Les premiers sont les segments adjacents à l'angle droit, et l'hypoténuse est la partie la plus longue de la figure et est située à l'opposé de l'angle de 90 degrés. Un triangle de Pythagore est un triangle dont les côtés sont égaux nombres naturels; leurs longueurs sont dans ce cas appelées « triples pythagoriciens ».
Triangle égyptien
Pour que la génération actuelle reconnaisse la géométrie sous la forme sous laquelle elle est aujourd’hui enseignée à l’école, elle s’est développée sur plusieurs siècles. Le point fondamental est considéré comme le théorème de Pythagore. Les côtés d'un rectangle (connus dans le monde entier) sont 3, 4, 5.
Peu de gens ne connaissent pas l’expression « les pantalons pythagoriciens sont égaux dans toutes les directions ». Cependant, en réalité le théorème ressemble à ceci : c 2 (carré de l'hypoténuse) = a 2 + b 2 (somme des carrés des jambes).
Chez les mathématiciens, un triangle de côtés 3, 4, 5 (cm, m, etc.) est appelé « égyptien ». Ce qui est intéressant, c'est que ce qui est inscrit dans la figure est égal à un. Le nom est apparu vers le 5ème siècle avant JC, lorsque des philosophes grecs se sont rendus en Égypte.
Lors de la construction des pyramides, les architectes et les géomètres ont utilisé le rapport 3:4:5. De telles structures se sont révélées proportionnelles, agréables à regarder, spacieuses et rarement effondrées.
Afin de construire un angle droit, les constructeurs ont utilisé une corde sur laquelle étaient attachés 12 nœuds. Dans ce cas, la probabilité de construire exactement triangle rectangle augmenté à 95%.
Signes d'égalité des chiffres
- Un angle aigu dans un triangle rectangle et un grand côté, qui sont égaux aux mêmes éléments du deuxième triangle, sont un signe incontestable d'égalité des figures. Compte tenu de la somme des angles, il est facile de prouver que les seconds angles aigus sont également égaux. Ainsi, les triangles sont identiques selon le deuxième critère.
- Lorsque nous superposons deux figures l’une sur l’autre, nous les faisons pivoter de manière à ce qu’une fois combinées, elles deviennent un triangle isocèle. Selon sa propriété, les côtés, ou plus précisément les hypoténuses, sont égaux, ainsi que les angles à la base, ce qui signifie que ces figures sont les mêmes.
Sur la base du premier signe, il est très facile de prouver que les triangles sont bien égaux, l'essentiel est que les deux plus petits côtés (c'est-à-dire les jambes) soient égaux l'un à l'autre.
Les triangles seront identiques selon le deuxième critère dont l'essence est l'égalité de la jambe et de l'angle aigu.
Propriétés d'un triangle à angle droit
La hauteur qui a été abaissée de angle droit, divise la figure en deux parties égales.
Les côtés d'un triangle rectangle et sa médiane sont facilement reconnaissables grâce à la règle : la médiane qui tombe sur l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci. peut être trouvé à la fois par la formule de Heron et par l'affirmation selon laquelle il est égal à la moitié du produit des jambes.
Dans un triangle rectangle, les propriétés des angles de 30°, 45° et 60° s'appliquent.
- Avec un angle de 30°, il ne faut pas oublier que la jambe opposée sera égale à la moitié du plus grand côté.
- Si l’angle est de 45°, alors le deuxième angle aigu est également de 45°. Cela suggère que le triangle est isocèle et que ses jambes sont les mêmes.
- La propriété d’un angle de 60° est que le troisième angle a une mesure en degrés de 30°.
La zone peut être facilement déterminée à l'aide de l'une des trois formules suivantes :
- par la hauteur et le côté sur lequel il descend ;
- selon la formule de Héron ;
- sur les côtés et l'angle entre eux.
Les côtés d'un triangle rectangle, ou plutôt les jambes, convergent avec deux altitudes. Pour trouver le troisième, il est nécessaire de considérer le triangle résultant, puis, à l'aide du théorème de Pythagore, de calculer la longueur requise. En plus de cette formule, il existe également une relation entre le double de l'aire et la longueur de l'hypoténuse. L’expression la plus courante chez les étudiants est la première, car elle nécessite moins de calculs.
Théorèmes s'appliquant au triangle rectangle
La géométrie du triangle rectangle implique l'utilisation de théorèmes tels que :
En mathématiques, lorsqu’on considère un triangle, on accorde une grande attention à ses côtés. Car ces éléments forment cette figure géométrique. Les côtés d’un triangle sont utilisés pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie.
Définition du concept
Les segments reliant trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne sont appelés côtés d'un triangle. Les éléments considérés limitent une partie du plan, qui est appelée l'intérieur de cette figure géométrique.
