Ve školních osnovách pro kurz stereometrie začíná studium trojrozměrných obrazců obvykle jednoduchým geometrickým tělesem - mnohostěnem hranolu. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho základnami jsou 2 stejné pravidelné čtyřúhelníky, na které jsou kolmé strany ve tvaru rovnoběžníku (nebo obdélníku, pokud hranol není nakloněný).
Jak vypadá hranol?
Pravidelný čtyřboký hranol je šestiúhelník, jehož základny jsou 2 čtverce a boční plochy jsou znázorněny obdélníky. Jiný název pro toto geometrický obrazec- rovný rovnoběžnostěn.
Nákres znázorňující čtyřúhelníkový hranol je uveden níže.
Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Tyto zahrnují:
Někdy se v geometrických úlohách můžete setkat s konceptem řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa patřící k řezné rovině. Řez může být kolmý (protíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu se uvažuje i s diagonálním řezem (maximální počet sestrojitelných řezů je 2), procházející 2 hranami a úhlopříčkami podstavy.
Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.
K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé vztahy a vzorce. Některé z nich jsou známy z kurzu planimetrie (například k nalezení oblasti základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).
Plocha a objem
Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:
V = Sbas h
Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:
V = a²·h
Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu se stejnou délkou, šířkou a výškou, objem se vypočítá takto:
Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho vývoj.
Z výkresu je zřejmé, že boční povrch skládá se ze 4 stejných obdélníků. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:
Sstrana = Posn h
S přihlédnutím k tomu, že obvod čtverce se rovná P = 4a, vzorec má tvar:
Sside = 4h
Pro kostku:
Strana strany = 4a²
Chcete-li vypočítat plochu celkového povrchu hranolu, musíte k boční ploše přidat 2 základní plochy:
Plný = vedlejší + 2 hlavní
Ve vztahu ke čtvercovému pravidelnému hranolu vzorec vypadá takto:
Celkem = 4a h + 2a²
Pro povrchovou plochu krychle:
Plný = 6a²
Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.
Nalezení hranolových prvků
Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze vzorce odvodit:
- délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
- výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a2;
- základní plocha: Sbas = V/h;
- oblast bočního obličeje: Boční gr = Sstrana / 4.
Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:
Sdiag = ah√2
Pro výpočet úhlopříčky hranolu použijte vzorec:
cena = √(2a² + h²)
Abyste pochopili, jak dané vztahy aplikovat, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úloh.
Příklady problémů s řešením
Zde jsou některé úlohy ke státní závěrečné zkoušce z matematiky.
Cvičení 1.
Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s podstavou dvakrát delší?
Mělo by být zdůvodněno následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, tj. jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete označit pomocí A. V tomto případě bude pro první krabici objem látky:
V1 = ha2 = 10a2
U druhé krabice je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:
V2 = h (2a)2 = 4 ha2
Protože V1 = V2, můžeme dát rovnítko mezi výrazy:
10a² = 4ha²
Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:
Jako výsledek nová úroveň písek bude h = 10/4 = 2,5 cm.
Úkol 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je správný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.
Abyste snáze pochopili, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.
Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že na základně je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má stejnou velikost, proto má boční plocha také tvar čtverce rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.
Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Celkový povrch se zjistí pomocí vzorce pro krychli:
Plný = 6a² = 6 6² = 216
Úkol 3.
Pokoj je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?
Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky a její stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že jde o pravidelný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.
Délka místnosti je a = √9 = 3 m
Plocha bude pokryta tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².
Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50,30 = 1500 rublů
K řešení úloh týkajících se pravoúhlého hranolu tedy stačí umět vypočítat plochu a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a povrchu.
Jak najít plochu krychle
Definice. Hranol je mnohostěn, jehož všechny vrcholy jsou umístěny ve dvou rovnoběžných rovinách a v těchto stejných dvou rovinách leží dvě plochy hranolu, což jsou stejné mnohoúhelníky s příslušně rovnoběžnými stranami, a všechny hrany, které neleží v těchto rovinách, jsou rovnoběžné.
Jsou volány dvě stejné tváře hranolové základny(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Všechny ostatní plochy hranolu se nazývají boční plochy(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Všechny boční plochy tvoří boční povrch hranolu .
Všechny boční strany hranolu jsou rovnoběžníky .
