Le concept de séquence de nombres implique que chaque nombre naturel correspond à une valeur réelle. Une telle série de nombres peut être arbitraire ou avoir certaines propriétés - une progression. Dans ce dernier cas, chaque élément (membre) suivant de la séquence peut être calculé à l'aide du précédent.
Progression arithmétique - séquence valeurs numériques, dans lequel ses membres voisins diffèrent les uns des autres par même nombre(tous les éléments de la série, à partir du 2ème, ont une propriété similaire). Ce nombre– la différence entre les termes précédents et suivants est constante et est appelée différence de progression.
Différence de progression : définition
Considérons une séquence composée de j valeurs A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j appartient à l'ensemble nombres naturels N. La progression arithmétique, selon sa définition, est une séquence dans laquelle a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – une(j-1) = ré. La valeur d est la différence souhaitée de cette progression.
d = une(j) – une(j-1).
Souligner:
- Une progression croissante, auquel cas d > 0. Exemple : 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progression décroissante, puis d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progression des différences et ses éléments arbitraires
Si 2 termes arbitraires de la progression sont connus (i-ème, k-ème), alors la différence pour une séquence donnée peut être déterminée sur la base de la relation :
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ce qui signifie d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Différence de progression et son premier terme
Cette expression permettra de déterminer une valeur inconnue uniquement dans les cas où le numéro de l'élément de séquence est connu.
Différence de progression et sa somme
La somme d'une progression est la somme de ses termes. Pour calculer la valeur totale de ses j premiers éléments, utilisez la formule appropriée :
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, mais puisque a(j) = a(1) + d(j – 1), alors S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Une progression arithmétique est une série de nombres dans laquelle chaque nombre est supérieur (ou inférieur) au précédent du même montant.
Ce sujet semble souvent complexe et incompréhensible. Indices de lettres nième mandat progressions, différences de progression - tout cela est en quelque sorte déroutant, oui... Voyons le sens progression arithmétique et tout ira mieux tout de suite.)
Le concept de progression arithmétique.
La progression arithmétique est un concept très simple et clair. Avez-vous des doutes ? En vain.) Voyez par vous-même.
Je vais écrire une série de nombres inachevée :
1, 2, 3, 4, 5, ...
Pouvez-vous prolonger cette série ? Quels nombres viendront ensuite, après les cinq ? Tout le monde... euh..., bref, tout le monde se rendra compte que les nombres 6, 7, 8, 9, etc. viendront ensuite.
Compliquons la tâche. Je vous donne une série de chiffres inachevée :
2, 5, 8, 11, 14, ...
Vous pourrez saisir le motif, étendre la série et nommer septième numéro de ligne ?
Si vous avez réalisé que ce nombre est 20, félicitations ! Non seulement tu as senti points clés de la progression arithmétique, mais aussi les utiliser avec succès en affaires ! Si vous ne l’avez pas compris, continuez à lire.
Traduisons maintenant les points clés des sensations en mathématiques.)
Premier point clé.
La progression arithmétique concerne les séries de nombres. C'est déroutant au début. On a l'habitude de résoudre des équations, de dessiner des graphiques et tout ça... Mais ici on étend la série, on trouve le numéro de la série...
C'est bon. C’est juste que les progressions sont la première connaissance d’une nouvelle branche des mathématiques. La section s'appelle « Séries » et fonctionne spécifiquement avec des séries de nombres et d'expressions. Habituez-vous-y.)
Deuxième point clé.
Dans une progression arithmétique, tout nombre est différent du précédent du même montant.
Dans le premier exemple, cette différence en est une. Quel que soit le numéro que vous prenez, c'est un de plus que le précédent. Dans le deuxième - trois. N'importe quel nombre est trois de plus que le précédent. En fait, c’est ce moment qui nous donne l’opportunité de saisir la tendance et de calculer les nombres ultérieurs.
Troisième point clé.
Ce moment n’est pas marquant, oui… Mais il est très, très important. Il est la: chaque numéro de progression se tient à sa place. Il y a le premier nombre, il y a le septième, il y a le quarante-cinquième, etc. Si vous les mélangez au hasard, le motif disparaîtra. La progression arithmétique disparaîtra également. Ce qui reste, c'est juste une série de chiffres.
Exactement.
Bien entendu, dans nouveau sujet de nouveaux termes et désignations apparaissent. Vous devez les connaître. Sinon, vous ne comprendrez pas la tâche. Par exemple, vous devrez décider quelque chose comme :
Notez les six premiers termes de la progression arithmétique (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.
Inspirant ?) Des lettres, quelques index... Et la tâche, d'ailleurs, ne pourrait pas être plus simple. Il vous suffit de comprendre la signification des termes et des désignations. Nous allons maintenant maîtriser ce sujet et revenir à la tâche.
Termes et désignations.
Progression arithmétique est une série de nombres dans lesquels chaque nombre est différent du précédent du même montant.
Cette quantité est appelée . Examinons ce concept plus en détail.
Différence de progression arithmétique.
Différence de progression arithmétique est le montant par lequel tout numéro de progression plus le précédent.
Un point important. S'il vous plaît, faites attention au mot "plus". Mathématiquement, cela signifie que chaque numéro de progression est en ajoutant différence de progression arithmétique par rapport au nombre précédent.
Pour calculer, disons deuxième numéros de la série, vous devez d'abord nombre ajouter cette différence même d'une progression arithmétique. Pour le calcul cinquième- la différence est nécessaire ajouterÀ quatrième, eh bien, etc.
