Процесс устного счёта
Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.
Имеются три вида технологии устного счёта , которые используют различные физические возможности человека:
- аудиомоторная технология счёта;
- визуальная технология счёта.
Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два - четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:
- отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами,
- невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и единицы произведения без повторения всей фразы;
- невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для выполнения деления с остатком;
- медленная скорость воспроизведения словесной фразы.
Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта , лишённой главного недостатка - замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.
Устный счёт в начальной школе
Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе . Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции .
Тренажёры для устного счёта
В этом разделе не хватает информации.
Конструкция цифровой вертушки . Неподвижная основа вертушки представляет собой плоскость с рисунками цифр, расставленных в формате Т-матрицы из трех строк и трех столбцов. На основу накладывается поворачивающаяся плоскость (пропеллер) на которой нарисованы стрелочки, подсказывающие ответы. Ось вращения пропеллера совпадает с центром неподвижной Т-матрицы. Единственное доступное движение - это поворот пропеллера вокруг оси . Сложение . Принцип действия цифровой вертушки заключается в следующем. Запишем сумму однозначых чисел A+B= двумя цифрами десятков D и единиц Е. Все примеры с одинаковой величиной слагаемого +B назовём листом сложения . Цифру единиц E примера сложения показываем стрелочкой от A к E. Эта стрелочка называется указателем единиц суммы . Стрелочки на листе сложения образуют ломаные линии молний . Правило единиц . Сложение A+B выполняется путём перехода по стрелочке-указателю, изображённой на листе сложения (+B), от цифры A к цифре E единиц суммы. Пример 2+1 . Потребуется лист сложения (+1). Установим фишку-метку на цифру 2 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке молнии, выходящей из точки 2. Конец указателя показывает сумму 3. Пример 7+7 . Берём лист сложения (+7). Установим фишку-метку на цифру 7 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке «шаг вверх» на 7-й молнии, выходящей из точки A=7. Конец указателя показывает цифру единиц E=4. Применяем правило десятков . Если на указателе единиц суммы A->E есть инверсия, то есть, A>E, тогда цифра десятков суммы D=1 . Проведём следующий эксперимент с примерами умножения на 3 (третий лист умножения 3xB=). Представим, что мы находимся в центре большой телефонной Т-матрицы. Покажем левой рукой направление из центра нв множитель B. Отставим в сторону правую руку, составив с левой рукой прямой угол. Тогда правая рука покажет цифру единиц E примера умножения 3xB . Итак, правило единиц при умножении на 3 формулируется в два слова: «единицы справа» (от радиального луча множителя B). Правило поворота лучей (чисел) на Т-матрице можно рассматривать как мнемоническое правило , удобное для запоминания всех примеров 3-го листа умножения. Если учитель попросит подсчитать 3x7, ученик вспомнит картинку Т-матрицы с нужными лучами и прочитает по ней цифры ответа, называя числа словами . Однако при геометрических вычислениях в уме слова не нужны, так как слова появляются в сознании вычислителя после картинки, где уже указаны цифры ответа. Одновременно с картинкой, возникающей в памяти человека, число результата уже получено и осознано. Следует обратить внимание на то, что элементы изображения в наглядной арифметике стандартизованы, они могут рассматриваться как язык визуальных образов , последовательность которых (соответствующая алгоритму) эквивалентна проведению расчётов. Возникающие в памяти картинки могут быть динамическими , как в кино, или же статическими , если на одной геометрической схеме показаны и исходные данные, и числа результата. Одношаговые алгоритмы предпочтительнее многошаговых. Чтобы вспомнить нужную картинку для получения цифр ответа элементарного примера, требуется интервал времени 0,1-0,3 секунды. Заметим, что при решении элементарных примеров геометрическим способом нет никакого увеличения нагрузки на психику. По факту, геометрический счёт у тренированного вычислителя автоматически является скоростным счётом. Компьютер «на пальцах» . Указание радиальных лучей при умножении на 3 можно выполнить ладонью правой руки . Отставим в сторону большой палец правой руки, плотно сжав остальные пальцы. Положим правую ладонь на центр Т-матрицы, направив большой палец на множитель B. Тогда остальные пальцы правой руки покажут цифру единиц E произведения 3xB=). Итак, умножение на 3 реализуется на телефонной матрице правилом правой руки ". Например, 3x2=6 . Аналогично: правило единиц умножения на 7 - это правило левой руки . Правило единиц умножения на 9 - это шпагат из пальцев . Другие геометрические правила единиц умножения можно показать на схемах, на которых имеются радиальные лучи Т-матрицы . При этом умножение чётных чисел выполняется на чётном кресте цифр Т-матрицы . Удачным тренажёром являются механические учебные пособия - цифровые вертушки, использующие цифровую телефонную матрицу . Чтобы показать величину десятков произведения AxB, можно воспользоваться ступенчатыми моделями листов умножения, вид и особенности которых мы запоминаем так же, как рельеф местности. Высота руки над основанием (полом) показывает величину десятков. Если цифра D превосходит 5, то основание пола будет соответствовать D=5, а верхний уровень руки - 9 . Феноменальные счётчикиФеномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс . Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом. До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте . Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова . Среди известных российских «супер счётчиков»: Среди зарубежных: Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях , другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы . Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто, следуя Трофиму Лысенко, уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями, как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях - и к шизофрении). С другой стороны, и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области, как устный счёт, быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Соревнования по устному счётуНачиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме (англ. ) , на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом». Метод ТрахтенбергаСреди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга . История её создания необычна . В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь . Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил . Устный счёт в искусствеВ России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского », написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя » Барри Левинсона и в фильме «Пи » Даррена Аронофски . Некоторые приёмы устного счётаДля умножения числа на однозначный множитель (например, 34×9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30×9=270, 4×9=36, 270+36=306) . Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147×8=140×8+7×8= 1120 + 56= 1176 . Однако, не зная таблицу умножения до 19×9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147×8=(150−3)×8=150×8−3×8=1200−24=1176, причём 150×8=(150×2)×4=300×4=1200. Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225×6=225×2×3=450×3=1350 . Также, проще может оказаться 225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350. Несколько способов устного счета:
например, 43×11 = = = 473.
Доказательство (10N+5) × (10N+5) = (N×(N+1)) x 100 + 25. Например, 65² = 6×7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95² = 9025 (сотни 9×10 и приписать 25 справа). См. такжеНапишите отзыв о статье "Устный счёт"Примечания
Литература
Ссылки
Отрывок, характеризующий Устный счёт– Поезжайте в Италию, мой друг, там Вас будут ждать. Только будьте не долго! Я ведь тоже Вас буду ждать... – ласково улыбаясь, сказала королева.Аксель припал долгим поцелуем к её изящной руке, а когда поднял глаза, в них было столько любви и тревоги, что бедная королева, не выдержав, воскликнула: – О, не беспокойтесь, мой друг! Меня так хорошо здесь защищают, что если я даже захотела бы, ничего не могло бы со мной случиться! Езжайте с Богом и возвращайтесь скорей... Аксель долго не отрываясь смотрел на её прекрасное и такое дорогое ему лицо, как бы впитывая каждую чёрточку и стараясь сохранить это мгновение в своём сердце навсегда, а потом низко ей поклонился и быстро пошёл по тропинке к выходу, не оборачиваясь и не останавливаясь, как бы боясь, что если обернётся, ему уже попросту не хватит сил, чтобы уйти... А она провожала его вдруг повлажневшим взглядом своих огромных голубых глаз, в котором таилась глубочайшая печаль... Она была королевой и не имела права его любить. Но она ещё была и просто женщиной, сердце которой всецело принадлежало этому чистейшему, смелому человеку навсегда... не спрашивая ни у кого на это разрешения... – Ой, как это грустно, правда? – тихо прошептала Стелла. – Как мне хотелось бы им помочь!.. – А разве им нужна чья-то помощь? – удивилась я. Стелла только кивнула своей кудрявой головкой, не говоря ни слова, и опять стала показывать новый эпизод... Меня очень удивило её глубокое участие к этой очаровательной истории, которая пока что казалась мне просто очень милой историей чьей-то любви. Но так как я уже неплохо знала отзывчивость и доброту большого Стеллиного сердечка, то где-то в глубине души я почти что была уверенна, что всё будет наверняка не так-то просто, как это кажется вначале, и мне оставалось только ждать... Мы увидели тот же самый парк, но я ни малейшего представления не имела, сколько времени там прошло с тех пор, как мы видели их в прошлом «эпизоде». В этот вечер весь парк буквально сиял и переливался тысячами цветных огней, которые, сливаясь с мерцающим ночным небом, образовывали великолепный сплошной сверкающий фейерверк. По пышности подготовки наверняка это был какой-то грандиозный