V této lekci se podíváme na různé exponenciální nerovnosti a naučíme se je řešit na základě techniky řešení nejjednodušších exponenciálních nerovností
1. Definice a vlastnosti exponenciální funkce
Připomeňme si definici a základní vlastnosti exponenciální funkce. Na těchto vlastnostech je založeno řešení všech exponenciálních rovnic a nerovnic.
Exponenciální funkce je funkcí tvaru , kde základem je stupeň a zde x je nezávislá proměnná, argument; y je závislá proměnná, funkce.
Rýže. 1. Graf exponenciální funkce
Graf ukazuje rostoucí a klesající exponenty, ilustrující exponenciální funkci se základem větším než jedna a menším než jedna, ale větším než nula.
Obě křivky procházejí bodem (0;1)
Vlastnosti exponenciální funkce:
Doména: ;
Rozsah hodnot: ;
Funkce je monotónní, zvyšuje se s, klesá s.
Monotónní funkce přebírá každou z jejích hodnot s jednou hodnotou argumentu.
Když , když se argument zvýší z mínus na plus nekonečno, funkce se zvýší od nuly včetně do plus nekonečna, tj. pro dané hodnoty argumentu máme monotónně rostoucí funkci (). Naopak, když argument roste z mínus do plus nekonečna, funkce klesá z nekonečna na nulu včetně, tj. pro dané hodnoty argumentu máme monotónně klesající funkci ().
2. Nejjednodušší exponenciální nerovnice, metoda řešení, příklad
Na základě výše uvedeného uvádíme metodu řešení jednoduchých exponenciálních nerovností:
Technika řešení nerovností:
Vyrovnejte základy stupňů;
Porovnejte indikátory zachováním nebo změnou znaménka nerovnosti na opačné.
Řešení složitých exponenciálních nerovností obvykle spočívá v jejich redukci na nejjednodušší exponenciální nerovnosti.
Základ stupně je větší než jedna, což znamená, že znaménko nerovnosti je zachováno:
Transformujme pravou stranu podle vlastností stupně:
Základ stupně je menší než jedna, znaménko nerovnosti musí být obráceno:
Abychom vyřešili kvadratickou nerovnost, vyřešíme odpovídající kvadratickou rovnici:
Pomocí Vietovy věty najdeme kořeny:
Větve paraboly směřují nahoru.
Máme tedy řešení nerovnosti:
Je snadné uhodnout, že pravá strana může být reprezentována jako mocnina s exponentem nula:
Základ stupně je větší než jedna, znaménko nerovnosti se nemění, dostáváme:
Připomeňme si techniku řešení takových nerovností.
Zvažte zlomkovou racionální funkci:
Najdeme doménu definice:
Nalezení kořenů funkce:
Funkce má jeden kořen,
Vybereme intervaly konstantního znaménka a určíme znaménka funkce na každém intervalu:
Rýže. 2. Intervaly stálosti znaménka
Tak jsme dostali odpověď.
Odpovědět:
3. Řešení standardních exponenciálních nerovnic
Uvažujme nerovnosti se stejnými ukazateli, ale různými bázemi.
Jednou z vlastností exponenciální funkce je, že pro jakoukoli hodnotu argumentu nabývá striktně kladných hodnot, což znamená, že ji lze rozdělit na exponenciální funkci. Rozdělme danou nerovnost její pravou stranou:
Základ stupně je větší než jedna, znak nerovnosti je zachován.
Pojďme si řešení ilustrovat:
Obrázek 6.3 ukazuje grafy funkcí a . Je zřejmé, že když je argument větší než nula, graf funkce je vyšší, tato funkce je větší. Když jsou hodnoty argumentů záporné, funkce jde níž, je menší. Pokud se argument rovná, jsou si funkce rovny, což znamená, že tento bod je také řešením dané nerovnosti.
Rýže. 3. Ilustrace například 4
Transformujme danou nerovnost podle vlastností stupně:
Zde jsou některé podobné výrazy:
Rozdělme obě části na:
Nyní pokračujeme v řešení podobně jako v příkladu 4, obě části vydělte:
Základ stupně je větší než jedna, znaménko nerovnosti zůstává:
4. Grafické řešení exponenciálních nerovnic
Příklad 6 - Vyřešte nerovnici graficky:
Podívejme se na funkce na levé a pravé straně a sestavme graf pro každou z nich.
Funkce je exponenciální a zvyšuje se v celé své definiční oblasti, tj. pro všechny reálné hodnoty argumentu.
