En résolvant plusieurs problèmes mathématiques, en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions effectuées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les problèmes linéaires et équations quadratiques, linéaire et inégalités quadratiques, équations fractionnaires et des équations qui se réduisent à des équations quadratiques. Le principe pour résoudre avec succès chacun des problèmes mentionnés est le suivant : vous devez établir le type de problème que vous résolvez, vous rappeler la séquence d'actions nécessaire qui mènera au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.
Il est évident que le succès ou l'échec de la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la manière dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé et de la manière dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, dans ce cas, il est nécessaire d’avoir les compétences nécessaires pour effectuer des transformations et des calculs identiques.
La situation est différente avec équations trigonométriques. Il n'est pas du tout difficile d'établir que l'équation est trigonométrique. Des difficultés surviennent lors de la détermination de la séquence d'actions qui mènerait à la bonne réponse.
Par apparenceéquation, il est parfois difficile d’en déterminer le type. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir la bonne parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.
Pour résoudre une équation trigonométrique, vous devez essayer :
1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.
Considérons méthodes de résolution de base équations trigonométriques.
I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples
Diagramme de solutions
Étape 1. Exprimer fonction trigonométrique grâce à des composants connus.
Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :
cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Étape 3. Trouvez la variable inconnue.
Exemple.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Solution.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Remplacement variable
Diagramme de solutions
Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’une des fonctions trigonométriques.
Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).
Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.
Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.
Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.
Exemple.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Solution.
1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;
2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.
2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;
t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.
4) péché(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;
x = π + 4πn, n Є Z.
Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.
III. Méthode de réduction de l'ordre des équations
Diagramme de solutions
Étape 1. Remplacez cette équation par une équation linéaire, en utilisant la formule de réduction du degré :
péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.
Exemple.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Solution.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;
3/2 car 2x = 3/4 ;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Équations homogènes
Diagramme de solutions
Étape 1. Réduisons cette équation à la forme
a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)
ou à la vue
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).
Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par
une) cosx ≠ 0 ;
b) cos 2 x ≠ 0 ;
et obtenez l'équation pour tan x :
a) un bronzage x + b = 0 ;
b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.
Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.
Exemple.
5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.
Solution.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;
péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.
3) Soit tg x = t, alors
t 2 + 3t – 4 = 0 ;
t = 1 ou t = -4, ce qui signifie
tg x = 1 ou tg x = -4.
D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques
Diagramme de solutions
Étape 1. Utiliser toutes sortes de formules trigonométriques, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.
Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.
Exemple.
péché x + péché 2x + péché 3x = 0.
Solution.
1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;
2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.
2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;
péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;
D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.
Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
La capacité et l'habileté à résoudre des équations trigonométriques sont très important, leur développement nécessite un effort important, tant de la part de l’élève que de la part de l’enseignant.
De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont associés à la solution d'équations trigonométriques. Le processus de résolution de ces problèmes incarne de nombreuses connaissances et compétences acquises en étudiant les éléments de la trigonométrie.
Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d’apprentissage des mathématiques et du développement personnel en général.
Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre des équations trigonométriques ?
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En résolvant plusieurs problèmes mathématiques, en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions effectuées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les équations linéaires et quadratiques, les inégalités linéaires et quadratiques, les équations fractionnaires et les équations qui se réduisent aux équations quadratiques. Le principe pour résoudre avec succès chacun des problèmes mentionnés est le suivant : vous devez établir le type de problème que vous résolvez, vous rappeler la séquence d'actions nécessaire qui mènera au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.
Il est évident que le succès ou l'échec de la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la manière dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé et de la manière dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, dans ce cas, il est nécessaire d’avoir les compétences nécessaires pour effectuer des transformations et des calculs identiques.
La situation est différente avec équations trigonométriques. Il n'est pas du tout difficile d'établir que l'équation est trigonométrique. Des difficultés surviennent lors de la détermination de la séquence d'actions qui mènerait à la bonne réponse.
Il est parfois difficile de déterminer son type à partir de l’apparence d’une équation. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir la bonne parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.
Pour résoudre une équation trigonométrique, vous devez essayer :
1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.
Considérons méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.
I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples
Diagramme de solutions
Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composantes connues.
Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :
cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Étape 3. Trouvez la variable inconnue.
