Понятие числовой функции. Способы задания функции. Свойства функций.
Числовая функция - функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество).
Три главных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
1. Аналитический.
Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим. Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.
2. Табличный способ задания функции.
Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.
3. Графический способ задания функции.
Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.
Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:
1)Область определения функции.
Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).
2) Промежутки возрастания и убывания функции.
Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).
Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Нули функции.
Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.
4)Чётность и нечётность функции.
Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения
у(-х) = у(х).
График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция называется нечётной , если для всех значений аргумента из области определения
у(-х) = -у(х).
График чётной функции симметричен относительно начала координат.
Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.
5)Периодичность функции.
Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения
у(х + Р) = у(х).
Линейная функция, её свойства и график.
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел.
k – угловой коэффициент (действительное число)
b – свободный член (действительное число)
x – независимая переменная.
· В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
· Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
o Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
o Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.
Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Замечание. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Функция у = ах 2 + bх + с, её свойства и график.
Функция у = ах 2 + bх + с (а, b, с - постоянные величины, а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае у = ах 2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции у = ах 2 , есть парабола. Каждая парабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы . |
![]() |
График можно строить по следующей схеме:
1) Находим координаты вершины параболы х 0 = -b/2a; у 0 = у(х 0).
2) Строим еще несколько точек, которые принадлежат параболе, при построении можно использовать симметрии параболы относительно прямой х = -b/2a.
3) Соединяем обозначены точки плавной линией.
Пример. Построить график функции в = х 2 + 2х - 3.
Решения. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ее ординаты y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4.
Итак, вершина параболы - точка (-1; -4). Составим таблицу значений для нескольких точек, которые размещены справа от оси симметрии параболы - прямой х = -1.
Свойства функции. |
Определение линейной функции
Введем определение линейной функции
Определение
Функция вида $y=kx+b$, где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.
График линейной функции -- прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.
При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.
Рассмотрим рисунок 1.
Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой
Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:
\ \
Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:
\[\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k\]
С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.
Таким образом, можно сделать следующий вывод:
Вывод
Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$.
Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график
Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.
- $f"\left(x\right)={\left(kx+b\right)}"=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
- График (рис. 2).
Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.
Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k
- Область определения -- все числа.
- Область значения -- все числа.
- $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
- При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.
Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$
- $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k
- $f^{""}\left(x\right)=k"=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
- График (рис. 3).
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.
Инструкция
Если графиком является прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью ОX угол α (угол наклона прямой к положительной полуоси ОХ). Функция, описывающая эту прямую, будет иметь вид y = kx. Коэффициент пропорциональности k равен tg α. Если прямая проходит через 2-ю и 4-ю координатные четверти, то k < 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k > 0 и функция возрастает.Пусть представляет собой прямую линию, располагающуюся различным образом относительно осей координат. Это линейная функция, и она имеет вид y = kx + b, где переменные x и y стоят в первой степени, а k и b могут принимать как положительные, так и отрицательные значения или равны нулю. Прямая параллельна прямой y = kx и отсекает на оси |b| единиц. Если прямая параллельна оси абсцисс, то k = 0, если оси ординат, то уравнение имеет вид x = const.
Кривая, состоящая из двух ветвей, располагающихся в разных четвертях и симметричных относительно начала координат, гиперболой. Этот график обратную зависимость переменной y от x и описывается уравнением y = k/x. Здесь k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. При этом если k > 0, функция убывает; если же k < 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Квадратичная функция имеет вид y = ax2 + bx + с, где a, b и c – величины постоянные и a 0. При выполнении условия b = с = 0, уравнение функции выглядит, как y = ax2 (простейший случай ), а ее график является параболой, проходящей через начало координат. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же форму, что и простейший случай функции, однако ее вершина (точка пересечения с осью OY) лежит не в начале координат.
Параболой является также график степенной функции, выраженной уравнением y = xⁿ, если n – любое четное число. Если n - любое нечетное число, график такой степенной функции будет иметь вид кубической параболы.
В случае, если n – любое , уравнение функции приобретает вид. Графиком функции при нечетном n будет гипербола, а при четном n их ветви будут симметричны относительно оси ОУ.
Еще в школьные годы подробно изучаются функции и строятся их графики. Но, к сожалению, читать график функции и находить ее тип по представленному чертежу практически не учат. В действительности это довольно просто, если помнить основные виды функций.
Инструкция
Если представленным графиком является , которая через начало координат и с осью ОX угол α (который является углом наклона прямой к положительной полуоси), то функция, описывающая такую прямую, будет представлена как y = kx. При этом коэффициент пропорциональности k равен тангенсу угла α.
Если заданная прямая проходит через вторую и четвертую координатные четверти, то k равен 0, и функция возрастает. Пусть представленный график является прямой линией, располагающейся любым образом относительно осей координат. Тогда функцией такого графика будет линейная, которая представлена видом y = kx + b, где переменные y и х стоят в первой , а b и k могут принимать как отрицательные, так и положительные значения или .
Если прямая параллельна прямой с графиком y = kx и отсекает на оси ординат b единиц, тогда уравнение имеет вид x = const, если график параллелен оси абсцисс, то k = 0.
Кривая линия, которая состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат и располагающихся в разных четвертях, гиперболой. Такой график показывает обратную зависимость переменной y от переменной x и описывается уравнением вида y = k/x, где k не должен быть равен нулю, так как является коэффициентом обратной пропорциональности. При этом, если значение k больше нуля, функция убывает; если же k меньше нуля – возрастает.
Если предложенным графиком является парабола, проходящая через начало координат, ее функция при выполнении условия, что b = с = 0, будет иметь вид y = ax2. Это самый простой случай квадратичной функции. График функции вида y = ax2 + bx + с будет иметь такой же вид, что и простейший случай, однако вершина (точка, где график пересекается с осью ординат) будет находиться не в начале координат. В квадратичной функции, представленной видом y = ax2 + bx + с, значения величин a, b и c – постоянные, при этом a не равно нулю.
Параболой также может являться график степенной функции, выраженной уравнением вида y = xⁿ, только если n является любым четным числом. Если же значение n - нечетное число, такой график степенной функции будет представлен кубической параболой. В случае, если переменная n является любым отрицательным числом, уравнение функции приобретает вид .
Видео по теме
Координата абсолютно любой точки на плоскости определяется двумя ее величинами: по оси абсцисс и оси ординат. Совокупность множества таких точек и представляет собой график функции. По нему вы видите, как меняется значение Y в зависимости от изменения значения Х. Также вы можете определить, на каком участке (промежутке) функция возрастает, а на каком убывает.
Инструкция
Что можно сказать о функции, если ее график представляет собой прямую линию? Посмотрите, проходит ли эта прямая через точку начала отсчета координат (то есть, ту, где величины Х и Y равны 0). Если проходит, то такая функция описывается уравнением y = kx. Легко понять, что чем больше будет значение k, тем ближе к оси ординат будет располагаться эта прямая. А сама ось Y фактически соответствует бесконечно большому значению k.