Моментом силы относительно неподвижной точки O называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точки O в точку A приложения силы, на силу (рис.1.4.1):
(1.4.1)
Здесь – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении отк.
Модуль момента силы
,
где
– угол междуи,
– кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точкойО
–плечо
силы
.
Моментом
силы относительно неподвижной оси
z
,
равная проекции на эту ось векторамомента
силы, определённого относительно
произвольной точки
O
данной оси
z
(рис. 1.4.1).
Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:
.
С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:
, но
, поэтому
,
или
.
Учитывая, что
,
получим
. (1.4.2)
Получили основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: момент внешних сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.
Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:
,
где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).
1.5 Момент импульса и закон его сохранения
Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением :
(1.5.1)
где
– радиус-вектор, проведённый из точкиО
в точкуА
;
– импульс материальной точки (рис.
1.5.1).
– псевдовектор, его направление совпадает
с направлением поступательного движения
правого винта при его вращении отк.
Модуль вектора момента импульса
,
где
– угол между векторамии,– плечо вектораотносительно точкиО
.
Моментом импульса
относительно неподвижной оси
z
называется скалярная величина
,
равная проекции на эту ось вектора
момента импульса, определённого
относительно произвольной точки
О
данной оси.
Значение момента импульса
не зависит от положения точкиО
на
осиz
.
При вращении абсолютно
твёрдого тела вокруг неподвижной оси
z
каждая отдельная
точка тела движется по окружности
постоянного радиусас некоторой скоростью.
Скоростьи импульс
перпендикулярны этому радиусу, т.е.
радиус является плечом вектора
.
Поэтому можно записать, что момент
импульса отдельной частицы
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:
.
Используя формулу
,
получим
,
т.е.
. (1.5.2)
Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:
,
т.е.
.
(1.5.3)
Это выражение – ещё одна форма основного уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная по времени от момента импульса механической системы (твёрдого тела) относительно оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси .
Можно показать, что
имеет место векторное равенство
.
В замкнутой системе
момент внешних сил
и
,
откуда
. (1.5.4)
Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса : момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).
Таблица 1.5.1
Поступательное движение |
Вращательное движение |
Функциональная зависимость |
|||
Линейное перемещение |
перемещение | ||||
Линейная скорость |
скорость | ||||
Линейное ускорение |
ускорение | ||||
(для материальной точки) |
|||||
импульса | |||||
Основное уравнение динамики |
|||||
|
|
||||
Работа
|
Работа вращения |
||||
Кинетическая энергия |
Кинетическая энергия вращения |
||||
Закон сохранения импульса |
Закон сохранения момента импульса |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Приборы и принадлежности: установка ""маятник Обербека"", набор грузов с указанной массой, штангенциркуль.
Цель работы: экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси и вычисление момента инерции системы тел.
Краткая теория
При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Рассмотрим случай, когда ось неподвижна. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела гласит, что момент силы М , действующий на тело, равен произведению момента инерции тела I на его угловое ускорение https://pandia.ru/text/78/003/images/image002_147.gif" width="61" height="19">. (3.1)
Из закона следует, что если момент инерции I будет постоянным, то https://pandia.ru/text/78/003/images/image004_96.gif" width="67" height="21 src="> представляет собой прямую линию. Наоборот, если зафиксировать постоянный момент силы М , то и уравнение будет представлять собой гиперболу.
Закономерности, связывающие между собой величины e , М , I , можно выявить на установке, которая называется маятником Обербека (рис. 3.1). Груз, прикрепленный к нити, намотанной на большой или малый шкив, приводит систему во вращение. Меняя шкивы и изменяя массу груза m , изменяют вращающий момент М , а передвигая грузы m 1 вдоль крестовины и фиксируя их в различных положениях, изменяют момент инерции системы I .
Груз m , опускаясь на нити, движется с постоянным ускорением
Из связи линейного и углового ускорений любой точки, лежащей на ободе шкива, следует, что угловое ускорение системы
По второму закону Ньютона m g – Т = m а , откуда сила натяжения нити, приводящая блок во вращение, равна
T = m (g - a ). (3.4)
Система приводится во вращение моментом М = R Т . Следовательно,
или . (3.5)
По формулам (3.3) и (3.5) можно вычислить e и М , экспериментально проверить зависимость e = f (М ), и из (3.1) рассчитать момент инерции I .
