Při studiu jakéhokoli tématu ve školním kurzu si můžete vybrat určité minimum problémů a po zvládnutí metod jejich řešení budou studenti schopni vyřešit jakýkoli problém na úrovni požadavků programu na studované téma. Navrhuji zvážit problémy, které vám umožní vidět vzájemné souvislosti jednotlivých témat v kurzu školní matematiky. Proto sestavený systém úloh je účinnými prostředky opakování, zobecňování a systematizace vzdělávací materiál při přípravě studentů na zkoušku.
Pro složení zkoušky bude užitečné mít další informace o některých prvcích trojúhelníku. Uvažujme vlastnosti mediánu trojúhelníku a problémy, při jejichž řešení lze tyto vlastnosti použít. Navržené úkoly implementují princip diferenciace úrovní. Všechny úkoly jsou podmíněně rozděleny do úrovní (úroveň je uvedena v závorce za každým úkolem).
Připomeňme si některé vlastnosti mediánu trojúhelníku
Nemovitost 1. Dokažte, že medián trojúhelníku ABC, nakreslený z vrcholu A, méně než polovina součtu stran AB A A.C..
Důkaz
https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}
Nemovitost 2. Medián rozdělí trojúhelník na dvě stejné oblasti.
Důkaz
Nakreslete z vrcholu B trojúhelníku ABC medián BD a výšku BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}
Protože segment BD je medián, pak
Q.E.D.
https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Nemovitost 4. Mediány trojúhelníku rozdělují trojúhelník na 6 stejných trojúhelníků.
Důkaz
Dokažme, že plocha každého ze šesti trojúhelníků, na které mediány rozdělují trojúhelník ABC, se rovná ploše trojúhelníku ABC. Chcete-li to provést, zvažte například trojúhelník AOF a pusťte kolmici AK z vrcholu A na přímku BF.
Kvůli majetku 2,
https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}
Nemovitost 6. Medián v pravoúhlém trojúhelníku nakresleném z vrcholu pravý úhel, se rovná polovině přepony.
Důkaz
https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}
Důsledky:1. Střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku leží uprostřed přepony.
2. Pokud je v trojúhelníku délka mediánu rovna polovině délky strany, na kterou je nakreslen, pak je tento trojúhelník pravoúhlý.
ÚKOLY
Při řešení každého následujícího problému se využívá osvědčených vlastností.
№1 Témata: Zdvojnásobení mediánu. Obtížnost: 2+
Znaky a vlastnosti rovnoběžníku Známky: 8,9
Stav
Na pokračování mediánu DOPOLEDNE. trojúhelník ABC za bod M segment odložen M.D., rovnat se DOPOLEDNE.. Dokažte, že čtyřúhelník ABDC- rovnoběžník.
Řešení
Použijme jeden ze znaků rovnoběžníku. Úhlopříčky čtyřúhelníku ABDC protínají v bodě M a rozdělte ji na polovinu, tedy čtyřúhelník ABDC- rovnoběžník.
První úroveň
Medián. Vizuální průvodce (2019)
1. Jaký je medián?
Je to velmi jednoduché!
Vezměte trojúhelník:
Označte střed na jedné z jeho stran.
A připojte se k opačnému vrcholu!
Výsledná čára a existuje medián.
2. Vlastnosti mediánu.
Jaké dobré vlastnosti má medián?
1) Představme si, že trojúhelník je obdélníkový. Existují takové věci, že?
Proč??? Co s tím má společného pravý úhel?
Pozorně se dívejme. Jen ne trojúhelník, ale... obdélník. Proč se ptáš?
Ale chodíte po Zemi - vidíte, že je kulatá? Ne, samozřejmě, k tomu se musíte podívat na Zemi z vesmíru. Podíváme se tedy na náš pravoúhlý trojúhelník „z vesmíru“.
