en physique médicale et biologique
CONFÉRENCE N°1
FONCTIONS DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.
DÉRIVÉS PARTIELS.
1. La notion de dérivée, sa signification mécanique et géométrique.
UN ) Incrément d'argument et de fonction.
Soit une fonction y=f(x), où x est la valeur de l'argument du domaine de définition de la fonction. Si vous sélectionnez deux valeurs de l'argument x o et x dans un certain intervalle du domaine de définition de la fonction, alors la différence entre les deux valeurs de l'argument est appelée l'incrément de l'argument : x - x o = ∆x.
La valeur de l'argument x peut être déterminée grâce à x 0 et son incrément : x = x o + ∆x.
La différence entre deux valeurs de fonction est appelée l'incrément de fonction : ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).
L'incrément d'un argument et d'une fonction peut être représenté graphiquement (Fig. 1). L'incrément d'argument et l'incrément de fonction peuvent être positifs ou négatifs. Comme il ressort de la Fig. 1, géométriquement, l'incrément de l'argument ∆х est représenté par l'incrément de l'abscisse, et l'incrément de la fonction ∆у par l'incrément de l'ordonnée. L'incrément de fonction doit être calculé dans l'ordre suivant :
nous donnons à l'argument un incrément ∆x et obtenons la valeur – x+Δx ;
2) trouver la valeur de la fonction pour la valeur de l'argument (x+∆x) – f(x+∆x) ;
3) trouver l'incrément de la fonction ∆f=f(x + ∆x) - f(x).
Exemple: Déterminez l'incrément de la fonction y=x 2 si l'argument passe de x o =1 à x=3. Pour le point x o la valeur de la fonction f(x o) = x² o ; pour le point (x o +∆x) la valeur de la fonction f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, d'où ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2 ; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ; ∆х = 3–1 = 2 ; ∆f =2·1·2+4 = 8.
b)Problèmes conduisant à la notion de dérivée. Définition du dérivé, sa signification physique.
Le concept d'incrément d'argument et de fonction est nécessaire pour introduire le concept de dérivée, né historiquement de la nécessité de déterminer la vitesse de certains processus.
Voyons comment déterminer la vitesse d'un mouvement rectiligne. Laissez le corps se déplacer rectiligne selon la loi : ∆S= ·∆t. Pour un mouvement uniforme := ∆S/∆t.
Pour un mouvement alternatif, la valeur ∆Ѕ/∆t détermine la valeur moy. , c'est-à-dire moy. =∆S/∆t.Mais vitesse moyenne ne permet pas de refléter les caractéristiques du mouvement du corps et de donner une idée de la vitesse réelle à l'instant t. Lorsque la période de temps diminue, c'est-à-dire à ∆t→0 la vitesse moyenne tend vers sa limite – la vitesse instantanée :
instantané =
moy. =
∆S/∆t.
La vitesse instantanée d'une réaction chimique est déterminée de la même manière :
instantané =
moy. =
∆х/∆t,
où x est la quantité de substance formée lors d’une réaction chimique pendant le temps t. Des problèmes similaires liés à la détermination de la vitesse de divers processus ont conduit à l'introduction en mathématiques du concept de fonction dérivée.
Soit une fonction continue f(x), définie sur l'intervalle ]a, dans [c'est-à-dire son incrément ∆f=f(x+∆x)–f(x).
est une fonction de ∆x et exprime le taux de variation moyen de la fonction.
Limite du rapport , lorsque ∆х→0, à condition que cette limite existe, est appelée la dérivée de la fonction :
y" x =
.
La dérivée est notée :
– (trait jaune sur x) ; "
(x) – (eff course sur x) ;
y" – (trait grec); dy/dх –
(de igrek par de x);
- (grec avec un point).
Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dire que la vitesse instantanée du mouvement rectiligne est la dérivée temporelle de la trajectoire :
instantané = S" t = f " (t).
Ainsi, nous pouvons conclure que la dérivée d'une fonction par rapport à l'argument x est le taux de variation instantané de la fonction f(x) :
y"x =f " (x)= instantané.
