První úroveň
Pyramida. Vizuální průvodce (2019)
Co je pyramida?
Jak vypadá?
Vidíte: na dně pyramidy (říkají „ na základně") nějaký mnohoúhelník a všechny vrcholy tohoto mnohoúhelníku jsou spojeny s nějakým bodem v prostoru (tento bod se nazývá " vrchol»).
Celá tato struktura stále má boční plochy, boční žebra A základní žebra. Ještě jednou nakreslíme pyramidu se všemi těmito jmény:
Některé pyramidy mohou vypadat velmi zvláštně, ale stále jsou to pyramidy.
Zde je například zcela „šikmé“ pyramida.
A ještě něco málo k názvům: pokud je u paty pyramidy trojúhelník, pak se pyramidě říká trojúhelníková, pokud je čtyřúhelník, tak čtyřúhelník, a pokud je cenťák, tak... hádejte sami .
Zároveň bod, kde to padlo výška, volal výškový základ. Vezměte prosím na vědomí, že v „křivých“ pyramidách výška může dokonce skončit mimo pyramidu. Takhle:
A není na tom nic špatného. Vypadá to jako tupý trojúhelník.
Správná pyramida.
Hodně složitá slova? Pojďme dešifrovat: „Na základně - správně“ - to je pochopitelné. Nyní si pamatujte, že pravidelný mnohoúhelník má střed – bod, který je středem a , a .
Slova „vrchol se promítá do středu základny“ znamenají, že základna výšky spadá přesně do středu základny. Podívejte se, jak to vypadá hladce a roztomile pravidelná pyramida.
Šestihranný: na základně je pravidelný šestiúhelník, vrchol se promítá do středu základny.
Čtyřúhelníkový: základna je čtverec, vrchol se promítá do průsečíku úhlopříček tohoto čtverce.
Trojúhelníkový: na základně je pravidelný trojúhelník, vrchol se promítá do průsečíku výšek (jsou to i střednice a osy) tohoto trojúhelníku.
Velmi důležité vlastnosti pravidelná pyramida:
V pravé pyramidě
- všechny boční hrany jsou stejné.
- všechny boční plochy jsou rovnoramenné trojúhelníky a všechny tyto trojúhelníky jsou si rovny.
Objem pyramidy
Hlavní vzorec pro objem pyramidy:
Odkud přesně pochází? To není tak jednoduché a nejprve si stačí zapamatovat, že pyramida a kužel mají ve vzorci objem, ale válec ne.
Nyní spočítejme objem nejoblíbenějších pyramid.
Nechť je strana základny stejná a boční hrana stejná. Musíme najít a.
Toto je oblast pravidelného trojúhelníku.
Připomeňme si, jak tuto oblast hledat. Použijeme plošný vzorec:
Pro nás je „ “ toto a „ “ je také toto, eh.
Teď to najdeme.
Podle Pythagorovy věty pro
Jaký je v tom rozdíl? Toto je circumradius v protože pyramidaopravit a tedy střed.
Od - také průsečík mediánů.
(Pythagorova věta pro)
Dosadíme to do vzorce pro.
A dosadíme vše do objemového vzorce:
Pozornost: pokud máte pravidelný čtyřstěn (tj.), vzorec vypadá takto:
Nechť je strana základny stejná a boční hrana stejná.
Zde není třeba hledat; Koneckonců, základna je čtverec, a proto.
Najdeme to. Podle Pythagorovy věty pro
Víme? Téměř. Dívej se:
(viděli jsme to při pohledu na to).
Dosaďte do vzorce za:
A nyní dosadíme a do objemového vzorce.
Nechť je strana základny stejná a boční hrana.
Jak najít? Hele, šestiúhelník se skládá z přesně šesti stejných pravidelných trojúhelníků. Již jsme hledali plochu pravidelného trojúhelníku při výpočtu objemu pravidelné trojúhelníkové pyramidy, zde používáme vzorec, který jsme našli.
Teď pojďme najít (to).
Podle Pythagorovy věty pro
Ale co na tom záleží? Je to jednoduché, protože (a všichni ostatní také) mají pravdu.
Pojďme nahradit:
\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))
PYRAMIDA. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH
Jehlan je mnohostěn, který se skládá z libovolného plochého mnohoúhelníku (), bodu neležícího v rovině základny (vrchol jehlanu) a všech segmentů spojujících vrchol jehlanu s body základny (boční hrany).
Kolmice spadlá z vrcholu pyramidy na rovinu základny.
Správná pyramida- pyramida, jejíž základna leží pravidelný mnohoúhelník a vrchol pyramidy se promítá do středu základny.
Vlastnost pravidelné pyramidy:
- V pravidelné pyramidě jsou všechny boční hrany stejné.
- Všechny boční stěny jsou rovnoramenné trojúhelníky a všechny tyto trojúhelníky jsou stejné.
Hypotéza: věříme, že dokonalost tvaru pyramidy je dána matematickými zákony, které jsou jejímu tvaru vlastní.
Cílová: Po prostudování pyramidy jako geometrického tělesa vysvětlete dokonalost její formy.
úkoly:
1. Uveďte matematickou definici pyramidy.
2. Studujte jehlan jako geometrické těleso.
3. Pochopit, jaké matematické znalosti Egypťané začlenili do svých pyramid.
Soukromé otázky:
1. Co je pyramida jako geometrické těleso?
2. Jak lze z matematického hlediska vysvětlit jedinečný tvar pyramidy?
3. Co vysvětluje geometrické zázraky pyramidy?
4. Co vysvětluje dokonalost tvaru pyramidy?
Definice pyramidy.
PYRAMIDA (z řeckého pyramis, gen. pyramidos) - mnohostěn, jehož základna je mnohoúhelník a zbývající plochy jsou trojúhelníky se společným vrcholem (kresbou). Na základě počtu rohů základny jsou pyramidy klasifikovány jako trojúhelníkové, čtyřboké atd.
PYRAMIDA - monumentální stavba, která má geometrický tvar jehlanu (někdy též stupňovitý nebo věžovitý). Pyramidy se nazývají obří hrobky staroegyptských faraonů z 3.-2. tisíciletí před naším letopočtem. e., stejně jako starověké americké chrámové podstavce (v Mexiku, Guatemale, Hondurasu, Peru), spojené s kosmologickými kulty.