Nakreslíme úhlopříčku:
Pamatujete si, že úhlopříčky obdélníku rovnat se A podíl průsečík v polovině? (Pokud si nepamatujete, podívejte se na téma)
To znamená, že polovina druhé úhlopříčky je naše medián. Úhlopříčky jsou stejné a jejich poloviny samozřejmě také. To je to, co dostaneme
Toto tvrzení nebudeme dokazovat, ale abyste tomu věřili, zamyslete se sami: existuje nějaký jiný rovnoběžník se stejnými úhlopříčkami jiný než obdélník? Samozřejmě že ne! No, to znamená, že medián se může rovnat polovině strany pouze v pravoúhlém trojúhelníku.
Podívejme se, jak tato vlastnost pomáhá řešit problémy.
Tady, úkol:
Do stran; . Nakresleno shora medián. Najdi jestli.
Hurá! Můžete použít Pythagorovu větu! Vidíš, jak je to skvělé? Kdybychom to nevěděli medián rovná polovině strany
Aplikujeme Pythagorovu větu:
2) A teď mějme nejen jeden, ale celý tři mediány! Jak se chovají?
Pamatuj si moc důležitý fakt:
Obtížný? Podívej se na obrázek:
Mediány a protínají se v jednom bodě. |
A...(to dokazujeme, ale zatím Pamatovat!):
- - dvakrát tolik než;
- - dvakrát tolik než;
- - dvakrát tolik.
Jste už unavení? Budete dost silní na další příklad? Nyní použijeme vše, o čem jsme mluvili!
Úkol: V trojúhelníku jsou nakresleny střednice a, které se protínají v bodě. Najdi jestli
Pojďme najít pomocí Pythagorovy věty:
Nyní aplikujme znalosti o průsečíku mediánů.
Pojďme si to definovat. Segment, a. Pokud není vše jasné, podívejte se na obrázek.
To už jsme našli.
Znamená, ; .
V problému jsme dotázáni na segment.
V našem zápisu.
Odpovědět: .
Líbí se? Nyní zkuste své znalosti o mediánu uplatnit sami!
MEDIÁN. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ
1. Medián rozděluje stranu na polovinu.
To je vše? Nebo možná rozděluje něco jiného napůl? Představ si to!
2. Věta: Medián rozděluje plochu na polovinu.
Proč? Připomeňme si nejjednodušší formu oblasti trojúhelníku.
A tento vzorec aplikujeme dvakrát!
Podívejte, medián je rozdělen na dva trojúhelníky: a. Ale! Mají stejnou výšku -! Pouze v této výšce klesá na stranu a v - na straně pokračování. Překvapivě se to také stává: trojúhelníky jsou různé, ale výška je stejná. A nyní použijeme vzorec dvakrát.
Co by to znamenalo? Podívej se na obrázek. Ve skutečnosti jsou v této větě dvě tvrzení. Všimli jste si toho?
První prohlášení: mediány se protínají v jednom bodě.
Druhé prohlášení: Průsečík mediánu je rozdělen v poměru, počítaném od vrcholu.
Pokusme se odhalit tajemství této věty:
Spojme tečky a. Co se stalo?
Nyní nakreslíme další střední čáru: označte střed - vložte tečku, označte střed - vložte tečku.
Nyní - střední čára. To znamená
- paralelní;
Všimli jste si nějaké náhody? Oba a jsou paralelní. A, a.
Co z toho vyplývá?
- paralelní;
Samozřejmě pouze pro rovnoběžník!
To znamená, že jde o rovnoběžník. No a co? Připomeňme si vlastnosti rovnoběžníku. Co například víte o úhlopříčkách rovnoběžníku? Správně, rozdělují průsečík na polovinu.
Podívejme se znovu na výkres.
To znamená, že medián je rozdělen tečkami na tři stejné části. A přesně to samé.
To znamená, že oba mediány byly v poměru odděleny bodem, tedy a.
Co se stane s třetím mediánem? Vraťme se na začátek. Pane Bože?! Ne, teď bude všechno mnohem kratší. Vyhoďme medián a udělejme mediány a.
Nyní si představte, že jsme provedli úplně stejné úvahy jako pro mediány a. Co pak?
Ukazuje se, že medián bude dělit medián úplně stejným způsobem: v poměru, počítáno od bodu.
Ale kolik bodů může být na segmentu, který ho rozděluje v poměru, počítáno od bodu?
Samozřejmě jen jeden! A už jsme to viděli – o to jde.
