Triangle, carré, hexagone – ces chiffres sont connus de presque tout le monde. Mais tout le monde ne sait pas ce qu’est un polygone régulier. Mais ce sont tous pareils. Un polygone régulier est un polygone qui a des angles et des côtés égaux. Il existe de nombreux chiffres de ce type, mais ils ont tous les mêmes propriétés et les mêmes formules s'appliquent à eux.
Propriétés des polygones réguliers
Tout polygone régulier, qu'il s'agisse d'un carré ou d'un octogone, peut s'inscrire dans un cercle. Cette propriété de base est souvent utilisée lors de la construction d’une figure. De plus, un cercle peut s'inscrire dans un polygone. Dans ce cas, le nombre de points de contact sera égal au nombre de ses côtés. Il est important qu'un cercle inscrit dans un polygone régulier ait un centre commun avec lui. Ces figures géométriques sont soumises aux mêmes théorèmes. Tout côté d'un n-gone régulier est lié au rayon du cercle R qui l'entoure. Par conséquent, il peut être calculé à l'aide de la formule suivante : a = 2R ∙ sin180°. Grâce à vous, vous pouvez trouver non seulement les côtés, mais aussi le périmètre du polygone.
Comment trouver le nombre de côtés d'un polygone régulier
Chacun est constitué d'un certain nombre de segments égaux les uns aux autres, qui, une fois connectés, forment une ligne fermée. Dans ce cas, tous les angles de la figure résultante ont la même valeur. Les polygones sont divisés en simples et complexes. Le premier groupe comprend un triangle et un carré. Les polygones complexes ont plus de côtés. Ceux-ci incluent également des figures en forme d'étoile. Pour les polygones réguliers complexes, les côtés se trouvent en les inscrivant dans un cercle. Donnons-en la preuve. Dessinez un polygone régulier avec un nombre arbitraire de côtés n. Tracez un cercle autour. Définissez le rayon R. Imaginez maintenant que l'on vous donne du n-gon. Si les points de ses angles se trouvent sur le cercle et sont égaux les uns aux autres, alors les côtés peuvent être trouvés à l'aide de la formule : a = 2R ∙ sinα : 2.
Trouver le nombre de côtés d'un triangle régulier inscrit
Un triangle équilatéral est un polygone régulier. Les mêmes formules s'y appliquent qu'à un carré et à un n-gon. Un triangle sera considéré comme régulier si ses côtés sont de même longueur. Dans ce cas, les angles sont de 60⁰. Construisons un triangle avec une longueur de côté donnée a. Connaissant sa médiane et sa hauteur, vous pourrez connaître la valeur de ses côtés. Pour ce faire, nous utiliserons la méthode de recherche par la formule a = x : cosα, où x est la médiane ou la hauteur. Puisque tous les côtés du triangle sont égaux, nous obtenons a = b = c. Alors l’énoncé suivant sera vrai : a = b = c = x : cosα. De même, vous pouvez trouver la valeur des côtés dans un triangle isocèle, mais x sera la hauteur donnée. Dans ce cas, il doit être projeté strictement sur la base de la figure. Ainsi, connaissant la hauteur x, on trouve le côté a du triangle isocèle en utilisant la formule a = b = x : cosα. Après avoir trouvé la valeur de a, vous pouvez calculer la longueur de la base c. Appliquons le théorème de Pythagore. On cherchera la valeur de la moitié de la base c : 2=√(x : cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Alors c = 2xtanα. De cette manière simple, vous pouvez trouver le nombre de côtés de n’importe quel polygone inscrit.