Je možné, že řecké slovo „pyramida“ pochází z egyptského výrazu per-em-us, tedy z výrazu znamenajícího výšku pyramidy. Vynikající ruský egyptolog V. Struve věřil, že řecké „puram...j“ pochází ze staroegyptského „p“-mr.
Z historie. Po prostudování materiálu v učebnici „Geometrie“ od autorů Atanasyan. Butuzova a dalších jsme se dozvěděli, že: Mnohostěn složený z n-úhelníku A1A2A3 ... An a n trojúhelníků PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 se nazývá jehlan. Mnohoúhelník A1A2A3...An je základna jehlanu a trojúhelníky PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 jsou boční stěny jehlanu, P je vrchol jehlanu, segmenty PA1, PA2,.. ., PAn jsou boční hrany.
Tato definice pyramidy však vždy neexistovala. Například, starověký řecký matematik, autor teoretických pojednání o matematice, které se k nám dostaly, Euklides, definuje pyramidu jako pevnou postavu ohraničenou rovinami, které se sbíhají z jedné roviny do jednoho bodu.
Ale tato definice byla kritizována již ve starověku. Heron tedy navrhl následující definici pyramidy: „Je to postava ohraničená trojúhelníky sbíhajícími se v jednom bodě a jejíž základna je mnohoúhelník.
Naše skupina po porovnání těchto definic došla k závěru, že nemají jasnou formulaci pojmu „základ“.
Prozkoumali jsme tyto definice a našli jsme definici Adriena Marie Legendre, který v roce 1794 ve svém díle „Elements of Geometry“ definuje pyramidu takto: „Pyramida je pevná postava tvořená trojúhelníky sbíhajícími se v jednom bodě a končícími na různých stranách. plochá základna."
To se nám zdá poslední definice dává jasnou představu o pyramidě, protože mluví o tom, že základna je plochá. Další definice pyramidy se objevila v učebnici z 19. století: „pyramida je pevný úhel protínaný rovinou“.
Pyramida jako geometrické těleso.
Že. Jehlan je mnohostěn, jehož jedna plocha (základna) je mnohoúhelník, zbývající plochy (strany) jsou trojúhelníky, které mají jeden společný vrchol (vrchol jehlanu).
Nazývá se kolmice vedená z vrcholu jehlanu k rovině podstavy výškah pyramidy.
Kromě libovolné pyramidy existují správnou pyramidu na jehož základně je pravidelný mnohoúhelník a komolá pyramida.
Na obrázku je pyramida PABCD, ABCD je její základna, PO je její výška.
Celková plocha povrchu pyramidy je součet ploch všech jejích ploch.
Sfull = Sside + Smain, Kde Boční– součet ploch bočních ploch.
Objem pyramidy se najde podle vzorce:
V=1/3Sbas. h, kde Sbas. - základní plocha, h- výška.
Apotéma ST je výška boční stěny pravidelného jehlanu.
Plocha boční stěny pravidelné pyramidy je vyjádřena takto: Sstrana. = 1/2P h, kde P je obvod základny, h- výška boční plochy (apotém pravidelného jehlanu). Pokud pyramidu protíná rovina A'B'C'D', rovnoběžná se základnou, pak:
1) boční žebra a výška jsou rozděleny touto rovinou na proporcionální části;
2) v příčném řezu se získá mnohoúhelník A’B’C’D’, podobný základně;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Základy komolého jehlanu– podobné polygony ABCD a A`B`C`D`, boční plochy jsou lichoběžníky.
Výška komolý jehlan - vzdálenost mezi základnami.
Zkrácený objem pyramidu najdeme podle vzorce:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Boční plocha pravidelného komolého jehlanu je vyjádřen takto: Sstrana = ½(P+P') h, kde P a P' jsou obvody základen, h- výška boční plochy (apotém pravidelného komolého pirami
Části pyramidy.
Řezy jehlanu rovinami procházejícími jeho vrcholem jsou trojúhelníky.
Nazývá se úsek procházející dvěma nesousedícími bočními okraji jehlanu diagonální řez.
Pokud řez prochází bodem na boční hraně a straně podstavy, pak jeho stopa k rovině podstavy jehlanu bude tato strana.
Řez procházející bodem ležícím na čele jehlanu a danou stopou řezu na základní rovině, pak by měla být konstrukce provedena následovně:
· najít průsečík roviny dané plochy a stopy řezu jehlanem a označit jej;
· sestrojte přímku procházející daným bodem a výsledným průsečíkem;
· opakujte tyto kroky pro další tváře.
, což odpovídá poměru nohou pravoúhlý trojuhelník 4:3. Tento poměr nohou odpovídá známému pravoúhlému trojúhelníku o stranách 3:4:5, kterému se říká „dokonalý“, „posvátný“ nebo „egyptský“ trojúhelník. Podle historiků dostal „egyptský“ trojúhelník magický význam. Plutarchos napsal, že Egypťané přirovnávali povahu vesmíru k „posvátnému“ trojúhelníku; svislou nohu symbolicky přirovnali k manželovi, základnu k manželce a přeponu k té, která se rodí z obou.
Pro trojúhelník 3:4:5 platí rovnost: 32 + 42 = 52, což vyjadřuje Pythagorovu větu. Nebyla to tato věta, kterou chtěli egyptští kněží zvěčnit postavením pyramidy založené na trojúhelníku 3:4:5? Těžko najít zdařilejší příklad pro ilustraci Pythagorovy věty, kterou znali Egypťané dávno před jejím objevením Pythagorem.
Tedy brilantní tvůrci egyptské pyramidy se snažili ohromit vzdálené potomky hloubkou svých znalostí a dosáhli toho výběrem „zlatého“ pravoúhlého trojúhelníku jako „hlavní geometrické myšlenky“ pro Cheopsovu pyramidu a „posvátného“ neboli „egyptského“ trojúhelníku pro pyramidu Khafre. .
Vědci ve svých výzkumech velmi často využívají vlastnosti pyramid s proporcemi Zlatého řezu.