Les mathématiciens dans leurs calculs permettent des généralisations concernant les côtés des figures géométriques. Ainsi, dans un triangle dégénéré, trois de ses segments se trouvent sur la même droite.
Caractéristiques du concept
Calculer les côtés d'un triangle implique de déterminer tous les autres paramètres de la figure. Connaissant la longueur de chacun de ces segments, vous pouvez facilement calculer le périmètre, l'aire et même les angles du triangle.
Riz. 1. Triangle arbitraire.
En additionnant les côtés d’une figure donnée, vous pouvez déterminer le périmètre.
P=a+b+c, où a, b, c sont les côtés du triangle
Et pour trouver l'aire d'un triangle, vous devez alors utiliser la formule de Heron.
$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$
Où p est le demi-périmètre.
Les angles d'une figure géométrique donnée sont calculés à l'aide du théorème du cosinus.
$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$
Signification
Certaines propriétés de cette figure géométrique s'expriment à travers le rapport des côtés d'un triangle :
- En face du plus petit côté d’un triangle se trouve son plus petit angle.
- L'angle extérieur de la figure géométrique en question est obtenu en prolongeant l'un des côtés.
- Les angles opposés égaux d'un triangle sont des côtés égaux.
- Dans tout triangle, l’un des côtés est toujours plus grand que la différence des deux autres segments. Et la somme de deux côtés de ce chiffre est supérieure au troisième.
L'un des signes indiquant que deux triangles sont égaux est le rapport de la somme de tous les côtés de la figure géométrique. Si ces valeurs sont les mêmes, alors les triangles seront égaux.
Certaines propriétés d'un triangle dépendent de son type. Par conséquent, vous devez d’abord prendre en compte la taille des côtés ou des angles de cette figure.
Former des triangles
Si les deux côtés de la figure géométrique en question sont identiques, alors ce triangle est dit isocèle.
Riz. 2. Triangle isocèle.
Lorsque tous les segments d’un triangle sont égaux, on obtient un triangle équilatéral.
Riz. 3. Triangle équilatéral.
Il est plus pratique d'effectuer tout calcul dans les cas où un triangle arbitraire peut être classé comme un type spécifique. Car alors trouver le paramètre requis de cette figure géométrique sera considérablement simplifié.
Bien qu'une équation trigonométrique correctement choisie vous permette de résoudre de nombreux problèmes dans lesquels un triangle arbitraire est considéré.
Qu'avons-nous appris ?
Trois segments reliés par des points et n'appartenant pas à la même droite forment un triangle. Ces côtés forment un plan géométrique utilisé pour déterminer la superficie. À l’aide de ces segments, vous pouvez trouver de nombreuses caractéristiques importantes d’une figure, telles que le périmètre et les angles. Le rapport hauteur/largeur d’un triangle aide à trouver son type. Certaines propriétés d'une figure géométrique donnée ne peuvent être utilisées que si les dimensions de chacun de ses côtés sont connues.
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En géométrie, il y a souvent des problèmes liés aux côtés des triangles. Par exemple, il est souvent nécessaire de trouver un côté d’un triangle si les deux autres sont connus.
Les triangles sont isocèles, équilatéraux et inégaux. Parmi toute la variété, pour le premier exemple nous choisirons un rectangle (dans un tel triangle, l'un des angles est de 90°, les côtés qui lui sont adjacents sont appelés jambes et le troisième est l'hypoténuse).
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Longueur des côtés d'un triangle rectangle
La solution au problème découle du théorème du grand mathématicien Pythagore. On dit que la somme des carrés des branches d'un triangle rectangle est égale au carré de son hypoténuse : a²+b²=c²
- Trouvez le carré de la longueur de jambe a ;
- Trouvez le carré de la jambe b ;
- Nous les avons rassemblés ;
- Du résultat obtenu, nous extrayons la deuxième racine.
Exemple : a=4, b=3, c=?
- a²=4²=16;
- b² =3²=9;
- 16+9=25;
- √25=5. Autrement dit, la longueur de l'hypoténuse de ce triangle est de 5.
Si le triangle n’a pas d’angle droit, alors les longueurs des deux côtés ne suffisent pas. Pour cela, un troisième paramètre est nécessaire : cela peut être un angle, la hauteur du triangle, le rayon du cercle qui y est inscrit, etc.
Si le périmètre est connu
Dans ce cas, la tâche est encore plus simple. Le périmètre (P) est la somme de tous les côtés du triangle : P=a+b+c. Ainsi, en résolvant une équation mathématique simple, nous obtenons le résultat.
Exemple : P=18, a=7, b=6, c=?
1) Nous résolvons l'équation en déplaçant tous les paramètres connus d'un côté du signe égal :
2) Nous substituons les valeursà la place et calculons le troisième côté :
c=18-7-6=5, total : le troisième côté du triangle est 5.
