Dans cette leçon, nous rappellerons toutes les méthodes de factorisation d'un polynôme précédemment étudiées et considérerons des exemples de leur application. De plus, nous étudierons nouvelle méthode- méthode d'identification d'un carré complet et apprendre à l'appliquer pour résoudre divers problèmes.
Sujet:Factorisation de polynômes
Leçon:Factorisation de polynômes. Méthode de sélection d'un carré complet. Combinaison de méthodes
Rappelons les méthodes de base de factorisation d'un polynôme qui ont été étudiées précédemment :
Méthode consistant à mettre entre parenthèses un facteur commun, c'est-à-dire un facteur présent dans tous les termes du polynôme. Regardons un exemple :
Rappelons qu'un monôme est le produit de puissances et de nombres. Dans notre exemple, les deux termes ont des éléments communs et identiques.
Alors, retirons le facteur commun entre parenthèses :
;
Rappelons qu'en multipliant le facteur retiré par une parenthèse, vous pouvez vérifier l'exactitude du facteur retiré.
Méthode de regroupement. Il n’est pas toujours possible d’extraire un facteur commun dans un polynôme. Dans ce cas, vous devez diviser ses membres en groupes de manière à ce que dans chaque groupe vous puissiez retirer un facteur commun et essayer de le décomposer de sorte qu'après avoir retiré les facteurs des groupes, un facteur commun apparaisse dans le expression entière, et vous pouvez continuer la décomposition. Regardons un exemple :
Regroupons le premier terme avec le quatrième, le deuxième avec le cinquième et le troisième avec le sixième :
Sortons les facteurs communs aux groupes :
L’expression a désormais un facteur commun. Sortons-le :
Application de formules de multiplication abrégées. Regardons un exemple :
;
Écrivons l'expression en détail :
Évidemment, nous avons devant nous la formule de la différence au carré, puisqu'il s'agit de la somme des carrés de deux expressions et que leur double produit en est soustrait. Utilisons la formule :
Aujourd'hui, nous allons apprendre une autre méthode : la méthode de sélection d'un carré complet. Il est basé sur les formules du carré de la somme et du carré de la différence. Rappelons-leur :
Formule du carré de la somme (différence) ;
La particularité de ces formules est qu'elles contiennent les carrés de deux expressions et leur produit double. Regardons un exemple :
Écrivons l'expression :
Ainsi, la première expression est , et la seconde est .
Pour créer une formule pour le carré d’une somme ou d’une différence, il ne suffit pas de doubler le produit des expressions. Il faut ajouter et soustraire :
Complétons le carré de la somme :
Transformons l'expression résultante :
Appliquons la formule de la différence des carrés, rappelons que la différence des carrés de deux expressions est le produit et la somme de leur différence :
Ainsi, cette méthode consiste tout d'abord à identifier les expressions a et b qui sont au carré, c'est-à-dire à déterminer quelles expressions sont au carré dans cet exemple. Après cela, vous devez vérifier la présence d'un produit double et s'il n'y est pas, alors l'ajouter et le soustraire, cela ne changera pas le sens de l'exemple, mais le polynôme peut être factorisé à l'aide des formules du carré de la somme ou la différence et la différence des carrés, si possible.
Passons à la résolution d'exemples.
Exemple 1 - factoriser :
Trouvons des expressions au carré :
Écrivons ce que devrait être leur double produit :
Ajoutons et soustrayons le double du produit :
Complétons le carré de la somme et donnons des carrés similaires :
Écrivons-le en utilisant la formule de la différence des carrés :
Exemple 2 - résoudre l'équation :
;
Du côté gauche de l’équation se trouve un trinôme. Vous devez en tenir compte dans les facteurs. Nous utilisons la formule de différence au carré :
Nous avons le carré de la première expression et le produit double, il manque le carré de la deuxième expression, ajoutons-le et soustrayons-le :
Plions un carré complet et donnons des termes similaires :
Appliquons la formule de la différence des carrés :
On a donc l'équation
On sait que le produit est égal à zéro seulement si au moins un des facteurs égal à zéro. Créons les équations suivantes sur cette base :
Résolvons la première équation :
Résolvons la deuxième équation :
Réponse : ou
;
Nous procédons de la même manière que dans l'exemple précédent : sélectionnons le carré de la différence.
Pour factoriser, il faut simplifier les expressions. Cela est nécessaire pour pouvoir le réduire davantage. Le développement d’un polynôme a du sens lorsque son degré n’est pas inférieur à deux. Un polynôme du premier degré est dit linéaire.
Yandex.RTB R-A-339285-1
L'article couvrira tous les concepts de décomposition, base théorique et des méthodes de factorisation d'un polynôme.
Théorie
Théorème 1Quand tout polynôme de degré n, ayant la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sont représentés comme un produit avec un facteur constant avec le degré le plus élevé a n et n facteurs linéaires (x - x i), i = 1, 2, ..., n, puis P n (x) = une n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , où x i, i = 1, 2, …, n sont les racines du polynôme.
Le théorème est destiné aux racines de type complexe x i, i = 1, 2, …, n et aux coefficients complexes a k, k = 0, 1, 2, …, n. C'est la base de toute décomposition.