V matematice encyklopedický slovník Je uvedena následující definice Zlatého řezu - jedná se o harmonické dělení, dělení v extrémním a průměrném poměru - dělení segmentu AB na dvě části tak, že jeho větší část AC je průměrem proporcionálním mezi celým segmentem AB a jeho menší část SV.
Algebraické určení zlatého řezu úsečky AB = a redukuje na řešení rovnice a: x = x: (a – x), z níž x je přibližně rovno 0,62a. Poměr x lze vyjádřit jako zlomky 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kde 2, 3, 5, 8, 13, 21 jsou Fibonacciho čísla.
Geometrické konstrukce Zlatého řezu úsečky AB se provádí následovně: v bodě B se obnoví kolmice k AB, na ni se položí úsečka BE = 1/2 AB, spojí se A a E, DE = BE je propuštěn a nakonec AC = AD, pak je splněna rovnost AB: CB = 2:3.
Zlatý řezčasto se používá v uměleckých dílech, architektuře a nachází se v přírodě. Živými příklady jsou socha Apollo Belvedere a Parthenon. Při stavbě Parthenonu byl použit poměr výšky budovy k její délce a tento poměr je 0,618. Předměty kolem nás také poskytují příklady zlatého řezu, například vazby mnoha knih mají poměr šířky k délce blízko 0,618. Vzhledem k uspořádání listů na společném stonku rostlin si můžete všimnout, že mezi každými dvěma páry listů je třetí umístěn ve zlatém řezu (skluzy). Každý z nás „nese“ Zlatý poměr s sebou „ve svých rukou“ - to je poměr falangů prstů.
Díky objevu několika matematických papyrů se egyptologové dozvěděli něco o staroegyptských systémech výpočtu a měření. Úkoly v nich obsažené řešili písaři. Jedním z nejznámějších je Rhindův matematický papyrus. Studiem těchto problémů se egyptologové dozvěděli, jak starověcí Egypťané nakládali s různými veličinami, které vznikaly při výpočtu míry hmotnosti, délky a objemu, což často zahrnovalo zlomky, a také to, jak zacházeli s úhly.
Staří Egypťané používali metodu výpočtu úhlů založenou na poměru výšky k základně pravoúhlého trojúhelníku. Vyjadřovali jakýkoli úhel v jazyce gradientu. Gradient sklonu byl vyjádřen jako poměr celých čísel nazvaný "seced". Richard Pillins v knize Mathematics in the Age of the Pharaohs vysvětluje: „Seked pravidelné pyramidy je sklon kterékoli ze čtyř trojúhelníkových stěn k rovině základny, měřený n-tým počtem horizontálních jednotek na vertikální jednotku vzestupu. . Tato jednotka měření je tedy ekvivalentní naší moderní kotangens úhlu sklonu. Proto egyptské slovo „seced“ souvisí s naším moderní slovo"spád"".
Číselný klíč pyramid spočívá v poměru jejich výšky k základně. V z praktického hlediska- Toto je nejjednodušší způsob, jak vyrobit šablony nutné k neustálé kontrole správného úhlu sklonu po celou dobu stavby pyramidy.
Egyptologové by nás rádi přesvědčili, že každý faraon toužil vyjádřit svou individualitu, a proto jsou rozdíly v úhlech sklonu u každé pyramidy. Ale může to být i jiný důvod. Snad všichni chtěli ztělesňovat různé symbolické asociace, skryté v různých proporcích. Úhel Khafreovy pyramidy (založený na trojúhelníku (3:4:5) se však objevuje ve třech problémech prezentovaných pyramidami v Rhindově matematickém papyru). Tento postoj byl tedy starým Egypťanům dobře znám.
Abychom byli spravedliví k egyptologům, kteří tvrdí, že staří Egypťané si nebyli vědomi trojúhelníku 3:4:5, délka přepony 5 nebyla nikdy zmíněna. Ale matematické problémy týkající se pyramid se vždy řeší na základě úhlu seceda - poměru výšky k základně. Protože délka přepony nebyla nikdy zmíněna, došlo k závěru, že Egypťané nikdy nevypočítali délku třetí strany.
Poměry výšky a základny používané v pyramidách v Gíze nepochybně znali staří Egypťané. Je možné, že tyto vztahy pro každou pyramidu byly zvoleny libovolně. To je však v rozporu s důležitostí připisovanou číselné symbolice ve všech typech egyptštiny výtvarné umění. Je velmi pravděpodobné, že takové vztahy byly významné, protože vyjadřovaly specifické náboženské představy. Jinými slovy, celý komplex v Gíze byl podřízen ucelenému designu navrženému tak, aby odrážel určité božské téma. To by vysvětlovalo, proč konstruktéři zvolili pro tři pyramidy různé úhly.
V knize The Mystery of Orion předložili Bauval a Gilbert přesvědčivé důkazy spojující pyramidy v Gíze se souhvězdím Orion, zejména s hvězdami Orionova pásu. Stejné souhvězdí je přítomno v mýtu o Isis a Osiris a existuje důvod k tomu každá pyramida jako reprezentace jednoho ze tří hlavních božstev - Osiris, Isis a Horus.
"GEOMETRICKÉ" ZÁZRAKY.
Mezi grandiózními pyramidami Egypta zaujímá zvláštní místo Velká pyramida faraona Cheopse (Khufu). Než začneme analyzovat tvar a velikost Cheopsovy pyramidy, měli bychom si připomenout, jaký systém měření Egypťané používali. Egypťané měli tři jednotky délky: „loket“ (466 mm), který se rovnal sedmi „dlaním“ (66,5 mm), což se zase rovnalo čtyřem „prstům“ (16,6 mm).
Analyzujme rozměry Cheopsovy pyramidy (obr. 2) podle argumentů uvedených v nádherné knize ukrajinského vědce Nikolaje Vasjutinského. Zlatý řez“ (1990).
Většina badatelů souhlasí s tím, že délka strany základny pyramidy, např. GF rovná L= 233,16 m Tato hodnota odpovídá téměř přesně 500 „loktů“. Plná shoda s 500 „lokty“ nastane, pokud je délka „lokta“ považována za rovnou 0,4663 m.