Calculer les côtés d'un carré inscrit dans un cercle
Comme tout autre polygone régulier inscrit, un carré a des côtés et des angles égaux. Les mêmes formules s'y appliquent qu'à un triangle. Vous pouvez calculer les côtés d'un carré en utilisant la valeur diagonale. Considérons cette méthode plus en détail. On sait qu’une diagonale divise un angle en deux. Initialement, sa valeur était de 90 degrés. Ainsi, après division, deux sont formés. Leurs angles à la base seront égaux à 45 degrés. En conséquence, chaque côté du carré sera égal, c'est-à-dire : a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2 : 2, où e est la diagonale du carré, ou la base du triangle rectangle formé après division. Ce n’est pas la seule façon de trouver les côtés d’un carré. Inscrivons ce chiffre dans un cercle. Connaissant le rayon de ce cercle R, on trouve le côté du carré. Nous le calculerons comme suit : a4 = R√2. Les rayons des polygones réguliers sont calculés à l'aide de la formule R = a : 2tg (360 o : 2n), où a est la longueur du côté.
Comment calculer le périmètre d'un n-gon
Le périmètre d’un n-gone est la somme de tous ses côtés. C'est facile à calculer. Pour ce faire, vous devez connaître la signification de tous les côtés. Pour certains types de polygones, il existe formules spéciales. Ils permettent de trouver le périmètre beaucoup plus rapidement. On sait que tout polygone régulier a des côtés égaux. Ainsi, pour calculer son périmètre, il suffit d’en connaître au moins un. La formule dépendra du nombre de côtés de la figure. En général, cela ressemble à ceci : P = an, où a est la valeur du côté et n est le nombre d'angles. Par exemple, pour trouver le périmètre d'un octogone régulier de 3 cm de côté, il faut le multiplier par 8, soit P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pour un hexagone de 5 cm de côté, on calcule. comme suit : P = 5 ∙ 6 = 30 cm Et ainsi pour chaque polygone.
Trouver le périmètre d'un parallélogramme, d'un carré et d'un losange
En fonction du nombre de côtés d'un polygone régulier, son périmètre est calculé. Cela rend la tâche beaucoup plus facile. En effet, contrairement à d’autres figures, dans ce cas vous n’avez pas besoin de chercher toutes ses faces, une seule suffit. En utilisant le même principe, on trouve le périmètre des quadrilatères, c'est-à-dire un carré et un losange. Bien qu'il s'agisse de chiffres différents, leur formule est la même : P = 4a, où a est le côté. Donnons un exemple. Si le côté d'un losange ou d'un carré mesure 6 cm, alors on trouve le périmètre comme suit : P = 4 ∙ 6 = 24 cm Pour un parallélogramme, seuls les côtés opposés sont égaux. Son périmètre est donc déterminé à l’aide d’une méthode différente. Nous devons donc connaître la longueur a et la largeur b de la figure. Ensuite, nous appliquons la formule P = (a + b) ∙ 2. Un parallélogramme dans lequel tous les côtés et angles entre eux sont égaux est appelé un losange.
Trouver le périmètre d'un triangle équilatéral et rectangle
Le périmètre du bon peut être trouvé à l'aide de la formule P = 3a, où a est la longueur du côté. S'il est inconnu, il peut être trouvé par le terre-plein central. DANS triangle rectangle seuls deux côtés sont d’égale importance. La base peut être trouvée grâce au théorème de Pythagore. Une fois les valeurs des trois côtés connues, nous calculons le périmètre. Il peut être trouvé en utilisant la formule P = a + b + c, où a et b sont des côtés égaux et c est la base. Rappelons que dans un triangle isocèle a = b = a, ce qui signifie a + b = 2a, alors P = 2a + c. Par exemple, le côté d'un triangle isocèle mesure 4 cm, trouvons sa base et son périmètre. On calcule la valeur de l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore avec = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Calculons maintenant le périmètre P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Comment trouver les angles d'un polygone régulier