Différence de progression arithmétique Peut être positif, alors chaque numéro de la série se révélera réel plus que le précédent. Cette progression est appelée en augmentant. Par exemple:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Ici, chaque numéro est obtenu en ajoutant nombre positif, +5 au précédent.
La différence peut être négatif, alors chaque numéro de la série sera moins que le précédent. Cette progression s’appelle (vous n’y croirez pas !) diminuant.
Par exemple:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ici, chaque numéro est également obtenu en ajoutant au précédent, mais déjà un nombre négatif, -5.
À propos, lorsque l'on travaille avec une progression, il est très utile de déterminer immédiatement sa nature - si elle augmente ou diminue. Cela aide beaucoup à prendre la décision, à repérer vos erreurs et à les corriger avant qu’il ne soit trop tard.
Différence de progression arithmétique généralement désigné par la lettre d.
Comment trouver d? Très simple. Il faut soustraire de n'importe quel nombre de la série précédent nombre. Soustraire. À propos, le résultat de la soustraction est appelé « différence ».)
Définissons, par exemple, d pour une progression arithmétique croissante :
2, 5, 8, 11, 14, ...
Nous prenons n'importe quel nombre de la série que nous voulons, par exemple 11. Nous en soustrayons numéro précédent ceux. 8 :
C'est la bonne réponse. Pour cette progression arithmétique, la différence est de trois.
Tu peux le prendre n'importe quel numéro de progression, parce que pour une progression spécifique d-toujours le même. Au moins quelque part au début de la rangée, au moins au milieu, au moins n'importe où. Vous ne pouvez pas prendre uniquement le tout premier numéro. Tout simplement parce que le tout premier numéro pas de précédent.)
D'ailleurs, sachant que d=3, trouver le septième nombre de cette progression est très simple. Ajoutons 3 au cinquième nombre - nous obtenons le sixième, ce sera 17. Ajoutons trois au sixième nombre, nous obtenons le septième nombre - vingt.
Définissons d pour la progression arithmétique décroissante :
8; 3; -2; -7; -12; .....
Je vous rappelle que, quels que soient les signes, pour déterminer d nécessaire à partir de n'importe quel numéro enlevez le précédent. Choisissez n'importe quel numéro de progression, par exemple -7. Son numéro précédent est -2. Alors:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
La différence d'une progression arithmétique peut être n'importe quel nombre : entier, fractionnaire, irrationnel, n'importe quel nombre.
Autres termes et désignations.
Chaque numéro de la série s'appelle membre d'une progression arithmétique.
Chaque membre de la progression a son propre numéro. Les chiffres sont strictement dans l'ordre, sans aucune astuce. Premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. Par exemple, dans la progression 2, 5, 8, 11, 14, ... deux est le premier terme, cinq est le deuxième, onze est le quatrième, eh bien, vous comprenez...) Veuillez bien comprendre - les chiffres eux-mêmes peut être absolument n'importe quoi, entier, fractionnaire, négatif, peu importe, mais numérotation des numéros- strictement dans l'ordre !
Comment écrire une progression en vue générale? Aucun problème! Chaque chiffre d'une série s'écrit sous forme de lettre. Pour désigner une progression arithmétique, la lettre est généralement utilisée un. Le numéro de membre est indiqué par un index en bas à droite. Nous écrivons les termes séparés par des virgules (ou des points-virgules), comme ceci :
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
un 1- c'est le premier numéro, un 3- troisième, etc. Rien d'extraordinaire. Cette série peut être écrite brièvement comme ceci : (un).
Des progressions se produisent fini et infini.
Ultime la progression a Quantité limitée membres. Cinq, trente-huit, peu importe. Mais c'est un nombre fini.
Infini progression - a un nombre infini de membres, comme vous pouvez le deviner.)
Vous pouvez écrire la progression finale à travers une série comme celle-ci, tous les termes et un point à la fin :
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.
Ou comme ceci, s'il y a beaucoup de membres :
un 1, un 2, ... un 14, un 15.
Dans la courte entrée, vous devrez en outre indiquer le nombre de membres. Par exemple (pour vingt membres), comme ceci :
(une n), n = 20
Une progression infinie peut être reconnue par les points de suspension à la fin de la rangée, comme dans les exemples de cette leçon.
Vous pouvez maintenant résoudre les tâches. Les tâches sont simples et servent uniquement à comprendre le sens d'une progression arithmétique.
Exemples de tâches sur la progression arithmétique.
Examinons en détail la tâche donnée ci-dessus :
1. Écrivez les six premiers termes de la progression arithmétique (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.
Nous transférons la tâche à langage clair. Une progression arithmétique infinie est donnée. Le deuxième numéro de cette progression est connu : un 2 = 5. La différence de progression est connue : d = -2,5. Il faut trouver les premier, troisième, quatrième, cinquième et sixième termes de cette progression.