Hrany, které neleží na základnách, se nazývají boční hrany hranolu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Úhlopříčka hranolu je segment, jehož konce jsou dva vrcholy hranolu, které neleží na stejné ploše (AD 1).
Délka úsečky spojující podstavy hranolu a kolmé k oběma podstavám zároveň se nazývá výška hranolu .
Označení:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Nejprve jsou v příčném pořadí označeny vrcholy jedné základny a poté ve stejném pořadí vrcholy druhé; konce každé boční hrany jsou označeny stejnými písmeny, jsou označeny pouze vrcholy ležící v jedné základně písmeny bez indexu a ve druhém - s indexem)
Název hranolu je spojen s počtem úhlů na obrázku ležícím u jeho základny, např. na obrázku 1 je u základny pětiúhelník, takže hranol je tzv. pětiboký hranol. Ale protože takový hranol má 7 stran, pak to sedmistěn(2 strany - základny hranolu, 5 stran - rovnoběžníky, - jeho boční strany)
Mezi rovnými hranoly vyniká konkrétní typ: pravidelné hranoly.
Přímý hranol se nazývá opravit, pokud jsou jeho základny pravidelné mnohoúhelníky.
Pravidelný hranol má všechny boční strany stejné obdélníky. Zvláštním případem hranolu je rovnoběžnostěn.Rovnoběžné
Rovnoběžné je čtyřboký hranol, na jehož základně leží rovnoběžník (šikmý rovnoběžnostěn). Pravý rovnoběžnostěn- rovnoběžnostěn, jehož boční hrany jsou kolmé k rovinám základny.Obdélníkový rovnoběžnostěn - pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník.
Vlastnosti a věty:
Některé vlastnosti rovnoběžnostěnu jsou podobné známým vlastnostem rovnoběžníku Obdélníkový rovnoběžnostěn se stejnými rozměry se nazývá krychle .Krychle má všechny stejné čtverce. Diagonální čtverec, rovnající se součtučtverce jeho tří rozměrů
,
kde d je úhlopříčka čtverce;
a je strana čtverce.
Představa hranolu je dána:
- různé architektonické struktury;
- Dětské hračky;
- krabice na balení;
- designové předměty atd.
Plocha celkového a bočního povrchu hranolu
Celková plocha hranolu je součtem ploch všech jejích ploch Boční plocha povrchu se nazývá součet ploch jeho bočních ploch. Základny hranolu jsou stejné mnohoúhelníky, pak jsou jejich plochy stejné. ProtoS plný = S strana + 2S hlavní,
Kde S plný- celková plocha, S strana- boční plocha, S základna- základní plocha
Boční plocha rovného hranolu se rovná součinu obvodu základny a výšky hranolu.
S strana= P základní * h,
Kde S strana- plocha bočního povrchu rovného hranolu,
P hlavní - obvod základny přímého hranolu,
h je výška přímého hranolu, rovna boční hraně.
Objem hranolu
Objem hranolu rovnající se produktu základní plocha do výšky.
Boční povrch hranolu. Ahoj! V této publikaci budeme analyzovat skupinu problémů stereometrie. Uvažujme kombinaci těles – hranol a válec. Na tento moment Tento článek doplňuje celou sérii článků souvisejících s úvahami o typech úloh ve stereometrii.
Pokud se v bance úkolů objeví nové, pak samozřejmě v budoucnu budou na blogu přibývat. Ale to, co už tam je, je docela dost na to, abyste se v rámci zkoušky naučili řešit všechny problémy s krátkou odpovědí. Materiálu bude dost na roky dopředu (program matematiky je statický).
Prezentované úkoly zahrnují výpočet plochy hranolu. Podotýkám, že níže uvažujeme o přímém hranolu (a podle toho o rovném válci).
Aniž bychom znali nějaké vzorce, chápeme, že boční povrch hranolu jsou všechny jeho boční strany. Přímý hranol má pravoúhlé boční plochy.
Plocha bočního povrchu takového hranolu se rovná součtu ploch všech jeho bočních ploch (tj. obdélníků). Pokud mluvíme o pravidelném hranolu, do kterého je vepsán válec, pak je jasné, že všechny plochy tohoto hranolu jsou ROVNÉ obdélníky.