Co se stalo na konci?
Medián rozhodně prošel! Prošly jím všechny tři mediány. A všichni byli rozděleni v postoji, počítali od shora.
Takže jsme vyřešili (dokázali) větu. Řešením se ukázal být rovnoběžník sedící uvnitř trojúhelníku.
4. Vzorec pro střední délku
Jak zjistit délku mediánu, pokud jsou známé strany? Jste si jistý, že to potřebujete? Odhalíme strašlivé tajemství: tento vzorec není příliš užitečný. Ale přesto to napíšeme, ale nebudeme to dokazovat (pokud vás důkaz zajímá, podívejte se na další úroveň).
Jak můžeme pochopit, proč se to děje?
Pozorně se dívejme. Prostě ne trojúhelník, ale obdélník.
Uvažujme tedy o obdélníku.
Všimli jste si, že náš trojúhelník je přesně polovina tohoto obdélníku?
Nakreslíme úhlopříčku
Pamatujete si, že úhlopříčky obdélníku jsou stejné a půlí průsečík? (Pokud si nepamatujete, podívejte se na téma)
Ale jedna z úhlopříček je naše přepona! To znamená, že průsečík úhlopříček je středem přepony. Říkalo se tomu naše.
To znamená, že polovina druhé úhlopříčky je náš medián. Úhlopříčky jsou stejné a jejich poloviny samozřejmě také. To je to, co dostaneme
Navíc se to děje pouze v pravoúhlém trojúhelníku!
Toto tvrzení nebudeme dokazovat, ale abyste tomu věřili, zamyslete se sami: existuje nějaký jiný rovnoběžník se stejnými úhlopříčkami kromě obdélníku? Samozřejmě že ne! No, to znamená, že medián se může rovnat polovině strany pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Podívejme se, jak tato vlastnost pomáhá řešit problémy.
Zde je úkol:
Do stran; . Medián se kreslí z vrcholu. Najdi jestli.
Hurá! Můžete použít Pythagorovu větu! Vidíš, jak je to skvělé? Kdybychom nevěděli, že medián je polovina strany pouze v pravoúhlém trojúhelníku, neexistuje způsob, jak bychom mohli tento problém vyřešit. A teď můžeme!
Aplikujeme Pythagorovu větu:
MEDIÁN. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH
1. Medián rozděluje stranu na polovinu.
2. Věta: medián rozděluje plochu na polovinu
4. Vzorec pro střední délku
Konverzní teorém: je-li medián roven polovině strany, pak je trojúhelník pravoúhlý a tento medián je nakreslen k přeponě.
No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.
Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5 %!
Teď to nejdůležitější.
Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... tohle je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.
Problém je, že to nemusí stačit...
Proč?
Pro úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za přijetí na vysokou školu s omezeným rozpočtem a HLAVNĚ na celý život.
Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...
Lidé, kteří získali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří ho nezískali. Toto je statistika.
Ale to není to hlavní.
Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...
Ale zamyslete se sami...
Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?
ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.
Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.
Budete potřebovat řešit problémy s časem.
A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.
Je to jako ve sportu – pro jistotu je potřeba to opakovat mnohokrát.
Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobná analýza a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!
Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.
Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.
Jak? Jsou dvě možnosti:
- Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku - 299 rublů.
- Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - 999 rublů.
Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.
V druhém případě dáme vám simulátor „6000 problémů s řešeními a odpověďmi, pro každé téma, na všech úrovních složitosti“. Určitě bude stačit, když se dostanete do rukou k řešení problémů na jakékoli téma.
Ve skutečnosti jde o mnohem víc než jen o simulátor – o celý tréninkový program. V případě potřeby jej můžete využít i ZDARMA.
Přístup ke všem textům a programům je poskytován po CELOU dobu existence stránek.
Na závěr...
Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.
„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.
Najděte problémy a řešte je!
Trojúhelník je mnohoúhelník se třemi stranami nebo uzavřená přerušovaná čára se třemi články nebo obrazec tvořený třemi segmenty spojujícími tři body, které neleží na stejné přímce (viz obr. 1).