Pour plus de clarté, j'écrirai une série en fonction des conditions du problème. Les six premiers termes, où le deuxième terme est cinq :
un 1, un 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....
un 3 = un 2 + d
Substituer dans l'expression un 2 = 5 Et d = -2,5. N'oubliez pas le moins !
un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Le troisième terme s'est avéré inférieur au deuxième. Tout est logique. Si le nombre est supérieur au précédent négatif valeur, ce qui signifie que le nombre lui-même sera inférieur au précédent. La progression diminue. Bon, prenons-en en compte.) Nous comptons le quatrième terme de notre série :
un 4 = un 3 + d
un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = un 4 + d
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
un 6 = un 5 + d
un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Ainsi, les termes du troisième au sixième ont été calculés. Le résultat est la série suivante :
un 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Reste à trouver le premier terme un 1 Par célèbre seconde. C'est un pas dans l'autre sens, vers la gauche.) Donc, la différence de la progression arithmétique d ne devrait pas être ajouté à un 2, UN emporter:
un 1 = un 2 - d
un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
C'est ça. Réponse au devoir :
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Au passage, je voudrais noter que nous avons résolu cette tâche récurrent chemin. Ce mot terrible ne signifie que la recherche d'un membre de la progression selon le numéro précédent (adjacent). Nous examinerons ci-dessous d'autres façons de travailler avec la progression.
Une conclusion importante peut être tirée de cette tâche simple.
Souviens-toi:
Si l'on connaît au moins un terme et la différence d'une progression arithmétique, on peut trouver n'importe quel terme de cette progression.
Vous souvenez-vous? Cette conclusion simple permet de résoudre la plupart des problèmes du cours scolaire sur ce sujet. Toutes les tâches tournent autour trois principaux paramètres: membre d'une progression arithmétique, différence d'une progression, numéro d'un membre de la progression. Tous.
Bien sûr, toute l'algèbre précédente n'est pas annulée.) Les inégalités, les équations et d'autres choses sont liées à la progression. Mais selon la progression elle-même- tout tourne autour de trois paramètres.
À titre d'exemple, examinons quelques tâches populaires sur ce sujet.
2. Écrivez la progression arithmétique finie sous forme de série si n=5, d = 0,4 et a 1 = 3,6.
Tout est simple ici. Tout a déjà été donné. Vous devez vous rappeler comment les membres d'une progression arithmétique sont comptés, les compter et les écrire. Il est conseillé de ne pas manquer les mots dans les conditions de la tâche : « final » et « n=5". Pour ne pas compter jusqu'à ce que vous ayez complètement le visage bleu.) Il n'y a que 5 (cinq) membres dans cette progression :
une 2 = une 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
une 3 = une 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Reste à écrire la réponse :
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Autre tâche :
3. Déterminez si le nombre 7 fera partie de la progression arithmétique (a n), si une 1 = 4,1 ; d = 1,2.
Hum... Qui sait ? Comment déterminer quelque chose ?
Comment-comment... Notez la progression sous forme de série et voyez s'il y aura un sept ou non ! Nous comptons:
une 2 = une 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
une 3 = une 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Maintenant, il est clairement visible que nous ne sommes que sept passés à travers entre 6,5 et 7,7 ! Sept ne fait pas partie de notre série de nombres et, par conséquent, sept ne fera pas partie de la progression donnée.
Réponse : non.
Voici un problème basé sur vraie option GIA :
4. Plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique sont écrits :
... ; 15 ; X; 9 ; 6 ; ...
Voici une série écrite sans fin ni début. Aucun numéro de membre, aucune différence d. C'est bon. Pour résoudre le problème, il suffit de comprendre le sens d'une progression arithmétique. Regardons et voyons ce qui est possible savoir de cette série ? Quels sont les trois paramètres principaux ?
Numéros de membres ? Il n’y a pas un seul numéro ici.
Mais il y a trois chiffres et - attention ! - mot "cohérent"à la condition. Cela signifie que les chiffres sont strictement en ordre, sans lacunes. Y en a-t-il deux dans cette rangée ? voisin numéros connus ? Oui j'ai! Ce sont 9 et 6. On peut donc calculer la différence de la progression arithmétique ! Soustraire de six précédent numéro, c'est-à-dire neuf:
Il ne reste que des bagatelles. Quel nombre sera le précédent pour X ? Quinze. Cela signifie que X peut être facilement trouvé par simple addition. Ajoutez la différence de la progression arithmétique à 15 :
C'est tout. Répondre: x=12
Nous résolvons nous-mêmes les problèmes suivants. Remarque : ces problèmes ne sont pas basés sur des formules. Uniquement pour comprendre le sens d'une progression arithmétique.) Nous écrivons simplement une série de chiffres et de lettres, regardons et comprenons.
5. Trouver le premier terme positif de la progression arithmétique si a 5 = -3 ; d = 1,1.
6. On sait que le nombre 5,5 fait partie de la progression arithmétique (a n), où a 1 = 1,6 ; d = 1,3. Déterminez le nombre n de ce membre.
7. On sait que dans la progression arithmétique a 2 = 4 ; un 5 = 15,1. Trouvez un 3 .
8. Plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique sont écrits :
... ; 15,6 ; X; 3.4 ; ...
Trouvez le terme de la progression indiqué par la lettre x.
9. Le train a commencé à quitter la gare, augmentant uniformément sa vitesse de 30 mètres par minute. Quelle sera la vitesse du train dans cinq minutes ? Donnez votre réponse en km/heure.
10. On sait que dans la progression arithmétique a 2 = 5 ; un 6 = -5. Trouver un 1.
Réponses (en désarroi) : 7,7 ; 7,5 ; 9,5 ; 9 ; 0,3 ; 4.
Tout s'est bien passé ? Incroyable! Vous pouvez maîtriser la progression arithmétique pour en savoir plus haut niveau, dans les leçons suivantes.
Tout ne s'est pas bien passé ? Aucun problème. Dans la section spéciale 555, tous ces problèmes sont triés pièce par pièce.) Et, bien sûr, une technique pratique simple est décrite qui met immédiatement en évidence la solution à de telles tâches de manière claire, claire, en un coup d'œil !