Exemple.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Solution.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Remplacement variable
Diagramme de solutions
Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’une des fonctions trigonométriques.
Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).
Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.
Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.
Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.
Exemple.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Solution.
1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;
2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.
2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;
t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.
4) péché(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;
x = π + 4πn, n Є Z.
Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.
III. Méthode de réduction de l'ordre des équations
Diagramme de solutions
Étape 1. Remplacez cette équation par une équation linéaire, en utilisant la formule de réduction du degré :
péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.
Exemple.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Solution.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;
3/2 car 2x = 3/4 ;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Équations homogènes
Diagramme de solutions
Étape 1. Réduisons cette équation à la forme
a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)
ou à la vue
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).
Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par
une) cosx ≠ 0 ;
b) cos 2 x ≠ 0 ;
et obtenez l'équation pour tan x :
a) un bronzage x + b = 0 ;
b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.
Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.
Exemple.
5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.
Solution.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;
péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.
3) Soit tg x = t, alors
t 2 + 3t – 4 = 0 ;
t = 1 ou t = -4, ce qui signifie
tg x = 1 ou tg x = -4.
D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques
Diagramme de solutions
Étape 1. En utilisant toutes les formules trigonométriques possibles, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.
Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.
Exemple.
péché x + péché 2x + péché 3x = 0.
Solution.
1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;
2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.
2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;
péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;
D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.
Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
La capacité et l'habileté à résoudre des équations trigonométriques sont très important, leur développement nécessite un effort important, tant de la part de l’élève que de la part de l’enseignant.
De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont associés à la solution d'équations trigonométriques. Le processus de résolution de ces problèmes incarne de nombreuses connaissances et compétences acquises en étudiant les éléments de la trigonométrie.
Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d’apprentissage des mathématiques et du développement personnel en général.
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Exemples :
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Comment résoudre des équations trigonométriques :
Toute équation trigonométrique doit être réduite à l'un des types suivants :
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
où \(t\) est une expression avec un x, \(a\) est un nombre. De telles équations trigonométriques sont appelées le plus simple. Ils peuvent être facilement résolus en utilisant () ou des formules spéciales :
Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\.
Solution:
Répondre: \(\left[ \begin(rassemblé)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(rassemblé)\right.\) \(k,n∈Z\)
Ce que signifie chaque symbole dans la formule des racines des équations trigonométriques, voir.
Attention! Les équations \(\sinx=a\) et \(\cosx=a\) n'ont pas de solutions si \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Parce que le sinus et le cosinus de tout x sont supérieurs ou égaux à \(-1\) et inférieurs ou égaux à \(1\) :
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Exemple
. Résolvez l'équation \(\cosx=-1,1\).
Solution:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Répondre
: pas de solutions.
Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique tg\(x=1\).
Solution:
Résolvons l'équation en utilisant le cercle numérique. Pour ce faire : |
Exemple
. Résolvez l'équation trigonométrique \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\).
Solution:
|
Utilisons à nouveau le cercle numérique. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Comme d’habitude, nous exprimerons \(x\) dans des équations. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
Réduire les équations trigonométriques au plus simple est une tâche créative ; ici, vous devez utiliser à la fois des méthodes spéciales pour résoudre les équations :
- Méthode (la plus populaire dans l'examen d'État unifié).
- Méthode.
- Méthode des arguments auxiliaires.