Základní prvky trojúhelníku abc
Vrcholy – body A, B a C;
Večírky – segmenty a = BC, b = AC a c = AB spojující vrcholy;
Úhly – α, β, γ tvořené třemi dvojicemi stran. Úhly jsou často označovány stejným způsobem jako vrcholy, s písmeny A, B a C.
Úhel, který svírají strany trojúhelníku a leží v jeho vnitřní oblasti, se nazývá vnitřní úhel a ten, který k němu přiléhá, je přilehlý úhel trojúhelníku (2, s. 534).
Výšky, mediány, osy a střednice trojúhelníku
Kromě hlavních prvků v trojúhelníku jsou uvažovány i další segmenty se zajímavými vlastnostmi: výšky, mediány, osy a středové čáry.
Výška
Trojúhelníkové výšky- jsou to kolmice spadlé z vrcholů trojúhelníku na opačné strany.
Chcete-li vykreslit výšku, musíte provést následující kroky:
1) nakreslete přímku obsahující jednu ze stran trojúhelníku (pokud je výška nakreslena od vrcholu ostrého úhlu v tupoúhlém trojúhelníku);
2) z vrcholu ležícího naproti nakreslené čáře nakreslete úsečku od bodu k této čáře a svírejte s ní úhel 90 stupňů.
Bod, kde nadmořská výška protíná stranu trojúhelníku, se nazývá výškový základ (viz obr. 2).
Vlastnosti výšek trojúhelníků
V pravoúhlém trojúhelníku nadmořská výška nakreslená od vrcholu pravého úhlu jej rozděluje na dva trojúhelníky podobné původnímu trojúhelníku.
V ostrém trojúhelníku z něj jeho dvě výšky odřízly podobné trojúhelníky.
Je-li trojúhelník ostroúhlý, pak všechny základny výšek patří stranám trojúhelníku a v tupoúhlém trojúhelníku připadají dvě výšky na pokračování stran.
Tři výšky v ostrém trojúhelníku se protínají v jednom bodě a tento bod se nazývá ortocentrum trojúhelník.
Medián
Mediány(z latinského mediana – „střed“) - jedná se o segmenty spojující vrcholy trojúhelníku se středy protilehlých stran (viz obr. 3).
Chcete-li vytvořit medián, musíte provést následující kroky:
1) najděte střed strany;
2) bod, který je středem strany trojúhelníku s protilehlým vrcholem, spojte úsečkou.
Vlastnosti mediánů trojúhelníků
Medián rozděluje trojúhelník na dva trojúhelníky o stejné ploše.
Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který rozděluje každý z nich v poměru 2:1, počítáno od vrcholu. Tento bod se nazývá centrum gravitace trojúhelník.
Celý trojúhelník je svými mediány rozdělen na šest stejných trojúhelníků.
Bisector
Bisectors(z latiny bis - dvakrát a seko - řez) jsou úsečky uzavřené uvnitř trojúhelníku, které půlí jeho úhly (viz obr. 4).
Chcete-li vytvořit osičku, musíte provést následující kroky:
1) sestrojte paprsek vycházející z vrcholu úhlu a rozdělující jej na dvě stejné části (sektor úhlu);
2) najděte průsečík osy úhlu trojúhelníku s opačnou stranou;
3) vyberte segment spojující vrchol trojúhelníku s průsečíkem na opačné straně.
Vlastnosti os trojúhelníku
Osa úhlu trojúhelníku rozděluje protější stranu v poměru rovném poměru dvou sousedních stran.
Osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jednom bodě. Tento bod se nazývá střed vepsané kružnice.
Osy vnitřního a vnějšího úhlu jsou kolmé.
Pokud osa vnějšího úhlu trojúhelníku protíná prodloužení opačné strany, pak ADBD=ACBC.
Osy jednoho vnitřního a dvou vnějších úhlů trojúhelníku se protínají v jednom bodě. Tento bod je středem jedné ze tří kružnic tohoto trojúhelníku.
Základy os dvou vnitřních a jednoho vnějšího úhlu trojúhelníku leží na stejné přímce, pokud osička vnějšího úhlu není rovnoběžná s opačnou stranou trojúhelníku.