Lorsque les coefficients de la forme a k, k = 0, 1, 2,…, n sont des nombres réels, alors les racines complexes apparaîtront par paires conjuguées. Par exemple, les racines x 1 et x 2 sont liées à un polynôme de la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sont considérés comme des conjugués complexes, alors les autres racines sont réelles, d'où on obtient que le polynôme prend la forme P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, où x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Commentaire
Les racines d’un polynôme peuvent être répétées. Considérons la preuve du théorème d'algèbre, conséquence du théorème de Bezout.
Théorème fondamental de l'algèbre
Théorème 2Tout polynôme de degré n possède au moins une racine.
Théorème de Bezout
Après avoir divisé un polynôme de la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sur (x - s), alors on obtient le reste, qui est égal au polynôme au point s, puis on obtient
P n x = un n x n + un n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , où Q n - 1 (x) est un polynôme de degré n - 1.
Corollaire au théorème de Bezout
Lorsque la racine du polynôme P n (x) est considérée comme s, alors P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + une 1 x + une 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Ce corollaire est suffisant pour décrire la solution.
Factoriser un trinôme quadratique
Un trinôme carré de la forme a x 2 + b x + c peut être factorisé en facteurs linéaires. alors nous obtenons que a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , où x 1 et x 2 sont des racines (complexes ou réelles).
Cela montre que le développement lui-même se réduit à résoudre ultérieurement l’équation quadratique.
Exemple 1
Factorisez le trinôme quadratique.
Solution
Il faut trouver les racines de l'équation 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pour ce faire, vous devez trouver la valeur du discriminant à l'aide de la formule, nous obtenons alors D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. De là, nous avons ça
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
De là, nous obtenons que 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Pour effectuer la vérification, vous devez ouvrir les parenthèses. On obtient alors une expression de la forme :
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Après vérification, on arrive à l'expression originale. Autrement dit, nous pouvons conclure que la décomposition a été effectuée correctement.
Exemple 2
Factoriser le trinôme quadratique de la forme 3 x 2 - 7 x - 11 .
Solution
Nous constatons qu'il est nécessaire de calculer l'équation quadratique résultante de la forme 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Pour trouver les racines, vous devez déterminer la valeur du discriminant. Nous obtenons cela
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
De là, nous obtenons que 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Exemple 3
Factorisez le polynôme 2 x 2 + 1.
Solution
Nous devons maintenant résoudre l’équation quadratique 2 x 2 + 1 = 0 et trouver ses racines. Nous obtenons cela
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 je x 2 = - 1 2 = - 1 2 je
Ces racines sont appelées conjuguées complexes, ce qui signifie que l'expansion elle-même peut être représentée comme 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Exemple 4
Décomposez le trinôme quadratique x 2 + 1 3 x + 1 .
Solution
Vous devez d’abord résoudre une équation quadratique de la forme x 2 + 1 3 x + 1 = 0 et trouver ses racines.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 je 2 = - 1 + 35 · je 6 = - 1 6 + 35 6 · je x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · je 2 = - 1 - 35 · je 6 = - 1 6 - 35 6 · je
Après avoir obtenu les racines, nous écrivons
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 je x - - 1 6 - 35 6 je = = x + 1 6 - 35 6 je x + 1 6 + 35 6 je
Commentaire
Si la valeur discriminante est négative, alors les polynômes resteront des polynômes du second ordre. Il s’ensuit que nous ne les développerons pas en facteurs linéaires.
Méthodes de factorisation d'un polynôme de degré supérieur à deux
Lors de la décomposition, une méthode universelle est supposée. La plupart des cas reposent sur un corollaire du théorème de Bezout. Pour ce faire, vous devez sélectionner la valeur de la racine x 1 et réduire son degré en divisant par un polynôme par 1 en divisant par (x - x 1). Le polynôme résultant doit trouver la racine x 2, et le processus de recherche est cyclique jusqu'à ce que nous obtenions un développement complet.
Si la racine n'est pas trouvée, alors d'autres méthodes de factorisation sont utilisées : regroupement, termes supplémentaires. Ce sujet implique la résolution d'équations avec des puissances plus élevées et des coefficients entiers.
Sortir le facteur commun des parenthèses
Considérons le cas où le terme libre est égal à zéro, alors la forme du polynôme devient P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + un 1x.
On peut voir que la racine d'un tel polynôme sera égale à x 1 = 0, alors le polynôme peut être représenté par l'expression P n (x) = an x n + an - 1 x n - 1 +. . . + une 1 x = = x (une n x n - 1 + une n - 1 x n - 2 + . . . + une 1)
Cette méthode est considérée comme prenant le facteur commun hors parenthèses.
Exemple 5
Factorisez le polynôme du troisième degré 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Solution
Nous voyons que x 1 = 0 est la racine du polynôme donné, nous pouvons alors supprimer x des parenthèses de l'expression entière. On a:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Passons à la recherche des racines du trinôme carré 4 x 2 + 8 x - 1. Trouvons le discriminant et les racines :
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Il s'ensuit alors que
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Pour commencer, prenons en considération une méthode de décomposition contenant des coefficients entiers de la forme P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, où le coefficient du degré le plus élevé est 1.
Lorsqu’un polynôme a des racines entières, celles-ci sont alors considérées comme diviseurs du terme libre.
Exemple 6
Décomposez l'expression f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Solution
Voyons s'il existe des racines complètes. Il est nécessaire d'écrire les diviseurs du nombre - 18. Nous obtenons cela ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Il s’ensuit que ce polynôme a des racines entières. Vous pouvez vérifier en utilisant le schéma de Horner. C'est très pratique et permet d'obtenir rapidement les coefficients de dilatation d'un polynôme :
Il s'ensuit que x = 2 et x = - 3 sont les racines du polynôme d'origine, qui peut être représenté comme un produit de la forme :
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
On procède au développement d'un trinôme quadratique de la forme x 2 + 2 x + 3.