Formálně se může boční plocha pravidelného hranolu odrážet takto:
27064. Pravidelný čtyřboký hranol je opsán kolem válce, jehož základní poloměr a výška jsou rovné 1. Najděte boční povrch hranolu.
Boční plocha tohoto hranolu se skládá ze čtyř obdélníků o stejné ploše. Výška čela je 1, hrana základny hranolu je 2 (to jsou dva poloměry válce), proto je plocha bočního čela rovna:
Boční povrch:
73023. Najděte boční povrch pravidelného trojúhelníkového hranolu opsaného kolem válce, jehož základní poloměr je √0,12 a výška je 3.
Boční plocha tohoto hranolu se rovná součtu tři čtverce boční plochy (obdélníky). Chcete-li najít oblast boční plochy, musíte znát její výšku a délku základní hrany. Výška je tři. Zjistíme délku základní hrany. Zvažte projekci (pohled shora):
Máme pravidelný trojúhelník, do kterého je vepsána kružnice o poloměru √0,12. Z pravoúhlého trojúhelníku AOC najdeme AC. A pak AD (AD=2AC). Podle definice tečny:
To znamená AD = 2AC = 1,2, plocha bočního povrchu je tedy rovna:
27066. Najděte oblast bočního povrchu reguláru šestihranný hranol, popsaný kolem válce, jehož základní poloměr je √75 a výška je 1.
Požadovaná plocha se rovná součtu ploch všech bočních ploch. Pravidelný šestiboký hranol má boční plochy, které jsou stejné obdélníky.
Chcete-li najít oblast obličeje, musíte znát jeho výšku a délku základní hrany. Výška je známá, rovná se 1.
Zjistíme délku základní hrany. Zvažte projekci (pohled shora):
Máme pravidelný šestiúhelník, do kterého je vepsána kružnice o poloměru √75.
Uvažujme pravoúhlý trojuhelník ABO. Známe nohu OB (to je poloměr válce). Můžeme také určit úhel AOB, je roven 300 (trojúhelník AOC je rovnostranný, OB je osa).
Použijme definici tečny v pravoúhlém trojúhelníku:
AC = 2AB, protože OB je medián, to znamená, že dělí AC na polovinu, což znamená AC = 10.
Plocha boční plochy je tedy 1∙10=10 a plocha boční plochy je:
76485. Najděte boční povrch pravidelného trojúhelníkového hranolu vepsaného do válce, jehož základní poloměr je 8√3 a výška je 6.
Plocha bočního povrchu zadaného hranolu tří stejně velkých ploch (obdélníků). Pro zjištění plochy je potřeba znát délku hrany podstavy hranolu (známe výšku). Uvažujeme-li projekci (půdorys), máme pravidelný trojúhelník vepsaný do kruhu. Strana tohoto trojúhelníku je vyjádřena poloměrem jako:
Podrobnosti tohoto vztahu. Takže se to bude rovnat
Potom je plocha boční plochy: 24∙6=144. A požadovaná oblast:
245354. Pravidelný čtyřboký hranol je ohraničen kolem válce, jehož základní poloměr je 2. Boční povrch hranolu je 48. Najděte výšku válce.
Videokurz „Získejte A“ obsahuje všechna témata nezbytná k úspěchu složení jednotné státní zkoušky v matematice za 60-65 bodů. Úplně všechny problémy 1-13 Jednotná státní zkouška profilu matematika. Vhodné i pro složení Základní jednotné státní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s 90-100 body, musíte část 1 vyřešit za 30 minut a bezchybně!
Přípravný kurz k jednotné státní zkoušce pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části jednotné státní zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a neobejde se bez nich ani stobodový student, ani student humanitních oborů.
Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, úskalí a tajemství jednotné státní zkoušky. Byly analyzovány všechny aktuální úkoly části 1 z FIPI Task Bank. Kurz plně vyhovuje požadavkům jednotné státní zkoušky 2018.
Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.
Stovky úkolů jednotné státní zkoušky. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů úkolů jednotné státní zkoušky. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, rozvoj prostorové představivosti. Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Vizuální vysvětlení komplexní koncepty. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Podklad pro řešení složitých problémů 2. části jednotné státní zkoušky.
Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
- Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.
Zpřístupnění informací třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby v souladu se zákonem soudní řízení, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí vládních úřadů v Ruské federaci - zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.