v lékařské a biologické fyzice
PŘEDNÁŠKA č. 1
DERIVÁTOVÉ A DIFERENCIÁLNÍ FUNKCE.
ČÁSTEČNÉ DERIVACE.
1. Pojem derivace, její mechanický a geometrický význam.
A ) Přírůstek argumentu a funkce.
Nechť je dána funkce y=f(x), kde x je hodnota argumentu z definičního oboru funkce. Pokud vyberete dvě hodnoty argumentu x o a x z určitého intervalu domény definice funkce, pak se rozdíl mezi dvěma hodnotami argumentu nazývá přírůstek argumentu: x - x o = ∆x.
Hodnotu argumentu x lze určit pomocí x 0 a jeho přírůstku: x = x o + ∆x.
Rozdíl mezi dvěma funkčními hodnotami se nazývá přírůstek funkce: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).
Přírůstek argumentu a funkce lze znázornit graficky (obr. 1). Přírůstek argumentu a přírůstek funkce může být kladný nebo záporný. Jak vyplývá z obr. 1, geometricky je přírůstek argumentu ∆х reprezentován přírůstkem úsečky a přírůstek funkce ∆у přírůstkem pořadnice. Přírůstek funkce by se měl vypočítat v následujícím pořadí:
dáme argumentu přírůstek ∆x a dostaneme hodnotu – x+Δx;
2) najděte hodnotu funkce pro hodnotu argumentu (x+∆x) – f(x+∆x);
3) najděte přírůstek funkce ∆f=f(x + ∆x) - f(x).
Příklad: Určete přírůstek funkce y=x 2, pokud se argument změnil z x o =1 na x=3. Pro bod x o je hodnota funkce f(x o) = x² o; pro bod (x o +∆x) hodnota funkce f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, odkud ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ;
∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.b)
Problémy vedoucí k pojmu derivace. Definice derivace, její fyzikální význam.
Pojem přírůstek argumentu a funkce je nutné pro zavedení pojmu derivace, který historicky vznikl na základě potřeby určovat rychlost určitých procesů.
Zvažme, jak můžete určit rychlost přímočarého pohybu. Nechme těleso přímočarý pohyb podle zákona: ∆S= ·∆t. Pro rovnoměrný pohyb:= ∆S/∆t. Pro střídavý pohyb určuje hodnota ∆Ѕ/∆t hodnotu prům. , tj. prům. =∆S/∆t.Ale neumožňuje odrážet rysy pohybu těla a poskytnout představu o skutečné rychlosti v čase t. Když se časový úsek sníží, tzn. při ∆t→0 se průměrná rychlost blíží své hranici – okamžitá rychlost:
okamžitě =
prům. =
∆S/∆t.
Okamžitá rychlost chemické reakce se určuje stejným způsobem:
okamžitě =
prům. =
∆х/∆t,
kde x je množství látky vytvořené během chemické reakce za dobu t. Podobné problémy určování rychlosti různých procesů vedly k zavedení do matematiky pojmu derivační funkce.
Nechť je dána spojitá funkce f(x), definovaná na intervalu ]a, v[tj. její inkrement ∆f=f(x+∆x)–f(x).
je funkcí ∆x a vyjadřuje průměrnou rychlost změny funkce.
Poměrový limit , kdy ∆х→0, za předpokladu, že tato limita existuje, se nazývá derivace funkce :
y" x =
.
Derivát je označen:
– (Yigre tah X); "
(x) – (eff prvočíslo na x) ;
y" – (řecká mrtvice); dy/dх –
(de igrek od de x);
- (Řecky s tečkou).
Na základě definice derivace můžeme říci, že okamžitá rychlost přímočarého pohybu je časovou derivací dráhy:
okamžitě = S" t = f " (t).
Můžeme tedy dojít k závěru, že derivace funkce vzhledem k argumentu x je okamžitá rychlost změny funkce f(x):
y" x = f " (x)= okamžitě.
Toto je fyzikální význam derivátu. Proces hledání derivace se nazývá derivace, takže výraz „diferencovat funkci“ je ekvivalentní výrazu „najít derivaci funkce“.
PROTI)Geometrický význam derivace.
P
derivace funkce y = f(x) má jednoduchý geometrický význam spojený s konceptem tečny ke zakřivené přímce v nějakém bodě M. Přitom tečna, tzn. přímka je analyticky vyjádřena jako y = kx = tan· x, kde
–
úhel sklonu tečny (přímky) k ose X Představme si spojitou křivku jako funkci y = f(x), vezměme na křivce bod M1 a v jeho blízkosti bod M1 a narýsujeme sečnu. jejich prostřednictvím. Její sklon k sec =tg β = .Přiblížíme-li bod M 1 k M, pak přírůstek v argumentu ∆x
bude mít tendenci k nule a sečna v β=α zaujme pozici tečny. Z obr. 2 vyplývá: tgα =
tgβ =
=y" x. Ale tgα se rovná sklonu tečny ke grafu funkce:
k = tgα =
=y" x = f "
(X). Úhlový koeficient tečny ke grafu funkce v daném bodě se tedy rovná hodnotě její derivace v bodě tečnosti. Toto je geometrický význam derivace.
G)Obecné pravidlo pro nalezení derivace.
Na základě definice derivace lze proces derivování funkce znázornit takto:
f(x+∆x) = f(x)+∆f;
najděte přírůstek funkce: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);
vytvořte poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu:
;
Příklad: f(x)=x2; " F
(x)=?. Jak je však vidět i z toho jednoduchý příklad Aplikace uvedené sekvence při užívání derivátů je pracný a složitý proces. Proto pro různé funkce zavádíme obecné vzorce
diferenciace, které jsou prezentovány ve formě tabulky „Základních vzorců pro derivování funkcí“.