Puisque le discriminant est négatif, cela signifie qu’il n’y a pas de véritables racines.
Répondre: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Commentaire
Il est permis d'utiliser la sélection de racines et la division d'un polynôme par un polynôme au lieu du schéma de Horner. Passons à la considération du développement d'un polynôme contenant des coefficients entiers de la forme P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dont le plus élevé est égal à un.
Ce cas se produit pour les fractions rationnelles.
Exemple 7
Factoriser f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Solution
Il faut remplacer la variable y = 2 x, il faut passer à un polynôme à coefficients égaux à 1 au plus haut degré. Vous devez commencer par multiplier l’expression par 4. Nous obtenons cela
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Lorsque la fonction résultante de la forme g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 a des racines entières, alors leur emplacement se trouve parmi les diviseurs du terme libre. L'entrée ressemblera à :
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Passons au calcul de la fonction g (y) en ces points afin d'obtenir zéro comme résultat. Nous obtenons cela
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Nous constatons que y = - 5 est la racine d'une équation de la forme y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ce qui signifie que x = y 2 = - 5 2 est la racine de la fonction d'origine.
Exemple 8
Il faut diviser avec une colonne 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 par x + 5 2.
Solution
Écrivons-le et obtenons :
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
La vérification des diviseurs prendra beaucoup de temps, il est donc plus rentable de factoriser le trinôme quadratique résultant de la forme x 2 + 7 x + 3. En égalisant à zéro, nous trouvons le discriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Il s'ensuit que
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Techniques artificielles pour factoriser un polynôme
Les racines rationnelles ne sont pas inhérentes à tous les polynômes. Pour ce faire, vous devez utiliser des méthodes spéciales pour trouver des facteurs. Mais tous les polynômes ne peuvent pas être développés ou représentés comme un produit.
Méthode de regroupement
Il existe des cas où vous pouvez regrouper les termes d'un polynôme pour trouver un facteur commun et le mettre entre parenthèses.
Exemple 9
Factorisez le polynôme x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Solution
Étant donné que les coefficients sont des nombres entiers, les racines peuvent probablement également être des nombres entiers. Pour vérifier, prenez les valeurs 1, - 1, 2 et - 2 afin de calculer la valeur du polynôme en ces points. Nous obtenons cela
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Cela montre qu’il n’y a pas de racines ; il est nécessaire d’utiliser une autre méthode d’expansion et de solution.
Il faut regrouper :
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Après avoir regroupé le polynôme d'origine, il faut le représenter comme le produit de deux trinômes carrés. Pour ce faire, nous devons factoriser. nous comprenons cela
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Commentaire
La simplicité du regroupement ne signifie pas que le choix des termes soit assez facile. Il n’existe pas de méthode de résolution spécifique, il est donc nécessaire d’utiliser des théorèmes et des règles spéciales.
Exemple 10
Factoriser le polynôme x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Solution
Le polynôme donné n’a pas de racines entières. Les termes doivent être regroupés. Nous obtenons cela
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Après factorisation on obtient ça
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Utiliser des formules de multiplication abrégées et le binôme de Newton pour factoriser un polynôme
Souvent, l’apparence n’indique pas clairement quelle méthode doit être utilisée lors de la décomposition. Une fois les transformations effectuées, vous pouvez construire une droite constituée du triangle de Pascal, sinon on les appelle le binôme de Newton.
Exemple 11
Factorisez le polynôme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Solution
Il est nécessaire de convertir l'expression sous la forme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
La séquence des coefficients de la somme entre parenthèses est indiquée par l'expression x + 1 4 .
Cela signifie que nous avons x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Après avoir appliqué la différence des carrés, on obtient
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Considérez l’expression qui se trouve entre la deuxième parenthèse. Il est clair qu’il n’y a pas de chevaliers là-bas, nous devrions donc réappliquer la formule de la différence des carrés. On obtient une expression de la forme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Exemple 12
Factoriser x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Solution
Commençons par transformer l'expression. Nous obtenons cela
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Il faut appliquer la formule de multiplication abrégée de la différence des cubes. On a:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x2 + x2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Une méthode pour remplacer une variable lors de la factorisation d'un polynôme
Lors du remplacement d'une variable, le degré est réduit et le polynôme est pris en compte.
Exemple 13
Factoriser le polynôme de la forme x 6 + 5 x 3 + 6 .
Solution
D'après la condition, il est clair qu'il faut faire le remplacement y = x 3. On a:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Les racines de l'équation quadratique résultante sont y = - 2 et y = - 3, alors
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Il faut appliquer la formule de multiplication abrégée de la somme des cubes. On obtient des expressions de la forme :
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Autrement dit, nous avons obtenu la décomposition souhaitée.
Les cas évoqués ci-dessus aideront à considérer et à factoriser un polynôme de différentes manières.
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
La factorisation d'une équation est le processus consistant à trouver les termes ou expressions qui, lorsqu'ils sont multipliés, conduisent à équation initiale. La factorisation est une compétence utile pour résoudre des problèmes d'algèbre de base et devient presque essentielle lorsque l'on travaille avec des équations quadratiques et d'autres polynômes. La factorisation est utilisée pour simplifier les équations algébriques afin de les rendre plus faciles à résoudre. La factorisation peut vous aider à éliminer certaines réponses possibles plus rapidement qu’en résolvant une équation à la main.