C'est la signification physique de la dérivée. Le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation, donc l'expression « différencier une fonction » est équivalente à l'expression « trouver la dérivée d'une fonction ».
V)Signification géométrique de la dérivée.
P.
la dérivée de la fonction y = f(x) a une signification géométrique simple associée au concept de tangente à une ligne courbe en un certain point M. En même temps, tangente, c'est-à-dire une ligne droite est analytiquement exprimée par y = kx = tan· x, où
–
l'angle d'inclinaison de la tangente (droite) à l'axe X. Imaginons une courbe continue en fonction y = f(x), prenons un point M1 sur la courbe et un point M1 proche et traçons une sécante. à travers eux. Son pente k sec = tg β = .Si on rapproche le point M 1 de M, alors l'incrément de l'argument ∆х
tendra vers zéro, et la sécante en β=α prendra la position d'une tangente. De la figure 2, il résulte : tgα =
tgβ =
=y" x. Mais tgα est égal à la pente de la tangente au graphique de la fonction :
k = tga =
=y"x = f "
(X). Ainsi, le coefficient angulaire d'une tangente au graphique d'une fonction en un point donné est égal à la valeur de sa dérivée au point de tangence. C'est la signification géométrique de la dérivée.
G)Règle générale pour trouver la dérivée.
Sur la base de la définition de la dérivée, le processus de différenciation d'une fonction peut être représenté comme suit :
f(x+∆x) = f(x)+∆f;
trouver l'incrément de la fonction : ∆f= f(x + ∆x) - f(x) ;
former le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument :
;
Exemple: f(x)=x 2 ; F " (x)=?.
Cependant, comme on peut le voir même à partir de ceci exemple simple, l'application de la séquence spécifiée lors de la prise de dérivés est un processus complexe et laborieux. Par conséquent, pour diverses fonctions, nous introduisons formules générales différenciation, qui sont présentées sous la forme d'un tableau de « Formules de base pour la différenciation des fonctions ».
Très facile à retenir.
Bon, n’allons pas loin, considérons immédiatement la fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de fonction exponentielle? Logarithme:
Dans notre cas, la base est le nombre :
Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.
A quoi est-ce égal ? Bien sûr, .
La dérivée du logarithme népérien est également très simple :
Exemples:
- Trouvez la dérivée de la fonction.
- Quelle est la dérivée de la fonction ?
Réponses: Exposant et un algorithme naturel- les fonctions sont particulièrement simples en termes de dérivées. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec toute autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après passons en revue les règles différenciation.
Règles de différenciation
Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...
Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.
C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... La différentielle des mathématiciens est le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.
Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :
Il y a 5 règles au total.
La constante est soustraite du signe dérivé.
Si - un nombre constant (constant), alors.
Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .
Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.
Exemples.
Trouvez les dérivées des fonctions :
- à un moment donné ;
- à un moment donné ;
- à un moment donné ;
- à ce point.
Solutions:
- (la dérivée est la même en tous points, puisque cette fonction linéaire, souviens-toi?);
Dérivé du produit
Tout est similaire ici : introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :
Dérivé:
Exemples:
- Trouver les dérivées des fonctions et ;
- Trouvez la dérivée de la fonction en un point.
Solutions:
Dérivée d'une fonction exponentielle
Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).
Alors, où est un certain nombre.
Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc de réduire notre fonction à une nouvelle base :
Pour cela nous utiliserons règle simple: . Alors:
Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.
Arrivé?
Ici, vérifiez vous-même :
La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.
Exemples:
Trouvez les dérivées des fonctions :
Réponses:
Il s'agit simplement d'un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut plus être écrit. sous forme simple. Par conséquent, nous le laissons sous cette forme dans la réponse.
Notez qu'il s'agit ici d'un quotient de deux fonctions, nous appliquons donc la règle de différenciation correspondante :
Dans cet exemple, le produit de deux fonctions :
Dérivée d'une fonction logarithmique
C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :
Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :
Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :
Seulement maintenant, nous écrirons à la place :
Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :
Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne sont presque jamais trouvées dans l'examen d'État unifié, mais il ne sera pas superflu de les connaître.