Un polygone régulier apparaît quotidiennement dans nos vies, par exemple un carré régulier, un triangle, un octogone. Il semblerait qu'il n'y ait rien de plus simple que de construire cette figurine soi-même. Mais ce n'est simple qu'à première vue. Afin de construire un n-gone, vous devez connaître la valeur de ses angles. Mais comment les trouver ? Même les anciens scientifiques ont essayé de construire des polygones réguliers. Ils ont compris comment les placer en cercles. Et puis les points nécessaires y étaient marqués et reliés par des lignes droites. Pour chiffres simples le problème de la construction a été résolu. Des formules et des théorèmes ont été obtenus. Par exemple, Euclide, dans son célèbre ouvrage « Inception », traitait de la résolution de problèmes pour 3, 4, 5, 6 et 15 gons. Il a trouvé des moyens de les construire et de trouver des angles. Voyons comment procéder pour un 15-gon. Vous devez d’abord calculer la somme de ses angles intérieurs. Il faut utiliser la formule S = 180⁰(n-2). Ainsi, on nous donne un 15-gon, ce qui signifie que le nombre n est 15. Nous substituons les données que nous connaissons dans la formule et obtenons S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Nous avons trouvé la somme de tous les angles intérieurs d'un 15-gon. Vous devez maintenant obtenir la valeur de chacun d’eux. Il y a 15 angles au total. On fait le calcul 2340⁰ : 15 = 156⁰. Cela signifie que chaque angle interne est égal à 156⁰, maintenant en utilisant une règle et un compas, vous pouvez construire un 15-gon régulier. Mais qu’en est-il des n-gons plus complexes ? Pendant de nombreux siècles, les scientifiques ont lutté pour résoudre ce problème. Il n'a été découvert qu'au XVIIIe siècle par Carl Friedrich Gauss. Il a pu construire un 65537-gon. Depuis, le problème est officiellement considéré comme complètement résolu.
Calcul des angles des n-gones en radians
Bien entendu, il existe plusieurs façons de trouver les angles des polygones. Le plus souvent, ils sont calculés en degrés. Mais ils peuvent aussi être exprimés en radians. Comment faire cela ? Vous devez procéder comme suit. Tout d'abord, nous trouvons le nombre de côtés d'un polygone régulier, puis en soustrayons 2. Cela signifie que nous obtenons la valeur : n - 2. Multipliez la différence trouvée par le nombre n (« pi » = 3,14). Il ne reste plus qu'à diviser le produit obtenu par le nombre d'angles du n-gone. Considérons ces calculs en utilisant le même décagone comme exemple. Ainsi, le nombre n est 15. Appliquons la formule S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13 : 15 = 2,72. Bien entendu, ce n’est pas la seule façon de calculer un angle en radians. Vous pouvez simplement diviser l'angle en degrés par 57,3. Après tout, c’est le nombre de degrés équivalents à un radian.
Calcul des angles en degrés
En plus des degrés et des radians, vous pouvez essayer de trouver les angles d'un polygone régulier en degrés. Cela se fait comme suit. Depuis nombre total angles, soustrayez 2, divisez la différence résultante par le nombre de côtés d'un polygone régulier. Nous multiplions le résultat trouvé par 200. À propos, une unité de mesure d'angles telle que les degrés n'est pratiquement pas utilisée.
Calcul des angles externes des n-gones
Pour tout polygone régulier, en plus du polygone interne, vous pouvez également calculer l'angle externe. Sa valeur se trouve de la même manière que pour les autres chiffres. Ainsi, pour trouver l’angle externe d’un polygone régulier, vous devez connaître la valeur de l’angle interne. De plus, on sait que la somme de ces deux angles est toujours égale à 180 degrés. Par conséquent, nous effectuons les calculs comme suit : 180⁰ moins la valeur de l'angle interne. Nous trouvons la différence. Il sera égal à la valeur de l'angle qui lui est adjacent. Par exemple, l'angle interne d'un carré est de 90 degrés, ce qui signifie que l'angle externe sera de 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Comme nous pouvons le constater, ce n’est pas difficile à trouver. L'angle externe peut prendre respectivement une valeur de +180⁰ à -180⁰.
Comment s’appelle un polygone ? Types de polygones. POLYGONE, plat figure géométrique avec trois côtés ou plus se coupant en trois points ou plus (sommets). Définition. Un polygone est une figure géométrique délimitée de tous côtés par une ligne brisée fermée, composée de trois segments ou plus (liens). Un triangle est définitivement un polygone. Un polygone est une figure qui a cinq angles ou plus.
