Les systèmes d'équations sont largement utilisés dans le secteur économique pour la modélisation mathématique de divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de la production, les itinéraires logistiques ( problème de transport) ou le placement des équipements.
Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement en mathématiques, mais également en physique, en chimie et en biologie, pour résoudre des problèmes liés à la détermination de la taille d'une population.
Système équations linéaires nommer deux ou plusieurs équations à plusieurs variables pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution commune. Une telle séquence de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la séquence n'existe pas.
Équation linéaire
Les équations de la forme ax+by=c sont dites linéaires. Les désignations x, y sont les inconnues dont il faut trouver la valeur, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
Résoudre une équation en la traçant ressemblera à une ligne droite dont tous les points sont des solutions du polynôme.
Types de systèmes d'équations linéaires
Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.
F1(x, y) = 0 et F2(x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.
Résoudre un système d'équations - cela signifie trouver des valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité ou établir que valeurs appropriées x et y n'existent pas.
Une paire de valeurs (x, y), écrites sous la forme des coordonnées d'un point, est appelée solution d'un système d'équations linéaires.
Si les systèmes ont une solution commune ou qu’aucune solution n’existe, ils sont appelés équivalents.
Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes dont le membre droit est égal à zéro. Si la partie droite après le signe égal a une valeur ou est exprimée par une fonction, un tel système est hétérogène.
Le nombre de variables peut être bien supérieur à deux, nous devrions alors parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.
Face aux systèmes, les écoliers supposent que le nombre d’équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d’inconnues, mais ce n’est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables ; il peut y en avoir autant que l'on souhaite.
Méthodes simples et complexes pour résoudre des systèmes d'équations
Il n'existe pas de méthode analytique générale pour résoudre de tels systèmes ; toutes les méthodes sont basées sur des solutions numériques. Le cours de mathématiques scolaires décrit en détail des méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que les méthodes graphiques et matricielles, solution par la méthode gaussienne.
La tâche principale lors de l'enseignement des méthodes de résolution est d'apprendre à analyser correctement le système et à trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser un système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'utilisation d'une méthode particulière
La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires dans le programme d'enseignement général de 7e année est assez simple et expliquée de manière très détaillée. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d’attention. La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années de l'enseignement supérieur.
Résolution de systèmes par la méthode de substitution
Les actions de la méthode de substitution visent à exprimer la valeur d'une variable en fonction de la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme à une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système
Donnons une solution à un exemple de système d'équations linéaires de classe 7 utilisant la méthode de substitution :
Comme le montre l'exemple, la variable x a été exprimée par F(X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2ème équation du système à la place de X, a permis d'obtenir une variable Y dans la 2ème équation . La résolution de cet exemple est simple et permet d'obtenir la valeur Y. La dernière étape consiste à vérifier les valeurs obtenues.
Il n'est pas toujours possible de résoudre un exemple de système d'équations linéaires par substitution. Les équations peuvent être complexes et exprimer la variable en termes de seconde inconnue sera trop fastidieux pour des calculs ultérieurs. Lorsqu’il y a plus de 3 inconnues dans le système, la résolution par substitution est également peu pratique.
Solution d'un exemple de système d'équations inhomogènes linéaires :
Solution utilisant l'addition algébrique
Lors de la recherche de solutions de systèmes à l'aide de la méthode d'addition, les équations sont ajoutées terme par terme et multipliées par différents nombres. Le but ultime des opérations mathématiques est une équation à une variable.
L'application de cette méthode nécessite de la pratique et de l'observation. Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition lorsqu'il y a 3 variables ou plus n'est pas facile. L'addition algébrique est pratique à utiliser lorsque les équations contiennent des fractions et des décimales.
Algorithme de solution :
- Multipliez les deux côtés de l’équation par un certain nombre. Par conséquent action arithmétique l'un des coefficients de la variable doit devenir égal à 1.
- Ajoutez l'expression obtenue terme par terme et trouvez l'une des inconnues.
- Remplacez la valeur résultante dans la 2ème équation du système pour trouver la variable restante.
Méthode de solution en introduisant une nouvelle variable
Une nouvelle variable peut être introduite si le système nécessite de trouver une solution pour pas plus de deux équations ; le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.
La méthode est utilisée pour simplifier l'une des équations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue pour l'inconnue introduite et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.
L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il a été possible de réduire la 1ère équation du système à l'équation standard trinôme quadratique. Vous pouvez résoudre un polynôme en trouvant le discriminant.
Il faut trouver la valeur du discriminant à l'aide de la formule bien connue : D = b2 - 4*a*c, où D est le discriminant recherché, b, a, c sont les facteurs du polynôme. Dans l'exemple donné, a=1, b=16, c=39, donc D=100. Si le discriminant est supérieur à zéro, alors il existe deux solutions : t = -b±√D / 2*a, si le discriminant est inférieur à zéro, alors il existe une solution : x = -b / 2*a.
La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d’addition.
Méthode visuelle pour résoudre des systèmes
Convient pour 3 systèmes d'équations. La méthode consiste à construire des graphiques de chaque équation incluse dans le système sur l'axe des coordonnées. Les coordonnées des points d'intersection des courbes et seront décision générale systèmes.
La méthode graphique présente un certain nombre de nuances. Examinons plusieurs exemples de résolution visuelle de systèmes d'équations linéaires.
Comme le montre l'exemple, pour chaque ligne deux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement : 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées : 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne.
Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d'intersection des droites est la solution du système.