Dérivée d'une fonction complexe.
Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».
Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez effectuer les étapes inverses dans l’ordre inverse.
Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue une première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.
Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .
Pour notre exemple, .
On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : on le met d'abord au carré, et je cherche ensuite le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.
Deuxième exemple : (même chose). .
L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).
Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :
Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction
- Quelle action allons-nous effectuer en premier ? Tout d’abord, calculons le sinus, puis cubez-le seulement. Cela signifie qu’il s’agit d’une fonction interne, mais externe.
Et la fonction originelle est leur composition : . - Interne: ; externe: .
Examen: . - Interne: ; externe: .
Examen: . - Interne: ; externe: .
Examen: . - Interne: ; externe: .
Examen: .
Nous changeons les variables et obtenons une fonction.
Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple original, cela ressemble à ceci :
Un autre exemple:
Alors, formulons enfin la règle officielle :
Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
Cela semble simple, non ?
Vérifions avec des exemples :
Solutions:
1) Interne : ;
Externe: ;
2) Interne : ;
(N’essayez pas de le couper maintenant ! Rien ne sort sous le cosinus, vous vous souvenez ?)
3) Interne : ;
Externe: ;
Il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et nous en extrayons également la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (mettre le chocolat dans un emballage et avec un ruban dans la mallette). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : nous allons quand même « déballer » cette fonction dans le même ordre que d'habitude : depuis la fin.
Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.
Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre effectuerons-nous les actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :
Plus l’action est réalisée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions est la même que précédemment :
Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Déterminons la marche à suivre.
1. Expression radicale. .
2. Racine. .
3. Sinus. .
4. Carré. .
5. Rassembler le tout :
DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES
Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :
Dérivés de base :
Règles de différenciation :
La constante est soustraite du signe dérivé :
Dérivée de la somme :
Dérivé du produit :
Dérivée du quotient :
Dérivée d'une fonction complexe :
Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
- Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
- Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
- Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.
Nous ne sommes pas toujours intéressés par la vie valeurs exactes toutes quantités. Parfois, il est intéressant de connaître l'évolution de cette quantité, par exemple la vitesse moyenne du bus, le rapport entre la quantité de mouvement et la période de temps, etc. Pour comparer la valeur d'une fonction à un certain point avec les valeurs de la même fonction à d'autres points, il est pratique d'utiliser des concepts tels que « incrément de fonction » et « incrément d'argument ».
Les notions d'« incrément de fonction » et d'« incrément d'argument »
Disons que x est un point arbitraire situé dans un certain voisinage du point x0. L'incrément de l'argument au point x0 est la différence x-x0. L'incrément est désigné comme suit : ∆x.
- ∆x=x-x0.
Parfois, cette quantité est également appelée incrément de la variable indépendante au point x0. De la formule il résulte : x = x0+∆x. Dans de tels cas, on dit que la valeur initiale de la variable indépendante x0 a reçu un incrément ∆x.
Si nous modifions l’argument, alors la valeur de la fonction changera également.
- f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).
Incrément de la fonction f au point x0, l'incrément correspondant ∆х est la différence f(x0 + ∆х) - f(x0). L'incrément d'une fonction est noté comme suit : ∆f. On obtient donc, par définition :
- ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).
Parfois, ∆f est aussi appelé l'incrément de la variable dépendante et ∆у est utilisé pour la désigner si la fonction était, par exemple, y=f(x).
Signification géométrique de l'incrément
Regardez l'image suivante.
Comme vous pouvez le constater, l'incrément montre le changement d'ordonnée et d'abscisse d'un point. Et le rapport entre l'incrément de la fonction et l'incrément de l'argument détermine l'angle d'inclinaison de la sécante passant par la position initiale et finale du point.
Regardons des exemples d'incrémentation d'une fonction et d'un argument
Exemple 1. Trouver l'incrément de l'argument ∆x et l'incrément de la fonction ∆f au point x0, si f(x) = x 2, x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1
Utilisons les formules données ci-dessus :
a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1 ;
- ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39 ;
b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1 ;
- ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.