Pas
Factorisation des nombres et expressions algébriques de base
-
Factorisation des nombres. Le concept de factorisation est simple, mais en pratique, la factorisation peut s'avérer difficile (si une équation complexe est donnée). Par conséquent, examinons d’abord le concept de factorisation en utilisant les nombres comme exemple, puis continuons avec équations simples, puis passez aux équations complexes. Les facteurs d'un nombre donné sont les nombres qui, multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 12 sont les nombres : 1, 12, 2, 6, 3, 4, puisque 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.
- De même, vous pouvez considérer les facteurs d’un nombre comme ses diviseurs, c’est-à-dire les nombres par lesquels il divise. numéro donné.
- Trouvez tous les facteurs du nombre 60. On utilise souvent le nombre 60 (par exemple, 60 minutes dans une heure, 60 secondes dans une minute, etc.) et ce nombre a tout à fait un grand nombre de multiplicateurs.
- 60 multiplicateurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
-
Souviens-toi: les termes d'une expression contenant un coefficient (nombre) et une variable peuvent également être factorisés. Pour ce faire, recherchez les facteurs de coefficient pour la variable. En sachant factoriser les termes des équations, vous pouvez facilement simplifier cette équation.
- Par exemple, le terme 12x peut être écrit comme le produit de 12 et x. Vous pouvez également écrire 12x sous la forme 3(4x), 2(6x), etc., en décomposant 12 en facteurs qui vous conviennent le mieux.
- Vous pouvez distribuer 12x plusieurs fois de suite. En d’autres termes, vous ne devriez pas vous arrêter à 3(4x) ou 2(6x) ; continuer l'expansion : 3(2(2x)) ou 2(3(2x)) (évidemment 3(4x)=3(2(2x)), etc.)
- Par exemple, le terme 12x peut être écrit comme le produit de 12 et x. Vous pouvez également écrire 12x sous la forme 3(4x), 2(6x), etc., en décomposant 12 en facteurs qui vous conviennent le mieux.
-
Appliquez la propriété distributive de la multiplication aux équations algébriques factorielles. En sachant factoriser les nombres et les termes d'expression (coefficients avec variables), vous pouvez simplifier des équations algébriques simples en trouvant le facteur commun d'un nombre et d'un terme d'expression. En règle générale, pour simplifier une équation, vous devez trouver le plus grand facteur commun (PGCD). Cette simplification est possible grâce à la propriété distributive de la multiplication : pour tout nombre a, b, c, l'égalité a(b+c) = ab+ac est vraie.
- Exemple. Factorisez l'équation 12x + 6. Tout d'abord, trouvez le pgcd de 12x et 6. 6 est le plus grand nombre, qui divise à la fois 12x et 6, vous pouvez donc factoriser cette équation en : 6(2x+1).
- Ce processus est également vrai pour les équations comportant des termes négatifs et fractionnaires. Par exemple, x/2+4 peut être pris en compte dans 1/2(x+8) ; par exemple, -7x+(-21) peut être pris en compte dans -7(x+3).
Factorisation d'équations quadratiques
-
Assurez-vous que l'équation est donnée sous forme quadratique (ax 2 + bx + c = 0). Les équations quadratiques ont la forme : ax 2 + bx + c = 0, où a, b, c sont des coefficients numériques autres que 0. Si on vous donne une équation avec une variable (x) et que dans cette équation il y a un ou plusieurs termes avec une variable du second ordre, vous pouvez déplacer tous les termes de l'équation d'un côté de l'équation et la définir égale à zéro.
- Par exemple, étant donné l'équation : 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Cela peut être converti en l'équation x 2 + 6x + 9 = 0, qui est une équation quadratique.
- Équations avec variable x de gros ordres, par exemple x 3, x 4, etc. ne sont pas des équations quadratiques. Il s'agit d'équations cubiques, d'équations du quatrième ordre, etc. (à moins que ces équations puissent être simplifiées en équations quadratiques avec la variable x élevée à la puissance 2).
-
Les équations quadratiques, où a = 1, sont développées en (x+d)(x+e), où d*e=c et d+e=b. Si l'équation quadratique qui vous est donnée a la forme : x 2 + bx + c = 0 (c'est-à-dire que le coefficient de x 2 est 1), alors une telle équation peut (mais n'est pas garantie) être développée dans les facteurs ci-dessus. Pour ce faire, vous devez trouver deux nombres qui, lorsqu'ils sont multipliés, donnent « c » et lorsqu'ils sont ajoutés, « b ». Une fois que vous avez trouvé ces deux nombres (d et e), remplacez-les par l'expression suivante : (x+d)(x+e), qui, en ouvrant les parenthèses, conduit à l'équation originale.
- Par exemple, étant donné une équation quadratique x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 et 3+2=5, vous pouvez donc factoriser cette équation en (x+3)(x+2).
- Pour les termes négatifs, apportez les modifications mineures suivantes au processus de factorisation :
- Si une équation quadratique a la forme x 2 -bx+c, alors elle se développe en : (x-_)(x-_).
- Si une équation quadratique a la forme x 2 -bx-c, alors elle se développe en : (x+_)(x-_).
- Remarque : les espaces peuvent être remplacés par des fractions ou Nombres décimaux. Par exemple, l'équation x 2 + (21/2)x + 5 = 0 est développée en (x+10)(x+1/2).