L'exemple suivant nécessite de trouver solution graphique systèmes d'équations linéaires : 0,5x-y+2=0 et 0,5x-y-1=0.
Comme le montre l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphiques sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.
Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais une fois construits, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il ne faut pas oublier qu’il n’est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non ; il faut toujours construire un graphe ;
La matrice et ses variétés
Les matrices sont utilisées pour écrire de manière concise un système d’équations linéaires. Une matrice est un type spécial de tableau rempli de nombres. n*m a n lignes et m colonnes.
Une matrice est carrée lorsque le nombre de colonnes et de lignes sont égaux. Une matrice-vecteur est une matrice d'une colonne avec un nombre infini de lignes. Une matrice avec des uns le long d’une des diagonales et d’autres éléments nuls est appelée identité.
Une matrice inverse est une matrice, lorsqu'elle est multipliée par laquelle celle d'origine se transforme en une matrice unitaire ; une telle matrice n'existe que pour la matrice carrée d'origine ;
Règles pour convertir un système d'équations en matrice
En ce qui concerne les systèmes d'équations, les coefficients et les termes libres des équations sont écrits sous forme de nombres matriciels ; une équation correspond à une ligne de la matrice.
Une ligne d’une matrice est dite non nulle si au moins un élément de la ligne ne l’est pas égal à zéro. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, il est alors nécessaire d'entrer zéro à la place de l'inconnue manquante.
Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictement aux variables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple la première, le coefficient de l'inconnu y - uniquement dans la seconde.
Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont multipliés séquentiellement par un nombre.
Options pour trouver la matrice inverse
La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple : K -1 = 1 / |K|, où K -1 est la matrice inverse, et |K| est le déterminant de la matrice. |K| ne doit pas être égal à zéro, alors le système a une solution.
Le déterminant se calcule facilement pour une matrice deux par deux ; il suffit de multiplier les éléments diagonaux les uns par les autres. Pour l'option « trois par trois », il existe une formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + une 3 b 2 c 1 . Vous pouvez utiliser la formule ou vous rappeler que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que le nombre de colonnes et de lignes d'éléments ne se répète pas dans le travail.
Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle
La méthode matricielle de recherche d'une solution vous permet de réduire les saisies fastidieuses lors de la résolution de systèmes comportant un grand nombre de variables et d'équations.
Dans l'exemple, a nm sont les coefficients des équations, la matrice est un vecteur x n sont des variables et b n sont des termes libres.
Résolution de systèmes par la méthode gaussienne
En mathématiques supérieures, la méthode gaussienne est étudiée avec la méthode Cramer, et le processus de recherche de solutions aux systèmes est appelé méthode de solution Gauss-Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver des variables de systèmes comportant un grand nombre d'équations linéaires.
La méthode de Gauss est très similaire aux solutions utilisant des substitutions et addition algébrique, mais plus systématique. Dans le cours scolaire, la solution par la méthode gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de réduire le système à la forme d'un trapèze inversé. Par transformations algébriques et substitutions, la valeur d'une variable se retrouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression à 2 inconnues, tandis que 3 et 4 sont respectivement à 3 et 4 variables.
Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.
Dans les manuels scolaires de la 7e année, un exemple de solution par la méthode Gauss est décrit comme suit :
Comme le montre l'exemple, à l'étape (3), deux équations ont été obtenues : 3x 3 -2x 4 =11 et 3x 3 +2x 4 =7. La résolution de l'une des équations vous permettra de connaître l'une des variables x n.
Le théorème 5, mentionné dans le texte, stipule que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à celui d'origine.
La méthode Gauss est difficile à comprendre pour les étudiants lycée, mais c'est l'un des plus façons intéressantes développer l’ingéniosité des enfants inscrits dans des programmes d’études avancées en mathématiques et en physique.
Pour faciliter l'enregistrement, les calculs sont généralement effectués comme suit :
Les coefficients des équations et termes libres sont écrits sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice correspond à l'une des équations du système. sépare le côté gauche de l’équation du côté droit. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations du système.
Notez d’abord la matrice à travailler, puis toutes les actions réalisées avec l’une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe "flèche" et les opérations algébriques nécessaires sont poursuivies jusqu'à ce que le résultat soit obtenu.
Le résultat devrait être une matrice dans laquelle l'une des diagonales est égale à 1 et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est réduite à une forme unitaire. Il ne faut pas oublier d'effectuer des calculs avec des nombres des deux côtés de l'équation.
Cette méthode d'enregistrement est moins lourde et permet de ne pas se laisser distraire par la liste de nombreuses inconnues.
L'utilisation gratuite de n'importe quelle méthode de résolution nécessitera de la prudence et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certaines méthodes pour trouver des solutions sont plus préférables dans un domaine particulier de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins pédagogiques.
Considérons d'abord le cas où le nombre d'équations est égal au nombre de variables, c'est-à-dire m = n. Alors la matrice du système est carrée et son déterminant est appelé le déterminant du système.
Méthode matricielle inverse
Considérons sous forme générale le système d'équations AX = B avec non dégénéré matrice carrée A. Dans ce cas, il existe une matrice inverse A -1. Multiplions les deux côtés par A -1 à gauche. On obtient A -1 AX = A -1 B. D'où EX = A -1 B et
La dernière égalité est une formule matricielle permettant de trouver des solutions à de tels systèmes d'équations. L'utilisation de cette formule est appelée méthode matricielle inverse.