Так как момент инерции системы относительно неподвижной оси равен сумме моментов инерции элементов системы относительно той же оси, то полный момент инерции маятника Обербека равен
(3.6)
где I – момент инерции (маятника); I 0 – постоянная часть момента инерции, состоящая из суммы моментов инерции оси, малого и большого шкивов и крестовины; 4m 1l2 - переменная часть момента инерции системы, равная сумме моментов инерции четырех грузов, которые можно перемещать на крестовине.
Определив из (3.1) полный момент инерции I , можно вычислить постоянную составляющую часть момента инерции системы
I 0 = I - 4m 1l 2 . (3.7)
Изменяя момент инерции маятника при постоянном моменте сил, можно экспериментально проверить зависимость e = f (I ).
Описание лабораторной установки
Установка состоит из основания 1, на котором установлена вертикальная стойка (колонка) 4. На вертикальной стойке располагаются верхний 6, средний 3 и нижний 2 кронштейны.
На верхнем кронштейне 6 размещается узел подшипников 7 с малоинерционным шкивом 8. Через последний перекинута капроновая нить 9, которая закрепляется на шкиве 12 одним концом, а ко второму крепится наборный груз 15.
"СТОП"" – в течение времени, когда нажата эта кнопка, система расторможена и можно вращать крестовину;
кнопка ""СТАРТ"" – при нажатии на кнопку обнуляется и сразу же включается секундомер, система растормаживается на время до пересечения наборным грузом 15 луча фотоэлектрического датчика 14.
На задней панели блока электронного расположен выключатель ""Сеть"" (""01"") – при включении выключателя срабатывает электромагнит и затормаживает систему, на секундомере высвечиваются нули.
ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ!!! Запрещается быстро раскручивать крестовину 11, так как любой из грузов 10 (m 1) при этом может сорваться, летящий же с большой скоростью стальной груз представляет опасность. Чтобы не сломать электромагнитный тормоз, вращать крестовину 11 с грузами 10 (m 1) разрешается только при нажатой кнопке ""СТОП"" или при выключенном питании установки (выключатель ""Сеть"" (""01"") на задней панели блока электронного).
Упражнение №1 . Определение зависимости e (M )
углового ускорения e от вращающего момента М
при постоянном моменте инерции I =const
1. На концах крестовины 11 на одинаковом расстоянии от ее оси вращения установите и закрепите грузы 10 (m 1).
2. Замерьте штангенциркулем диаметры шкивов d 1 и d 2 и запишите их в табл. 3.1.
3. По шкале на вертикальной стойке 4 определите высоту h опускания наборного груза 15 (m ), равную расстоянию между риской фотоэлектрического датчика 14 и верхним краем визира 5 (риска фотоэлектрического датчика находится на одной высоте с верхним краем нижнего кронштейна 2, окрашенным в красный свет).
4. Установите минимальную массу наборного груза 15 (m ) и запишите ее в табл. 3.1 (массы грузов указаны на них).
5. Включите выключатель ""Сеть"" (""01""), расположенный на задней панели блока электронного. При этом должны загореться табло секундомера и включиться электромагнит. Вращать крестовину сейчас нельзя! Если один из элементов не сработал, сообщите об этом лаборанту.
6. Нажмите и удерживайте кнопку ""СТОП"", растормозив систему. При нажатой кнопке ""СТОП"" укрепите нить в прорезях на малом шкиве и затем, вращая крестовину, намотайте нить на малый шкив, поднимая при этом наборный груз 15. Когда нижний обрез груза будет находиться строго против верхнего края визира 5, отожмите кнопку ""СТОП"" – система затормозится.
7. Нажмите на кнопку ""СТАРТ"". Система растормозится, груз начнет ускоренно опускаться, а секундомер отсчитывать время. Когда груз пересечет световой луч фотодатчика, секундомер автоматически выключится и система затормозится. Запишите в табл. 3.1 измеренное время t 1.
Таблица 3.1
d 1= | d 2= |
|||||
t ср |
8. Замеры времени выполните по 3 раза для трех значений массы наборного груза 15 (m ). Повторите измерения на большом шкиве. Результаты замеров занесите в табл. 3.1. Выключите установку из сети.
9. Для любой массы m рассчитайте tср и выполните оценочный расчет момента инерции I , используя формулы (3.2), (3.3), (3.5), (3.1). Заполните полностью соответствующую строку в табл. 3.2 и подойдите к преподавателю на проверку.