Définition. Un quadrilatère est une figure géométrique plate constituée de quatre points (les sommets du quadrilatère) et de quatre segments consécutifs les reliant (les côtés du quadrilatère).
Un rectangle est un quadrilatère ayant tous des angles droits. Ils sont nommés selon le nombre de côtés ou de sommets : TRIANGLE (à trois côtés) ; QUADAGON (à quatre côtés); PENTAGONE (à cinq côtés), etc. En géométrie élémentaire, une figure est appelée figure délimitée par des lignes droites appelées côtés. Les points d'intersection des côtés sont appelés sommets. Un polygone a plus de trois angles. Ceci est accepté ou convenu.
Un triangle est un triangle. Et un quadrilatère n'est pas non plus un polygone, et n'est pas appelé un quadrilatère - c'est soit un carré, soit un losange, soit un trapèze. Le fait qu'un polygone à trois côtés et trois angles porte son propre nom « triangle » ne le prive pas de son statut de polygone.
Voyez ce qu'est « POLYGONE » dans d'autres dictionnaires :
On apprend que ce chiffre est limité par une ligne brisée fermée, qui à son tour peut être simple, fermée. Parlons du fait que les polygones peuvent être plats, réguliers ou convexes. Qui n'a pas entendu parler du mystérieux Triangle des Bermudes, dans quels navires et avions disparaissent sans laisser de trace ? Mais le triangle, qui nous est familier depuis l'enfance, regorge de choses intéressantes et mystérieuses.
Bien entendu, une figure composée de trois angles peut également être considérée comme un polygone.
Mais cela ne suffit pas à caractériser le chiffre. Une ligne brisée A1A2...An est une figure composée des points A1,A2,...An et des segments A1A2, A2A3,... qui les relient. Une simple ligne brisée fermée est appelée polygone si ses liens voisins ne se trouvent pas sur la même ligne droite (Fig. 5). Remplacez la partie « plusieurs » par un nombre spécifique, par exemple 3, dans le mot « polygone ». Vous obtiendrez un triangle. Notez que, autant qu’il y a d’angles, il y a autant de côtés, donc ces figures pourraient bien être appelées polylatérales.
Soit A1A2...A n un polygone convexe donné et n>3. Dessinons-y des diagonales (à partir d'un sommet)
La somme des angles de chaque triangle est 1800, et le nombre de ces triangles n est 2. Par conséquent, la somme des angles du triangle convexe n A1A2...A n est 1800* (n - 2). Le théorème a été prouvé. L'angle extérieur d'un polygone convexe en un sommet donné est l'angle adjacent à l'angle intérieur du polygone en ce sommet.
Dans un quadrilatère, tracez une ligne droite pour qu'elle le divise en trois triangles
Un quadrilatère n’a jamais trois sommets sur une même ligne. Le mot « polygone » indique que toutes les figures de cette famille ont « de nombreux angles ». Une ligne brisée est dite simple si elle n'a pas d'auto-intersections (Fig. 2, 3).
La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses maillons (Fig. 4). Dans le cas n=3 le théorème est valable. Le carré peut donc être appelé différemment : un quadrilatère régulier. De telles figures intéressent depuis longtemps les artisans qui décoraient les bâtiments.
Le nombre de sommets est égal au nombre de côtés. Une polyligne est dite fermée si ses extrémités coïncident. Ils ont fait beaux motifs, par exemple sur du parquet. Notre étoile à cinq branches- étoile pentagonale régulière.
Mais tous les polygones réguliers ne peuvent pas être utilisés pour fabriquer du parquet. Examinons de plus près deux types de polygones : le triangle et le quadrilatère. Un polygone dans lequel tous les angles intérieurs sont égaux est appelé régulier. Les polygones sont nommés en fonction du nombre de côtés ou de sommets.
Types de polygones :
Quadrilatères
Quadrilatères, respectivement, se composent de 4 côtés et angles.
Les côtés et les angles opposés sont appelés opposé.
Les diagonales divisent les quadrilatères convexes en triangles (voir photo).
La somme des angles d'un quadrilatère convexe est de 360° (en utilisant la formule : (4-2)*180°).