À propos, dans le puzzle du train, il y a deux problèmes sur lesquels les gens butent souvent. L’un est purement en termes de progression, et le second est général pour tous les problèmes de mathématiques, ainsi que de physique. Il s'agit d'une traduction de dimensions de l'une à l'autre. Il montre comment ces problèmes devraient être résolus.
Dans cette leçon, nous avons examiné la signification élémentaire d'une progression arithmétique et ses principaux paramètres. C'est suffisant pour résoudre presque tous les problèmes sur ce sujet. Ajouter d aux chiffres, écrivez une série, tout sera résolu.
La solution avec les doigts fonctionne bien pour les morceaux d'une rangée très courts, comme dans les exemples de cette leçon. Si la série est plus longue, les calculs deviennent plus compliqués. Par exemple, si dans le problème 9 de la question nous remplaçons "cinq minutes" sur "trente-cinq minutes" le problème va s'aggraver considérablement.)
Et il y a aussi des tâches simples par essence, mais absurdes en termes de calculs, par exemple :
Une progression arithmétique (a n) est donnée. Trouvez un 121 si a 1 =3 et d=1/6.
Alors quoi, allons-nous ajouter 1/6 plusieurs fois ?! Vous pouvez vous suicider !?
Vous pouvez.) Si vous ne savez pas formule simple, ce qui vous permet de résoudre de telles tâches en une minute. Cette formule sera dans la prochaine leçon. Et ce problème est résolu là. Dans une minute.)
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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
Ou l'arithmétique est un type de séquence numérique ordonnée dont les propriétés sont étudiées dans un cours d'algèbre scolaire. Cet article aborde en détail la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique.
De quel genre de progression s’agit-il ?
Avant de passer à la question (comment trouver la somme d'une progression arithmétique), il convient de comprendre de quoi nous parlons.
Toute séquence de nombres réels obtenue en ajoutant (soustrayant) une valeur de chaque nombre précédent est appelée une progression algébrique (arithmétique). Cette définition, traduite en langage mathématique, prend la forme :
Ici je - numéro de sérieélément de la série a i. Ainsi, ne connaissant qu'un seul numéro de départ, vous pouvez facilement restaurer toute la série. Le paramètre d dans la formule est appelé différence de progression.
On peut facilement montrer que pour la série de nombres considérée, l’égalité suivante est vraie :
un n = un 1 + d * (n - 1).
Autrement dit, pour trouver la valeur du nième élément dans l'ordre, vous devez ajouter la différence d au premier élément a 1 n-1 fois.
Quelle est la somme d'une progression arithmétique : formule
Avant de donner la formule du montant indiqué, il convient de considérer une simple cas particulier. Étant donné une progression d’entiers naturels de 1 à 10, vous devez trouver leur somme. Comme il y a peu de termes dans la progression (10), il est possible de résoudre le problème de front, c'est-à-dire de sommer tous les éléments dans l'ordre.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Cela vaut la peine de considérer une chose intéressante : puisque chaque terme diffère du suivant par la même valeur d = 1, alors la sommation par paire du premier avec le dixième, du second avec le neuvième, et ainsi de suite donnera le même résultat. Vraiment:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Comme vous pouvez le constater, il n'y a que 5 de ces sommes, soit exactement deux fois moins que le nombre d'éléments de la série. En multipliant ensuite le nombre de sommes (5) par le résultat de chaque somme (11), vous arriverez au résultat obtenu dans le premier exemple.
Si l’on généralise ces arguments, on peut écrire l’expression suivante :
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Cette expression montre qu'il n'est pas du tout nécessaire de sommer tous les éléments d'affilée ; il suffit de connaître la valeur du premier a 1 et du dernier a n , ainsi que nombre total n termes.
On pense que Gauss a pensé pour la première fois à cette égalité lorsqu'il cherchait une solution à un problème posé par son professeur : additionner les 100 premiers nombres entiers.
Somme des éléments de m à n : formule
La formule donnée dans le paragraphe précédent répond à la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique (les premiers éléments), mais souvent dans les problèmes il est nécessaire de sommer une série de nombres au milieu de la progression. Comment faire?
La façon la plus simple de répondre à cette question est de considérer l'exemple suivant : supposons qu'il soit nécessaire de trouver la somme des termes du m-ième au n-ième. Pour résoudre le problème, vous devez présenter le segment donné de m à n de la progression sous la forme d'une nouvelle série de nombres. Dans cette vue mois trimestre un m sera le premier et un n sera numéroté n-(m-1). Dans ce cas, en appliquant la formule standard pour la somme, on obtiendra l'expression suivante :
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Exemple d'utilisation de formules
Sachant comment trouver la somme d'une progression arithmétique, il convient de considérer un exemple simple d'utilisation des formules ci-dessus.
Ci-dessous est donné séquence de nombres, vous devriez trouver la somme de ses termes, en commençant par le 5 et en terminant par le 12 :
Les nombres donnés indiquent que la différence d est égale à 3. En utilisant l'expression du nième élément, vous pouvez trouver les valeurs des 5ème et 12ème termes de la progression. Il s'avère:
une 5 = une 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8 ;
une 12 = une 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Connaître les valeurs des nombres aux extrémités de ce qui est donné progression algébrique, et connaissant également quels numéros de la ligne ils occupent, vous pouvez utiliser la formule pour le montant obtenu dans le paragraphe précédent. Il s'avérera :
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Il est à noter que cette valeur pourrait être obtenue différemment : trouvez d'abord la somme des 12 premiers éléments à l'aide de la formule standard, puis calculez la somme des 4 premiers éléments à l'aide de la même formule, puis soustrayez le second de la première somme.