Par exemple, utilisons cette méthode pour résoudre le système suivant :
;
À la fin de la résolution du système, vous pouvez vérifier en remplaçant les valeurs trouvées dans les équations du système. Ce faisant, ils doivent se transformer en véritables égalités.
Pour l'exemple considéré, vérifions :
Méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires à matrice carrée à l'aide des formules de Cramer
Soit n= 2 :
Si nous multiplions les deux côtés de la première équation par a 22 et les deux côtés de la seconde par (-a 12), puis additionnons les équations résultantes, alors nous éliminons la variable x 2 du système. De même, vous pouvez éliminer la variable x 1 (en multipliant les deux côtés de la première équation par (-a 21) et les deux côtés de la seconde par un 11). En conséquence, nous obtenons le système :
L'expression entre parenthèses est le déterminant du système
Notons
Le système prendra alors la forme :
Du système résultant, il s'ensuit que si le déterminant du système est 0, alors le système sera cohérent et défini. Sa seule solution peut être calculée à l'aide des formules :
Si = 0, a 1 0 et/ou 2 0, alors les équations du système prendront la forme 0*x 1 = 2 et/ou 0*x 1 = 2. Dans ce cas, le système sera incohérent.
Dans le cas où = 1 = 2 = 0, le système sera cohérent et indéfini (aura un nombre infini de solutions), puisqu'il prendra la forme :
Théorème de Cramer(nous omettons la preuve). Si le déterminant de la matrice d'un système d'équations n'est pas égal à zéro, alors le système a une solution unique, déterminée par les formules :
,
où j est le déterminant de la matrice obtenue à partir de la matrice A en remplaçant la j-ième colonne par une colonne de termes libres.
Les formules ci-dessus sont appelées Formules Cramer.
À titre d'exemple, utilisons cette méthode pour résoudre un système précédemment résolu à l'aide de la méthode de la matrice inverse :
Inconvénients des méthodes envisagées :
1) intensité de travail significative (calcul des déterminants et recherche de la matrice inverse) ;
2) portée limitée (pour les systèmes à matrice carrée).
Les situations économiques réelles sont souvent modélisées par des systèmes dans lesquels le nombre d'équations et de variables est assez important et il y a plus d'équations que de variables. Par conséquent, dans la pratique, la méthode suivante est plus courante.
Méthode gaussienne (méthode d'élimination séquentielle de variables)
Cette méthode est utilisée pour résoudre un système de m équations linéaires à n variables dans vue générale. Son essence réside dans l'application d'un système de transformations équivalentes à la matrice étendue, à l'aide de laquelle le système d'équations est transformé en une forme où ses solutions deviennent faciles à trouver (le cas échéant).
C'est le genre de choses dans lesquelles la gauche partie supérieure La matrice du système sera une matrice échelonnée. Ceci est réalisé en utilisant les mêmes techniques que celles utilisées pour obtenir une matrice d'étapes permettant de déterminer le rang. Dans ce cas, des transformations élémentaires sont appliquées à la matrice étendue, ce qui permettra d'obtenir un système d'équations équivalent. Après cela, la matrice développée prendra la forme :
L'obtention d'une telle matrice s'appelle tout droit Méthode Gauss.
Trouver les valeurs des variables du système d'équations correspondant s'appelle en marche arrière Méthode Gauss. Considérons-le.
Notez que les dernières (m – r) équations prendront la forme :
Si au moins un des chiffres
n'est pas égal à zéro, alors l'égalité correspondante sera fausse et l'ensemble du système sera incohérent.
Par conséquent, pour tout système commun
. Dans ce cas, les dernières (m – r) équations pour toutes les valeurs des variables seront les identités 0 = 0, et elles peuvent être ignorées lors de la résolution du système (il suffit de supprimer les lignes correspondantes).
Après cela, le système ressemblera à :
Considérons d’abord le cas où r=n. Le système prendra alors la forme :
À partir de la dernière équation du système, x r peut être trouvé de manière unique.
Connaissant x r, nous pouvons en exprimer sans ambiguïté x r -1. Puis à partir de l'équation précédente, connaissant x r et x r -1, on peut exprimer x r -2, etc. jusqu'à x1.
Donc, dans ce cas, le système sera conjoint et défini.
Considérons maintenant le cas où r
À partir de cette équation, nous pouvons exprimer la variable de base x r en termes de variables non fondamentales :
L’avant-dernière équation ressemblera à :
En substituant l'expression résultante à la place de x r, il sera possible d'exprimer la variable de base x r -1 en termes de variables non basiques. Etc. à variablex 1 . Pour obtenir une solution au système, vous pouvez assimiler les variables non fondamentales à des valeurs arbitraires, puis calculer les variables de base à l'aide des formules résultantes. Ainsi, dans ce cas, le système sera cohérent et indéfini (avoir un nombre infini de solutions).
Par exemple, résolvons le système d'équations :
Nous appellerons l'ensemble des variables de base base systèmes. Nous appellerons également l'ensemble des colonnes de coefficients pour eux base(colonnes de base), ou mineur de base matrices du système. La solution du système dans lequel toutes les variables non fondamentales sont égales à zéro sera appelée solution de base.