Parallélogrammes
Parallélogramme est un quadrilatère convexe avec des côtés parallèles opposés (numéro 1 sur la figure).
Les côtés et angles opposés dans un parallélogramme sont toujours égaux.
Et les diagonales au point d'intersection sont divisées en deux.
Trapèze
Trapèze- c'est aussi un quadrilatère, et en trapèzes Seuls deux côtés sont parallèles, appelés raisons. Les autres côtés sont côtés .
Le trapèze de la figure est numéroté 2 et 7.
Comme dans un triangle :
Si les côtés sont égaux, alors le trapèze est isocèle;
Si l’un des angles est droit, alors le trapèze est rectangulaire.
La ligne médiane du trapèze est égale à la moitié de la somme des bases et leur est parallèle.
Rhombe
Rhombe est un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux.
En plus des propriétés d'un parallélogramme, les losanges ont leur propre propriété particulière - Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires les uns les autres et couper les coins d'un losange en deux.
Sur la photo, il y a un losange numéro 5.
Rectangulaires
Rectangle est un parallélogramme dans lequel chaque angle est droit (voir figure numéro 8).
En plus des propriétés d'un parallélogramme, les rectangles ont leur propre propriété spéciale : les diagonales du rectangle sont égales.
Carrés
Carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux (n° 4).
Il a les propriétés d’un rectangle et d’un losange (puisque tous les côtés sont égaux).
La partie du plan délimitée par une ligne brisée fermée est appelée un polygone.
Les segments de cette ligne brisée sont appelés fêtes polygone. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) sont les côtés du polygone ABCDE. La somme de tous les côtés d’un polygone s’appelle son périmètre.
Le polygone s'appelle convexe, s'il est situé d'un côté de l'un de ses côtés, s'étendant indéfiniment au-delà des deux sommets.
Le polygone MNPKO (Fig. 1) ne sera pas convexe, puisqu'il est situé sur plus d'un côté de la droite KR.
Nous ne considérerons que les polygones convexes.
Les angles formés par deux côtés adjacents d'un polygone sont appelés ses interne coins, et leurs sommets sont sommets du polygone.
Un segment de droite reliant deux sommets non adjacents d’un polygone est appelé la diagonale du polygone.
AC, AD - diagonales du polygone (Fig. 2).
Les angles adjacents aux angles intérieurs d'un polygone sont appelés angles extérieurs du polygone (Fig. 3).
Selon le nombre d'angles (côtés), le polygone est appelé triangle, quadrilatère, pentagone, etc.
Deux polygones sont dits congruents s’ils peuvent être rapprochés par chevauchement.
Polygones inscrits et circonscrits
Si tous les sommets d'un polygone se trouvent sur un cercle, alors le polygone s'appelle inscrit en cercle, et le cercle - décrit près du polygone (fig).
Si tous les côtés d'un polygone sont tangents à un cercle, alors le polygone est appelé décrit autour d'un cercle, et le cercle s'appelle inscrit en un polygone (Fig.).
Similitude des polygones
Deux polygones du même nom sont dits similaires si les angles de l'un d'eux sont respectivement égaux aux angles de l'autre et que les côtés similaires des polygones sont proportionnels.
Les polygones du même nom sont ceux ayant même numéro côtés (coins).
Les côtés de polygones similaires reliant les sommets d'angles respectivement égaux sont appelés similaires (Fig).
Ainsi, par exemple, pour que le polygone ABCDE soit semblable au polygone A'B'C'D'E', il faut que : ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' et, en plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Rapport des périmètres de polygones similaires
Considérons d’abord la propriété d’une série de rapports égaux. Disons par exemple les rapports suivants : 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.
Trouvons la somme des termes précédents de ces relations, puis la somme de leurs termes suivants et trouvons le rapport des sommes résultantes, on obtient :
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
On obtient la même chose si l'on prend une série d'autres relations, par exemple : 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Trouvons la somme des termes précédents de ces relations et la somme des suivantes, puis trouver le rapport de ces sommes, on obtient :
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
Dans les deux cas, la somme des membres précédents d'une série de relations égales se rapporte à la somme des membres ultérieurs de la même série, tout comme le membre précédent de l'une de ces relations se rapporte au suivant.