званый вечер, во время которого все гости, по причудливому желанию королевы, были одеты исключительно в белые одежды и, чем-то напоминая древних жрецов, «организованно» шли по дивно освещённому, сверкающему парку, направляясь к красивому каменному газебо, называемому всеми – Храмом Любви. Храм Любви, старинная гравюра И тут внезапно за тем же храмом, вспыхнул огонь... Слепящие искры взвились к самим вершинам деревьев, обагряя кровавым светом тёмные ночные облака. Восхищённые гости дружно ахнули, одобряя красоту происходящего... Но никто из них не знал, что, по замыслу королевы, этот бушующий огонь выражал всю силу её любви... И настоящее значение этого символа понимал только один человек, присутствующий в тот вечер на празднике... Погром в Версале Арест королевской семьи Страх перед происходящим... Проводы Марии-Антуанетты в Темпль Стелла вздохнула... и опять перебросила нас в очередной «новый эпизод» этой, уже не такой счастливой, но всё ещё красивой истории... Мария-Антуанетта в Темпле Он находился в той же комнатке, совершенно потрясённый увиденным и, ничего не замечая вокруг, стоял, преклонив колено, прижавшись губами к её, всё ещё прекрасной, белой руке, не в состоянии вымолвить ни слова... Он пришёл к ней совершенно отчаявшись, испробовав всё на свете и потеряв последнюю надежду её спасти... и всё же, опять предлагал свою, почти уже невозможную помощь... Он был одержим единственным стремлением: спасти её, несмотря ни на что... Он просто не мог позволить ей умереть... Потому, что без неё закончилась бы и его, уже ненужная ему, жизнь... Версаль... Потом опять появился Аксель. Только на этот раз он стоял у окна в какой-то очень красивой, богато обставленной комнате. А рядом с ним стояла та же самая «подруга его детства» Маргарита, которую мы видели с ним в самом начале. Только на этот раз вся её заносчивая холодность куда-то испарилась, а красивое лицо буквально дышало участием и болью. Аксель был смертельно бледным и, прижавшись лбом к оконному стеклу, с ужасом наблюдал за чем-то происходящим на улице... Он слышал шумевшую за окном толпу, и в ужасающем трансе громко повторял одни и те же слова: Чуть покачиваясь, так как, из-за туго завязанных за спиной рук, ей было сложно держать равновесие, женщина кое-как поднялась на помост, всё ещё, из последних сил пытаясь держаться прямо и гордо. Она стояла и смотрела в толпу, не опуская глаз и не показывая, как же по-настоящему ей было до ужаса страшно... И не было никого вокруг, чей дружеский взгляд мог бы согреть последние минуты её жизни... Никого, кто своим теплом мог бы помочь ей выстоять этот ужасающий миг, когда её жизнь должна была таким жестоким путём покинуть её... Вокруг стояла смертельная тишина. Больше не на что было смотреть... И вот, тот же блестящий, умнейший человек стоял перед какими-то полупьяными, озверевшими людьми и, безнадёжно пытаясь их перекричать, пытался что-то им объяснить... Но никто из собравшихся, к сожалению, слушать его не хотел... В бедного Акселя полетели камни, и толпа, гадкой руганью разжигая свою злость, начала нажимать. Он пытался от них отбиться, но его повалили на землю, стали зверски топтать ногами, срывать с него одежду... А какой-то верзила вдруг прыгнул ему на грудь, ломая рёбра, и не задумываясь, легко убил ударом сапога в висок. Обнажённое, изуродованное тело Акселя свалили на обочину дороги, и не нашлось никого, кто в тот момент захотел бы его, уже мёртвого, пожалеть... Вокруг была только довольно хохочущая, пьяная, возбуждённая толпа... которой просто нужно было выплеснуть на кого-то свою накопившуюся животную злость... И тут, внезапно, у меня в голове как бы вспыхнула вспышка – я поняла кого мы со Стеллой только что видели и за кого так от души переживали!... Это была французская королева, Мария-Антуанетта, о трагической жизни которой мы очень недавно (и очень коротко!) проходили на уроке истории, и казнь которой наш учитель истории сильно одобрял, считая такой страшный конец очень «правильным и поучительным»... видимо потому, что он у нас в основном по истории преподавал «Коммунизм»... |
Эта статья была написана мною несколько лет назад для одного репетиторского сайта. При размещении администратор сайта исказил не только мою фамилию, но и
цель моей статьи. Я предназначал ее школьникам, а администратор того сайта переадресовал ее.... начинающим репетиторам, озаглавив
"Какие вычисления производит репетитор по математике в уме?" При этом обозначенный им потолок устного счета в его статье на эту тему сводится только к вычислению в уме умножения
двузначного числа на однозначное. Он пишет: "Допустим, это 29x7 . «Звуковая дорожка» от репетитора может быть следующей: «29 это двадцать и 9. Двадцать на 7 будет ….
(ученик отвечает 14) , а 9 на 7 будет …. (ученик отвечает 63). Сто сорок и шестьдесят три будет …» " Мало того, что в этом тексте есть ошибка (Двадцать на семь будет 140, а не 14) - надо же
проверять, считывать написанное (!!!), мало того, что гораздо удобнее тридцать умножить на семь и вычесть семь, так этот приём в статье того репетитора - единственный (????) в вопросе устного счета.