Dans l'exemple précédent, la solution de base sera (4/5 ; -17/5 ; 0 ; 0) (les variables x 3 et x 4 (c 1 et c 2) sont mises à zéro, et les variables de base x 1 et x 2 sont calculés à travers eux) . Pour donner un exemple de solution non basique, nous devons assimiler x 3 et x 4 (c 1 et c 2) à des nombres arbitraires qui ne sont pas simultanément nuls et calculer les variables restantes à travers eux. Par exemple, avec 1 = 1 et 2 = 0, on obtient une solution non basique - (4/5 ; -12/5 ; 1 ; 0). Par substitution, il est facile de vérifier que les deux solutions sont correctes.
Il est évident que dans un système indéfini, il peut y avoir une infinité de solutions non fondamentales. Combien de solutions de base peut-il y avoir ? Chaque ligne de la matrice transformée doit correspondre à une variable de base. Il y a n variables dans le problème et r lignes de base. Par conséquent, le nombre de tous les ensembles possibles de variables de base ne peut pas dépasser le nombre de combinaisons de n par 2. C'est peut-être moins que , car il n'est pas toujours possible de transformer le système sous une forme telle que cet ensemble particulier de variables constitue la base.
De quel genre s'agit-il ? C'est le type dans lequel la matrice formée de colonnes de coefficients pour ces variables sera échelonnée, et en même temps sera composée de r lignes. Ceux. le rang de la matrice des coefficients pour ces variables doit être égal à r. Il ne peut pas être plus grand, puisque le nombre de colonnes est égal. S'il s'avère inférieur à r, cela indique une dépendance linéaire des colonnes aux variables. De telles colonnes ne peuvent pas constituer une base.
Examinons quelles autres solutions de base peuvent être trouvées dans l'exemple discuté ci-dessus. Pour ce faire, considérez toutes les combinaisons possibles de quatre variables, deux de base chacune. Il y aura de telles combinaisons
, et l'un d'eux (x 1 et x 2) a déjà été considéré.
Prenons les variables x 1 et x 3. Trouvons pour eux le rang de la matrice de coefficients :
Puisqu’il est égal à deux, ils peuvent être basiques. Égalons les variables non fondamentales x 2 et x 4 à zéro : x 2 = x 4 = 0. Ensuite, de la formule x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4, il s'ensuit que x 1 = 4 /5, et de la formule x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 il s'ensuit que x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Ainsi, on obtient la solution de base (4/5 ; 0 ; 17/5 ; 0).
De même, vous pouvez obtenir des solutions de base pour les variables de base x 1 et x 4 – (9/7 ; 0 ; 0 ; -17/7) ; x 2 et x 4 – (0 ; -9 ; 0 ; 4) ; x 3 et x 4 – (0 ; 0 ; 9 ; 4).
Les variables x 2 et x 3 dans cet exemple ne peuvent pas être considérées comme des variables de base, puisque le rang de la matrice correspondante est égal à un, c'est-à-dire moins de deux :
.
Une autre approche pour déterminer s’il est possible ou non de construire une base à partir de certaines variables est également possible. Lors de la résolution de l'exemple, suite à la transformation de la matrice système en une forme étape par étape, il a pris la forme :
En sélectionnant des paires de variables, il a été possible de calculer les mineurs correspondants de cette matrice. Il est facile de vérifier que pour toutes les paires sauf x 2 et x 3, elles ne sont pas égales à zéro, c'est-à-dire les colonnes sont linéairement indépendantes. Et uniquement pour les colonnes avec des variables x 2 et x 3
, ce qui indique leur dépendance linéaire.
Regardons un autre exemple. Résolvons le système d'équations
Ainsi, l'équation correspondant à la troisième ligne de la dernière matrice est contradictoire - elle a abouti à l'égalité incorrecte 0 = -1, ce système est donc incohérent.
Méthode Jordan-Gauss 3 est un développement de la méthode gaussienne. Son essence est que la matrice étendue du système est transformée sous une forme où les coefficients des variables forment une matrice d'identité jusqu'à la permutation des lignes ou des colonnes 4 (où r est le rang de la matrice du système).
Résolvons le système en utilisant cette méthode :
Considérons la matrice étendue du système :
Dans cette matrice, nous sélectionnons un élément unitaire. Par exemple, le coefficient pour x 2 dans la troisième contrainte est 5. Assurons-nous que les lignes restantes de cette colonne contiennent des zéros, c'est-à-dire Rendons la colonne unique. Au cours du processus de transformation, nous appellerons cela colonnepermissif(en premier, clé). La troisième limitation (troisième doubler) nous appellerons également permissif. Moi-même élément, qui se trouve à l’intersection de la ligne et de la colonne de résolution (ici c’est une), est également appelé permissif.
La première ligne contient désormais le coefficient (-1). Pour obtenir un zéro à la place, multipliez la troisième ligne par (-1) et soustrayez le résultat de la première ligne (c'est-à-dire ajoutez simplement la première ligne à la troisième).
La deuxième ligne contient le coefficient 2. Pour obtenir zéro à sa place, multipliez la troisième ligne par 2 et soustrayez le résultat de la première ligne.
Le résultat de la transformation ressemblera à :
De cette matrice, il ressort clairement que l'une des deux premières restrictions peut être barrée (les lignes correspondantes sont proportionnelles, c'est-à-dire que ces équations se suivent). Rayons par exemple le deuxième :
Le nouveau système comporte donc deux équations. Une colonne d'unité (seconde) est obtenue, et l'unité apparaît ici dans la deuxième ligne. Rappelons que la deuxième équation du nouveau système correspondra à la variable de base x 2.