Jestliže osy vnějších úhlů trojúhelníku nejsou rovnoběžné s opačnými stranami, pak jejich základny leží na stejné přímce.
1. Medián rozděluje trojúhelník na dva trojúhelníky o stejné ploše.
2. Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který rozděluje každý z nich v poměru 2:1, počítáno od vrcholu. Tento bod se nazývá centrum gravitace trojúhelník.
3. Celý trojúhelník je rozdělen svými mediány na šest stejných trojúhelníků.
Vlastnosti os trojúhelníku
1. Osa úhlu je těžiště bodů stejně vzdálených od stran tohoto úhlu.
2. Osa vnitřního úhlu trojúhelníku rozděluje protilehlou stranu na úsečky úměrné sousedním stranám: .
3. Průsečíkem os trojúhelníku je střed kružnice vepsané do tohoto trojúhelníku.
Vlastnosti výšek trojúhelníků
1. V pravoúhlém trojúhelníku výška nakreslená z vrcholu pravého úhlu jej rozděluje na dva trojúhelníky podobné původnímu.
2. V ostrém trojúhelníku z něj dvě jeho výšky odříznou podobné trojúhelníky.
Vlastnosti odvěsných os trojúhelníku
1. Každý bod kolmice k úsečce je stejně vzdálen od konců této úsečky. Platí to i obráceně: každý bod stejně vzdálený od konců úsečky leží na kolmici k ní.
2. Průsečík odvěsnic nakreslených ke stranám trojúhelníku je středem kružnice opsané tomuto trojúhelníku.
Vlastnost střednice trojúhelníku
Středová čára trojúhelníku je rovnoběžná s jednou z jeho stran a rovná se polovině této strany.
Podobnost trojúhelníků
Dva trojúhelníky podobný v případě jedné z následujících podmínek, tzv známky podobnosti:
· dva úhly jednoho trojúhelníku se rovnají dvěma úhlům jiného trojúhelníku;
· dvě strany jednoho trojúhelníku jsou úměrné dvěma stranám jiného trojúhelníku a úhly tvořené těmito stranami jsou stejné;
· tři strany jednoho trojúhelníku jsou úměrné třem stranám jiného trojúhelníku.
V podobných trojúhelníkech jsou odpovídající úsečky (výšky, mediány, osy atd.) úměrné.
Věta o sinech
Kosinová věta
a 2= b 2+ c 2- 2před naším letopočtem cos
Vzorce pro oblast trojúhelníku
1. Volný trojúhelník
a, b, c - strany; - úhel mezi stranami A A b; - poloobvod; R- poloměr opsané kružnice; r- poloměr vepsané kružnice; S- náměstí; h a - výška přitažená boční A.
S = ah a
S = ab sin
S = pr
2. Pravoúhlý trojuhelník
a, b - nohy; C- přepona; h c - výška vytažená do strany C.
S = ch c S = ab
3. Rovnostranný trojúhelník
Čtyřúhelníky
Vlastnosti rovnoběžníku
· protilehlé strany jsou stejné;
· opačné úhly jsou stejné;
· úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu průsečíkem;
· součet úhlů sousedících s jednou stranou je 180°;
Součet čtverců úhlopříček se rovná součtu čtverců všech stran:
d12+d22=2(a2+b2).
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud:
1. Jeho dvě protilehlé strany jsou stejné a rovnoběžné.
2. Opačné strany jsou ve dvojicích stejné.
3. Opačné úhly jsou ve dvojicích stejné.
4. Úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu průsečíkem.
Vlastnosti lichoběžníku
· její střední čára je rovnoběžná se základnami a rovná se jejich polovičnímu součtu;
· pokud je lichoběžník rovnoramenný, pak jsou jeho úhlopříčky stejné a úhly na základně jsou stejné;
· je-li lichoběžník rovnoramenný, lze kolem něj popsat kruh;
· je-li součet základen roven součtu stran, pak do něj lze vepsat kružnici.
Vlastnosti obdélníku
Úhlopříčky jsou stejné.
Rovnoběžník je obdélník, pokud:
1. Jeden z jejích úhlů je rovný.
2. Jeho úhlopříčky jsou stejné.
Vlastnosti kosočtverce
· všechny vlastnosti rovnoběžníku;
Úhlopříčky jsou kolmé;
Úhlopříčky jsou osy jeho úhlů.