-
Factorisation par essais et erreurs. Pas compliqué équations du second degré peut être pris en compte en insérant simplement des chiffres dans les solutions possibles jusqu'à ce que vous trouviez la bonne solution. Si l'équation a la forme ax 2 +bx+c, où a>1, les solutions possibles s'écrivent sous la forme (dx +/- _)(ex +/- _), où d et e sont des coefficients numériques non nuls , qui, une fois multiplié, donne a. Soit d soit e (ou les deux coefficients) peuvent être égaux à 1. Si les deux coefficients sont égaux à 1, utilisez alors la méthode décrite ci-dessus.
- Par exemple, étant donné l'équation 3x 2 - 8x + 4. Ici, 3 n'a que deux facteurs (3 et 1), donc les solutions possibles s'écrivent sous la forme (3x +/- _)(x +/- _). Dans ce cas, en remplaçant les espaces par -2, vous trouverez la bonne réponse : -2*3x=-6x et -2*x=-2x ; - 6x+(-2x)=-8x et -2*-2=4, c'est-à-dire qu'une telle expansion lors de l'ouverture des parenthèses conduira aux termes de l'équation d'origine.
Dans cet article vous trouverez toutes les informations nécessaires pour répondre à la question, comment factoriser un nombre en facteurs premiers. Tout d'abord, une idée générale de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers est donnée, et des exemples de décompositions sont donnés. Ce qui suit montre la forme canonique de décomposition d’un nombre en facteurs premiers. Après cela, un algorithme est donné pour décomposer des nombres arbitraires en facteurs premiers et des exemples de décomposition de nombres utilisant cet algorithme sont donnés. Également considéré moyens alternatifs, qui vous permettent de factoriser rapidement de petits entiers en facteurs premiers à l'aide de tests de divisibilité et de tables de multiplication.
Navigation dans les pages.
Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?
Voyons d’abord ce que sont les facteurs premiers.
Il est clair que puisque le mot « facteurs » est présent dans cette phrase, alors il existe un produit de certains nombres, et le mot qualificatif « simple » signifie que chaque facteur est un nombre premier. Par exemple, dans un produit de la forme 2·7·7·23, il y a quatre facteurs premiers : 2, 7, 7 et 23.
Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?
Cela signifie que ce nombre doit être représenté comme un produit de facteurs premiers et que la valeur de ce produit doit être égale au nombre d'origine. A titre d'exemple, considérons le produit de trois nombres premiers 2, 3 et 5, il est égal à 30, donc la décomposition du nombre 30 en facteurs premiers est 2·3·5. Habituellement, la décomposition d'un nombre en facteurs premiers s'écrit comme une égalité ; dans notre exemple, ce sera comme ceci : 30=2·3·5. Nous soulignons séparément que les facteurs premiers du développement peuvent être répétés. Ceci est clairement illustré par l'exemple suivant : 144=2·2·2·2·3·3. Mais une représentation de la forme 45=3.15 n'est pas une décomposition en facteurs premiers, puisque le nombre 15 est un nombre composé.
La question suivante se pose : « Quels nombres peuvent être décomposés en facteurs premiers ? »
À la recherche d’une réponse, nous présentons le raisonnement suivant. Les nombres premiers, par définition, font partie de ceux supérieurs à un. Compte tenu de ce fait et , on peut affirmer que le produit de plusieurs facteurs premiers est un nombre entier nombre positif, dépassant un. Par conséquent, la factorisation en facteurs premiers n’a lieu que pour les entiers positifs supérieurs à 1.
Mais tous les nombres entiers supérieurs à un peuvent-ils être pris en compte en facteurs premiers ?
Il est clair qu’il n’est pas possible de factoriser des entiers simples en facteurs premiers. En effet, les nombres premiers n'ont que deux facteurs positifs : un et lui-même, ils ne peuvent donc pas être représentés comme le produit de deux ou plusieurs nombres premiers. Si l’entier z pouvait être représenté comme le produit des nombres premiers a et b, alors la notion de divisibilité permettrait de conclure que z est divisible à la fois par a et par b, ce qui est impossible en raison de la simplicité du nombre z. Cependant, ils pensent que tout nombre premier est en soi une décomposition.
Et les nombres composés ? Est-ce qu'ils se déplient ? nombres composés en facteurs premiers, et tous les nombres composés sont-ils sujets à une telle décomposition ? Le théorème fondamental de l’arithmétique donne une réponse affirmative à un certain nombre de ces questions. Le théorème de base de l'arithmétique stipule que tout entier a supérieur à 1 peut être décomposé en produit de facteurs premiers p 1, p 2, ..., p n, et la décomposition a la forme a = p 1 · p 2 · … · p n, et ce le développement est unique, si l'on ne prend pas en compte l'ordre des facteurs
Factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers
Dans le développement d’un nombre, les facteurs premiers peuvent être répétés. Les facteurs premiers répétitifs peuvent être écrits de manière plus compacte en utilisant . Supposons que dans la décomposition d'un nombre le facteur premier p 1 apparaisse s 1 fois, le facteur premier p 2 – s 2 fois, et ainsi de suite, p n – s n fois. Alors la factorisation première du nombre a peut s’écrire a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Cette forme d'enregistrement est ce qu'on appelle factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers.