Calculateur en ligne.
Résoudre une progression arithmétique.
Étant donné : a n , d, n
Trouver : un 1
Ce programme mathématique trouve \(a_1\) d'une progression arithmétique basée sur les nombres spécifiés par l'utilisateur \(a_n, d\) et \(n\).
Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions. De plus, un nombre fractionnaire peut être saisi sous forme de fraction décimale (\(2.5\)) et de fraction (\(-5\frac(2)(7)\)).
Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de recherche d'une solution.
Ce calculateur en ligne peut être utile aux élèves du secondaire qui se préparent à essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.
De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou votre propre formation. frères plus jeunes ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.
Si vous ne connaissez pas les règles de saisie des chiffres, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.
Règles de saisie des chiffres
Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions.
Le nombre \(n\) ne peut être qu’un entier positif.
Règles de saisie des fractions décimales.
Les parties entières et fractionnaires des fractions décimales peuvent être séparées par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir décimales donc 2,5 ou alors 2,5
Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.
Le dénominateur ne peut pas être négatif.
Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Saisir:
Résultat : \(-\frac(2)(3)\)
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette : &
Saisir:
Résultat : \(-1\frac(2)(3)\)
Il a été découvert que certains scripts nécessaires à la résolution de ce problème n'étaient pas chargés et que le programme pouvait ne pas fonctionner.
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Un peu de théorie.
Séquence numérique
Dans la pratique quotidienne, la numérotation de divers objets est souvent utilisée pour indiquer l'ordre dans lequel ils sont disposés. Par exemple, les maisons de chaque rue sont numérotées. Dans la bibliothèque, les abonnements des lecteurs sont numérotés puis classés par ordre de numéros attribués dans des fiches spéciales.
Dans une caisse d'épargne, en utilisant le numéro de compte personnel du déposant, vous pouvez facilement retrouver ce compte et voir quel dépôt s'y trouve. Laissez le compte n° 1 contenir un dépôt de 1 roubles, le compte n° 2 contient un dépôt de 2 roubles, etc. séquence de nombres
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une N
où N est le nombre de tous les comptes. Ici, chaque nombre naturel n de 1 à N est associé à un nombre a n.
Également étudié en mathématiques séquences de nombres infinies :
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ... .
Le nombre un 1 s'appelle premier membre de la séquence, numéro un 2 - deuxième terme de la suite, numéro un 3 - troisième terme de la suite etc.
Le nombre a n s'appelle nième (énième) membre de la séquence, et l'entier naturel n est son nombre.
Par exemple, dans la suite de carrés d'entiers naturels 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... et 1 = 1 est le premier terme de la suite ; et n = n 2 est nième mandat séquences ; a n+1 = (n + 1) 2 est le (n + 1)ème (n plus premier) terme de la séquence. Souvent, une séquence peut être spécifiée par la formule de son nième terme. Par exemple, la formule \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) définit la séquence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Progression arithmétique
La durée de l'année est d'environ 365 jours. Plus valeur exacte est égal à \(365\frac(1)(4)\) jours, donc tous les quatre ans une erreur d'un jour s'accumule.
Pour tenir compte de cette erreur, un jour est ajouté toutes les quatre années et l’année prolongée est appelée année bissextile.
Par exemple, au troisième millénaire années bissextiles sont les années 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Dans cette séquence, chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre 4. De telles séquences sont appelées progressions arithmétiques.
Définition.
La suite de nombres a 1, a 2, a 3, ..., an n, ... est appelée progression arithmétique, si pour tout naturel n l'égalité
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
où d est un nombre.
De cette formule, il résulte que a n+1 - a n = d. Le nombre d s'appelle la différence progression arithmétique.
Par définition d'une progression arithmétique on a :
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
où
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), où \(n>1 \)
Ainsi, chaque terme d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique de ses deux termes adjacents. Ceci explique le nom de progression « arithmétique ».
Notez que si a 1 et d sont donnés, alors les termes restants de la progression arithmétique peuvent être calculés à l'aide de la formule récurrente a n+1 = a n + d. De cette façon, il n'est pas difficile de calculer les premiers termes de la progression, cependant, par exemple, un 100 nécessitera déjà beaucoup de calculs. Généralement, la formule du nième terme est utilisée pour cela. Par définition de la progression arithmétique
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
Du tout,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
puisque le nième terme d'une progression arithmétique s'obtient à partir du premier terme en ajoutant (n-1) fois le nombre d.
Cette formule s'appelle formule pour le nième terme d'une progression arithmétique.
Somme des n premiers termes d'une progression arithmétique
Trouvez la somme de tous les nombres naturels de 1 à 100.
Écrivons ce montant de deux manières :
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Additionnons ces égalités terme par terme :
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Cette somme comporte 100 termes
Par conséquent, 2S = 101 * 100, donc S = 101 * 50 = 5050.
Considérons maintenant une progression arithmétique arbitraire
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ...
Soit S n la somme des n premiers termes de cette progression :
S n = une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n
Alors la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est égale à
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Puisque \(a_n=a_1+(n-1)d\), alors en remplaçant un n dans cette formule, nous obtenons une autre formule pour trouver somme des n premiers termes d'une progression arithmétique:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Quoi le point principal des formules ?
Cette formule permet de trouver n'importe lequel PAR SON NUMÉRO" n" .