Что же получается? Навыки быстрого устного счета излишни для школьников и ими могут пользоваться только репетиторы? А вот и нет! На моих занятиях я всегда приветствую, когда ученик
стремится считать в уме. Да, этому, как правило, не учат в школе. Но как показывает опыт, использовать навыки быстрого устного счета при желании может каждый школьник. И это само по себе
полезно, поскольку позволяет "чувствовать" числа и понимать, сколько может получиться при умножении, а сколько не может. Важно только научиться мыслить немножко не так, как учат
в школе. И ведь эти приемы могут пригодится школьнику в течение всей школьной программы, и на экзаменах, где, как известно, не разрешается пользоваться калькулятором.
Например, требуется из 11531 вычесть 9487. Как учат в школе? Надо написать столбик, при этом постоянно занимая, считая разность. Между тем, если несколько раз занять, то можно легко ошибиться, где
занял, а где нет. А можно подсчитать это в уме совсем другим способом, даже не думая столбиком. Можно заметить, что в уменьшаемом цифры в основном маленькие, а в вычитаемом в основном большие.
Тогда считаем таким образом: На сколько 11531 больше, чем 11000? - На 531. На сколько 9487 меньше, чем 10000? - На 513. Между 11000 и 10000 - одна тысяча.
11531 – 9487 = 11000 + 531 – (10000 – 513) = 11000 – 10000 + 531 + 513 = 2044
Этот приём удобнее всего запомнить с помощью рисунка:
А теперь разберём пример посложнее - умножение. Сколько будет 64 * 15? Что такое 15? 15 - это 1,5 * 10. Как число умножается на 1,5, т.е. на полтора? Для этого надо к этому числу прибавить половинку от него самого.
Если в примере фигурирует не 1,5, а 15, или 150, то надо приписать ещё справа определённое количество нулей. Таким образом, 64 плюс половинка от этого числа, то есть 32 и ноль
приписываем.
То есть 64 + 32 = 96; 96 * 10 = 960.
64 * 15 = 64 * 1,5 * 10 = (64 + 32) * 10 = 960
Теперь умножим 84 на 25. Аналогичный пример, но в этом случае можно подсчитать разными способами. Можно рассматривать 25 как 2,5 * 10. Иными словами, взять 84 два раза и прибавить к полученному результату 42, а потом умножить на 10.
84 * 25 = (84 + 84 + 42) * 10 = 2100
И приписываем ноль. А можно и по-другому.
84 * 0,25 * 100. То есть разбиваем 25 на 0,25 и 100. Зачем нам это надо? Дело в том, что 0,25 это ¼ (одна четвёртая).
Иными словами, 84 делим на 4, получается 21, и приписываем два ноля. Получается те же 2100:
84 * 25 = 84 * 0,25 * 100 = 84: 4 * 100 = 2100
Может показаться, что подобные приемы едва ли могут понадобиться в школе, что в школьной программе встречаются только примеры типа 29x7. Между тем в некоторых учебниках полным полно
примеров, которые подразумевают применение методов быстрого счета, важно только суметь распознать эти методы. Важно отметить в этой связи, что в учебниках 6-го класса нередко встречаются
задания "Вычислить наиболее рациональным способом", а в учебниках следующих классов такие задания обычно отсутствуют. Это не означает, что такие методы надо забыть в старших классах. Вот, пример
из реального занятия с учеником 8-го класса. Ему встретилось в одной задаче
375 * 48. Казалось бы, умножать трехзначные числа на двузначные можно только столбиком. Но результат умножения
этих двух чисел легче получить в уме. Что такое 375?
- Это 125 * 3. Число 125 - это 0,125 * 1000 (одна восьмая умноженная на тысячу).
Следовательно, превращаем 375 в 0,375 (три восьмых) * 1000. Получаем
48 * 375 = 48 * 0,375 * 1000 = 48 * 3: 8 * 1000 = 48: 8 * 3 * 1000 = 18000
Зная этот приём все действия получаются в уме автоматически и ученик может быть уверен, что он нигде не ошибся. Тогда как
при подсчете столбиком, где фактически необходимо выполнить несколько действий, вероятность ошибки куда больше.
Для быстрого устного счета неплохо знать наизусть не только таблицу умножения, но и таблицу квадратов, хотя бы до тридцати. Практика показывает, что это относительно несложно,
и есть школьники с такими знаниями. К тому же это знание порой позволяет не только возводить в квадрат, но и считать в уме примеры типа 39 * 26, применяя приём разложения на
"известные" множители. Нетрудно заметить, что 39 это 13 * 3,
а 26 - это 13 * 2. Зная наизусть, что 13 * 13 = 169, осталось только 169 * 6. 170 * 6
будет 170 * 3 * 2 = 1020 и минус 6, получается 1014.
39 * 26 = 3 * 13 * 2 * 13 = 169 * 6 = 170 * 6 – 6 = 1014
Кстати, о таблице квадратов. Да, таблица квадратов публикуется на форзаце учебников, она публикуется в сборниках для подготовки к экзаменам, ею разрешают пользоваться на экзамене.