Donnons un exemple de décomposition canonique d'un nombre en facteurs premiers. Faites-nous savoir la décomposition 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sa notation canonique a la forme 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
La factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers permet de retrouver tous les diviseurs du nombre et le nombre de diviseurs du nombre.
Algorithme pour factoriser un nombre en facteurs premiers
Pour réussir à décomposer un nombre en facteurs premiers, vous devez avoir une très bonne connaissance des informations contenues dans l'article Nombres premiers et composés.
L’essence du processus de décomposition d’un nombre entier positif a supérieur à un ressort clairement de la preuve du théorème fondamental de l’arithmétique. Il s'agit de trouver séquentiellement les plus petits diviseurs premiers p 1, p 2, ..., p n des nombres a, a 1, a 2, ..., a n-1, ce qui permet d'obtenir une série d'égalités a=p 1 ·a 1, où a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , où a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , où a n =a n-1:p n . Lorsqu'il s'avère a n =1, alors l'égalité a=p 1 ·p 2 ·…·p n nous donnera la décomposition souhaitée du nombre a en facteurs premiers. Il convient également de noter ici que p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
Reste à comprendre comment trouver les plus petits facteurs premiers à chaque étape, et nous aurons un algorithme pour décomposer un nombre en facteurs premiers. Un tableau de nombres premiers nous aidera à trouver des facteurs premiers. Montrons comment l'utiliser pour obtenir le plus petit diviseur premier du nombre z.
Nous prenons séquentiellement les nombres premiers du tableau des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, etc.) et divisons le nombre z donné par eux. Le premier nombre premier par lequel z est divisé de manière égale sera son plus petit diviseur premier. Si le nombre z est premier, alors son plus petit diviseur premier sera le nombre z lui-même. Il convient également de rappeler ici que si z n'est pas nombre premier, alors son plus petit diviseur premier ne dépasse pas le nombre , où vient de z. Ainsi, si parmi les nombres premiers n'excédant pas , il n'y avait pas un seul diviseur du nombre z, alors on peut conclure que z est un nombre premier (plus d'informations à ce sujet sont écrites dans la section théorie sous la rubrique Ce nombre est premier ou composé ).
A titre d'exemple, nous allons montrer comment trouver le plus petit diviseur premier du nombre 87. Prenons le chiffre 2. Divisez 87 par 2, nous obtenons 87:2=43 (1 restant) (si nécessaire, voir article). Autrement dit, lorsque l’on divise 87 par 2, le reste est 1, donc 2 n’est pas un diviseur de 87. On prend le nombre premier suivant du tableau des nombres premiers, c'est le nombre 3. Divisez 87 par 3, nous obtenons 87:3=29. Ainsi, 87 est divisible par 3, donc le nombre 3 est le plus petit diviseur premier du nombre 87.
Notez que dans le cas général, pour factoriser un nombre a en facteurs premiers, nous avons besoin d'un tableau de nombres premiers jusqu'à un nombre non inférieur à . Nous devrons nous référer à ce tableau à chaque étape, nous devons donc l'avoir à portée de main. Par exemple, pour factoriser le nombre 95 en facteurs premiers, nous n'aurons besoin que d'un tableau de nombres premiers jusqu'à 10 (puisque 10 est supérieur à ). Et pour décomposer le nombre 846 653, vous aurez déjà besoin d'un tableau de nombres premiers jusqu'à 1 000 (puisque 1 000 est supérieur à ).
Nous avons maintenant suffisamment d'informations pour écrire algorithme pour factoriser un nombre en facteurs premiers. L'algorithme de décomposition du nombre a est le suivant :
- En triant séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, nous trouvons le plus petit diviseur premier p 1 du nombre a, après quoi nous calculons a 1 =a:p 1. Si a 1 = 1, alors le nombre a est premier, et il est lui-même sa décomposition en facteurs premiers. Si a 1 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·a 1 et passons à l'étape suivante.
- Nous trouvons le plus petit diviseur premier p 2 du nombre a 1 , pour ce faire, nous trions séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 1 , puis calculons a 2 =a 1:p 2 . Si a 2 =1, alors la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers a la forme a=p 1 ·p 2. Si a 2 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·p 2 ·a 2 et passons à l'étape suivante.
- En parcourant les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 2, on trouve le plus petit diviseur premier p 3 du nombre a 2, après quoi on calcule a 3 =a 2:p 3. Si a 3 =1, alors la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers a la forme a=p 1 ·p 2 ·p 3. Si a 3 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 et passons à l'étape suivante.
- On trouve le plus petit diviseur premier p n du nombre a n-1 en triant les nombres premiers, en commençant par p n-1, ainsi que a n = a n-1:p n, et a n est égal à 1. Cette étape est la dernière étape de l'algorithme ; on obtient ici la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers : a=p 1 ·p 2 ·…·p n.
Pour plus de clarté, tous les résultats obtenus à chaque étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers sont présentés sous la forme du tableau suivant, dans lequel les nombres a, a 1, a 2, ..., an sont écrits séquentiellement dans une colonne à gauche de la ligne verticale et à droite de la ligne - les plus petits diviseurs premiers correspondants p 1, p 2, ..., p n.
Il ne reste plus qu'à considérer quelques exemples d'application de l'algorithme résultant pour décomposer les nombres en facteurs premiers.
Exemples de factorisation première
Maintenant, nous allons regarder en détail exemples de factorisation de nombres en facteurs premiers. Lors de la décomposition, nous utiliserons l'algorithme du paragraphe précédent. Commençons avec cas simples, et nous les compliquerons progressivement afin de rencontrer toutes les nuances possibles qui surviennent lors de la décomposition des nombres en facteurs simples.