Funkce je lineární a klesá v celé své definiční oblasti, tedy pro všechny reálné hodnoty argumentu.
Pokud se tyto funkce prolínají, to znamená, že systém má řešení, pak je takové řešení jedinečné a lze jej snadno uhodnout. Za tímto účelem iterujeme přes celá čísla ()
Je snadné vidět, že kořen tohoto systému je:
Grafy funkcí se tedy protínají v bodě s argumentem rovným jedné.
Teď potřebujeme dostat odpověď. Význam dané nerovnosti je ten, že exponent musí být větší nebo roven lineární funkce, tedy být vyšší nebo se s ním shodovat. Odpověď je zřejmá: (Obrázek 6.4)
Rýže. 4. Ilustrace například 6
Podívali jsme se tedy na řešení různých standardních exponenciálních nerovností. Dále přejdeme k uvažování složitějších exponenciálních nerovností.
Bibliografie
Mordkovich A. G. Algebra a počátky matematické analýzy. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra a počátky matematické analýzy. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu P. a kol. - M.: Osvícení.
Matematika. md. Matematika-opakování. com. Diffur. kesu. ru.
Domácí práce
1. Algebra a počátky analýzy, ročníky 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, č. 472, 473;
2. Vyřešte nerovnici:
3. Vyřešte nerovnici.
Řešení většiny matematických problémů tím či oním způsobem zahrnuje transformaci numerických, algebraických nebo funkčních výrazů. Výše uvedené platí zejména pro rozhodnutí. Ve verzích Jednotné státní zkoušky z matematiky tento typ úloh zahrnuje zejména úlohu C3. Naučit se řešit úkoly C3 je důležité nejen pro účely úspěchu složení jednotné státní zkoušky, ale také z toho důvodu, že se tato dovednost bude hodit při studiu kurzu matematiky na střední škole.
Při plnění úkolů C3 se musíte rozhodnout různé druhy rovnice a nerovnice. Mezi nimi jsou racionální, iracionální, exponenciální, logaritmické, trigonometrické, obsahující moduly (absolutní hodnoty), stejně jako kombinované. Tento článek pojednává o hlavních typech exponenciálních rovnic a nerovnic různé metody jejich rozhodnutí. O řešení dalších typů rovnic a nerovnic si přečtěte v sekci „“ v článcích věnovaných metodám řešení úloh C3 z Možnosti jednotné státní zkoušky matematika.
Než začneme analyzovat konkrétní exponenciální rovnice a nerovnice, jako učitel matematiky vám doporučuji některé oprášit teoretický materiál, které budeme potřebovat.
Exponenciální funkce
Co je to exponenciální funkce?
Funkce formuláře y = a x, Kde A> 0 a A≠ 1 se nazývá exponenciální funkce.
Základní vlastnosti exponenciální funkce y = a x:
Graf exponenciální funkce
Graf exponenciální funkce je exponent:
Grafy exponenciálních funkcí (exponenty)
Řešení exponenciálních rovnic
Orientační se nazývají rovnice, ve kterých se neznámá proměnná nachází pouze v exponentech některých mocnin.
Pro řešení exponenciální rovnice musíte znát a umět používat následující jednoduchou větu:
Věta 1. Exponenciální rovnice A F(X) = A G(X) (Kde A > 0, A≠ 1) je ekvivalentní rovnici F(X) = G(X).
Kromě toho je užitečné zapamatovat si základní vzorce a operace se stupni:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Příklad 1Řešte rovnici:
Řešení: Používáme výše uvedené vzorce a substituce:
Rovnice pak zní:
Diskriminant výsledné kvadratické rovnice je kladný:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
To znamená, že tato rovnice má dva kořeny. Najdeme je:
Když přejdeme k obrácené substituci, dostaneme:
Druhá rovnice nemá kořeny, protože exponenciální funkce je přísně pozitivní v celé oblasti definice. Pojďme vyřešit to druhé:
Vezmeme-li v úvahu, co bylo řečeno ve větě 1, přejdeme k ekvivalentní rovnici: X= 3. Toto bude odpověď na úkol.
Odpovědět: X = 3.
Příklad 2Řešte rovnici:
Řešení: omezení v oblasti přijatelné hodnoty rovnice ne, protože radikální výraz má smysl pro jakoukoli hodnotu X(exponenciální funkce y = 9 4 -X kladná a nerovná se nule).
Rovnici řešíme podle ekvivalentní transformace pomocí pravidel násobení a dělby moci:
Poslední přechod byl proveden v souladu s větou 1.