Bien sûr, il faut aussi connaître le premier terme un 1 et différence de progression d eh bien, sans ces paramètres, vous ne pouvez pas écrire une progression spécifique.
Mémoriser (ou mémoriser) cette formule ne suffit pas. Vous devez comprendre son essence et appliquer la formule à divers problèmes. Et aussi de ne pas oublier au bon moment, oui...) Comment ne pas oublier- Je ne sais pas. Et ici comment se souvenir Si nécessaire, je vous conseillerai certainement. Pour ceux qui terminent la leçon jusqu'à la fin.)
Regardons donc la formule du nième terme d'une progression arithmétique.
Qu'est-ce qu'une formule en général ? Au fait, jetez-y un œil si vous ne l’avez pas lu. Tout y est simple. Reste à savoir ce que c'est nième mandat.
La progression en général peut s’écrire sous la forme d’une série de nombres :
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
un 1- désigne le premier terme d'une progression arithmétique, un 3- troisième membre, un 4- le quatrième, et ainsi de suite. Si le cinquième mandat nous intéresse, disons que nous travaillons avec un 5, si cent vingtième - s un 120.
Comment pouvons-nous le définir en termes généraux ? n'importe lequel terme d'une progression arithmétique, avec n'importe lequel nombre? Très simple! Comme ça:
un
C'est ce que c'est nième terme d'une progression arithmétique. La lettre n masque tous les numéros de membre à la fois : 1, 2, 3, 4, etc.
Et que nous apporte un tel record ? Pensez-y, au lieu d'un numéro, ils ont écrit une lettre...
Cette notation nous donne un outil puissant pour travailler avec la progression arithmétique. Utiliser la notation un, on peut trouver rapidement n'importe lequel membre n'importe lequel progression arithmétique. Et résolvez un tas d’autres problèmes de progression. Vous verrez par vous-même plus loin.
Dans la formule du nième terme d'une progression arithmétique :
une n = une 1 + (n-1)d |
un 1- le premier terme d'une progression arithmétique ;
n- numéro de membre.
La formule relie les paramètres clés de toute progression : un ; un 1 ; d Et n. Tous les problèmes de progression tournent autour de ces paramètres.
La formule du nième terme peut également être utilisée pour écrire une progression spécifique. Par exemple, le problème peut dire que la progression est spécifiée par la condition :
une n = 5 + (n-1) 2.
Un tel problème peut conduire à une impasse... Il n'y a ni série ni différence... Mais, en comparant la condition avec la formule, il est facile de se rendre compte que dans cette progression un 1 = 5 et d = 2.
Et ça peut être encore pire !) Si on prend la même condition : une n = 5 + (n-1) 2, Oui, ouvrir les parenthèses et en apporter des similaires ? On obtient une nouvelle formule :
une n = 3 + 2n.
Ce Pas général, mais pour une progression spécifique. C’est là que se cache l’écueil. Certaines personnes pensent que le premier terme est un trois. Bien qu'en réalité le premier terme soit cinq... Un peu plus bas nous travaillerons avec une telle formule modifiée.
Dans les problèmes de progression, il existe une autre notation - un n+1. Il s’agit, comme vous l’avez deviné, du terme « n plus premier » de la progression. Sa signification est simple et inoffensive.) C'est un membre de la progression dont le nombre est supérieur au nombre n de un. Par exemple, si dans un problème nous prenons un cinquième mandat alors un n+1 sera le sixième membre. Etc.
Le plus souvent, la désignation un n+1 trouvé dans les formules de récurrence. N'ayez pas peur de ce mot effrayant !) C'est juste une façon d'exprimer un membre d'une progression arithmétique à travers le précédent. Disons qu'on nous donne une progression arithmétique sous cette forme, en utilisant une formule récurrente :
un n+1 = un n +3
une 2 = une 1 + 3 = 5+3 = 8
un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11
Du quatrième au troisième, du cinquième au quatrième, et ainsi de suite. Comment peut-on compter immédiatement, disons, le vingtième mandat ? un 20? Mais il n'y a pas moyen !) Jusqu'à ce qu'on connaisse le 19e mandat, on ne peut pas compter le 20e. C'est la différence fondamentale entre la formule récurrente et la formule du nième terme. Œuvres récurrentes uniquement à travers précédent terme, et la formule du nième terme passe par d'abord et permet tout de suite trouver n'importe quel membre par son numéro. Sans calculer toute la série de nombres dans l’ordre.
En progression arithmétique formule de récidive facile à transformer en régulier. Comptez une paire de termes consécutifs, calculez la différence d, trouver, si nécessaire, le premier terme un 1, écrivez la formule sous sa forme habituelle et travaillez avec. De telles tâches sont souvent rencontrées à l'Académie nationale des sciences.
Application de la formule au nième terme d'une progression arithmétique.
Examinons d’abord l’application directe de la formule. A la fin de la leçon précédente, il y a eu un problème :
Une progression arithmétique (a n) est donnée. Trouvez un 121 si a 1 =3 et d=1/6.
Ce problème peut être résolu sans aucune formule, simplement en se basant sur la signification d'une progression arithmétique. Ajoutez et ajoutez... Une heure ou deux.)
Et selon la formule, la solution prendra moins d'une minute. Vous pouvez le chronométrer.) Décidons.