Exemple 2. Calculez l'incrément ∆f pour la fonction f(x) = 1/x au point x0 si l'incrément de l'argument est égal à ∆x.
Encore une fois, nous utiliserons les formules obtenues ci-dessus.
- ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).
Définition 1
Si pour chaque paire $(x,y)$ de valeurs de deux variables indépendantes d'un certain domaine une certaine valeur $z$ est associée, alors $z$ est dit être une fonction de deux variables $(x,y) $. Notation : $z=f(x,y)$.
Dans une relation les fonctions$z=f(x,y)$ considérons les concepts d'incréments généraux (total) et partiels d'une fonction.
Soit une fonction $z=f(x,y)$ de deux variables indépendantes $(x,y)$.
Note 1
Puisque les variables $(x,y)$ sont indépendantes, l'une d'elles peut changer, tandis que l'autre reste constante.
Donnons à la variable $x$ un incrément de $\Delta x$, tout en gardant la valeur de la variable $y$ inchangée.
Alors la fonction $z=f(x,y)$ recevra un incrément, qui sera appelé l'incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à la variable $x$. Désignation:
De même, nous donnerons à la variable $y$ un incrément de $\Delta y$, tout en gardant la valeur de la variable $x$ inchangée.
Alors la fonction $z=f(x,y)$ recevra un incrément, qui sera appelé l'incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à la variable $y$. Désignation:
Si l'argument $x$ reçoit un incrément $\Delta x$ et que l'argument $y$ reçoit un incrément $\Delta y$, alors l'incrément complet de la fonction donnée $z=f(x,y)$ Est obtenu. Désignation:
Ainsi nous avons :
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $x$ ;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $y$ ;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Exemple 1
Solution:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ sur $x$ ;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Exemple 2
Calculez l'incrément partiel et total de la fonction $z=xy$ au point $(1;2)$ pour $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ sur $x$
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $y$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Ainsi,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Note 2
L'incrément total d'une fonction donnée $z=f(x,y)$ n'est pas égal à la somme de ses incréments partiels $\Delta _(x) z$ et $\Delta _(y) z$. Notation mathématique : $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
Exemple 3
Vérifier les remarques de l'instruction pour la fonction
Solution:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (obtenu dans l'exemple 1)
Trouvons la somme des incréments partiels d'une fonction donnée $z=f(x,y)$
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
Définition 2
Si pour chaque triple $(x,y,z)$ de valeurs de trois variables indépendantes d'un certain domaine une certaine valeur $w$ est associée, alors $w$ est dit être une fonction de trois variables $(x, y,z)$ dans cette zone.
Notation : $w=f(x,y,z)$.
Définition 3
Si pour chaque ensemble $(x,y,z,...,t)$ de valeurs de variables indépendantes d'une certaine région une certaine valeur $w$ est associée, alors $w$ est dit être fonction de les variables $(x,y, z,...,t)$ dans cette zone.
Notation : $w=f(x,y,z,...,t)$.
Pour une fonction à trois variables ou plus, de la même manière que pour une fonction à deux variables, des incréments partiels sont déterminés pour chacune des variables :
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z,... ,t )$ par $z$ ;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - incrément partiel de la fonction $w =f (x,y,z,...,t)$ par $t$.
Exemple 4
Écrire des fonctions d'incrémentation partielle et totale
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $x$
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $y$ ;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $z$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - incrément total de la fonction $w=f(x,y,z)$.
Exemple 5
Calculer l'incrément partiel et total de la fonction $w=xyz$ au point $(1;2;1)$ pour $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Deltaz=0,1$.
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $x$
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ de $y$ ;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $z$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - incrément total de la fonction $w=f(x,y,z)$.
Ainsi,
\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]
AVEC point géométrique En termes de vue, l'incrément total de la fonction $z=f(x,y)$ (par définition $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) est égal à l'incrément de l'appliqué du graphique de la fonction $z =f(x,y)$ lors du passage du point $M(x,y)$ au point $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (Fig.1).
Image 1.