Odpovědět:X= 6.
Příklad 3Řešte rovnici:
Řešení: obě strany původní rovnice lze vydělit 0,2 X. Tento přechod bude ekvivalentní, protože tento výraz je větší než nula pro jakoukoli hodnotu X(exponenciální funkce je ve své definiční oblasti přísně pozitivní). Pak má rovnice tvar:
Odpovědět: X = 0.
Příklad 4.Řešte rovnici:
Řešení: rovnici zjednodušíme na elementární pomocí ekvivalentních transformací za použití pravidel dělení a násobení mocnin uvedených na začátku článku:
Dělení obou stran rovnice 4 X, stejně jako v předchozím příkladu, je ekvivalentní transformace, protože tento výraz se pro žádné hodnoty nerovná nule X.
Odpovědět: X = 0.
Příklad 5.Řešte rovnici:
Řešení: funkce y = 3X, stojící na levé straně rovnice, se zvyšuje. Funkce y = —X-2/3 na pravé straně rovnice se snižuje. To znamená, že pokud se grafy těchto funkcí protnou, tak maximálně jeden bod. V tomto případě lze snadno uhodnout, že se grafy v bodě protínají X= -1. Jiné kořeny nebudou.
Odpovědět: X = -1.
Příklad 6.Řešte rovnici:
Řešení: rovnici zjednodušujeme pomocí ekvivalentních transformací, přičemž máme všude na paměti, že exponenciální funkce je přísně větší než nula pro jakoukoli hodnotu X a pomocí pravidel pro výpočet součinu a podílu mocnin uvedených na začátku článku:
Odpovědět: X = 2.
Řešení exponenciálních nerovností
Orientační se nazývají nerovnice, ve kterých je neznámá proměnná obsažena pouze v exponentech některých mocnin.
Pro řešení exponenciální nerovnosti je nutná znalost následující věty:
Věta 2. Li A> 1, pak nerovnost A F(X) > A G(X) je ekvivalentní nerovnosti stejného významu: F(X) > G(X). Pokud 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) je ekvivalentní nerovnosti s opačným významem: F(X) < G(X).
Příklad 7. Vyřešte nerovnost:
Řešení: Uveďme původní nerovnost ve tvaru:
Vydělme obě strany této nerovnosti 3 2 X, v tomto případě (kvůli pozitivitě funkce y= 3 2X) znaménko nerovnosti se nezmění:
Použijme substituci:
Pak bude mít nerovnost tvar:
Řešením nerovnosti je tedy interval:
přechodem na zpětnou substituci dostaneme:
Levá nerovnost, vzhledem k pozitivitě exponenciální funkce, je splněna automaticky. Pomocí dobře známé vlastnosti logaritmu přejdeme k ekvivalentní nerovnosti:
Protože základem stupně je číslo větší než jedna, ekvivalentem (podle věty 2) je přechod k následující nerovnosti:
Tak se konečně dostáváme Odpovědět:
Příklad 8. Vyřešte nerovnost:
Řešení: Pomocí vlastností násobení a dělení mocnin přepíšeme nerovnici do tvaru:
Představme si novou proměnnou:
Když vezmeme v úvahu tuto substituci, nerovnost má tvar:
Vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku 7 dostaneme následující ekvivalentní nerovnost:
Takže nerovnost je uspokojena následující hodnoty variabilní t:
Poté, když přejdeme na zpětnou substituci, dostaneme:
Protože základ stupně je zde větší než jedna, přechod k nerovnosti bude ekvivalentní (podle věty 2):
Konečně se dostáváme Odpovědět:
Příklad 9. Vyřešte nerovnost:
Řešení:
Obě strany nerovnosti rozdělíme výrazem:
Je vždy větší než nula (kvůli kladnosti exponenciální funkce), takže znaménko nerovnosti není třeba měnit. Dostaneme:
t se nachází v intervalu:
Když přejdeme k obrácené substituci, zjistíme, že původní nerovnost se rozdělí na dva případy:
První nerovnost nemá řešení kvůli kladnosti exponenciální funkce. Pojďme vyřešit to druhé:
Příklad 10. Vyřešte nerovnost:
Řešení:
Větve paraboly y = 2X+2-X 2 směřují dolů, proto je shora omezena hodnotou, které dosáhne ve svém vrcholu:
Větve paraboly y = X 2 -2X+2 v indikátoru směřují nahoru, což znamená, že je zdola omezeno hodnotou, které dosáhne ve svém vrcholu:
Zároveň se také ukazuje, že funkce je zespodu ohraničená y = 3 X 2 -2X+2, což je na pravé straně rovnice. Dosáhne svého cíle nejnižší hodnota ve stejném bodě jako parabola v exponentu a tato hodnota je rovna 3 1 = 3. Původní nerovnost tedy může být pravdivá pouze tehdy, pokud funkce vlevo a funkce vpravo nabývají hodnoty rovné 3 ve stejném bodě (průsečíkem Rozsah hodnot těchto funkcí je pouze toto číslo). Tato podmínka je splněna v jediném bodě X = 1.