Výška pyramidy ( H) odhadují badatelé různě od 146,6 do 148,2 m a v závislosti na přijaté výšce pyramidy se mění všechny vztahy jejích geometrických prvků. Jaký je důvod rozdílů v odhadech výšky pyramidy? Faktem je, že přísně vzato je Cheopsova pyramida zkrácená. Její horní plošina dnes měří přibližně 10´ 10 m, ale před stoletím měla 6´ 6 m. Vrchol pyramidy byl zjevně rozebrán a neodpovídá tomu původnímu.
Při posuzování výšky pyramidy je nutné vzít v úvahu takový fyzikální faktor, jako je „tah“ konstrukce. Za dlouho pod vlivem kolosálního tlaku (dosahujícího 500 tun na 1 m2 spodní plochy) se výška pyramidy oproti původní výšce snížila.
Jaká byla původní výška pyramidy? Tuto výšku lze znovu vytvořit nalezením základní „geometrické myšlenky“ pyramidy.
Obrázek 2
V roce 1837 změřil anglický plukovník G. Wise úhel sklonu čel pyramidy: ukázalo se, že je stejný A= 51°51". Tuto hodnotu většina badatelů uznává dodnes. Uvedená hodnota úhlu odpovídá tečně (tg A), rovná se 1,27306. Tato hodnota odpovídá poměru výšky pyramidy AC na polovinu své základny C.B.(obr.2), tzn A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.
A zde na výzkumníky čekalo velké překvapení!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porovnání této hodnoty s hodnotou tg A= 1,27306, vidíme, že tyto hodnoty jsou si velmi blízké. Když vezmeme úhel A= 51°50", to znamená, že jej snižte pouze o jednu úhlovou minutu, pak hodnotu A se bude rovnat 1,272, to znamená, že se bude shodovat s hodnotou. Je třeba poznamenat, že v roce 1840 G. Wise zopakoval svá měření a objasnil, že hodnota úhlu A=51°50".
Tato měření vedla vědce k následujícímu velmi zajímavá hypotéza: trojúhelník ACB Cheopsovy pyramidy vycházel ze vztahu AC / C.B. = = 1,272!
Zvažte nyní pravoúhlý trojúhelník ABC, ve kterém poměr nohou A.C. / C.B.= (obr. 2). Pokud nyní délky stran obdélníku ABC určit podle X, y, z, a také vzít v úvahu, že poměr y/X= , pak v souladu s Pythagorovou větou délka z lze vypočítat pomocí vzorce:
Pokud přijmeme X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Obrázek 3"Zlatý" pravoúhlý trojúhelník.
Pravoúhlý trojúhelník, jehož strany spolu souvisí t:zlatý" pravoúhlý trojúhelník.
Pak, pokud vezmeme za základ hypotézu, že hlavní „geometrickou myšlenkou“ Cheopsovy pyramidy je „zlatý“ pravoúhlý trojúhelník, pak odtud můžeme snadno vypočítat „návrhovou“ výšku Cheopsovy pyramidy. Rovná se:
H = (L/2)' = 148,28 m.
Odvoďme nyní některé další vztahy pro Cheopsovu pyramidu, které vyplývají ze „zlaté“ hypotézy. Zejména najdeme poměr vnější plochy pyramidy k ploše její základny. Abychom to udělali, vezmeme délku nohy C.B. za jednotku, tedy: C.B.= 1. Ale pak délka strany základny jehlanu GF= 2 a plocha základny EFGH budou rovné SEFGH = 4.
Pojďme nyní vypočítat plochu boční stěny Cheopsovy pyramidy SD. Od výšky AB trojúhelník AEF rovná t, pak bude plocha boční plochy rovna SD = t. Potom bude celková plocha všech čtyř bočních stěn pyramidy rovna 4 t a poměr celkové vnější plochy pyramidy k ploše základny se bude rovnat zlatému poměru! To je ono - hlavní geometrické tajemství Cheopsovy pyramidy!
Skupina „geometrických zázraků“ Cheopsovy pyramidy zahrnuje skutečné a přitažené za vlasy vlastnosti vztahů mezi různými dimenzemi v pyramidě.
Zpravidla se získávají při hledání určitých „konstant“, zejména čísla „pi“ (Ludolfovo číslo), které se rovná 3,14159...; důvody přirozené logaritmy"e" (Neperovo číslo), rovné 2,71828...; číslo "F", číslo "zlatého řezu", rovné např. 0,618...atd.
Můžete jmenovat např.: 1) Vlastnost Herodota: (Výška)2 = 0,5 čl. základní x Apothem; 2) Majetek V. Cena: Výška: 0,5 art. základ = Druhá odmocnina z "F"; 3) Vlastnost M. Eista: Obvod základny: 2 Výška = "Pi"; v jiném výkladu - 2 polévkové lžíce. základní : Výška = "Pí"; 4) Vlastnost G. Edge: Poloměr vepsané kružnice: 0,5 čl. základní = "F"; 5) Majetek K. Kleppische: (čl. main.)2: 2(čl. hlavní. x Apothem) = (čl. hlavní. W. Apothema) = 2 (čl. hlavní. x Apotém) : ((2 čl. . hlavní X Apotém) + (v. hlavní)2). Atd. Takových vlastností můžete vymyslet mnoho, zvláště pokud spojíte dvě sousední pyramidy. Například jako „Vlastnosti A. Arefyeva“ lze uvést, že rozdíl v objemech Cheopsovy pyramidy a pyramidy Khafre je roven dvojnásobku objemu pyramidy Mikerinovy...
Mnoho zajímavá ustanovení Zejména stavba pyramid podle „zlatého řezu“ je popsána v knihách D. Hambidge „Dynamická symetrie v architektuře“ a M. Gicka „Estetika proporcí v přírodě a umění“. Připomeňme, že „zlatý řez“ je rozdělení segmentu v takovém poměru, že část A je tolikrát větší než část B, kolikrát A je menší než celý segment A + B. Poměr A/B se rovná číslu „F“ == 1,618 .. Použití „zlatého řezu“ je naznačeno nejen v jednotlivých pyramidách, ale i v celém komplexu pyramid v Gíze.