Considérons un exemple de résolution de l'équation trigonométrique quadratique
Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)Solution:
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Faisons le remplacement \(t=\cosx\). |
Notre équation est devenue typique. Vous pouvez le résoudre en utilisant . |
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Nous effectuons un remplacement inversé. |
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
Nous résolvons la première équation en utilisant le cercle numérique. |
Écrivons tous les chiffres qui se trouvent à ces points. |
Un exemple de résolution d'une équation trigonométrique avec l'étude de l'ODZ :
Exemple (UTILISATION) . Résoudre l'équation trigonométrique \(=0\)
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Il y a une fraction et une cotangente – cela signifie que nous devons l’écrire. Permettez-moi de vous rappeler qu'une cotangente est en fait une fraction : ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Par conséquent, l'ODZ pour ctg\(x\) : \(\sinx≠0\). |
ODZ : ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Marquons les « non-solutions » sur le cercle numérique. |
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Débarrassons-nous du dénominateur de l'équation en le multipliant par ctg\(x\). Nous pouvons le faire, puisque nous avons écrit ci-dessus que ctg\(x ≠0\). |
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Appliquons la formule du double angle pour le sinus : \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Si vos mains se tendent pour diviser par le cosinus, retirez-les ! Vous pouvez diviser par une expression avec une variable si elle n'est définitivement pas égale à zéro (par exemple, celles-ci : \(x^2+1,5^x\)). Au lieu de cela, mettons \(\cosx\) entre parenthèses. |
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
« Divisons » l’équation en deux. |
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Résolvons la première équation en utilisant le cercle numérique. Divisons la deuxième équation par \(2\) et déplaçons \(\sinx\) vers la droite. |
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Les racines résultantes ne sont pas incluses dans l'ODZ. Par conséquent, nous ne les écrirons pas en réponse. |
Nous utilisons à nouveau un cercle. |
|
|
Ces racines ne sont pas exclues par ODZ, vous pouvez donc les écrire dans la réponse. |
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Les équations trigonométriques les plus simples sont généralement résolues à l'aide de formules. Permettez-moi de vous rappeler que les équations trigonométriques les plus simples sont :
sinx = un
cosx = un
tgx = un
ctgx = un
x est l'angle à trouver,
a est n’importe quel nombre.
Et voici les formules avec lesquelles vous pouvez immédiatement écrire les solutions de ces équations les plus simples.
Pour le sinus :
Pour le cosinus :
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pour la tangente :
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Pour la cotangente :
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
En fait, c'est la partie théorique de la résolution des équations trigonométriques les plus simples. D'ailleurs, tout !) Rien du tout. Cependant, le nombre d’erreurs sur ce sujet est tout simplement hors du commun. Surtout si l'exemple s'écarte légèrement du modèle. Pourquoi?
Oui, parce que beaucoup de gens écrivent ces lettres, sans en comprendre du tout le sens ! Il écrit avec prudence, de peur que quelque chose n'arrive...) Il faut régler ce problème. Trigonométrie pour les gens, ou gens pour la trigonométrie, après tout !?)
Voyons ça ?
Un angle sera égal à arccos un, deuxième: -arccos a.
Et cela fonctionnera toujours ainsi. Pour tout UN.
Si vous ne me croyez pas, passez votre souris sur l'image ou touchez l'image sur votre tablette.) J'ai changé le numéro UN à quelque chose de négatif. Quoi qu'il en soit, nous avons un coin arccos un, deuxième: -arccos a.
Par conséquent, la réponse peut toujours s’écrire sous la forme de deux séries de racines :
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Combinons ces deux séries en une seule :
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Et c'est tout. Nous avons obtenu une formule générale pour résoudre l'équation trigonométrique la plus simple avec cosinus.
Si vous comprenez qu'il ne s'agit pas d'une sorte de sagesse superscientifique, mais juste une version abrégée de deux séries de réponses, Vous serez également capable de gérer les tâches « C ». Avec des inégalités, avec une sélection de racines dans un intervalle donné... Là, la réponse avec un plus/moins ne fonctionne pas. Mais si vous traitez la réponse de manière pragmatique et la divisez en deux réponses distinctes, tout sera résolu.) En fait, c’est pourquoi nous l’examinons. Quoi, comment et où.
Dans l'équation trigonométrique la plus simple
sinx = un
on obtient également deux séries de racines. Toujours. Et ces deux séries peuvent aussi être enregistrées en une seule ligne. Seule cette ligne sera plus délicate :
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Mais l’essence reste la même. Les mathématiciens ont simplement conçu une formule pour créer une entrée au lieu de deux pour une série de racines. C'est tout !
Vérifions les mathématiciens ? Et on ne sait jamais...)
Dans la leçon précédente, la solution (sans aucune formule) d'une équation trigonométrique avec sinus a été discutée en détail :
La réponse a abouti à deux séries de racines :
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Si nous résolvons la même équation en utilisant la formule, nous obtenons la réponse :
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
En fait, c'est une réponse inachevée.) L'étudiant doit savoir que arcsin 0,5 = π /6. La réponse complète serait :
x = (-1)n /6+ π n, n ∈ Z
Cela soulève une question intéressante. Répondre via x1 ; x2 (c'est la bonne réponse !) et par la solitude X (et c'est la bonne réponse !) - est-ce la même chose ou pas ? Nous le découvrirons maintenant.)