Odpovědět: X= 1.
Aby se naučili rozhodovat exponenciální rovnice a nerovnice, v jejich řešení je nutné neustále trénovat. S tímto nelehkým úkolem vám mohou pomoci různé věci. metodické příručky, problémové knihy ze základní matematiky, sbírky soutěžních úloh, hodiny matematiky ve škole i individuální lekce s odborným lektorem. Upřímně vám přeji úspěch v přípravě a skvělé výsledky u zkoušky.
Sergej Valerijevič
P.S. Vážení hosté! Požadavky na řešení vašich rovnic prosím nepište do komentářů. Bohužel na to nemám absolutně čas. Takové zprávy budou smazány. Přečtěte si prosím článek. Možná v něm najdete odpovědi na otázky, které vám nedovolily vyřešit váš úkol vlastními silami.
a x = b je nejjednodušší exponenciální rovnice. V něm A větší než nula a A nerovná se jeden.
Řešení exponenciálních rovnic
Z vlastností exponenciální funkce víme, že její rozsah hodnot je omezen na kladná reálná čísla. Pak je-li b = 0, rovnice nemá řešení. Stejná situace nastává v rovnici, kde b
Nyní předpokládejme, že b>0. Je-li v exponenciální funkci základ A je větší než jednota, pak se funkce bude zvyšovat v celém definičním oboru. Pokud v exponenciální funkci pro základ A je splněna následující podmínka 0
Na základě toho a použitím kořenové věty zjistíme, že rovnice a x = b má jeden jediný kořen, pro b>0 a kladné A nerovná se jedné. Chcete-li jej najít, musíte reprezentovat b ve tvaru b = a c. Zvažte následující příklad: vyřešte rovnici 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Představme si 25 jako 5 2, dostaneme: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 52. Nebo co je ekvivalentní: x 2 - 2 * x - 1 = 2. Výslednou kvadratickou rovnici řešíme některou ze známých metod. Dostaneme dva kořeny x = 3 a x = -1. Odpověď: 3;-1. Vyřešme rovnici 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Udělejme náhradu: t=2 x a dostaneme následující kvadratickou rovnici: t2 - 5*t + 4 = 0. Nyní řešíme rovnice 2 x = 1 a 2 x = 4. Odpověď: 0; 2. Řešení nejjednodušších exponenciálních nerovnic je také založeno na vlastnostech rostoucí a klesající funkce. Jestliže v exponenciální funkci je základ a větší než jedna, pak bude funkce rostoucí v celém definičním oboru. Pokud v exponenciální funkci pro základ A je splněna následující podmínka 0, pak bude tato funkce klesající na celé množině reálných čísel. Zvažte příklad: vyřešte nerovnost (0,5) (7 - 3*x)< 4. Všimněte si, že 4 = (0,5) 2 . Pak bude mít nerovnost tvar (0,5) (7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Dostaneme: 7 - 3*x>-2. Proto: x<3. Odpověď: x<3. Pokud by základna v nerovnosti byla větší než jedna, pak by při zbavování základny nebylo třeba měnit znaménko nerovnosti. Doplňkové materiály Učební pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 11. ročník Definice. Rovnice ve tvaru: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a>0$, $a≠1$ se nazývají exponenciální rovnice. Když si připomeneme věty, které jsme studovali v tématu "Exponenciální funkce", můžeme zavést novou větu: B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$. C) Původní rovnice je ekvivalentní rovnici: $x^2-6x=-3x+18$. Příklad. Příklad. Pojďme si připomenout, jak řešit exponenciální rovnice: Příklad. Teorém. Pokud $a>1$, pak exponenciální nerovnost $a^(f(x))>a^(g(x))$ je ekvivalentní nerovnosti $f(x)>g(x)$. Příklad. B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) V naší rovnici je základem, když je stupeň je menší než 1, pak Při nahrazení nerovnosti ekvivalentní je nutné změnit znaménko. C) Naše nerovnost je ekvivalentní nerovnosti:
Pak je zřejmé, že S bude řešením rovnice a x = a c .