Nejkurióznější však je, že jedna a ta samá Cheopsova pyramida toho prostě „nemůže“ tolik pojmout úžasné vlastnosti. Když vezmeme určitou vlastnost jednu po druhé, lze ji „vybavit“, ale všechny se nehodí najednou - neshodují se, odporují si. Pokud tedy např. při kontrole všech vlastností vezmeme zpočátku stejnou stranu základny jehlanu (233 m), pak se budou lišit i výšky jehlanů s různými vlastnostmi. Jinými slovy, existuje určitá „rodina“ pyramid, které jsou navenek podobné Cheopsovi, ale mají odlišné vlastnosti. Všimněte si, že v „geometrických“ vlastnostech není nic zvláštního zázračného – mnohé vzniká čistě automaticky, z vlastností samotné postavy. „Zázrak“ by měl být považován pouze za něco, co bylo pro staré Egypťany zjevně nemožné. Patří sem zejména „kosmické“ zázraky, ve kterých jsou měření Cheopsovy pyramidy nebo pyramidového komplexu v Gíze srovnávána s některými astronomickými měřeními a jsou uváděna „sudá“ čísla: milionkrát méně, miliardkrát méně a již brzy. Uvažujme o některých „kosmických“ vztazích.
Jedno z tvrzení zní: „Pokud vydělíte stranu základny pyramidy přesnou délkou roku, dostanete přesně 10 miliontin zemské osy. Vypočítejte: vydělte 233 365, dostaneme 0,638. Poloměr Země je 6378 km.
Další tvrzení je vlastně opakem předchozího. F. Noetling poukázal na to, že pokud použijete „egyptský loket“, který sám vynalezl, pak strana pyramidy bude odpovídat „nejpřesnějšímu trvání sluneční rok, vyjádřeno na nejbližší miliardtinu dne" - 365 540 903 777.
Výrok P. Smitha: "Výška pyramidy je přesně jedna miliardtina vzdálenosti od Země ke Slunci." Ačkoli výška obvykle bývá 146,6 m, Smith ji považoval za 148,2 m. Podle moderních radarových měření je hlavní poloosa zemské oběžné dráhy 149 597 870 + 1,6 km. To je průměrná vzdálenost od Země ke Slunci, ale v perihéliu je to o 5 000 000 kilometrů méně než v aféliu.
Poslední zajímavé tvrzení:
"Jak můžeme vysvětlit, že hmotnosti pyramid Cheops, Khafre a Mykerinus spolu souvisí, jako hmotnosti planet Země, Venuše, Mars?" Pojďme počítat. Hmotnosti tří pyramid jsou: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Poměry hmotností tří planet: Venuše - 0,815; Země - 1 000; Mars - 0,108.
Navzdory skepsi si tedy všimneme známé harmonie konstrukce výroků: 1) výška pyramidy, jako čára „jdoucí do vesmíru“, odpovídá vzdálenosti od Země ke Slunci; 2) strana základny pyramidy, která je nejblíže „podkladu“, tedy Zemi, je zodpovědná za poloměr Země a zemský oběh; 3) objemy pyramidy (čti - hmotnosti) odpovídají poměru hmotností planet nejblíže Zemi. Podobnou „šifru“ lze vysledovat například ve včelí řeči, kterou analyzoval Karl von Frisch. Zatím se však k této záležitosti nebudeme vyjadřovat.
TVAR PYRAMIDY
Slavný čtyřboký tvar pyramid nevznikl okamžitě. Skythové dělali pohřby ve formě hliněných kopců - mohyl. Egypťané stavěli „kopce“ z kamene – pyramidy. Poprvé se tak stalo po sjednocení Horního a Dolního Egypta, ve 28. století př. n. l., kdy zakladatel třetí dynastie faraon Džoser (Zoser) stál před úkolem posílit jednotu země.
A zde podle historiků hrálo důležitou roli při posilování centrální moci „nové pojetí zbožštění“ krále. Přestože se královské pohřby vyznačovaly větší nádherou, v zásadě se nelišily od hrobek dvorních šlechticů, jednalo se o stejné stavby - mastaby. Nad komorou se sarkofágem obsahujícím mumii byl nasypán pravoúhlý kopec malých kamenů, kam byla poté umístěna malá budova z velkých kamenných bloků – „mastaba“ (v arabštině – „lavička“). Faraon Džoser postavil první pyramidu na místě mastaby svého předchůdce Sanachta. Byl stupňovitý a byl viditelným přechodným stupněm od jedné architektonické formy k druhé, od mastaby k pyramidě.
Takto „vychoval“ faraona mudrc a architekt Imhotep, který byl později považován za čaroděje a Řekové jej ztotožňovali s bohem Asclepiem. Bylo to, jako by bylo vztyčeno šest mastáb za sebou. První pyramida navíc zabírala plochu 1125 x 115 metrů, s odhadovanou výškou 66 metrů (podle egyptských standardů - 1000 „palí“). Nejprve architekt plánoval postavit mastabu, ne však podlouhlého, ale čtvercového půdorysu. Později byl rozšířen, ale protože byl nástavec proveden níže, zdálo se, že jsou dva schody.
Tato situace architekta neuspokojila a na horní plošinu obrovské ploché mastaby umístil Imhotep další tři, které se směrem k vrcholu postupně snižovaly. Hrobka se nacházela pod pyramidou.
Je známo několik dalších stupňovitých pyramid, ale později stavitelé přešli ke stavbě čtyřstěnných pyramid, které jsou nám známější. Proč však ne trojúhelníkový nebo řekněme osmiúhelníkový? Nepřímá odpověď je dána skutečností, že téměř všechny pyramidy jsou dokonale orientovány podél čtyř světových stran, a proto mají čtyři strany. Kromě toho byla pyramida „domem“, pláštěm čtyřhranné pohřební komory.
Co ale určilo úhel sklonu tváří? V knize „Princip proporcí“ je tomu věnována celá kapitola: „Co mohlo určit úhly sklonu pyramid“. Zejména je naznačeno, že „obraz, ke kterému tíhnou velké pyramidy Staré říše, je trojúhelník s pravým úhlem na vrcholu.