Les conditions fournissent toutes les données d'utilisation de la formule : une 1 =3, d=1/6. Reste à savoir ce qui est égal n. Aucun problème! Nous devons trouver un 121. Nous écrivons donc :
Votre attention s'il vous plaît! Au lieu d'un index n un nombre précis est apparu : 121. Ce qui est tout à fait logique.) Nous nous intéressons au membre de la progression arithmétique numéro cent vingt et un. Ce sera le nôtre n. C'est le sens n= 121 nous le substituerons plus loin dans la formule, entre parenthèses. Nous substituons tous les nombres dans la formule et calculons :
une 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
C'est ça. Tout aussi rapidement, on pourrait trouver le cinq cent dixième terme, et le mille troisième, n'importe lequel. On met à la place n le numéro souhaité dans l'index de la lettre " un" et entre parenthèses, et on compte.
Je vous rappelle l'essentiel : cette formule permet de trouver n'importe lequel terme de progression arithmétique PAR SON NUMÉRO" n" .
Résolvons le problème d'une manière plus astucieuse. Rencontrons-nous au problème suivant :
Trouver le premier terme de la progression arithmétique (a n), si a 17 =-2 ; d=-0,5.
Si vous rencontrez des difficultés, je vous expliquerai la première étape. Écrivez la formule du nième terme d'une progression arithmétique ! Oui oui. Notez avec vos mains, directement dans votre cahier :
une n = une 1 + (n-1)d |
Et maintenant, en regardant les lettres de la formule, nous comprenons de quelles données nous disposons et qu'est-ce qui manque ? Disponible d=-0,5, il y a un dix-septième membre... C'est ça ? Si vous pensez que c'est ça, alors vous ne résoudrez pas le problème, oui...
Nous avons encore un numéro n! À la condition un 17 =-2 caché deux paramètres. C'est à la fois la valeur du dix-septième terme (-2) et son nombre (17). Ceux. n = 17. Cette « bagatelle » échappe souvent à la tête, et sans elle (sans la « bagatelle », pas la tête !) le problème ne peut pas être résolu. Bien que... et sans tête aussi.)
Maintenant, nous pouvons simplement substituer bêtement nos données dans la formule :
un 17 = un 1 + (17-1) · (-0,5)
Oh oui, un 17 nous savons qu'il fait -2. Bon, remplaçons :
-2 = un 1 + (17-1)·(-0,5)
C'est essentiellement tout. Il reste à exprimer le premier terme de la progression arithmétique à partir de la formule et à le calculer. La réponse sera : un 1 = 6.
Cette technique - écrire une formule et simplement remplacer des données connues - est d'une grande aide dans des tâches simples. Bon bien sûr, il faut être capable d'exprimer une variable à partir d'une formule, mais que faire !? Sans cette compétence, les mathématiques ne pourraient pas être étudiées du tout...
Un autre casse-tête populaire :
Trouver la différence de la progression arithmétique (a n), si a 1 =2 ; un 15 =12.
Qu'est-ce que nous faisons? Vous serez surpris, nous écrivons la formule !)
une n = une 1 + (n-1)d |
Considérons ce que nous savons : un 1 =2; un 15 =12 ; et (je soulignerai particulièrement !) n=15. N'hésitez pas à remplacer ceci dans la formule :
12=2 + (15-1)d
Nous faisons le calcul.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
C'est la bonne réponse.
Ainsi, les tâches pour un n, un 1 Et d décidé. Il ne reste plus qu'à apprendre à trouver le numéro :
Le nombre 99 fait partie de la progression arithmétique (a n), où a 1 = 12 ; d = 3. Trouvez le numéro de ce membre.
On substitue les quantités que nous connaissons dans la formule du nième terme :
une n = 12 + (n-1) 3
À première vue, il y a ici deux quantités inconnues : un n et n. Mais un- c'est un membre de la progression avec un numéro n...Et on connaît ce membre de la progression ! Il est 99. Nous ne connaissons pas son numéro. n, C'est donc ce numéro que vous devez trouver. On substitue le terme de la progression 99 dans la formule :
99 = 12 + (n-1) 3
On exprime à partir de la formule n, nous pensons. Nous obtenons la réponse : n=30.
Et maintenant un problème sur le même sujet, mais en plus créatif) :
Déterminez si le nombre 117 fait partie de la progression arithmétique (a n) :
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Écrivons à nouveau la formule. Quoi, il n'y a pas de paramètres ? Hm... Pourquoi on nous donne des yeux ?) Voit-on le premier terme de la progression ? Nous voyons. C'est -3,6. Vous pouvez écrire en toute sécurité : une 1 = -3,6. Différence d Pouvez-vous le dire d'après la série ? C’est facile si vous savez quelle est la différence entre une progression arithmétique :
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Nous avons donc fait la chose la plus simple. Il reste à traiter numéro inconnu n et l'incompréhensible nombre 117. Dans le problème précédent, au moins on savait que c'était le terme de la progression qui était donné. Mais ici on ne sait même pas... Que faire !? Eh bien, que faire, que faire... Allumez Compétences créatives!)
Nous supposer ce 117 est, après tout, un membre de notre progression. Avec un numéro inconnu n. Et, comme dans le problème précédent, essayons de trouver ce numéro. Ceux. nous écrivons la formule (oui, oui !)) et substituons nos nombres :
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Encore une fois, nous exprimons à partir de la formulen, on compte et on obtient :
Oops! Le numéro s'est avéré fractionnaire! Cent un et demi. Et les nombres fractionnaires en progressions c'est pas possible. Quelle conclusion peut-on tirer ? Oui! Numéro 117 n'est pas membre de notre progression. C'est quelque part entre les cent unième et cent deuxième termes. Si le nombre s'avère naturel, c'est-à-dire est un entier positif, alors le nombre serait membre de la progression avec le nombre trouvé. Et dans notre cas, la réponse au problème sera : Non.