Si l'angle est connu
Pour calculer le troisième côté d'un triangle étant donné un angle et deux autres côtés, la solution se résume à calculer équation trigonométrique. Connaissant la relation entre les côtés du triangle et le sinus de l'angle, il est facile de calculer le troisième côté. Pour ce faire, vous devez mettre les deux côtés au carré et additionner leurs résultats. Soustrayez ensuite du produit obtenu le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle : C=√(a²+b²-a*b*cosα)
Si la zone est connue
Dans ce cas, une seule formule ne suffira pas.
1) Tout d'abord, calculez sin γ, en l'exprimant à partir de la formule de l'aire d'un triangle :
péché γ= 2S/(a*b)
2) A l'aide de la formule suivante, on calcule le cosinus du même angle :
sin² α + cos² α=1
cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)
3) Et encore une fois on utilise le théorème des sinus :
C=√((a²+b²)-a*b*cosα)
C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))
En substituant les valeurs des variables dans cette équation, nous obtenons la réponse au problème.
Définition du triangle
Triangle- Ce figure géométrique, qui résulte de l'intersection de trois segments dont les extrémités ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Tout triangle a trois côtés, trois sommets et trois angles.
Calculateur en ligne
Il y a des triangles divers types. Par exemple, il existe un triangle équilatéral (dont tous les côtés sont égaux), isocèle (deux côtés sont égaux) et un triangle rectangle (dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire égal à 90 degrés).
L'aire d'un triangle peut être trouvée différentes façons en fonction des éléments de la figure connus des conditions du problème, qu'il s'agisse des angles, des longueurs ou même des rayons des cercles associés au triangle. Examinons chaque méthode séparément avec des exemples.
Formule pour l'aire d'un triangle en fonction de sa base et de sa hauteur
S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ⋅ une ⋅h,
Un un un- base du triangle ;
h h h- la hauteur du triangle tiré à la base donnée a.
Trouver l'aire d'un triangle si la longueur de sa base est connue, égale à 10 (cm) et la hauteur tirée à cette base, égale à 5 (cm).
Solution
A = 10 a=10 une =1
0
h = 5 h=5 h =5
Nous substituons cela dans la formule de l'aire et obtenons :
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2
1
⋅
1
0
⋅
5
=
2
5
(voir sq.)
Répondre: 25 (cm²)
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur les longueurs de tous les côtés
S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,
A, b, c a, b, c une, b, c- les longueurs des côtés du triangle ;
p p p- la moitié de la somme de tous les côtés du triangle (c'est-à-dire la moitié du périmètre du triangle) :
P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (un +b+c)
Cette formule s'appelle La formule du héron.
ExempleTrouvez l'aire d'un triangle si les longueurs de ses trois côtés sont connues, égales à 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).
Solution
A = 3 a=3 une =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
Trouvons la moitié du périmètre p p p:
P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6
Alors, d’après la formule de Héron, l’aire du triangle est :
S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (voir sq.)
Réponse : 6 (voir carré)
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur un côté et deux angles
S = a 2 2 ⋅ sin β sin γ sin (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\bêta+\gamma))S=2 un 2 ⋅ péché(β + γ)péché β péché γ ,
Un un un- longueur du côté du triangle ;
β , γ \bêta, \gamma β
,
γ
- angles adjacents au côté un un un.
Étant donné un côté d'un triangle égal à 10 (cm) et deux angles adjacents de 30 degrés. Trouvez l'aire du triangle.
Solution
A = 10 a=10 une =1
0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β
=
3
0
∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ
=
3
0
∘
D'après la formule :
S = 1 0 2 2 ⋅ péché 3 0 ∘ péché 3 0 ∘ péché (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\environ14.4S=2 1 0 2 ⋅ péché (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) péché 3 0 ∘ péché 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (voir sq.)
Répondre: 14.4 (voir sq.)
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit
S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Rune ⋅ b ⋅ c ,
A, b, c a, b, c une, b, c- les côtés du triangle ;
R R R.- rayon du cercle circonscrit autour du triangle.
Prenons les nombres de notre deuxième problème et ajoutons-leur le rayon R R R. cercles. Qu'il soit égal à 10 (cm.).
Solution
A = 3 a=3 une =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1
0
S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (voir sq.)
Répondre: 1,5 (cm2)
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle inscrit
S = p ⋅ r S=p\cdot r
p p
p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)
une, b, c une, b, c
ExempleSoit le rayon du cercle inscrit égal à 2 (cm). Nous reprendrons les longueurs des côtés du problème précédent.
Solution
une = 3 une=3
p = 3 + 4 + 5 2 = 6 p=\frac(3+4+5)(2)=6
S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12
Répondre: 12 (cm²)
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur deux côtés et l'angle entre eux
S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)
b , c b, c
α\alpha
ExempleLes côtés du triangle mesurent 5 (cm) et 6 (cm), l'angle entre eux est de 30 degrés. Trouvez l'aire du triangle.