Ve vesmíru je to poloosmistěn: pyramida, ve které jsou okraje a strany základny stejné, okraje jsou rovnostranné trojúhelníky." Jisté úvahy jsou na toto téma uvedeny v knihách Hambidge, Gick a dalších.
Jaká je výhoda úhlu poloosmistěnu? Podle popisů archeologů a historiků se některé pyramidy zřítily vlastní vahou. Co bylo potřeba, byl „úhel trvanlivosti“, úhel, který byl energeticky nejspolehlivější. Čistě empiricky lze tento úhel vzít z vrcholového úhlu v hromadě rozpadajícího se suchého písku. Ale abyste získali přesná data, musíte použít model. Vezmeme-li čtyři pevně upevněné koule, musíte na ně umístit pátou a změřit úhly sklonu. Zde však můžete udělat chybu, takže pomáhá teoretický výpočet: středy kuliček byste měli spojovat čarami (mentálně). Základem bude čtverec se stranou rovnou dvojnásobku poloměru. Čtverec bude jen základna pyramidy, jejíž délka hran bude rovněž rovna dvojnásobku poloměru.
Těsné balení kuliček jako 1:4 nám tedy poskytne pravidelný půloktaedr.
Proč však mnoho pyramid, tíhnoucích k podobnému tvaru, si jej přesto nezachová? Pyramidy pravděpodobně stárnou. Na rozdíl od známého rčení:
„Všechno na světě se bojí času a čas se bojí pyramid,“ budovy pyramid musí stárnout, mohou a měly by v nich probíhat nejen procesy vnějšího zvětrávání, ale také procesy vnitřního „smršťování“, které mohou způsobit, že pyramidy budou nižší. Smršťování je také možné, protože, jak odhalila práce D. Davidovitse, staří Egypťané používali technologii výroby bloků z vápenné drti, jinými slovy z „betonu“. Právě podobné procesy by mohly vysvětlit důvod zničení Medumské pyramidy, která se nachází 50 km jižně od Káhiry. Stáří 4600 let, rozměry základny 146 x 146 m, výška 118 m. „Proč je tak znetvořený?“ ptá se V. Zamarovský „Obvyklé zmínky o destruktivním působení času a „použití kamene na jiné stavby“ zde nejsou vhodné.
Ostatně většina jeho bloků a obkladových desek zůstala na svém místě dodnes, v troskách na jejím úpatí." Jak uvidíme, řada ustanovení nás dokonce nutí si myslet, že se „scvrkla" i slavná Cheopsova pyramida. v každém případě jsou na všech starověkých obrazech pyramidy špičaté...
Tvar pyramid mohl být také vytvořen imitací: některé přírodní vzorky, „zázračná dokonalost“, řekněme nějaké krystaly ve formě osmistěnu.
Podobné krystaly mohou být diamantové a zlaté krystaly. Charakteristický velký počet"překrývající se" znaky pro takové pojmy jako faraon, slunce, zlato, diamant. Všude - vznešený, brilantní (brilantní), skvělý, bezvadný a tak dále. Podobnosti nejsou náhodné.
Sluneční kult, jak známo, tvořil důležitou součást náboženství Starověký Egypt. „Bez ohledu na to, jak přeložíme jméno největší z pyramid,“ poznamenává jeden z moderních příruček „Nebe Chufu“ nebo „Khufu k obloze“, znamenalo to, že králem je slunce. Jestliže si Chufu v lesku své síly představoval, že je druhým sluncem, pak se jeho syn Djedef-Ra stal prvním z egyptských králů, který se nazýval „synem Ra“, tedy synem Slunce. Slunce bylo téměř u všech národů symbolizováno „solárním kovem“, zlatem. "Velký kotouč z jasného zlata" - tak Egypťané nazývali naše denní světlo. Egypťané znali zlato dokonale, znali jeho původní formy, kde se zlaté krystaly mohou objevit v podobě osmistěnů.
„Sluneční kámen“ – diamant – je zde také zajímavý jako „vzorek forem“. Název diamantu pochází přesně z Arabský svět, "almas" - nejtvrdší, nejtvrdší, nezničitelný. Staří Egypťané znali diamant a jeho vlastnosti docela dobře. Podle některých autorů dokonce k vrtání používali bronzové trubky s diamantovými frézami.
V současnosti je hlavním dodavatelem diamantů Jižní Afrika, ale na diamanty je bohatá i západní Afrika. Území Republiky Mali se dokonce nazývá „Diamantová země“. Mezitím na území Mali žijí Dogoni, se kterými zastánci hypotézy paleo-návštěvy vkládají mnoho nadějí (viz níže). Diamanty nemohly být důvodem kontaktů starých Egypťanů s touto oblastí. Tak či onak je však možné, že právě kopírováním osmistěnů diamantů a zlatých krystalů tak staří Egypťané zbožštili faraony, „nezničitelné“ jako diamant a „brilantní“ jako zlato, syny Slunce, srovnatelné pouze k nejúžasnějším výtvorům přírody.
Závěr:
Po studiu pyramidy jako geometrického tělesa, seznámení se s jejími prvky a vlastnostmi jsme se přesvědčili o platnosti názoru o kráse tvaru pyramidy.
Výsledkem našeho výzkumu jsme došli k závěru, že Egypťané, kteří shromáždili nejcennější matematické znalosti, je vtělili do pyramidy. Proto je pyramida skutečně nejdokonalejším výtvorem přírody a člověka.
BIBLIOGRAFIE
"Geometrie: učebnice. pro 7-9 tříd. obecné vzdělání instituce\ atd. - 9. vyd. - M.: Vzdělávání, 1999
Historie matematiky ve škole, M: „Prosveshchenie“, 1982.
Geometrie 10-11 ročníků, M: "Osvícení", 2000
Peter Tompkins „Tajemství Velké Cheopsovy pyramidy“, M: „Tsentropoligraf“, 2005.
Internetové zdroje
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Při řešení úlohy C2 pomocí souřadnicové metody se mnoho studentů potýká se stejným problémem. Neumějí počítat souřadnice bodů zahrnuté ve vzorci skalárního součinu. Vznikají největší potíže pyramidy. A pokud jsou základní body považovány za víceméně normální, pak jsou vrcholy skutečným peklem.