Таблица 3.2
t ср , | ||||||||
10. При оформлении отчета для всех значений tср рассчитайте a , e , M , I . Результаты измерений и расчетов занесите в табл. 3.2.
11. Рассчитайте среднее значение момента инерции Iср , вычислите методом Стьюдента абсолютную погрешность результата измерений (при расчетах принять t a ,n =2,57 для n= 6 и a = 0,95).
12. Постройте график зависимости e = f (М ), взяв значения e и M из табл. 3.2. Напишите выводы.
Упражнение №2 . Определение зависимости e (I )
углового ускорения e от момента инерции I
при постоянном вращающем моменте M =const
1. Укрепите грузы 10 (m 1) на концах крестовины на равном расстоянии от ее оси вращения. Замерьте расстояние l от центра масс груза m 1 до оси вращения крестовины и запишите в табл. 3.3. Запишите в табл. 3.4 массу груза m 1, выбитую на нем.
2. Выберите и запишите в табл. 3.4 радиус R шкива 12 и массу m наборного груза 15 (нежелательно брать одновременно большой шкив и большую массу). В упр. 2 выбранные R и m не изменяйте.
3. Для выбранных R и m три раза определите время t 1 опускания наборного груза 15 (m ). Результаты занесите в табл. 3.3.
Таблица 3.3
t ср |
4. Выключите установку из сети. Сдвиньте все грузы 10 (m 1) на 1-2 см к оси вращения крестовины. Замерьте новое расстояние l и занесите его в табл. 3.3. Включите установку в сеть и измерьте трижды время t 2 опускания наборного груза 15 (m ). Замеры выполните для 6 различных значений l . Результаты занесите в табл. 3.3. Отключите установку от сети.
5. По формуле (3.7) выполните оценочный расчет I 0, взяв значение I и l из упр. 1.
6. Для любого l из табл. 3.3 рассчитайте tср и по формулам (3.2), (3.3) и (3.6) рассчитайте a , e и I . Заполните полностью соответствующую строку в табл. 3.4 и подойдите к преподавателю на проверку.
7. При оформлении отчета по формуле (3.7) вычислите среднее значение I 0, используя Iср и l из упр. 1. Используя полученное значение I 0, по формуле (3.6) вычислите I i для всех l из табл. 3.3. Результаты занесите в три последних столбца табл. 3.4.
Таблица 3.4
4m 1l2 , | ||||||||||
8. Используя формулы (3.2) и (3.3), рассчитайте Лабораторные работы" href="/text/category/laboratornie_raboti/" rel="bookmark">лабораторной работы соблюдайте общие требования техники безопасности в лаборатории механики в соответствии с инструкцией. Подключение установки к блоку электронному производится строго в соответствии с паспортом установки.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
2. Какая физическая величина является мерой инертности при поступательном движении? При вращательном движении? В каких единицах они измеряются?
3. Чему равен момент инерции материальной точки? Твердого тела?
4. При каких условиях момент инерции твердого тела минимален?
5. Чему равен момент инерции тела относительно произвольной оси вращения?
6. Как будет изменяться угловое ускорение системы, если при неизменяемых радиусе шкива R и массе груза m грузы на концах крестовины удалять от оси вращения?
7. Как изменится угловое ускорение системы, если при неизменном грузе m и неизменном положении грузов на крестовине увеличить радиус шкива?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 1998, с. 34-38.
2. , Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 2000, с. 47-58.
Для вывода этого закона рассмотрим простейший случай вращательного движения материальной точки. Разложим силу, действующую на материальную точку на две составляющие: нормальную -и касательную -(рис. 4.3). Нормальная составляющая силы приведёт к появлению нормального (центростремительного) ускорения: ; , гдеr = ОА - радиус окружности.
Касательная сила вызовет появление касательного ускорения. В соответствии со вторым законом Ньютона F t =ma t или F cos a=ma t .
Выразим касательное ускорение через угловое: a t =re. Тогда F cos a=mre. Умножим это выражение на радиус r: Fr cos a=mr 2 e. Введём обозначение r cos a = l, где l - плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы . Посколькуmr 2 =I - момент инерции материальной точки, а произведение=Fl= M - момент силы, то
Произведение момента силы М на время её действия dt называется импульсом момента силы. Произведение момента инерции I на угловую скорость w называется моментом импульса тела: L=Iw. Тогда основной закон динамики вращательного движения в форме (4.5) можно сформулировать следующим образом: импульс момента силы равен изменению момента импульса тела. В такой формулировке этот закон аналогичен второму закону Ньютона в виде (2.2).