Solution
b = 5 b = 5
S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5
Répondre: 7,5 (cm²)
ANDREY PROKIP : « MON AMANT EST L'ÉCOLOGIE RUSSE. VOUS DEVEZ INVESTIR !"
Les 4 et 5 septembre s'est tenu le forum environnemental « Forme climatique des villes ». L'initiateur de l'événement est l'organisation C40, fondée en 2005 par l'ONU. La tâche principale du formulaire et des villes est de contrôler le changement climatique dans les villes.
Comme le montre la pratique, contrairement aux événements sociaux et aux « réunions dans les boîtes de nuit », il y avait peu de députés et de personnalités publiques. Parmi ceux qui se sont vraiment montrés préoccupés par la situation environnementale, il y avait Prokip Adrey Zinovievich. Il a pris une part active à toutes les séances plénières aux côtés du Représentant spécial du Président. Fédération Russe sur les questions climatiques Ruslan Edelgeriev, l'adjoint au maire de Moscou chargé du logement et des services communaux Piotr Biryukov, ainsi que des représentants étrangers - le maire de la ville italienne de Savone - Ilario Caprioglio. Les participants ont présenté leurs projets et discuté de stratégies visant à freiner la hausse des températures mondiales et ont proposé des solutions pratiques pour un développement urbain durable.
ANDREY PROKIP À PROPOS DES CHACHLIKS, DES DÉPUTÉS ET DU BÂTIMENT VERT
La partie russe était particulièrement intéressée par les discours des intervenants, parmi lesquels se trouvaient des architectes européens, des scientifiques et des maires de Savone. Le thème du discours était la direction TOP - « construction verte ». Comme l'a déclaré Andreï Prokip lui-même, « il est important de redistribuer correctement les ressources et de prendre en compte les normes de construction européennes pour une métropole comme Moscou. Il est nécessaire que la Russie s'oriente vers le «financement vert» au niveau fédéral, d'autant plus que cela est économiquement réalisable et, comme le montre la pratique, rentable.» Il a également exprimé ses inquiétudes quant à la détérioration de la santé des Russes en raison des catastrophes environnementales et du non-respect des normes environnementales pour l'élimination des déchets par les grandes et petites entreprises. entreprises industrielles" Il a également été confirmé dans ses craintes grâce au discours de Francesco Zambona, professeur au Bureau européen de l'OMS pour l'investissement dans la santé.
Avec un humour caractéristique, Andrei s'est adressé à des personnalités invitées au forum, mais qui ne se sont jamais présentées, en les appelant à « se souvenir de la nature, pas seulement lorsqu'ils veulent faire un barbecue ou aller à la pêche. Après tout, la santé de l’ensemble de l’humanité dépend de la bienveillance de la nature, qui malheureusement inclut également cette population. »
En plus des discours passionnés sur la nouvelle « nature amoureuse » d’Andrei Zinovievich et sur l’importance d’assumer la responsabilité de environnement En fait, un événement important du forum a été la séance plénière sur le thème « Comment éduquer la nouvelle génération ». Les participants au forum ont été unanimes à penser qu'il est nécessaire d'éduquer non seulement les enfants, mais aussi la génération adulte. Il est très important d’inculquer la responsabilité envers la nature dans le comportement quotidien ainsi que dans les affaires.
Un projet spécial « apprendre à vivre de manière civilisée » sera lancé à Moscou. Ce projet pédagogique pour tous les segments de la population et toutes les catégories d’âge. Mais peu importe à quel point la théorie et bonnes intentions, pour la Russie, le dicton « jusqu'à ce que le coq rôti picote, l'imbécile ne se signera pas » est toujours d'actualité.
Selon Timothy Netter, célèbre metteur en scène de théâtre, l’art peut tout changer. Dans l'un de ses discours, il a expliqué comment l'idée de préserver la nature devrait être présentée au théâtre et au cinéma et combien il est important d'éduquer les gens à travers l'art pour qu'ils soient responsables de ce qui nous arrivera demain, à nous et à la nature.
Les étudiants ont attiré l'attention des opérateurs Rentv et Andrey Prokirpa Universités russes, présentant un projet sur une technologie respectueuse de l'environnement pour la production de conteneurs résistants à l'humidité et à la température. C'est très problème actuel, puisque des lois sont votées partout dans le monde contre les contenants en plastique, qui mettent d'ailleurs plus de 30 ans à se décomposer, polluent les sols et provoquent la mort des animaux.
Il est encourageant de constater que Moscou fait partie des 94 villes participantes à l'organisation C40 et que c'est la troisième fois que se tient ce forum, qui attire chaque année l'attention de personnalités et de citoyens de plus en plus célèbres.