Dnes budeme pracovat na pravidelném čtyřbokém jehlanu. K dispozici je také trojúhelníková pyramida (aka - čtyřstěn). Jedná se o složitější design, proto mu bude věnována samostatná lekce.
Nejprve si připomeňme definici:
Pravidelná pyramida je taková, která:
- Základem je pravidelný mnohoúhelník: trojúhelník, čtverec atd.;
- Jeho středem prochází nadmořská výška nakreslená k základně.
Zejména základ čtyřboká pyramida je náměstí. Stejně jako Cheops, jen o něco menší.
Níže jsou výpočty pro pyramidu, ve které jsou všechny hrany rovny 1. Pokud tomu tak není ve vašem problému, výpočty se nemění - pouze čísla budou jiná.
Vrcholy čtyřbokého jehlanu
Nechť je tedy dán pravidelný čtyřboký jehlan SABCD, kde S je vrchol a základna ABCD je čtverec. Všechny hrany se rovnají 1. Musíte zadat souřadnicový systém a najít souřadnice všech bodů. My máme:
Zavedeme souřadnicový systém s počátkem v bodě A:
- Osa OX směřuje rovnoběžně s hranou AB;
- Osa OY je rovnoběžná s AD. Protože ABCD je čtverec, AB ⊥ AD;
- Nakonec nasměrujeme osu OZ nahoru, kolmo k rovině ABCD.
Nyní vypočítáme souřadnice. Doplňková konstrukce: SH - výška přitažená k základně. Pro pohodlí umístíme základnu pyramidy do samostatného výkresu. Protože body A, B, C a D leží v rovině OXY, jejich souřadnice je z = 0. Máme:
- A = (0; 0; 0) - shoduje se s počátkem;
- B = (1; 0; 0) - krok po 1 podél osy OX od počátku;
- C = (1; 1; 0) - krok o 1 podél osy OX a o 1 podél osy OY;
- D = (0; 1; 0) - krok pouze podél osy OY.
- H = (0,5; 0,5; 0) - střed čtverce, střed segmentu AC.
Zbývá najít souřadnice bodu S. Všimněte si, že souřadnice x a y bodů S a H jsou stejné, protože leží na přímce rovnoběžné s osou OZ. Zbývá najít souřadnici z pro bod S.
Zvažte trojúhelníky ASH a ABH:
- AS = AB = 1 podle podmínky;
- Úhel AHS = AHB = 90°, protože SH je výška a AH ⊥ HB jako úhlopříčky čtverce;
- Strana AH je běžná.
Proto pravoúhlé trojúhelníky ASH a ABH rovnat se každá jedna noha a jedna přepona. To znamená SH = BH = 0,5 BD. Ale BD je úhlopříčka čtverce se stranou 1. Proto máme:
Celkové souřadnice bodu S:
Na závěr si zapíšeme souřadnice všech vrcholů pravidelného obdélníkového jehlanu:
Co dělat, když jsou žebra jiná
Co když boční hrany jehlanu nejsou stejné jako hrany základny? V tomto případě zvažte trojúhelník AHS:
Trojúhelník AHS - obdélníkový a přepona AS je také boční hranou původní pyramidy SABCD. Noha AH se snadno vypočítá: AH = 0,5 AC. Najdeme zbývající nohu SH podle Pythagorovy věty. Toto bude souřadnice z pro bod S.
Úkol. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan SABCD, na jehož základně leží čtverec o straně 1. Boční hrana BS = 3. Najděte souřadnice bodu S.
Souřadnice x a y tohoto bodu již známe: x = y = 0,5. Vyplývá to ze dvou faktů:
- Průmět bodu S do roviny OXY je bod H;
- Bod H je zároveň středem čtverce ABCD, jehož všechny strany jsou rovny 1.
Zbývá najít souřadnici bodu S. Uvažujme trojúhelník AHS. Je obdélníkový, s přeponou AS = BS = 3, rameno AH je poloviční úhlopříčka. Pro další výpočty potřebujeme jeho délku:
Pythagorova věta pro trojúhelník AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. My máme:
Takže souřadnice bodu S:
Toto video tutoriál pomůže uživatelům získat představu o tématu pyramidy. Správná pyramida. V této lekci se seznámíme s pojmem pyramida a dáme mu definici. Uvažujme, co je pravidelná pyramida a jaké má vlastnosti. Potom dokážeme větu o boční ploše pravidelného jehlanu.
V této lekci se seznámíme s pojmem pyramida a dáme mu definici.
Zvažte mnohoúhelník A 1 A 2...A n, která leží v rovině α, a bod P, která neleží v rovině α (obr. 1). Pojďme spojit tečky P s vrcholy A 1, A 2, A 3, … A n. Dostaneme n trojúhelníky: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R a tak dále.
Definice. Mnohostěn RA 1 A 2 ...A n, tvořeny n-náměstí A 1 A 2...A n A n trojúhelníky RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 se nazývá n-uhelná pyramida. Rýže. 1.
Rýže. 1
Uvažujme o čtyřboké pyramidě PABCD(obr. 2).
R- vrchol pyramidy.
abeceda- základna pyramidy.
RA- boční žebro.
AB- základní žebro.
Od věci R pustíme kolmici RN do základní roviny abeceda. Nakreslená kolmice je výška pyramidy.
Rýže. 2
Celý povrch pyramidy se skládá z boční plochy, tedy plochy všech bočních ploch, a plochy základny:
S plný = S strana + S hlavní
Pyramida se nazývá správná, pokud:
- jeho základna je pravidelný mnohoúhelník;
- segment spojující vrchol jehlanu se středem základny je jeho výška.
Vysvětlení na příkladu pravidelného čtyřbokého jehlanu
Uvažujme pravidelnou čtyřbokou pyramidu PABCD(obr. 3).
R- vrchol pyramidy. Základna pyramidy abeceda- pravidelný čtyřúhelník, tedy čtverec. Tečka O, průsečík úhlopříček, je středem čtverce. Prostředek, RO je výška pyramidy.
