marque un point sur l'axe des abscisses ; on trace une ligne droite perpendiculaire à l'axe des abscisses jusqu'à ce qu'elle croise le graphique de la fonction ; à partir du point résultant on abaisse la perpendiculaire à l'axe des ordonnées et on trouve l'ordonnée correspondante valeur).
Nous montrons également dans cet exemple que le choix de la bonne taille du segment unitaire et de l'abscisse du point sélectionné est très important.
2. Travail indépendant(sous réserve de disponibilité horaire).
Travaillez selon la figure 26 du manuel.
(Diapositive 11) - Qu'en pensez-vous, est-il possible d'écrire sa formule analytique à l'aide du graphique d'une fonction ?
Avec les étudiants, nous découvrons que tous les graphiques sont des lignes droites passant par l'origine des coordonnées, ce qui signifie que les fonctions sont à proportionnalité directe et peuvent être spécifiées par une formule de la forme y = khx. Le problème revient à trouver le coefficient k. Pour ce faire, sur chaque graphique nous sélectionnons un point arbitraire avec des coordonnées entières.
(Diapositive 12) – Testez-vous.
VIII. Devoirs : paragraphe 15 (apprendre les règles) ; N° 000 (a), 301 (b) – construire des graphiques à l’aide de l’algorithme ; 302 – répondez à la question, réfléchissez à une solution.
IX. Résumé de la leçon.
Qu’avons-nous travaillé en classe aujourd’hui ?
Qu'est-ce qu'un graphique de proportionnalité directe ?
Quel est l'algorithme pour construire un graphique ?
Comment le graphique de la fonction y = khx se situe-t-il dans le plan de coordonnées en k< 0 и при k > 0?
X. Réflexion. (Diapositive 14)
Étiez-vous intéressé par la leçon?
Qui pense qu’il a bien travaillé aujourd’hui ?
Quelles difficultés avez-vous rencontrées pendant le cours ?
(Diapositive 15) - Vous avez fait du bon travail pendant la leçon. Bien joué! Je tiens particulièrement à souligner... Merci à tous ! La leçon est terminée.