Exemple.
Factorisez le nombre 78 dans ses facteurs premiers.
Solution.
On commence la recherche du premier plus petit diviseur premier p 1 du nombre a=78. Pour ce faire, nous commençons à trier séquentiellement les nombres premiers du tableau des nombres premiers. Nous prenons le nombre 2 et divisons 78 par celui-ci, nous obtenons 78:2=39. Le nombre 78 est divisé par 2 sans reste, donc p 1 =2 est le premier diviseur premier trouvé du nombre 78. Dans ce cas, a 1 =a:p 1 =78:2=39. On arrive donc à l'égalité a=p 1 ·a 1 de la forme 78=2·39. Évidemment, un 1 = 39 est différent de 1, on passe donc à la deuxième étape de l'algorithme.
Nous recherchons maintenant le plus petit diviseur premier p 2 du nombre a 1 =39. Nous commençons par énumérer les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 1 =2. Divisez 39 par 2, nous obtenons 39:2=19 (1 restant). Puisque 39 n’est pas divisible par 2, alors 2 n’est pas son diviseur. Ensuite, nous prenons le nombre suivant du tableau des nombres premiers (numéro 3) et divisons 39 par celui-ci, nous obtenons 39 : 3 = 13. Par conséquent, p 2 =3 est le plus petit diviseur premier du nombre 39, tandis que a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. On a l'égalité a=p 1 ·p 2 ·a 2 sous la forme 78=2·3·13. Puisque a 2 = 13 est différent de 1, passons à l’étape suivante de l’algorithme.
Ici, nous devons trouver le plus petit diviseur premier du nombre a 2 =13. À la recherche du plus petit diviseur premier p 3 du nombre 13, nous trierons séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 2 =3. Le nombre 13 n'est pas divisible par 3, puisque 13:3=4 (rest. 1), et 13 n'est pas non plus divisible par 5, 7 et 11, puisque 13:5=2 (rest. 3), 13:7=1 (reste 6) et 13:11 = 1 (reste 2). Le nombre premier suivant est 13, et 13 est divisible par lui sans reste, donc le plus petit diviseur premier p 3 de 13 est le nombre 13 lui-même, et a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Puisque a 3 =1, cette étape de l'algorithme est la dernière, et la décomposition requise du nombre 78 en facteurs premiers a la forme 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).
Répondre:
78=2·3·13.
Exemple.
Exprimez le nombre 83 006 comme un produit de facteurs premiers.
Solution.
A la première étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers, on trouve p 1 =2 et a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503, d'où 83 006=2·41 503.
À la deuxième étape, nous découvrons que 2, 3 et 5 ne sont pas des diviseurs premiers du nombre a 1 = 41 503, mais que le nombre 7 l'est, puisque 41 503 : 7 = 5 929. Nous avons p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929. Ainsi, 83 006 = 2 7 5 929.
Le plus petit diviseur premier du nombre a 2 =5 929 est le nombre 7, puisque 5 929:7 = 847. Ainsi, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, d'où 83 006 = 2·7·7·847.
Nous constatons ensuite que le plus petit diviseur premier p 4 du nombre a 3 =847 est égal à 7. Alors a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, donc 83 006=2·7·7·7·121.
On trouve maintenant le plus petit diviseur premier du nombre a 4 =121, c'est le nombre p 5 =11 (puisque 121 est divisible par 11 et non divisible par 7). Alors a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, et 83 006=2·7·7·7·11·11.
Enfin, le plus petit diviseur premier du nombre a 5 =11 est le nombre p 6 =11. Alors a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Puisque a 6 =1, cette étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers est la dernière, et la décomposition souhaitée a la forme 83 006 = 2·7·7·7·11·11.
Le résultat obtenu peut s'écrire comme la décomposition canonique du nombre en facteurs premiers 83 006 = 2·7 3 ·11 2.
Répondre:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 est un nombre premier. En effet, il ne possède pas un seul diviseur premier n'excédant pas ( peut être grossièrement estimé à , puisqu'il est évident que 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Répondre:
897 924 289 = 937 967 991 .
Utilisation de tests de divisibilité pour la factorisation première
Dans des cas simples, vous pouvez décomposer un nombre en facteurs premiers sans utiliser l'algorithme de décomposition du premier paragraphe de cet article. Si les nombres ne sont pas grands, alors pour les décomposer en facteurs premiers, il suffit souvent de connaître les signes de divisibilité. Donnons des exemples pour clarifier.
Par exemple, nous devons factoriser le nombre 10 en facteurs premiers. D'après la table de multiplication, nous savons que 2·5=10, et que les nombres 2 et 5 sont évidemment premiers, donc la factorisation première du nombre 10 ressemble à 10=2·5.
Un autre exemple. À l’aide de la table de multiplication, nous allons factoriser le nombre 48 en facteurs premiers. Nous savons que six fait huit - quarante-huit, soit 48 = 6·8. Cependant, ni 6 ni 8 ne sont des nombres premiers. Mais nous savons que deux fois trois font six, et deux fois quatre font huit, c'est-à-dire 6=2·3 et 8=2·4. Alors 48=6·8=2·3·2·4. Il reste à rappeler que deux fois deux font quatre, on obtient alors la décomposition souhaitée en facteurs premiers 48 = 2·3·2·2·2. Écrivons ce développement sous forme canonique : 48=2 4 ·3.