Получается, что знать таблицу квадратов наизусть необязательно. Однако до революции, когда не было калькуляторов и компьютеров, школьники, по крайней мере, в школе Рачинского (у художника Н.П. Богданова-Бельского есть картина "Устный счёт", напоминающая
об этом), умели возводить в квадрат числа до 100 в уме. Не столбиком, а именно в уме. Как они это делали? Казалось бы, процесс достаточно трудоёмкий, даже если применять, например, формулы сокращённого
умножения. Действительно, возьмем, например, число 96 и возведём его в квадрат по формуле квадрата суммы (90 + 6) 2 . Получатся три слагаемых, складывать которые подчас неудобно. Еще менее удобно, если взять
формулу квадрата разности (100 – 4) 2 . Однако есть приём попроще, но пока стоит сделать отступление и поговорить о формулах сокращённого умножения. Любопытно, но в школьной
программе эти формулы используются в самых разных разделах математики - от алгебраической дроби до тригонометрических преобразований, но только не для быстрого умножения чисел. Только при
непосредственном изучении темы приводится несколько примеров на счёт с помощью этих формул, да такого рода задания встречаются на вступительных экзаменах в лицеи. Почему?
Да потому что производить вычисления в уме с помощью этих формул не слишком удобно, да и методы не универсальны. Конечно в некоторых случаях эти формулы можно использовать для быстрого счёта. Особенно это относится к формуле разность квадратов.
Действительно, если надо умножить 37 на 43, 26 на 32, 35 на 25 и т.д. (если разница между числами чётная), то формулой разность квадратов можно добиться быстрого результата, хотя
для этого требуется опять-таки знать ещё и таблицу квадратов (37 * 43 = (40 – 3) * (40 + 3) = 1600 – 9 = 1591;
26 * 32 = (29 – 3) * (29 + 3) = 841 – 9 = 832;
35 * 25 = (30 + 5)
* (30 – 5) = 900 – 25 = 875).
Более удобен другой способ возведения в квадрат, чем применение формул сокращённого умножения. Для примера возьмем то же самое число 96 в квадрате.
Для начала разберёмся с правилом быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Например, 25 в квадрате,
35 в квадрате, 45 в квадрате, 95 в квадрате. Правило такое. Для этого, количество десятков возводимого в квадрат числа (например, 9 в числе 95) умножить на число, которое на единицу больше (то есть на 10 в случае 95) и приписать 25.
Получается 9025. Подсчитаем таким способом, например 85 2:
85 2 = 8 * 9 * 100 + 25 = 7225
(на 100 умножаем потому что произведение 8 * 9 даёт нам первые две цифры конечного результата).
Почему так получается комментировать в рамках данной статьи не буду, отмечу лишь, что это правило действует и для трехзначных чисел, что стало встречаться, например, на ОГЭ, причем и в обратную сторону
- в виде извлечения арифметического квадратного корня из пятизначного числа, оканчивающегося на...25. По всей вероятности, составители заданий стали учитывать, что публикуемая
везде таблица квадратов включает в себя возведение в квадрат только двузначных чисел, и надо проверить школьников чем-нибудь выходящим за рамки этой таблицы. Справедливости ради надо сказать, что и в школах
некоторые учителя знакомят учеников с этим приёмом. Хотя обычно не говорится, что с его
помощью можно легко получить результат возведения в квадрат любого числа из таблицы. Как это делается? Среди чисел, которые возводятся квадрат, есть т.н. «опорные» числа.
Это, во-первых, 10, 20, 30, 40, ….90 и, во-вторых, 15, 25, 35… 95. Это те числа, возвести которые в квадрат очень просто. Теперь берём число 96 и возводим его в квадрат. Для этого
к 9025 надо прибавить 95 и 96. Прибавляем 200 и отнимаем (5 + 4 – числа, дополняющие 95 и 96 до 100). Пишем результат – 9216. Почему так?
96 * 96 = (95 + 1) * 96 = 95 * 96 + 1 * 96 = 95 * (95 + 1) + 1 * 96 = 95 * 95 + 95 + 96 = 9216.
Аналогичным способом при соответствующей тренировке можно возводить в квадрат любое число из таблицы квадратов, вплоть до того, чтобы показывать фокусы быстрого счета или феноменальной памяти
перед одноклассниками. Для тех, кто всё еще побаивается столь больших чисел, принцип действий можно объяснить на простом примере. 4 в квадрате. Это будет 16. Теперь возведём в квадрат 5. Это будет 25. Зная 4 в квадрате, результат следующего числа в квадрате получается прибавлением к предыдущему
суммы возводимых в квадрат чисел. Например, 5 в квадрате это 4 в квадрате + 5 + 4 (т.е. 16 + 9).