Nous avons dérivé cette propriété en considérant un certain nombre d'exemples numériques. Il peut être dérivé de manière stricte et sous une forme générale.
Considérons maintenant le rapport des périmètres de polygones similaires.
Soit le polygone ABCDE semblable au polygone A’B’C’D’E’ (Fig).
De la similitude de ces polygones il résulte que
AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’
En nous basant sur la propriété que nous avons dérivée pour une série de rapports égaux, nous pouvons écrire :
La somme des termes précédents des relations que nous avons prises représente le périmètre du premier polygone (P), et la somme des termes suivants de ces relations représente le périmètre du deuxième polygone (P'), ce qui signifie P / P ' = AB / A'B'.
Ainsi, Les périmètres de polygones similaires sont liés à leurs côtés similaires.
Rapport des superficies de polygones similaires
Soient ABCDE et A’B’C’D’E’ des polygones similaires (Fig.).
On sait que ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' et ΔADE ~ ΔA'D'E'.
En plus,
;
Puisque les seconds rapports de ces proportions sont égaux, ce qui découle de la similitude des polygones, alors
En utilisant la propriété d'une série de rapports égaux, on obtient :
Ou
où S et S’ sont les aires de ces polygones similaires.
Ainsi, Les aires de polygones similaires sont liées comme les carrés de côtés similaires.
La formule résultante peut être convertie sous cette forme : S / S’ = (AB / A’B’) 2
Aire d'un polygone arbitraire
Supposons qu'il soit nécessaire de calculer l'aire d'un quadrilatère arbitraire ABC (Fig.).
Dessinons-y une diagonale, par exemple AD. On obtient deux triangles ABD et ACD dont on peut calculer les aires. On trouve ensuite la somme des aires de ces triangles. La somme résultante exprimera l'aire de ce quadrilatère.
Si vous devez calculer l'aire d'un pentagone, alors nous faisons la même chose : nous dessinons des diagonales à partir de l'un des sommets. Nous obtenons trois triangles dont nous pouvons calculer les aires. Cela signifie que nous pouvons trouver l’aire de ce pentagone. Nous faisons de même lors du calcul de l'aire de n'importe quel polygone.
Aire projetée d'un polygone
Rappelons que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre une droite donnée et sa projection sur le plan (Fig.).
Théorème. L'aire de la projection orthogonale d'un polygone sur un plan est égale à l'aire du polygone projeté multipliée par le cosinus de l'angle formé par le plan du polygone et le plan de projection.
Chaque polygone peut être divisé en triangles dont la somme des aires est égale à l'aire du polygone. Il suffit donc de prouver le théorème du triangle.
Soit ΔАВС projeté sur l'avion r. Considérons deux cas :
a) l'un des côtés ΔABC est parallèle au plan r;
b) aucun des côtés ΔABC n'est parallèle r.
Considérons premier cas: soit [AB] || r.
Traçons un plan passant par (AB) r 1 || r et projeter orthogonalement ΔАВС sur r 1 et plus r(riz.); nous obtenons ΔАВС 1 et ΔА'В'С'.
Par la propriété de projection on a ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', et donc
S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'
Dessinons ⊥ et le segment D 1 C 1 . Alors ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ est la valeur de l'angle entre le plan ΔABC et le plan r 1. C'est pourquoi
S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C1D1 | = 1 / 2 | AB | | CD1 | cos φ = S Δ ABC cos φ
et, par conséquent, S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Passons à l'examen deuxième cas. Dessinons un avion r 1 || r passant par ce sommet ΔАВС, la distance à partir de laquelle jusqu'au plan r le plus petit (que ce soit le sommet A).
Projetons ΔАВС dans l'avion r 1 et r(riz.); que ses projections soient respectivement ΔАВ 1 С 1 et ΔА'В'С'.
Soit (BC) ∩ p 1 = D. Alors
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
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