1. Rovnoběžník je kosočtverec, pokud:
2. Jeho dvě sousední strany jsou stejné.
3. Jeho úhlopříčky jsou kolmé.
4. Jedna z úhlopříček je osou jejího úhlu.
Vlastnosti čtverce
· všechny rohy čtverce jsou pravé;
· úhlopříčky čtverce jsou stejné, vzájemně kolmé, průsečík půlí a půlí rohy čtverce.
Obdélník je čtverec, pokud má nějaké vlastnosti kosočtverce.
Základní vzorce
1. Libovolný konvexní čtyřúhelník
d 1,d 2 -úhlopříčky; - úhel mezi nimi; S- náměstí.
S = d 1 d 2 hřích
Medián je úsečka vedená od vrcholu trojúhelníku do středu protější strany, to znamená, že jej v průsečíku rozděluje na polovinu. Bod, ve kterém medián protíná stranu protilehlou k vrcholu, ze kterého vychází, se nazývá základna. Každý medián trojúhelníku prochází jedním bodem, který se nazývá průsečík. Vzorec pro jeho délku lze vyjádřit několika způsoby.
Vzorce pro vyjádření délky mediánu
- V úlohách geometrie se studenti často musí vypořádat s úsečkou, jako je medián trojúhelníku. Vzorec pro jeho délku je vyjádřen ve stranách:
kde a, b a c jsou strany. Navíc c je strana, na kterou padá medián. Takhle to vypadá jednoduchý vzorec. Pro pomocné výpočty jsou někdy vyžadovány mediány trojúhelníku. Existují další vzorce.
- Pokud jsou během výpočtu známy dvě strany trojúhelníku a určitý úhel α mezi nimi, pak délka mediánu trojúhelníku, snížená na třetí stranu, bude vyjádřena následovně.
Základní vlastnosti
- Všechny mediány mají jeden společný průsečík O a jsou jím děleny v poměru dva ku jedné, pokud se počítá od vrcholu. Tento bod se nazývá těžiště trojúhelníku.
- Medián rozděluje trojúhelník na dva další, jejichž obsah je stejný. Takové trojúhelníky se nazývají rovnoplošné.
- Pokud nakreslíte všechny mediány, trojúhelník se rozdělí na 6 stejných čísel, což budou také trojúhelníky.
- Pokud jsou všechny tři strany trojúhelníku stejné, pak každý z mediánů bude také nadmořskou výškou a osou, tedy kolmou ke straně, na kterou je nakreslen, a půlí úhel, ze kterého vychází.
- V rovnoramenném trojúhelníku bude medián nakreslený z vrcholu, který je naproti straně, která se nerovná žádné jiné, také nadmořskou výškou a osou. Mediány spadlé z ostatních vrcholů jsou stejné. To je pro rovnoramenné také nutná a postačující podmínka.
- Pokud je trojúhelník základnou pravidelná pyramida, pak se výška snížená na danou základnu promítne do průsečíku všech mediánů.
- V pravoúhlém trojúhelníku, medián nakreslený na největší strana, rovná se polovině jeho délky.
- Nechť O je průsečík střednic trojúhelníku. Níže uvedený vzorec bude platit pro jakýkoli bod M.
- Medián trojúhelníku má další vlastnost. Vzorec pro druhou mocninu jeho délky přes čtverce stran je uveden níže.
Vlastnosti stran, na které je vykreslen medián
- Pokud spojíme libovolné dva průsečíky mediánů se stranami, na které jsou vypuštěny, pak bude výsledný segment střední čára trojúhelník a tvoří jednu polovinu strany trojúhelníku, se kterou nemá společné body.
- Základny výšek a mediánů v trojúhelníku, stejně jako středy segmentů spojujících vrcholy trojúhelníku s průsečíkem výšek, leží na stejné kružnici.
Na závěr je logické říci, že jedním z nejdůležitějších segmentů je medián trojúhelníku. Jeho vzorec lze použít k nalezení délek jeho ostatních stran.