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Краткий курс физики
Министерство образования и науки Украины.. одесская национальная морская академия..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Основные единицы СИ
В настоящее время общепринятой является Международная система единиц - СИ. Эта система содержит семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, моль, ампер, кельвин, кандела и две дополнительные -
Механика
Механика - наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними.
Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного пол
Нормальное и касательное ускорения
Рис. 1.4
Движение материальной точки по криволинейной траект
Законы Ньютона
Динамика - раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под воздействием приложенных к ним сил. В основе механики лежат законы Ньютона.
Первый закон Ньютона
Закон сохранения импульса
Рассмотрим вывод закона сохранения импульса на основе второго и третьего законов Ньютона.
Связь между работой и изменением кинетической энергии
Рис. 3.3
Пусть тело массой т движется вдоль оси х под
Связь между работой и изменением потенциальной энергии
Рис. 3.4
Эту связь мы установим на примере работы силы тяжес
Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. Это означает, что на тела системы не действуют внешние силы, а внутренние силы по своей природе являются консервативными.
Полной механическ
Соударения
Рассмотрим важный случай взаимодействия твёрдых тел - соударения. Соударением (ударом) называется явление конечного изменения скоростей твёрдых тел за весьма малые промежутки времени при их непо
Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим изолированное тело, т.е. такое тело на которое не действует внешний момент сил. Тогда Mdt = 0 и из (4.5) следует d(Iw)=0, т.е. Iw=const. Если изолированная система состоит
Гироскоп
Гироскопом называется симметричное твёрдое тело, вращающееся вокруг оси, совпадающей с осью симметрии тела, проходящей через центр масс, и соответствующей наибольшему собственному моменту инерции.
Общая характеристика колебательных процессов. Гармонические колебания
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
В технике устройства, использующие колебательные процессы могут выполнять оп
Колебания пружинного маятника
Рис. 6.1
Укрепим на конце пружины тело массой m, которое мож
Энергия гармонического колебания
Рассмотрим теперь на примере пружинного маятника процессы изменения энергии в гармоническом колебании.
Очевидно, что полная энергия пружинного маятника W=Wk+Wp, где кинетическая
Сложение гармонических колебаний одинакового направления
Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается, если изображать колебания графически, в виде векторов на плоскости. Полученная та
Затухающие колебания
В реальных условиях в системах, совершающих колебания, всегда присутствуют силы сопротивления. В результате система постепенно расходует свою энергию на выполнение работы против сил сопротивления и
Вынужденные колебания
В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом
Упругие (механические) волны
Процесс распространения возмущений в веществе или поле, сопровождающийся переносом энергии, называется волной.
Упругие волны - процесс распространения в упругой среде механически
Интерференция волн
Интерференцией называется явление наложения волн от двух когерентных источников, в результате которого происходит перераспределение интенсивности волн в пространстве, т.е. возникают интерференци
Стоячие волны
Частным случаем интерференции является образование стоячих волн. Стоячие волны возникают при интерференции двух встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой. Такая ситуация может возни
Эффект Допплера в акустике
Звуковыми волнами называют упругие волны с частотами от 16 до 20000 Гц, воспринимаемые органами слуха человека.
Звуковые волны в жидких и газообразных средах являются продольными. В твёрды
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Рассмотрим в качестве простейшей физической модели идеальный газ. Идеальным называется такой газ, для которого выполняются следующие условия:
1) размеры молекул настолько малы, ч
Распределение молекул по скоростям
Рис.16.1
Предположим, чтонам удалось измерить скорости всех
Барометрическая формула
Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести. Как известно, по мере подъёма от поверхности Земли давление атмосферы уменьшается.
Найдём зависимость давления атмосферы от высоты
Распределение Больцмана
Выразим давление газа на высотах h иh0 через соответствующее число молекул в единице объёмап ип0, считая, что на разных высотахT=const:
P =
Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам
Первое начало термодинамики - это обобщение закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов. Его формулировка: количество теплоты, сообщённое системе, расходуется на выполнение работы
Число степеней свободы. Внутренняя энергия идеального газа
Числом степеней свободы называется число независимых координат, которыми описывается движение тела в пространстве. Материальная точка имеет три степени свободы, поскольку при её движении в п
Адиабатный процесс
Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой.