Ученик, поднаторевший в применении этих приемов быстрого устного счета вполне может придумать свои приемы, внимательно вглядываясь в числа и находить в них свои закономерности. Как
показывает опыт, это стремление приучает его не ошибаться в счете, а поиск своих приемов прививает ему интерес к предмету, позволяет творчески подходить к его изучению и находить
в нем что-то свое. Некоторые школьники стремятся блеснуть такими своими умениями перед одноклассниками, а то и вовсе про-демон-стри-ро-вать "фокус" по подсчёту в уме больших чисел. Это надо
только приветствовать, хотя и не во всех школах учителя верят, что школьники могут считать что-то в уме, а не на калькуляторе. На моей памяти есть и вовсе анекдотический случай
из серии "нарочно не придумаешь", когда ученик в 5-м классе написал: 22 + 33 = 55. Казалось бы, что здесь неправильно? Но ему это учительница зачеркнула, предложив переписать то же самое... столбиком.
Вместо того, чтобы учить детей считать в уме, порой встречаются "недоверчивые" учителя, которые полагают, что если столбик не написан, то значит, ученик считал калькулятором.
На индивидуальных занятиях с репетитором по математике бывает полезно уделять внимание изучению приёмов быстрого устного счёта.
© Александр Миров, репетитор по математике, Москва
Этот КВМ сейчас Науке посвящается Что математикой у нас С любовью называется. Она поможет воспитать Такую точность мысли, Чтоб в нашей жизни все познать, Измерить и исчислить. Найди существенное. Сумма (минус, плюс, равенство, слагаемое, делитель). Геометрия (фигура, точка, свойства, теорема, уравнение). 2. Проверка определений. Дав определение тому или иному понятию, вы должны быть уверены в том, что оно верно. Правильность можно проверить, переставив местами условие и заключение в определении. Если при перемене мест предложение остается верным, то определение нами дано верно. Проверить правильность определений: Квадрат - это четырехугольник. Сложение - это математическое действие. 3. Назвать группу чисел одним словом: а) 2, 4, 7, 9, 6; 6)13,18,25,33,48,57. 1. 1. Найди существенное. Треугольник (плоскость, вершина, центр, сторона, перпендикуляр). Разность (вычитание, плюс, минус, сумма, слагаемое). 2. Проверка определений. Круг - это геометрическая фигура. Четное число - это натуральное число. 3. Назвать группу чисел одним словом: а) 2, 4, 8,12, 44, 56; б) 1, 13,77,83,95. Первая буква есть в слове «сурок», Но ее нет в слове «урок». А дальше подумай и краткое слово Средь умных ребят ты найдешь у любого. Две буквы у мамы возьми без смущения, А в целом получишь итог от сложения. Предлог стоит в моем начале, В конце же - загородный дом. А целое мы все решали И у доски, и за столом. В начале слова - устный счет, Затем согласный звук идет. Жесткий волос животных потом, А в целом результат найдем. Игра «Наборщик» Мама-сороконожка купила трем дочкам сапожки. Сколько всего пар сапожек пришлось купить маме? Чтобы найти свою невесту, принц заставил своих солдат обойти 12 населенных пунктов. В каждом из них было по 40 девушек. Сколько всего девушек примеряло туфельку? Как пятью единицами записать число 100? У зайца было 4 сыночка и лапочка-дочка. Как-то раз он принес домой мешок с 60 яблоками. Сколько яблок досталось каждому из зайчат, если заяц разделил их между ними поровну? Храбрый портняжка одним ударом убил 7 мух. Сколько всего мух он убил, если сделал 11 ударов? Ребята со своими собаками пошли гулять. Один дед говорит им: «Смотрите-ка, ребята, голов не растеряйте и ног не поломайте». Один мальчик сказал: «А у нас всего 36 ног и 13 голов, так что не потеряемся». Сколько же собак,и сколько мальчиков? А) Одно яйцо варится 10 минут. Сколько времени будут вариться 2 яйца? Б) У зайца было 4 сыночка и лапочка дочка. Как- то раз он принес домой мешок с 60 яблоками. Сколько яблок досталось каждому из зайчат, если заяц разделил их между ними поровну. А) Кошка когда стоит на 2-х лапах – весит 5 кг., Сколько она будет весить, если станет на 4 лапы. Б) На трех деревьях сидели 36 галок. Когда с первого дерева на второе перелетели 6 галок, а со второго на третье - 4 галки, то на всех трех деревьях галок оказалось поровну, Сколько галок первоначально сидело на каждом дереве?
Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет - это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.
Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются - как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?
Оказывается, эти дети - ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды - ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!
Секреты устного счёта
Существуют приемы устного счета - простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.
Прибавляем числа 7,8,9
Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.
Примеры :
Быстро складываем двузначные числа
Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».