Choisissons une variable de base pour la première ligne. Il peut s'agir de n'importe quelle variable sauf x 3 (car pour x 3 la première contrainte a un coefficient nul, c'est-à-dire que l'ensemble des variables x 2 et x 3 ne peut pas être basique ici). Vous pouvez prendre la première ou la quatrième variable.
Choisissons x 1. Ensuite, l’élément de résolution sera 5, et les deux côtés de l’équation de résolution devront être divisés par cinq pour en obtenir un dans la première colonne de la première ligne.
Assurons-nous que les lignes restantes (c'est-à-dire la deuxième ligne) ont des zéros dans la première colonne. Puisque désormais la deuxième ligne ne contient pas zéro, mais 3, il faut soustraire de la deuxième ligne les éléments de la première ligne transformée, multipliés par 3 :
De la matrice résultante, on peut extraire directement une solution de base, assimilant les variables non fondamentales à zéro, et les variables de base aux termes libres dans les équations correspondantes : (0,8 ; -3,4 ; 0 ; 0). Vous pouvez également dériver des formules générales exprimant des variables de base à travers des variables non basiques : x 1 = 0,8 – 1,2 x 4 ; x2 = -3,4 + x3 + 1,6x4. Ces formules décrivent l'ensemble infini de solutions du système (en assimilant x 3 et x 4 à des nombres arbitraires, vous pouvez calculer x 1 et x 2).
A noter que l'essence des transformations à chaque étape de la méthode Jordan-Gauss était la suivante :
1) la ligne de résolution a été divisée par l'élément de résolution pour obtenir une unité à sa place,
2) de toutes les autres lignes, la résolution transformée a été soustraite, multipliée par l'élément qui se trouvait dans la ligne donnée dans la colonne de résolution, pour obtenir un zéro à la place de cet élément.
Considérons à nouveau la matrice étendue transformée du système :
De cet enregistrement, il ressort clairement que le rang de la matrice du système A est égal à r.
Au cours de notre raisonnement, nous avons établi que le système sera coopératif si et seulement si
. Cela signifie que la matrice étendue du système ressemblera à :
En supprimant les lignes nulles, on obtient que le rang de la matrice étendue du système est également égal à r.
Théorème de Kronecker-Capelli. Un système d'équations linéaires est cohérent si et seulement si le rang de la matrice du système est égal au rang de la matrice étendue de ce système.
Rappelons que le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de ses lignes linéairement indépendantes. Il s'ensuit que si le rang de la matrice étendue est inférieur au nombre d'équations, alors les équations du système sont linéairement dépendantes, et une ou plusieurs d'entre elles peuvent être exclues du système (puisqu'elles sont linéaires). combinaison des autres). Un système d'équations ne sera linéairement indépendant que si le rang de la matrice étendue est égal au nombre d'équations.
De plus, pour les systèmes simultanés d'équations linéaires, on peut affirmer que si le rang de la matrice est égal au nombre de variables, alors le système a une solution unique, et s'il est inférieur au nombre de variables, alors le système est indéfini et a une infinité de solutions.
1Par exemple, supposons qu'il y ait cinq lignes dans la matrice (l'ordre d'origine des lignes est 12 345). Nous devons changer la deuxième ligne et la cinquième. Pour que la deuxième ligne prenne la place de la cinquième et « descende », on change successivement trois fois les lignes adjacentes : la deuxième et la troisième (13245), la deuxième et la quatrième (13425) et la deuxième et la cinquième (13452). ). Ensuite, pour que la cinquième ligne prenne la place de la deuxième dans la matrice d'origine, il faut « décaler » la cinquième ligne vers le haut de seulement deux changements consécutifs : les cinquième et quatrième lignes (13542) et les cinquième et troisième (15342).
2Nombre de combinaisons de n à r ils appellent le nombre de tous les différents sous-ensembles d'éléments r d'un ensemble de n éléments (ceux qui ont des compositions d'éléments différentes sont considérés comme des ensembles différents ; l'ordre de sélection n'est pas important). Il est calculé à l'aide de la formule :
.
0!=1.)
Rappelons la signification du signe « ! » (factoriel):
3 Étant donné que cette méthode est plus courante que la méthode gaussienne discutée précédemment et qu'elle est essentiellement une combinaison des étapes avant et arrière de la méthode gaussienne, elle est aussi parfois appelée méthode gaussienne, en omettant la première partie du nom.
.
4Par exemple,
5S’il n’y avait pas d’unités dans la matrice du système, alors il serait possible, par exemple, de diviser les deux côtés de la première équation par deux, et alors le premier coefficient deviendrait unité ; ou autre
Plus fiable que la méthode graphique évoquée dans le paragraphe précédent.
Nous avons utilisé cette méthode en 7e année pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'algorithme développé en 7e année est tout à fait adapté pour résoudre des systèmes de deux équations quelconques (pas nécessairement linéaires) avec deux variables x et y (bien sûr, les variables peuvent être désignées par d'autres lettres, ce qui n'a pas d'importance). En fait, nous avons utilisé cet algorithme dans le paragraphe précédent, lorsque le problème d’un nombre à deux chiffres a conduit à un modèle mathématique, qui est un système d’équations. Nous avons résolu ce système d'équations ci-dessus en utilisant la méthode de substitution (voir exemple 1 du § 4).
Un algorithme pour utiliser la méthode de substitution lors de la résolution d'un système de deux équations avec deux variables x, y.
1. Exprimez y en fonction de x à partir d’une équation du système.
2. Remplacez l'expression résultante au lieu de y dans une autre équation du système.
3. Résolvez l’équation résultante pour x.
4. Remplacez tour à tour chacune des racines de l'équation trouvée à la troisième étape au lieu de x par l'expression y par x obtenue à la première étape.