В адиабатном процессеdQ = 0, поэтому первое начало термодинамики применительно к этому процессу прин
Обратимые и необратимые процессы. Круговые процессы (циклы). Принцип действия тепловой машины
Обратимыми называются такие процессы, которые удовлетворяют следующим условиям.
1. После прохождения этих процессов и возвращения термодинамической системы в исходное состояние в
Идеальная тепловая машина Карно
Рис. 25.1
В 1827 г. французский военный инженер С. Карно, ре
Второе начало термодинамики
Первое начало термодинамики, которое является обобщением закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов, не указывает на направленность протекания различных процессов в природе. Так, первое
Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от холодного тела к горячему
В холодильной машине теплота передаётся от холодного тела (морозильной камеры) в более нагретую окружающую среду. Казалось бы, что это противоречит второму началу термодинамики. На самом деле проти
Энтропия
Введём теперь новый параметр состояния термодинамической системы - энтропию, которая принципиально отличается от других параметров состояния направленностью своего изменения. Элементарное измене
Дискретность электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда
Источником электростатического поля служит электрический заряд - внутренняя характеристика элементарной частицы, определяющая ее способность вступать в электромагнитные взаимодействия.
Энергия электростатического поля
Найдём вначале энергию заряженного плоского конденсатора. Очевидно, что эта энергия численно равна работе, которую нужно совершить, чтобы разрядить конденсатор.
Основные характеристики тока
Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц.
Сила тока численно равна заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за единицу
Закон Ома для однородного участка цепи
Однородным называется участок цепи, не содержащий источника ЭДС.
Ом экспериментально установил, что сила тока на однородном участке цепи пропорциональна напряжению и обратно пропорц
Закон Джоуля - Ленца
Джоуль и независимо от него Ленц экспериментально установили, что количество теплоты, выделенной в проводнике с сопротивлением R за время dt, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлен
Правила Кирхгофа
Рис. 39.1
Для расчёта сложных цепей постоянного тока применя
Контактная разность потенциалов
Если два разнородных металлических проводника привести в контакт, то
электроны получают возможность переходить из одного проводника в другой и обратно. Равновесное состояние такой системы
Эффект Зеебека
Рис. 41.1
В замкнутой цепи из двух разнородных металлов на г
Эффект Пельтье
Второе термоэлектрическое явление - эффект Пельтъе состоит в том, что при пропускании электрического тока через контакт двух разнородных проводников в нём происходит выделение или поглощени
Момент силы
Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силы относительно какой-либо точки называется векторное произведение
Радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.2.12). Единица измерения момента силы .
Рисунок 2.12
Величина момента силы
или можно записать
где - плечо силы (кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы).
Направление вектора определяется по правилу векторного произведения или по правилу «правого винта» (векторы и параллельным переносом совмещаем в точке О, направление вектора определяется так, чтобы из его конца поворот от вектора к был виден против часовой стрелки – на рис 2.12 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа «от нас» (аналогично по правилу буравчика – поступательное движение соответствует направлению вектора , вращательное соответствует повороту от к )).
Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.
Проекция вектора на какую-либо ось, например, ось z, называется моментом силы относительно этой оси. Чтобы определить момент силы относительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис. 2.13), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.
Рисунок 2.13
Момент импульса
Моментомимпульса материальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета , называют векторное произведение
Радиус-вектор материальной точки (рис. 2.14), - ее импульс.
Рисунок 2.14
Величина момента импульса материальной точки
где -кратчайшее расстояние от линии вектора до точки .
Направление момента импульса определяется аналогично направлению момента силы.
Если выражение для L 0 умножить и разделить на l получим:
Где - момент инерции материальной точки - аналог массы во вращательном движении.
Угловая скорость.
Момент инерции твердого тела
Видно, что получающиеся формулы очень похожи на выражения для импульса и для второго закона Ньютона соответственно, только вместо линейной скорости и ускорения используются угловые скорость и ускорение, а вместо массы – величина I=mR 2 , именуемая моментом инерции материальной точки .