Velmi snadno zapamatovatelné. No, nechoďme daleko, pojďme okamžitě uvažovat o inverzní funkci. Která funkce je inverzní exponenciální funkce
? Logaritmus:
V našem případě je základem číslo:
Takový logaritmus (tedy logaritmus se základem) se nazývá „přirozený“ a používáme pro něj speciální zápis: místo toho píšeme.
čemu se to rovná? Samozřejmě, .
Derivace přirozeného logaritmu je také velmi jednoduchá:
- Příklady:
- Najděte derivaci funkce.
Jaká je derivace funkce? Odpovědi: Vystavovatel a přirozený logaritmus - funkce jsou z hlediska derivací jedinečně jednoduché. Exponenciální a logaritmické funkce s jakoukoli jinou bází budou mít jinou derivaci, kterou budeme analyzovat později pojďme si projít pravidla
diferenciace.
Pravidla diferenciace
Pravidla čeho? Zase nový termín, zase?!... Diferenciace
je proces hledání derivátu.
To je vše. Jak jinak lze tento proces nazvat jedním slovem? Ne derivace... Matematici nazývají diferenciál stejným přírůstkem funkce at. Tento výraz pochází z latinského differentia – rozdíl. Tady.
Při odvozování všech těchto pravidel použijeme dvě funkce, například a. Budeme také potřebovat vzorce pro jejich přírůstky:
Existuje celkem 5 pravidel.
Konstanta je vyjmuta z derivačního znaménka.
Pokud - nějaké konstantní číslo (konstanta), pak.
Toto pravidlo samozřejmě funguje i pro rozdíl: .
Pojďme to dokázat. Nech to být, nebo jednodušší.
Příklady.
- Najděte derivace funkcí:
- Najděte derivace funkcí:
- Najděte derivace funkcí:
- v bodě;
na místě.
- Řešení: (derivát je ve všech bodech stejný, protože toto lineární funkce
, Pamatuj si?);
Derivát produktu
Zde je vše podobné: zavedeme novou funkci a najdeme její přírůstek:
Derivace přirozeného logaritmu je také velmi jednoduchá:
- Derivát:
- Najděte derivace funkcí a;
na místě.
Najděte derivaci funkce v bodě.
Derivace exponenciální funkce
Tak kde je nějaké číslo.
Derivaci funkce již známe, zkusme tedy naši funkci zredukovat na nový základ:
K tomu použijeme jednoduché pravidlo: . Pak:
No, povedlo se. Nyní zkuste najít derivaci a nezapomeňte, že tato funkce je složitá.
Stalo?
Zde se přesvědčte:
Ukázalo se, že vzorec je velmi podobný derivaci exponentu: jak byl, zůstává stejný, objevil se pouze faktor, což je jen číslo, ale ne proměnná.
Derivace přirozeného logaritmu je také velmi jednoduchá:
Najděte derivace funkcí:
Jaká je derivace funkce?
To je jen číslo, které se bez kalkulačky nedá spočítat, to znamená, že už se nedá zapsat v jednoduché formě. Proto jej v odpovědi ponecháme v této podobě.
Všimněte si, že zde je podíl dvou funkcí, takže použijeme odpovídající pravidlo diferenciace:
V tomto příkladu součin dvou funkcí:
Derivace logaritmické funkce
Tady je to podobné: derivaci přirozeného logaritmu už znáte:
Chcete-li tedy najít libovolný logaritmus s jiným základem, například:
Musíme tento logaritmus zmenšit na základnu. Jak změníte základ logaritmu? Doufám, že si pamatujete tento vzorec:
Teprve teď místo toho napíšeme:
Jmenovatel je jednoduše konstanta (konstantní číslo, bez proměnné). Derivát se získá velmi jednoduše:
Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí se v jednotné státní zkoušce téměř nikdy nenacházejí, ale nebude zbytečné je znát.
Derivace komplexní funkce.
Co je to "komplexní funkce"? Ne, toto není logaritmus ani arkustangens. Těmto funkcím může být obtížné porozumět (ačkoli pokud se vám zdá logaritmus obtížný, přečtěte si téma „Logaritmy“ a budete v pořádku), ale z matematického hlediska slovo „složitý“ neznamená „obtížný“.
Představte si malý dopravníkový pás: dva lidé sedí a provádějí nějaké akce s nějakými předměty. První například zabalí čokoládovou tyčinku do obalu a druhý ji převáže stuhou. Výsledkem je složený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a převázaná stuhou. Chcete-li sníst čokoládovou tyčinku, musíte provést opačné kroky v opačném pořadí.
Vytvořme podobnou matematickou pipeline: nejprve najdeme kosinus čísla a poté odmocnime výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoláda), najdu jeho kosinus (obal) a pak urovnáte, co jsem dostal (svažte to stuhou). Co se stalo? Funkce. Toto je příklad komplexní funkce: když, abychom zjistili její hodnotu, provedeme první akci přímo s proměnnou a poté druhou akci s tím, co vyplynulo z první.
Jinými slovy, komplexní funkce je funkce, jejímž argumentem je jiná funkce: .
Pro náš příklad, .
Stejné kroky můžeme snadno provést v opačném pořadí: nejprve to odmocníte a já pak hledám kosinus výsledného čísla: . