Pokud je ve výrazu \(\sqrt(x-2)\) hodnota proměnné \(0\), je porušeno pravidlo: radikální výraz nesmí být negativní. To znamená, že zde \(x\) nemůže být \(0\), stejně jako \(1, -3, -52,7\) atd. To znamená, že x musí být větší nebo rovno 2 a ODZ bude: \(x\geq2\);
Ale ve výrazu \(4x+1\) můžeme místo X dosadit libovolné číslo a žádná pravidla nebudou porušena. Proto je zde rozsah přijatelných hodnot celá číselná osa. V takových případech se DZ nezaznamenává, protože neobsahuje užitečné informace.
Najdete zde všechna pravidla, která je třeba dodržovat.
ODZ v rovnicích
Při rozhodování je důležité pamatovat na rozsah přijatelných hodnot, protože Tam jen hledáme hodnoty proměnných a můžeme náhodně najít ty, které porušují pravidla matematiky.
Abychom pochopili důležitost ODZ, srovnejme dvě řešení rovnice: s ODZ a bez ODZ.
Příklad:
Vyřešte rovnici
Řešení
:
Bez ODZ: | S ODZ: | |
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | |
ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
\(x^2-x=12\) | \(x^2-x=12\) | |
\(x^2-x-12=0\) | \(x^2-x-12=0\) | |
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | |
\(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2·1)\) \(=4\) | |
\(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - nesplňuje podmínky pro ODZ | |
Odpovědět : \(4; -3\) | Odpovědět : \(4\) |
Vidíte ten rozdíl? V prvním řešení jsme měli v odpovědi nesprávné, navíc! proč špatně? Zkusme to dosadit do původní rovnice.
\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)
Vidíte, získali jsme nevyčíslitelné, nic neříkající výrazy jak nalevo, tak napravo (přece nemůžete dělit nulou). A skutečnost, že jsou stejné, už nehraje roli, protože tyto hodnoty neexistují. „\(-3\)“ je tedy nevhodný, cizí kořen a rozsah přijatelných hodnot nás chrání před tak závažnými chybami.
Proto dostanete D za první řešení a A za druhé. A nejsou to žádné nudné žvásty učitele, protože nezohlednění OZ není maličkost, ale zcela konkrétní chyba, stejně jako ztracené znamení nebo použití špatného vzorce. Koneckonců, konečná odpověď je špatná!
Nalezení rozsahu přijatelných hodnot často vede k nutnosti řešit rovnice, takže to musíte umět dobře.
Příklad : Najděte doménu výrazu \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)
Řešení : Ve výrazu jsou dva kořeny, z nichž jeden je ve jmenovateli. Kdo si nepamatuje omezení uložená v tomto případě, je... Kdo si pamatuje, zapíše, že výraz pod prvním kořenem je větší nebo roven nule a pod druhým kořenem je větší než nula. Chápete, proč jsou omezení taková, jaká jsou?
Odpovědět : \((-2;2,5]\)48. Typy algebraických výrazů.
Z čísel a proměnných, pomocí znaků sčítání, odčítání, násobení, dělení, zvyšování na racionální mocninu a vyjímání odmocnin a pomocí závorek se skládají algebraické výrazy.
Příklady algebraických výrazů:
Pokud algebraický výraz neobsahuje dělení na proměnné a extrakci odmocnin z proměnných (zejména umocňování zlomkovým exponentem), pak se nazývá celé číslo. Z výše napsaných výrazů 1, 2 a 6 jsou celá čísla.
Pokud je algebraický výraz složen z čísel a proměnných pomocí operací sčítání, odčítání, násobení, umocňování s přirozeným exponentem a dělení a dělení na výrazy s proměnnými, pak se nazývá zlomkový. Takže z výše napsaných výrazů 3 a 4 jsou zlomky.
Celočíselné a zlomkové výrazy se nazývají racionální výrazy. Takže z výše napsaných racionálních výrazů jsou výrazy 1, 2, 3, 4 a 6.
Jestliže algebraický výraz zahrnuje odmocnění proměnných (nebo zvýšení proměnných na zlomkovou mocninu), pak se takový algebraický výraz nazývá iracionální. Z výše napsaných jsou tedy výrazy 5 a 7 iracionální.
Algebraické výrazy tedy mohou být racionální a iracionální. Racionální výrazy se zase dělí na celá čísla a zlomky.
49. Platné hodnoty proměnných. Definiční obor algebraického výrazu.
Hodnoty proměnných, pro které má algebraický výraz smysl, se nazývají přípustné hodnoty proměnných. Množina všech přípustných hodnot proměnných se nazývá doména definice algebraického výrazu.
Celý výraz má smysl pro jakékoli hodnoty proměnných v něm obsažených. Takže pro jakékoli hodnoty proměnných mají smysl celé výrazy 1, 2, 6 z odstavce 48.
Zlomkové výrazy nedávají smysl pro ty hodnoty proměnných, které dělají jmenovatele nulu. Zlomkový výraz 3 z odstavce 48 tedy dává smysl pro všechna o, kromě , a zlomkový výraz 4 má smysl pro všechna a, b, c, kromě hodnot a
Iracionální výraz nedává smysl pro ty hodnoty proměnných, na které se mění záporné číslo výraz obsažený pod znakem odmocniny sudé moci nebo pod znakem povýšení na zlomkovou mocninu. Tak, iracionální výraz 5 má smysl pouze pro ta a, b, pro která a a iracionální výraz 7 má smysl pouze pro a (viz odstavec 48).
Pokud v algebraickém výrazu mají proměnné přijatelné hodnoty, pak dostaneme číselný výraz; jeho hodnota se nazývá hodnota algebraického výrazu pro vybrané hodnoty proměnných.
Příklad. Najděte hodnotu výrazu kdy
Řešení. My máme
50. Pojem identické transformace výrazu. Identita.
Uvažujme dva výrazy When we have . Čísla 0 a 3 se nazývají jejich příslušné hodnoty. výrazy pro Najdeme odpovídající hodnoty stejných výrazů pro
Odpovídající hodnoty dvou výrazů se mohou navzájem rovnat (například v uvažovaném příkladu je rovnost pravdivá) nebo se mohou od sebe lišit (například v uvažovaném příkladu).
Při řešení různých problémů musíme velmi často provádět identické transformace výrazů. Ale stává se, že nějaká transformace je v některých případech přijatelná, v jiných ne. Významnou pomoc z hlediska sledování přípustnosti probíhajících transformací poskytuje ODZ. Podívejme se na to podrobněji.
Podstata přístupu je následující: ODZ proměnných pro původní výraz je porovnána s ODZ proměnných pro výraz získaný jako výsledek identických transformací a na základě výsledků porovnání jsou vyvozeny příslušné závěry.
Obecně platí, že transformace identity mohou
- neovlivňují DL;
- vést k rozšíření DLZ;
- vést ke zúžení ODZ.
Ukažme si každý případ na příkladu.
Uvažujme výraz x 2 +x+3·x, ODZ proměnné x pro tento výraz je množina R. Nyní udělejme s tímto výrazem následující identickou transformaci - uvádíme podobné členy, ve výsledku bude mít tvar x 2 +4·x. Je zřejmé, že proměnná x tohoto výrazu je také množina R. Provedená transformace tedy nezměnila DZ.
Pokračujme. Vezměme si výraz x+3/x−3/x. V tomto případě je ODZ určena podmínkou x≠0, která odpovídá množině (−∞, 0)∪(0, +∞) . I tento výraz obsahuje podobné členy, po jejichž zmenšení dojdeme k výrazu x, pro který je ODZ R. Co vidíme: v důsledku transformace došlo k rozšíření ODZ (k ODZ proměnné x bylo u původního výrazu přidáno číslo nula).
Zbývá zvážit příklad zúžení rozsahu přijatelných hodnot po transformacích. Vezměme si výraz . ODZ proměnné x je určena nerovností (x−1)·(x−3)≥0, pro její řešení je vhodné např. ve výsledku máme (−∞, 1]∪∪; upraveno od S. A. Teljakovského - 17- ed.: Vzdělávání, 2008. - 240 s.: ill.
Platné hodnoty proměnných,
zahrnuté ve zlomkovém výrazu
cíle: rozvíjet schopnost najít přijatelné hodnoty proměnných zahrnutých ve zlomkových výrazech.
Během vyučování
I. Organizační moment.
II. Ústní práce.
– Dosaďte nějaké číslo místo * a pojmenujte výsledný zlomek:
A); b) ; V); G);
d) ; e) ; a) ; h).
III. Vysvětlení nového materiálu.
Vysvětlení nového materiálu probíhá ve třech fázích:
1. Aktualizace znalostí studentů.
2. Úvaha o otázce, zda má racionální zlomek vždy smysl.
3. Odvození pravidla pro nalezení přijatelných hodnot proměnných zahrnutých v racionálním zlomku.
Při aktualizaci znalostí mohou být studenti požádáni o následující:
otázky:
– Jaký zlomek se nazývá racionální?
– Je každý zlomek zlomkový výraz?
– Jak najít hodnotu racionálního zlomku pro dané hodnoty proměnných v něm obsažených?
Chcete-li objasnit otázku přijatelných hodnot proměnných zahrnutých v racionálním zlomku, můžete požádat studenty, aby dokončili úkol.
Zadání: Najděte hodnotu zlomku pro zadané hodnoty proměnné:
Na X = 4; 0; 1.
Splněním tohoto úkolu studenti pochopí, že kdy X= 1 nelze najít hodnotu zlomku. To jim umožňuje učinit následující závěr: nelze dosadit čísla do racionálního zlomku, který má ve jmenovateli nulu (tento závěr musí formulovat a nahlas vyslovit studenti sami).
Poté učitel informuje studenty, že všechny hodnoty proměnných, pro které má racionální výraz smysl, se nazývají platné hodnoty proměnných.
1) Pokud je výraz celé číslo, budou platné všechny hodnoty proměnných v něm obsažených.
2) Chcete-li najít přijatelné hodnoty proměnných zlomkového výrazu, musíte zkontrolovat, při jakých hodnotách jde jmenovatel na nulu. Nalezená čísla nebudou platnými hodnotami.
IV. Formování dovedností a schopností.
1. № 10, № 11.
Odpověď na otázku o přijatelných hodnotách proměnných obsažených ve zlomkovém výrazu může znít jinak. Například, když uvažujeme racionální zlomek, můžeme říci, že všechna čísla kromě X= 4, nebo že přípustné hodnoty proměnné nezahrnují číslo 4, tzn X ≠ 4.
Obě formulace jsou správné; hlavní věcí je zajistit správný formát.
VZOR FORMULÁŘE:
4X (X + 1) = 0
Odpovědět: X≠ 0 a X≠ 1 (nebo všechna čísla kromě 0 a –1).
3. č. 14 (a, c), č. 15.
Při plnění těchto úkolů by studenti měli věnovat pozornost potřebě zohlednit přípustné hodnoty proměnných.
G)
Odpovědět: X = 0.
Sledujte zdůvodnění všech úvah.
Ve třídě s vysoká úroveň přípravu lze dodatečně provést č. 18 a č. 20.
Řešení
Ze všech zlomků se stejným kladným čitatelem je větší ten s nejmenším jmenovatelem. To znamená, že je třeba zjistit, v jaké hodnotě A výraz A 2 + 5 přijímá nejmenší hodnotu.
Od výrazu A 2 nemůže být pro žádnou hodnotu záporná A, pak výraz A 2 + 5 bude mít nejmenší hodnotu, když A = 0.
Odpovědět: A = 0.
Při podobné argumentaci zjistíme, že je nutné najít hodnotu A, pro který výraz ( A– 3) 2 + 1 má nejmenší hodnotu.
Odpovědět: A = 3.
Řešení
.
Chcete-li odpovědět na otázku, musíte nejprve transformovat výraz ve jmenovateli zlomku.
Zlomek nabude největší hodnoty, pokud výraz (2 X +
+ na) 2 + 9 má nejmenší hodnotu. Od (2 X + na) 2 nemůže nabývat záporných hodnot, pak nejmenší hodnota výrazu (2 X + na) 2 + 9 se rovná 9.
Pak je hodnota původního zlomku = 2.
V. Shrnutí lekce.
Často kladené otázky:
– Jaké hodnoty se nazývají přijatelné hodnoty proměnných obsažených ve výrazu?
– Jaké jsou platné hodnoty pro proměnné celého výrazu?
– Jak najít platné hodnoty pro proměnné ve zlomkovém výrazu?
– Existují racionální zlomky, pro které platí všechny proměnné? Uveďte příklady takových zlomků.
Domácí práce: č. 12, č. 14 (b, d), č. 212.