Примеры :
54+39=54+40-1=93
26+38=26+40-2=64
Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем - единицы.
Пример :
57+32=57+30+2=89
Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:
32+57=32+60-3=89
Складываем в уме трехзначные числа
Быстрый счет и сложение трехзначных чисел - это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.
Пример :
249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782
Особенности вычитания: приведение к круглым числам
Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.
Примеры :
576-88=576-100+12=488
Вычитаем в уме трехзначные числа
Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.
Пример :
843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247
Умножить и разделить
Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. - это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения - с 11 до 19!
Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например :
15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240
Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9
Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.
Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:
умножить на 4 - это дважды умножить на 2;
умножить на 6 - это значит умножить на 2, а потом на 3;
умножить на 8 - это трижды умножить на 2;
умножить на 9 - это дважды умножить на 3.
Например :
37*4=(37*2)*2=74*2=148;
412*6=(412*2)·3=824·3=2472
Аналогично:
разделить на 4 - это дважды разделить на 2;
разделить на 6 - это сначала разделить на 2, а потом на 3;
разделить на 8 - это трижды разделить на 2;
разделить на 9 - это дважды разделить на 3.
Например :
412:4=(412:2):2=206:2=103
312:6=(312:2):3=156:3=52
Как умножать и делить на 5
Число 5 - это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.
Пример :
326*5=(326*10):2=3260:2=1630
Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.
326:5=(326·2):10=652:10=65,2.
Умножение на 9
Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:
37*9=(37*3)*3=111*3=333
37*9=37*10 - 37=370-37=333
Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко - это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.
Счет на пальцах
Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы - это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.
Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:
- Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
- Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
- Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.
Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это - из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9. А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения? Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.
Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь.
Устный счёт на автомате
Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.
Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.
В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» - упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.
Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку - и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.
Управление образования городского округа «Охинский»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 1 г. Охи
Приёмы
устного счёта
Работу выполнили:
Учащиеся 5 класса «А»
Турбоевская Ева
Безинский Станислав
Руководитель проекта:
учитель математики
Кравчук Мария Аркадьевна
2017г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………...Глава 1. ИСТОРИЯ СЧЁТА ………………………………………………….....
Глава 2. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ НА ПАЛЬЦАХ …………………………
2.1 Таблица умножение на 9
2.2 Умножение чисел от 6 до 9
Глава 3. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ ……………………….....
3.1 Умножение числа на 9
3.2 Умножение двузначных чисел на 11
3.3 Умножение двузначных чисел на 111, 1111 и т. д.
3.4 Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д.
3.5 Умножение на 5; 25; 125
3.7 Умножение на 37
3.8 Умножение числа на 1,5
Глава 4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА …………...
4.1 Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5
4.2 Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………….....
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ………………………………………………………………..
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ………………………………………………………………..
ВВЕДЕНИЕ
Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.
Актуальность нашего проекта состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно.
А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.
Цель проекта: изучить приемы устного счета, показать необходимость их применения для упрощения вычислений.
В соответствии с поставленной целью были определены задачи:
Исследовать, применяют ли школьники приемы устного счета.
Изучить приемы устного счета, которые можно использовать, упрощая вычисления.
Составить памятку для учащихся 5 - 6 классов для применения приемов быстрого устного счета.
Объект исследования: приемы устного счета.
Предмет исследования : процесс вычислений.
Гипотеза: если показать, что применение приемов быстрого устного счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.
При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы : опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, практическая работа.
Для начала, мы провели анкетирование в 5-х и 6-х классах нашей школы. Задавали ребятам простые вопросы. Зачем нужно уметь считать? При изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать? Знаешь ли ты приемы устного счета? Хотели бы вы узнать приемы быстрого устного счета, чтобы быстро считать? Приложение 1
В опросе приняли участие 105 человек. Проанализировав результаты, мы сделали вывод, что большинство учеников полагают , что умение считать пригодится в жизни и чтобы быть грамотным, особенно при изучении математики (100%), физики (68%), химии (50%), информатики (63%). Приемы устного счета знает небольшое количество учащихся и почти все хотели бы научиться быстрому устному счёту (63%). Приложение 2
Изучив ряд статей, мы открыли для себя очень интересные исторические факты о необычных способах устного счёта, а также много закономерностей и неожиданных результатов. Поэтому в своей работе мы покажем, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения этих действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.
Глава 1. ИСТОРИЯ СЧЁТА
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.
Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.
У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.
Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.
Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.
До сих пор я рассказывал об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни – Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .
В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.
За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).
Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.
При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.
Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.
Глава 2. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ НА ПАЛЬЦАХ
2.1 Таблица умножение на 9.
Движение пальца – это один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо загнуть тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять. Число пальцев, лежащих слева от загнутого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа, обозначает число единиц полученного произведения.