Nous remplaçons la réponse par x1 valeurs n =0; 1 ; 2 ; etc., on compte, on obtient une série de racines :
x 1 = π/6 ; 13π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.
Avec la même substitution en réponse avec x2 , on obtient :
x2 = 5π/6 ; 17π/6 ; 29π/6 et ainsi de suite.
Maintenant, remplaçons les valeurs n (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4...) dans la formule générale pour un seul X . C'est-à-dire que nous élevons moins un à la puissance zéro, puis à la première, à la seconde, etc. Eh bien, bien sûr, nous remplaçons 0 dans le deuxième terme ; 1 ; 2 3 ; 4, etc Et nous comptons. On obtient la série :
X = π/6 ; 5π/6 ; 13π/6 ; 17π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.
C'est tout ce que vous pouvez voir.) La formule générale nous donne exactement les mêmes résultats tout comme les deux réponses séparément. Juste tout à la fois, dans l'ordre. Les mathématiciens n'étaient pas dupes.)
Les formules de résolution d'équations trigonométriques avec tangente et cotangente peuvent également être vérifiées. Mais nous ne le ferons pas.) Ils sont déjà simples.
J'ai écrit toutes ces substitutions et vérifications spécifiquement. Ici, il est important de comprendre une chose simple : il existe des formules pour résoudre des équations trigonométriques élémentaires, juste un bref résumé des réponses. Pour cette brièveté, nous avons dû insérer plus/moins dans la solution cosinus et (-1) n dans la solution sinus.
Ces inserts ne gênent en rien les tâches où il suffit d'écrire la réponse à une équation élémentaire. Mais si vous avez besoin de résoudre une inégalité, ou si vous devez faire quelque chose avec la réponse : sélectionner des racines sur un intervalle, vérifier l'ODZ, etc., ces insertions peuvent facilement déstabiliser une personne.
Alors que dois-je faire ? Oui, soit écrivez la réponse en deux séries, soit résolvez l'équation/inégalité à l'aide du cercle trigonométrique. Ensuite ces insertions disparaissent et la vie devient plus facile.)
Nous pouvons résumer.
Pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples, il existe des formules de réponse toutes faites. Quatre pièces. Ils sont parfaits pour écrire instantanément la solution d’une équation. Par exemple, vous devez résoudre les équations :
sinx = 0,3
Facilement: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Aucun problème: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Facilement: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Il en reste un : x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cosx = 1,8
Si vous, brillant de connaissances, écrivez instantanément la réponse :
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
alors tu brilles déjà, ceci... cela... d'une flaque d'eau.) Bonne réponse : il n'y a pas de solutions. Vous ne comprenez pas pourquoi ? Lisez ce qu'est l'arc cosinus. De plus, si sur le côté droit de l'équation d'origine se trouvent les valeurs tabulaires du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 etc. - la réponse à travers les arches sera inachevée. Les arches doivent être converties en radians.
Et si vous rencontrez des inégalités, comme
alors la réponse est :
x πn, n ∈ Z
il y a de rares absurdités, oui...) Ici, vous devez résoudre en utilisant le cercle trigonométrique. Ce que nous ferons dans le sujet correspondant.
Pour ceux qui lisent héroïquement ces lignes. Je ne peux tout simplement pas m’empêcher d’apprécier vos efforts titanesques. Bonus pour vous.)
Prime:
Lorsqu'ils écrivent des formules dans une situation de combat alarmante, même les nerds chevronnés ne savent souvent pas où πn, et où 2πn. Voici une astuce simple pour vous. Dans tout le monde des formules qui valent πn. Sauf pour la seule formule avec arc cosinus. Il est là 2πn. Deux panne. Mot-clé - deux. Dans cette même formule il y a deux signe au début. Plus et moins. Et là, et là - deux.
Alors si tu écrivais deux signe avant l'arc cosinus, c'est plus facile de se rappeler ce qui va se passer à la fin deux panne. Et cela se produit aussi dans l'autre sens. La personne manquera le signe ± , arrive à la fin, écrit correctement deux Pien, et il reprendra ses esprits. Il y a quelque chose à venir deux signe! La personne reviendra au début et corrigera l’erreur ! Comme ça.)
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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.