Mais lorsque vous factorisez le nombre 3 400 en facteurs premiers, vous pouvez utiliser les critères de divisibilité. Les signes de divisibilité par 10, 100 permettent d'affirmer que 3 400 est divisible par 100, avec 3 400=34.100, et 100 est divisible par 10, avec 100=10.10, donc 3.400=34.10.10. Et à partir du test de divisibilité par 2, on peut dire que chacun des facteurs 34, 10 et 10 est divisible par 2, on obtient 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Tous les facteurs de l’expansion résultante sont simples, cette expansion est donc celle souhaitée. Il ne reste plus qu'à réorganiser les facteurs pour qu'ils soient classés par ordre croissant : 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Notons également la décomposition canonique de ce nombre en facteurs premiers : 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.
Lors de la décomposition d'un nombre donné en facteurs premiers, vous pouvez utiliser tour à tour les signes de divisibilité et la table de multiplication. Imaginons le nombre 75 comme un produit de facteurs premiers. Le test de divisibilité par 5 permet d'affirmer que 75 est divisible par 5, et on obtient que 75 = 5.15. Et d'après la table de multiplication, nous savons que 15=3·5, donc 75=5·3·5. C'est la décomposition requise du nombre 75 en facteurs premiers.
Bibliographie.
- Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.
- Vinogradov I.M. Fondamentaux de la théorie des nombres.
- Mikhelovich Sh.H. La théorie du nombre.
- Kulikov L.Ya. et autres. Recueil de problèmes d'algèbre et de théorie des nombres : manuel pour les étudiants en physique et en mathématiques. spécialités des instituts pédagogiques.
Factoriser un polynôme. Partie 1
Factorisation est une technique universelle qui permet de résoudre des équations et des inégalités complexes. La première pensée qui devrait venir à l’esprit lors de la résolution d’équations et d’inégalités dans lesquelles il y a un zéro du côté droit est d’essayer de factoriser le côté gauche.
Listons les principaux façons de factoriser un polynôme:
- mettre le facteur commun entre parenthèses
- utiliser des formules de multiplication abrégées
- en utilisant la formule de factorisation d'un trinôme quadratique
- méthode de regroupement
- diviser un polynôme par un binôme
- méthode des coefficients incertains
Dans cet article, nous nous attarderons en détail sur les trois premières méthodes ; nous examinerons le reste dans les articles suivants.
1. Retirer le facteur commun des parenthèses.
Pour sortir le facteur commun des parenthèses, il faut d’abord le trouver. Facteur multiplicateur communégal au plus grand diviseur commun de tous les coefficients.
Partie lettre le facteur commun est égal au produit des expressions incluses dans chaque terme avec le plus petit exposant.
Le schéma d'attribution d'un multiplicateur commun ressemble à ceci :
Attention!
Le nombre de termes entre parenthèses est égal au nombre de termes dans l’expression originale. Si l'un des termes coïncide avec le facteur commun, alors en le divisant par le facteur commun, nous obtenons un.
Exemple 1.
Factoriser le polynôme :
Sortons le facteur commun des parenthèses. Pour ce faire, nous allons d’abord le trouver.
1. Trouvez le plus grand diviseur commun de tous les coefficients du polynôme, c'est-à-dire les nombres 20, 35 et 15. Il est égal à 5.
2. Nous établissons que la variable est contenue dans tous les termes et que le plus petit de ses exposants est égal à 2. La variable est contenue dans tous les termes et le plus petit de ses exposants est 3.
La variable est contenue uniquement dans le deuxième terme, elle ne fait donc pas partie du facteur commun.
Le facteur total est donc
3. On sort le multiplicateur des parenthèses en utilisant le schéma donné ci-dessus :
Exemple 2. Résous l'équation:
Solution. Factorisons le côté gauche de l'équation. Retirons le facteur entre parenthèses :
On obtient donc l'équation
Assumons chaque facteur à zéro :
Nous obtenons - la racine de la première équation.
Racines:
Réponse : -1, 2, 4
2. Factorisation à l'aide de formules de multiplication abrégées.
Si le nombre de termes du polynôme que nous allons factoriser est inférieur ou égal à trois, alors nous essayons d'appliquer les formules de multiplication abrégées.
1. Si le polynôme estdifférence de deux termes, puis nous essayons d'appliquer formule de différence carrée:
ou formule de différence de cubes:
Voici les lettres et désignent un nombre ou une expression algébrique.
2. Si un polynôme est la somme de deux termes, alors peut-être peut-on le factoriser en utilisant formules de somme de cubes:
3. Si un polynôme est constitué de trois termes, alors on essaie d'appliquer formule de somme carrée:
ou formule de différence au carré:
Ou on essaie de factoriser par formule pour factoriser un trinôme quadratique:
Voici et sont les racines de l'équation quadratique
Exemple 3.Factorisez l'expression :
Solution. Nous avons devant nous la somme de deux termes. Essayons d'appliquer la formule de la somme des cubes. Pour ce faire, vous devez d'abord représenter chaque terme comme un cube d'une expression, puis appliquer la formule de la somme des cubes :
Exemple 4. Factorisez l'expression :
Décision. Nous avons ici la différence des carrés de deux expressions. Première expression : , deuxième expression :
Appliquons la formule de la différence des carrés :
Ouvrons les parenthèses et ajoutons des termes similaires, nous obtenons :