Tuto rovnici řešíme některou ze známých metod. Dostaneme kořeny t1 = 1 t2 = 4Řešení exponenciálních nerovností
Lekce a prezentace na téma: "Exponenciální rovnice a exponenciální nerovnice"
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.
Interaktivní příručka pro třídy 9–11 "Trigonometrie"
Interaktivní příručka pro třídy 10–11 "Logaritmy"Definice exponenciálních rovnic
Chlapi, studovali jsme exponenciální funkce, učili se jejich vlastnosti a sestavovali grafy, analyzovali příklady rovnic, ve kterých byly exponenciální funkce nalezeny. Dnes budeme studovat exponenciální rovnice a nerovnice.
Teorém. Exponenciální rovnice $a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a>0$, $a≠1$ je ekvivalentní rovnici $f(x)=g(x) $.Příklady exponenciálních rovnic
Příklad.
Řešte rovnice:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Řešení.
a) Dobře víme, že $27=3^3$.
Přepišme naši rovnici: $3^(3x-3)=3^3$.
Pomocí výše uvedené věty zjistíme, že naše rovnice se redukuje na rovnici $3x-3=3$ a řešením této rovnice dostaneme $x=2$;
Odpověď: $x=2$.
Potom lze naši rovnici přepsat: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2 $ x + 0,2 = 0,2 $.
$x=0$.
Odpověď: $x=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ a $x_2=-3$.
Odpověď: $x_1=6$ a $x_2=-3$.
Řešte rovnici: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Řešení:
Proveďme postupně řadu akcí a přivedeme obě strany naší rovnice na stejné základy.
Proveďme několik operací na levé straně:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pojďme na pravou stranu:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 $*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Původní rovnice je ekvivalentní rovnici:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odpověď: $x=0$.
Vyřešte rovnici: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Řešení:
Přepišme naši rovnici: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Udělejme změnu proměnných, nechť $a=3^x$.
V nových proměnných bude mít rovnice tvar: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ a $a_2=3$.
Proveďme opačnou změnu proměnných: $3^x=-12$ a $3^x=3$.
V minulé lekci jsme se naučili, že exponenciální výrazy mohou nabývat pouze kladných hodnot, zapamatujte si graf. To znamená, že první rovnice nemá řešení, druhá rovnice má jedno řešení: $x=1$.
Odpověď: $x=1$.
1. Grafická metoda. Znázorňujeme obě strany rovnice ve formě funkcí a sestavujeme jejich grafy, najdeme průsečíky grafů. (Tuto metodu jsme použili v minulé lekci).
2. Princip rovnosti ukazatelů. Princip je založen na tom, že dva výrazy se stejnými základy jsou si rovny právě tehdy, když jsou stupně (exponenty) těchto základů stejné. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Variabilní způsob výměny. Tato metoda by měla být použita, pokud rovnice při nahrazení proměnných zjednodušuje svůj tvar a je mnohem snazší řešit.
Vyřešte soustavu rovnic: $\začátek (případy) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (cases)$.
Řešení.
Uvažujme obě rovnice systému samostatně:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Zvažte druhou rovnici:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12 $.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Použijme metodu změny proměnných, nechť $y=2^(x+y)$.
Potom bude mít rovnice tvar:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ a $y_2=-3$.
Přejdeme k počátečním proměnným, z první rovnice dostaneme $x+y=2$. Druhá rovnice nemá řešení. Potom je naše počáteční soustava rovnic ekvivalentní soustavě: $\begin (případy) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (cases)$.
Odečtením druhého od první rovnice dostaneme: $\begin (případy) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (cases)$.
$\begin (případy) y=-1, \\ x=3. \end (cases)$.
Odpověď: $(3;-1)$.Exponenciální nerovnosti
Přejděme k nerovnostem. Při řešení nerovností je třeba dbát na základ stupně. Existují dva možné scénáře vývoje událostí při řešení nerovností.
Pokud $ 0 a^(g(x))$ je ekvivalentní nerovnosti $f(x)
Řešit nerovnosti:
a) $3^(2x+3)>81 $.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Řešení.
a) $3^(2x+3)>81 $.
$3^(2x+3)>3^4 $.
Naše nerovnost je ekvivalentní nerovnosti:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$ x > 0,5 $.
$2x-4>2$.
$ x > 3 $.
$x^2+6x≥4x+15 $.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Použijme metodu intervalového řešení:
Odpověď: $(-∞;-5]U)