3 · 9= 27
Попробуйте сами умножить с помощью этого способа: 6 · 9, 9 · 7.
2.2 Умножение чисел от 6 до 9.
Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета ).
Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.
Пример: 8 ∙ 9 = 72
Таким образом, 7 · 7 = 49.
Глава 3. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ
3.1 Умножение числа на 9.
Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать 0 и отнять исходное число.
Например: 72 · 9 = 720 – 72 = 648.
3.2 Умножение двухзначных чисел на 11.
Чтобы умножить число на 11 надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.
45 ∙ 11 = 495
53 ∙ 11 = 583
«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и третью цифру оставить без изменения.
87 ∙ 11 = 957
94 ∙ 11 = 1024
Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел
3.3 Умножение двухзначных чисел на 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить данные цифры и записать их сумму между раздвинутыми цифрами соответствующее количество раз. Заметьте, количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
Пример:
24 · 111=2 (2+4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов - 2)
24 · 1111=2 (2+4) (2+4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов - 3)
42 · 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов – 5)
Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.
Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.
Примеры:
86 · 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.
В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.
3.4 Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д..
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:
32 · 101 = 3232;
47 · 101 = 4747;
324 · 1001 = 324 324;
675 · 1001 = 675 675;
6478 · 10001 = 64786478;
846932 · 1000001 = 846932846932.
3.5 Умножение на 5; 25; 125.
Сначала умножить на 10, 100, 1000 и результат разделить на 2, 4, 8
32 · 5 = 32 · 10: 2 = 320: 2 = 160
84· 25 = 84 · 100: 4 = 8400: 4 = 2100
24 ·125 = 24 · 1000: 8 = 24000: 8 = 3000
Можно иначе: 32 · 5 = 32: 2 ·10 = 160
3.6 Умножение на 22, 33, … , 99
Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
Примеры:
18 · 44 = 18 · 4 · 11 = 72 · 11 = 792;
42 · 22 = 42 · 2 · 11 = 84 · 11 = 924;
13 · 55 = 13 · 5 · 11 = 65 · 11 = 715;
24 · 99 = 24 · 9 · 11 = 216 · 11 = 2376.
3.7 Умножение на 37
Прежде чем научиться устно умножать на 37,надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.
Примеры:
24 · 37 = (24: 3) · 37 · 3 = 8 · 111 = 888;
· 37 = (18: 3) · 111 = 6 · 111 = 666.
3.8 Умножение числа на 1,5.
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.
Например:
34 · 1,5 = 34 + 17 = 51;
146 · 1,5 = 146 + 73 = 219.
Глава 4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА
4.1 Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.
25 · 25 = 625
2 · (2 + 1) = 2 · 3 = 6, пишем 6; 5 · 5 = 25, записываем 25.
35 · 35 = 1225
3 · (3 + 1) = 3 · 4 = 12, пишем 12; 5 · 5 = 25, записываем 25.
4.2 Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.
Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.
Например:
52
2
= 2704, т.к. 25 +2 = 27 и 2
2
= 04;
58
2
= 3364, т.к. 25 + 8 = 33 и 8
2
= 64.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как мы видим, быстрый устный счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.
Все рассмотренные нами методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.
Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.
Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого устного счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.
Мы выбрали тему «Приемы устного счета» потому, что любим математику и хотели бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров», 1999г.
Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
Устный счет, Камаев П. М. 2007г.
«Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов
«Устный счет». Э.Л.Струнников
Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.
Приложение 1
АНКЕТА
1 . Зачем нужно уметь считать?
а) пригодится в жизни, например, считать деньги;
б) чтобы хорошо учиться в школе; в) чтобы быстро решать;
г) чтобы быть грамотным; д) не обязательно уметь считать.
2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?
а) математика; б) физика; в) химия; г) технология; д) музыка; е) физическая культура;
ж) ОБЖ; з) информатика; и) география; к) русский язык; л) литература.
3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?
а) да, много; б) да, несколько; в) нет, не знаю.
4. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?
а) да; б) нет.
Приложение 2
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ
1) Зачем нужно уметь считать?
Пригодится в жизни
Чтобы хорошо учиться в школе
Чтобы быстро решать
Чтобы быть грамотным
Не обязательно уметь считать
Количество учащихся
65
32
36
60
0
%
62%
30%
34%
57%
0%
2) При изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?
Математика
Физика
Химия
Технология
Музыка
ОБЖ
Информатика
География
Русский язык
Литература
Количество учащихся
105
71
55
37
5
26
7
66
39
18
12
%
100%
68%
52%
35%
5%
25%
7%
63%
Нет,
не знаю
Количество учащихся
18
21
66
%
17%
20%
63%
4) Хотели бы вы узнать приёмы быстрого счёта, чтобы быстро решать?
Да
Нет
Количество учащихся
91
9
%
91%
9%