Rýže. 3
Vysvětlení: ve správném n V trojúhelníku se střed vepsané kružnice a střed opsané kružnice shodují. Tento střed se nazývá střed polygonu. Někdy říkají, že vrchol se promítá do středu.
Výška boční stěny pravidelného jehlanu vytaženého z jeho vrcholu se nazývá apotéma a je určeno h a.
1. všechny boční hrany pravidelného jehlanu jsou stejné;
2. Boční plochy jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky.
Důkaz těchto vlastností uvedeme na příkladu pravidelného čtyřbokého jehlanu.
Dáno: PABCD- pravidelný čtyřboký jehlan,
abeceda- náměstí,
RO- výška pyramidy.
Dokázat:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Viz Obr. 4.
Rýže. 4
Důkaz.
RO- výška pyramidy. Tedy rovnou RO kolmo k rovině ABC, a tedy přímé JSC, VO, SO A DĚLAT leží v něm. Takže trojúhelníky ROA, ROV, ROS, ROD- obdélníkový.
Zvažte čtverec abeceda. Z vlastností čtverce vyplývá, že AO = VO = CO = DĚLAT.
Pak pravoúhlé trojúhelníky ROA, ROV, ROS, ROD noha RO- generál a nohy JSC, VO, SO A DĚLAT jsou stejné, což znamená, že tyto trojúhelníky jsou stejné na dvou stranách. Z rovnosti trojúhelníků vyplývá rovnost úseček, RA = PB = RS = PD. Bod 1 se osvědčil.
Segmenty AB A slunce jsou stejné, protože jsou stranami stejného čtverce, RA = PB = RS. Takže trojúhelníky AVR A VSR - rovnoramenné a rovné na třech stranách.
Podobným způsobem zjistíme, že trojúhelníky ABP, VCP, CDP, DAP jsou rovnoramenné a rovné, jak je požadováno prokázat v odstavci 2.
Plocha boční plochy pravidelné pyramidy se rovná polovině součinu obvodu základny a apotému:
Abychom to dokázali, zvolíme pravidelnou trojúhelníkovou pyramidu.
Dáno: RAVS- pravidelný trojúhelníkový jehlan.
AB = BC = AC.
RO- výška.
Dokázat: . Viz Obr. 5.
Rýže. 5
Důkaz.
RAVS- pravidelný trojúhelníkový jehlan. To znamená AB= AC = BC. Nechat O- střed trojúhelníku ABC, Pak RO je výška pyramidy. Na základně pyramidy leží rovnostranný trojúhelník ABC. všimněte si, že .
Trojúhelníky RAV, RVS, RSA- stejné rovnoramenné trojúhelníky (podle vlastnosti). Trojúhelníková pyramida má tři boční strany: RAV, RVS, RSA. To znamená, že plocha bočního povrchu pyramidy je:
Strana S = 3S RAW
Věta je dokázána.
Poloměr kruhu vepsaného do základny pravidelné čtyřboké pyramidy je 3 m, výška pyramidy je 4 m. Najděte plochu boční plochy pyramidy.
Dáno: pravidelný čtyřboký jehlan abeceda,
abeceda- náměstí,
r= 3 m,
RO- výška pyramidy,
RO= 4 m.
Nalézt: S strana. Viz Obr. 6.
Rýže. 6
Řešení.
Podle dokázané věty, .
Nejprve najdeme stranu základny AB. Víme, že poloměr kružnice vepsané do základny pravidelného čtyřbokého jehlanu je 3 m.
Potom, m.
Najděte obvod čtverce abeceda se stranou 6 m:
Zvažte trojúhelník BCD. Nechat M- střed strany DC. Protože O- střední BD, Že (m).
Trojúhelník DPC- rovnoramenný. M- střední DC. to znamená, RM- medián, a tedy i výška v trojúhelníku DPC. Pak RM- apotéma pyramidy.
RO- výška pyramidy. Pak rovnou RO kolmo k rovině ABC, a tedy přímé OM, ležící v něm. Pojďme najít apotému RM z pravoúhlého trojúhelníku ROM.
Nyní můžeme najít boční povrch pyramidy:
Odpovědět: 60 m2.
Poloměr kružnice opsané kolem základny pravidelného trojúhelníkového jehlanu je roven m, plocha bočního povrchu je 18 m2. Najděte délku apotému.
Dáno: ABCP- pravidelná trojúhelníková pyramida,
AB = BC = SA,
R= m,
J strana = 18 m2.
Nalézt: . Viz Obr. 7.
Rýže. 7
Řešení.
V pravoúhlém trojúhelníku ABC Udává se poloměr kružnice opsané. Pojďme najít stranu AB tento trojúhelník pomocí věty o sinech.
Když známe stranu pravidelného trojúhelníku (m), zjistíme jeho obvod.
Podle věty o boční ploše pravidelné pyramidy, kde h a- apotéma pyramidy. Pak:
Odpovědět: 4 m.
Podívali jsme se tedy, co je pyramida, co je pravidelná pyramida, a dokázali jsme větu o boční ploše pravidelné pyramidy. V další lekci se seznámíme s komolou pyramidou.
Bibliografie
- Geometrie. Ročníky 10-11: učebnice pro studenty vzdělávací instituce(základní a úrovně profilu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, rev. a doplňkové - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
- Geometrie. 10-11 ročník: Učebnice pro všeobecné vzdělávání vzdělávací instituce/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: nemocný.
- Geometrie. 10. ročník: Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce s prohlubujícím a specializovaným studiem matematiky /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: nemocný.
- Internetový portál "Yaklass" ()
- Internetový portál "Festival pedagogické myšlenky"První září" ()
- Internetový portál „Slideshare.net“ ()
Domácí práce
- Může být pravidelný mnohoúhelník základnou nepravidelného jehlanu?
- Dokažte, že nesouvislé hrany pravidelného jehlanu jsou kolmé.
- Najděte hodnotu dihedrálního úhlu na straně základny pravidelného čtyřbokého jehlanu, pokud je apotém jehlanu rovna straně jeho základny.
- RAVS- pravidelný trojúhelníkový jehlan. Sestrojte lineární úhel dihedrálního úhlu na základně jehlanu.