Если тело нельзя считать материальной точкой, но можно считать абсолютно твердым, то его момент инерции можно считать суммой моментов инерции бесконечно малых его частей, поскольку угловые скорости вращения этих частей одинаковы (рис. 2.16). Сумма бесконечно малых – интеграл:
Для любого тела существуют оси, проходящие через его центр инерции, обладающие таким свойством: при вращении тела вокруг таких осей в отсутствии внешних воздействий оси вращения не меняют своего положения. Такие оси называются свободными осями тела . Можно доказать, что для тела любой формы и с любым распределением плотности существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, именуемые главными осями инерции тела. Моменты инерции тела относительно главных осей именуются главными (собственными) моментами инерции тела.
Главные моменты инерции некоторых тел приведены в табл.:
Теорема Гюйгенса-Штейнера.
Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями .
Основное уравнение динамики вращательного движения
Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела
Где F – сила, приложенная к телу массой m ; а – линейное ускорение тела.
Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 2.15) приложить силу F , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение ε и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила F 1 …F n . Для каждой материальной точки можно записать:
Где поэтому
Где m i – масса i- й точки; ε – угловое ускорение; r i – ее расстояние до оси вращения.
Умножая левую и правую части уравнения на r i , получаем
Где – момент силы – это произведение силы на ее плечо.
Рис. 2.15. Твердое тело, вращающееся под действием силы F около оси “ОО”
– момент инерции i -й материальной точки (аналог массы во вращательном движении).
Выражение можно записать так:
Просуммируем левую и правую части по всем точкам тела:
Уравнение – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F , сообщающий всем точкам тела ускорение ε. – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».
С другой стороны
В свою очередь - изменение момента импульса тела.
Тогда основной закон динамики вращательного движения можно переписать в виде:
Или - импульс момента силы , действующий на вращающееся тело, равен изменению его момента импульса .
Закон сохранения момента импульса
Аналогично ЗСИ.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения момент силы относительно оси Z: . Отсюда в замкнутой системе и, следовательно, – суммарный момент импульса относительно оси Z всех тел, входящих в замкнутую систему есть величина неизменная . Это выражает закон сохранения момента импульса . Этот закон действует только в инерциальных системах отсчёта.
Проведем аналогию между характеристиками поступательного движения и вращательного.
В этой главе твердое тело рассматривается как совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга. Такое не поддающееся деформации тело называется абсолютно твердым.
Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием силы вокруг неподвижной оси 00 (рис. 30). Тогда все его точки описывают окружности с центрами на этой оси. Понятно, что все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение (в данный момент времени).
Разложим действующую силу на три взаимно перпендикулярные составляющие: (параллельную оси), (перпендикулярную оси и лежащую на линии, проходящей через ось) и (перпендикулярную Очевидно, что вращение тела вызывает только составляющая являющаяся касательной к окружности, описываемой точкой приложения силы. Составляющие вращения не вызывают. Назовем вращающей силой. Как известно из школьного курса физики, действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния точки ее приложения А до оси вращения, т. е. зависит от момента силы. Моментом вращающей силы (вращающим моментом) называется произведение вращающей силы на радиус окружности описываемой точкой приложения силы:
Мысленно разобьем все тело на очень малые частицы - элементарные массы. Хотя сила приложена к одной точке А тела, ее вращающее действие передается всем частицам: к каждой элементарной массе будет приложена элементарная вращающая сила (см. рис. 30). Согласно второму закону Ньютона,
где линейное ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умножая обе части этого равенства на радиус окружности, описываемой элементарной массой, и вводя вместо линейного угловое ускорение (см. § 7), получим
Учитывая, что вращающий момент, приложенный к элементарной массе, и обозначая
где момент инерции элементарной массы (материальной точки). Следовательно, моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.
Суммируя вращающие моменты приложенные ко всем элементарным массам, составляющим тело, получим
где вращающий момент, приложенный к телу, т. е. момент вращающей силы момент инерции тела. Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.
Теперь можно переписать формулу (3) в виде
Формула (4) выражает основной закон динамики вращения (второй закон Ньютона для вращательного движения):
момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.
Из формулы (4) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства тела при поступательном движении, Однако в отличие от массы момент инерции данного тела может иметь множество значений в соответствии с множеством возможных осей вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела, необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитывается. На практике обычно приходится иметь дело с моментами инерции относительно осей симметрии тела.
Из формулы (2) следует, что единицей измерения момента инерции является килограмм-квадратный метр
Если вращающий момент и момент инерции тела то формулу (4) можно представить в виде