Une tâche basée sur une version réelle du GIA :
Une progression arithmétique est donnée par la condition :
une n = -4 + 6,8n
Trouvez les premier et dixième termes de la progression.
Ici, la progression se déroule d'une manière inhabituelle. Une sorte de formule... Cela arrive.) Cependant, cette formule (comme je l'ai écrit ci-dessus) - aussi la formule du nième terme d'une progression arithmétique ! Elle permet également trouver n'importe quel membre de la progression par son numéro.
Nous recherchons le premier membre. Celui qui pense. que le premier terme est moins quatre est une erreur fatale !) Parce que la formule du problème est modifiée. Le premier terme de la progression arithmétique qu'il contient caché. C'est bon, nous allons le trouver maintenant.)
Comme dans les problèmes précédents, nous substituons n=1 V cette formule:
une 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Ici! Le premier terme est 2,8, pas -4 !
On cherche le dixième terme de la même manière :
une 10 = -4 + 6,8 10 = 64
C'est ça.
Et maintenant, pour ceux qui ont lu ces lignes, le bonus promis.)
Supposons que, dans une situation de combat difficile de l'examen d'État ou de l'examen d'État unifié, vous ayez oublié la formule utile pour le nième terme d'une progression arithmétique. Je me souviens de quelque chose, mais d'une manière ou d'une autre, de manière incertaine... Ou n là, ou n+1, ou n-1... Comment être!?
Calme! Cette formule est facile à dériver. Ce n'est pas très strict, mais c'est largement suffisant pour la confiance et la bonne décision !) Pour conclure, il suffit de rappeler le sens élémentaire d'une progression arithmétique et de disposer de quelques minutes de temps. Il vous suffit de faire un dessin. Pour plus de clarté.
Tracez une droite numérique et marquez la première dessus. deuxième, troisième, etc. membres. Et on note la différence d entre les membres. Comme ça:
Nous regardons l'image et réfléchissons : à quoi est égal le deuxième terme ? Deuxième un d:
un 2 =un 1 + 1 d
Quel est le troisième terme ? Troisième le terme est égal au premier terme plus deux d.
un 3 =un 1 + 2 d
Tu as compris? Ce n’est pas pour rien que je souligne certains mots en gras. Bon, encore une étape).
Quel est le quatrième terme ? Quatrième le terme est égal au premier terme plus trois d.
un 4 =un 1 + 3 d
Il est temps de réaliser que le nombre de lacunes, c'est-à-dire d, Toujours un de moins que le numéro du membre que vous recherchez n. C'est-à-dire au nombre n, nombre d'espaces volonté n-1. La formule sera donc (sans variations !) :
une n = une 1 + (n-1)d |
En général, les images visuelles sont très utiles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Ne négligez pas les photos. Mais s'il est difficile de faire un dessin, alors... seulement une formule !) De plus, la formule du nième terme permet de connecter tout l'arsenal puissant des mathématiques à la solution - équations, inégalités, systèmes, etc. Vous ne pouvez pas insérer une image dans l'équation...
Tâches pour une solution indépendante.
Réchauffer:
1. En progression arithmétique (a n) a 2 =3 ; une 5 =5,1. Trouvez un 3 .
Indice : d'après l'image, le problème peut être résolu en 20 secondes... D'après la formule, cela s'avère plus difficile. Mais pour maîtriser la formule, c'est plus utile.) Dans la section 555, ce problème est résolu en utilisant à la fois l'image et la formule. Sentir la différence!)
Et ce n'est plus un échauffement.)
2. En progression arithmétique (a n) a 85 =19,1 ; a 236 =49, 3. Trouvez a 3 .
Quoi, tu ne veux pas faire de dessin ?) Bien sûr ! Mieux selon la formule, oui...
3. La progression arithmétique est donnée par la condition :un 1 = -5,5 ; un n+1 = un n +0,5. Trouvez le cent vingt-cinquième terme de cette progression.
Dans cette tâche, la progression est précisée de manière récurrente. Mais en comptant jusqu'au cent vingt-cinquième mandat... Tout le monde n'est pas capable d'un tel exploit.) Mais la formule du nième mandat est à la portée de tous !
4. Étant donné une progression arithmétique (a n) :
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Trouver le numéro du plus petit terme positif de la progression.
5. D'après les conditions de la tâche 4, trouver la somme des plus petits termes positifs et des plus grands termes négatifs de la progression.
6. Le produit des cinquième et douzième termes d'une progression arithmétique croissante est égal à -2,5 et la somme des troisième et onzième termes est égale à zéro. Trouvez un 14 .
Ce n’est pas la tâche la plus simple, oui...) La méthode du « bout des doigts » ne fonctionnera pas ici. Vous devrez écrire des formules et résoudre des équations.
Réponses (en désarroi) :
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Arrivé? C'est bien!)
Tout ne fonctionne pas ? Arrive. À propos, il y a un point subtil dans la dernière tâche. Il faudra faire preuve de prudence lors de la lecture du problème. Et la logique.
La solution à tous ces problèmes est discutée en détail dans la section 555. Et l'élément de fantaisie pour le quatrième, et le point subtil pour le sixième, et les approches générales pour résoudre tout problème impliquant la formule du nième terme - tout est décrit. Je recommande.
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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.