5. Écrivez la réponse sous la forme de paires de valeurs (x; y), qui ont été trouvées respectivement aux troisième et quatrième étapes.
4) Remplacez une par une chacune des valeurs trouvées de y dans la formule x = 5 - 3. Si alors
5) Paires (2 ; 1) et solutions à un système d'équations donné.
Réponse : (2 ; 1) ;
Méthode d'addition algébrique
Cette méthode, comme la méthode de substitution, vous est familière depuis le cours d'algèbre de 7e année, où elle était utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Rappelons l'essence de la méthode à l'aide de l'exemple suivant.
Exemple 2. Résoudre un système d'équations
Multiplions tous les termes de la première équation du système par 3 et laissons la deuxième équation inchangée :
Soustrayez la deuxième équation du système de sa première équation :
À la suite de l'addition algébrique de deux équations du système d'origine, une équation a été obtenue, plus simple que les première et deuxième équations du système donné. Avec cette équation plus simple nous avons le droit de remplacer n'importe quelle équation d'un système donné, par exemple la seconde. Ensuite, le système d'équations donné sera remplacé par un système plus simple :
Ce système peut être résolu en utilisant la méthode de substitution. À partir de la deuxième équation, nous trouvons qu'en substituant cette expression au lieu de y dans la première équation du système, nous obtenons.
Il reste à substituer les valeurs trouvées de x dans la formule
Si x = 2 alors
Ainsi, nous avons trouvé deux solutions au système :
Méthode d'introduction de nouvelles variables
Vous avez découvert la méthode d'introduction d'une nouvelle variable lors de la résolution d'équations rationnelles avec une variable dans le cours d'algèbre de 8e année. L'essence de cette méthode de résolution de systèmes d'équations est la même, mais d'un point de vue technique, nous aborderons certaines fonctionnalités dans les exemples suivants.
Exemple 3. Résoudre un système d'équations
Introduisons une nouvelle variable. Ensuite, la première équation du système peut être réécrite sous une forme plus simple : Résolvons cette équation par rapport à la variable t :
Ces deux valeurs satisfont à la condition et sont donc les racines d'une équation rationnelle avec la variable t. Mais cela signifie soit où nous trouvons que x = 2y, soit
Ainsi, en utilisant la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, nous avons réussi à « stratifier » la première équation du système, assez complexe en apparence, en deux équations plus simples :
x = 2 oui ; oui - 2x.
Quelle est la prochaine étape ? Et puis chacune des deux équations simples obtenues doit être considérée tour à tour dans un système d'équation x 2 - y 2 = 3, dont nous ne nous sommes pas encore souvenus. Autrement dit, le problème revient à résoudre deux systèmes d’équations :
Nous devons trouver des solutions au premier système, au deuxième système et inclure toutes les paires de valeurs résultantes dans la réponse. Résolvons le premier système d'équations :
Utilisons la méthode de substitution, d'autant plus que tout est prêt ici : remplaçons l'expression 2y au lieu de x dans la deuxième équation du système. Nous obtenons
Puisque x = 2y, on trouve respectivement x 1 = 2, x 2 = 2. Ainsi, deux solutions du système donné sont obtenues : (2 ; 1) et (-2 ; -1). Résolvons le deuxième système d'équations :
Utilisons à nouveau la méthode de substitution : remplacez l'expression 2x au lieu de y dans la deuxième équation du système. Nous obtenons
Cette équation n’a pas de racines, ce qui signifie que le système d’équations n’a pas de solution. Ainsi, seules les solutions du premier système doivent être incluses dans la réponse.
Réponse : (2 ; 1) ; (-2;-1).
La méthode d'introduction de nouvelles variables lors de la résolution de systèmes de deux équations à deux variables est utilisée en deux versions. Première option : une nouvelle variable est introduite et utilisée dans une seule équation du système. C'est exactement ce qui s'est passé dans l'exemple 3. Deuxième option : deux nouvelles variables sont introduites et utilisées simultanément dans les deux équations du système. Ce sera le cas dans l'exemple 4.
Exemple 4. Résoudre un système d'équations
Introduisons deux nouvelles variables :
Prenons en compte cela alors
Cela permettra de réécrire le système donné sous une forme beaucoup plus simple, mais en ce qui concerne les nouvelles variables a et b :
Puisque a = 1, alors à partir de l'équation a + 6 = 2 on trouve : 1 + 6 = 2 ; 6=1. Ainsi, concernant les variables a et b, nous avons une solution :
En revenant aux variables x et y, on obtient un système d'équations
Appliquons la méthode d'addition algébrique pour résoudre ce système :
Depuis lors à partir de l’équation 2x + y = 3 on trouve :
Ainsi, concernant les variables x et y, nous avons une solution :
Concluons ce paragraphe par une discussion théorique brève mais assez sérieuse. Vous avez déjà acquis une certaine expérience dans la résolution de diverses équations : linéaires, quadratiques, rationnelles, irrationnelles. Vous savez que l'idée principale pour résoudre une équation est de passer progressivement d'une équation à une autre, plus simple, mais équivalente à celle donnée. Dans le paragraphe précédent, nous avons introduit la notion d'équivalence pour les équations à deux variables. Ce concept est également utilisé pour les systèmes d'équations.
Définition.
Deux systèmes d'équations avec des variables x et y sont dits équivalents s'ils ont les mêmes solutions ou si les deux systèmes n'ont pas de solutions.
Les trois méthodes (substitution, addition algébrique et introduction de nouvelles variables) dont nous avons parlé dans cette section sont absolument correctes du point de vue de l'équivalence. Autrement dit, grâce à ces méthodes, on remplace un système d’équations par un autre, plus simple, mais équivalent au système d’origine.
Méthode graphique pour résoudre des systèmes d'équations
Nous avons déjà appris à résoudre des systèmes d'équations de manière aussi courante et fiable que la méthode de substitution, l'addition algébrique et l'introduction de nouvelles variables. Rappelons maintenant la méthode que vous avez déjà étudiée dans la leçon précédente. Autrement dit, répétons ce que vous savez sur la méthode de résolution graphique.
La méthode de résolution graphique de systèmes d'équations consiste à construire un graphique pour chacune des équations spécifiques qui sont incluses dans un système donné et sont situées dans le même plan de coordonnées, ainsi que là où il est nécessaire de trouver les intersections des points de ces graphiques. Pour résoudre ce système d'équations, il faut les coordonnées de ce point (x; y).
Il ne faut pas oublier qu'il est courant qu'un système graphique d'équations ait soit une seule solution correcte, soit un nombre infini de solutions, soit qu'il n'y ait aucune solution du tout.
Examinons maintenant chacune de ces solutions plus en détail. Ainsi, un système d’équations peut avoir une solution unique si les lignes qui constituent les graphiques des équations du système se croisent. Si ces droites sont parallèles, alors un tel système d’équations n’a absolument aucune solution. Si les graphiques directs des équations du système coïncident, alors un tel système permet de trouver de nombreuses solutions.
Eh bien, regardons maintenant l'algorithme pour résoudre un système de deux équations à 2 inconnues en utilisant la méthode graphique :
Tout d'abord, nous construisons d'abord un graphique de la 1ère équation ;
La deuxième étape consistera à construire un graphique relatif à la deuxième équation ;
Troisièmement, nous devons trouver les points d’intersection des graphiques.
Et en conséquence, nous obtenons les coordonnées de chaque point d'intersection, qui seront la solution du système d'équations.
Examinons cette méthode plus en détail à l'aide d'un exemple. On nous donne un système d'équations qu'il faut résoudre :
Résoudre des équations
1. Tout d’abord, nous allons construire un graphique de cette équation : x2+y2=9.
Mais il faut noter que ce graphique des équations sera un cercle avec un centre à l'origine, et son rayon sera égal à trois.
2. Notre prochaine étape consistera à tracer graphiquement une équation telle que : y = x – 3.
Dans ce cas, il faut construire une droite et trouver les points (0;−3) et (3;0).
3. Voyons ce que nous avons. On voit que la droite coupe le cercle en deux de ses points A et B.
Nous recherchons maintenant les coordonnées de ces points. On voit que les coordonnées (3;0) correspondent au point A, et les coordonnées (0;−3) correspondent au point B.
Et qu’obtient-on en conséquence ?
Les nombres (3;0) et (0;−3) obtenus lorsque la droite coupe le cercle sont précisément les solutions des deux équations du système. Et il s'ensuit que ces nombres sont aussi des solutions à ce système d'équations.
Autrement dit, la réponse à cette solution est les nombres : (3 ; 0) et (0 ; −3).
Rappelons d'abord la définition d'une solution d'un système d'équations à deux variables.
Définition 1
Une paire de nombres est appelée solution d’un système d’équations à deux variables si leur substitution dans l’équation entraîne une véritable égalité.
À l’avenir, nous considérerons des systèmes de deux équations à deux variables.
Il y a quatre façons principales de résoudre des systèmes d'équations: méthode de substitution, méthode d'addition, méthode graphique, méthode de maintien de nouvelles variables. Examinons ces méthodes à l'aide d'exemples spécifiques. Pour décrire le principe d'utilisation des trois premières méthodes, nous considérerons un système de deux équations linéaires à deux inconnues :
Méthode de substitution
La méthode de substitution est la suivante : prenez n'importe laquelle de ces équations et exprimez $y$ en termes de $x$, puis $y$ est substitué dans l'équation système, d'où la variable $x est trouvée.$ Après cela, nous pouvons calculer facilement la variable $y.$
Exemple 1
Exprimons $y$ à partir de la deuxième équation en termes de $x$ :
Remplaçons la première équation et trouvons $x$ :
\ \ \
Trouvons $y$ :
Répondre: $(-2,\ 3)$
Méthode d'addition.
Regardons cette méthode à l'aide d'un exemple :
Exemple 2
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
En multipliant la deuxième équation par 3, on obtient :
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]
Additionnons maintenant les deux équations :
\ \ \
Trouvons $y$ à partir de la deuxième équation :
\[-6-y=-9\] \
Répondre: $(-2,\ 3)$
Remarque 1
Notez que dans cette méthode, il est nécessaire de multiplier une ou les deux équations par des nombres tels que lors de l'addition, l'une des variables « disparaît ».
Méthode graphique
La méthode graphique est la suivante : les deux équations du système sont représentées sur le plan de coordonnées et le point de leur intersection est trouvé.
Exemple 3
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
Exprimons $y$ des deux équations en termes de $x$ :
\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]
Représentons les deux graphiques sur le même plan :
Graphique 1.
Répondre: $(-2,\ 3)$
Méthode d'introduction de nouvelles variables
Examinons cette méthode à l'aide de l'exemple suivant :
Exemple 4
\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]
Solution.
Ce système est équivalent au système
\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ droite.\]
Soit $2^x=u\ (u>0)$, et $3^y=v\ (v>0)$, on obtient :
\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]
Résolvons le système résultant en utilisant la méthode d'addition. Additionnons les équations :
\ \
Alors à partir de la deuxième équation, on obtient que
Revenant au remplacement, on obtient un nouveau système d'équations exponentielles :
\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]
On obtient :
\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]
Cours et présentation sur le thème : "Systèmes d'équations. Méthode de substitution, méthode d'addition, méthode d'introduction d'une nouvelle variable"
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Méthodes de résolution des systèmes d'inégalités
Les gars, nous avons étudié des systèmes d'équations et appris à les résoudre à l'aide de graphiques. Voyons maintenant quelles autres façons de résoudre des systèmes existent ?Presque toutes les méthodes pour les résoudre ne diffèrent pas de celles que nous avons étudiées en 7e année. Nous devons maintenant procéder à quelques ajustements en fonction des équations que nous avons appris à résoudre.
L'essence de toutes les méthodes décrites dans cette leçon est de remplacer le système par un système équivalent avec plus de vue simple et la méthode de résolution. Les gars, rappelez-vous ce qu'est un système équivalent.
Méthode de substitution
La première façon de résoudre des systèmes d'équations à deux variables nous est bien connue - c'est la méthode de substitution. Nous avons utilisé cette méthode pour résoudre des équations linéaires. Voyons maintenant comment résoudre des équations dans le cas général ?Comment procéder pour prendre une décision ?
1. Exprimez une des variables par rapport à une autre. Les variables les plus souvent utilisées dans les équations sont x et y. Dans l’une des équations, nous exprimons une variable par rapport à une autre. Astuce : examinez attentivement les deux équations avant de commencer à les résoudre et choisissez celle où il est plus facile d'exprimer la variable.
2. Remplacez l'expression résultante dans la deuxième équation, au lieu de la variable qui a été exprimée.
3. Résolvez l’équation que nous avons obtenue.
4. Remplacez la solution résultante dans la deuxième équation. S'il existe plusieurs solutions, vous devez les remplacer séquentiellement afin de ne pas perdre quelques solutions.
5. En conséquence, vous recevrez une paire de nombres $(x;y)$, qui doivent être écrits comme réponse.
Exemple.
Résolvez un système à deux variables en utilisant la méthode de substitution : $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.
Solution.
Examinons de près nos équations. Évidemment, exprimer y en fonction de x dans la première équation est beaucoup plus simple.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Remplaçons la première expression dans la deuxième équation $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Résolvons la deuxième équation séparément :
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Nous avons obtenu deux solutions à la deuxième équation $x_1=2$ et $x_2=3$.
Remplacez séquentiellement dans la deuxième équation.
Si $x=2$, alors $y=3$. Si $x=3$, alors $y=2$.
La réponse sera deux paires de nombres.
Réponse : $(2;3)$ et $(3;2)$.
Méthode d'addition algébrique
Nous avons également étudié cette méthode en 7e année.On sait que équation rationnelleà partir de deux variables on peut multiplier par n'importe quel nombre, sans oublier de multiplier les deux côtés de l'équation. Nous avons multiplié l'une des équations par un certain nombre de sorte qu'en ajoutant l'équation résultante à la deuxième équation du système, l'une des variables soit détruite. Ensuite, l’équation a été résolue pour la variable restante.
Cette méthode fonctionne toujours, même s'il n'est pas toujours possible de détruire l'une des variables. Mais cela permet de simplifier considérablement la forme d'une des équations.
Exemple.
Résolvez le système : $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Solution.
Multiplions la première équation par 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Soustrayons la seconde de la première équation.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Comme vous pouvez le constater, la forme de l’équation résultante est beaucoup plus simple que celle d’origine. Nous pouvons maintenant utiliser la méthode de substitution.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Exprimons x en termes de y dans l'équation résultante.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Nous avons $y=-1$ et $y=-3$.
Remplaçons ces valeurs séquentiellement dans la première équation. Nous obtenons deux paires de nombres : $(1;-1)$ et $(-1;-3)$.
Réponse : $(1;-1)$ et $(-1;-3)$.
Méthode d'introduction d'une nouvelle variable
Nous avons également étudié cette méthode, mais revenons-y à nouveau.Exemple.
Résolvez le système : $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
Solution.
Introduisons le remplacement $t=\frac(x)(y)$.
Réécrivons la première équation avec une nouvelle variable : $t+\frac(2)(t)=3$.
Résolvons l'équation résultante :
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Nous avons $t=2$ ou $t=1$. Introduisons le changement inverse $t=\frac(x)(y)$.
Nous avons : $x=2y$ et $x=y$.
Pour chacune des expressions, le système d'origine doit être résolu séparément :
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.
Exemple.
$\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
Solution.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Nous avons reçu quatre paires de solutions.
Réponse : $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Résolvez le système : $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cas)$.
Introduisons le remplacement : $z=\frac(2)(x-3y)$ et $t=\frac(3)(2x+y)$.
Réécrivons les équations originales avec de nouvelles variables :
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Utilisons la méthode d'addition algébrique :
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Utilisons la méthode de substitution :
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Réponse : $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Problèmes sur les systèmes d'équations pour solution indépendante
Résoudre des systèmes :1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ fin(cas)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.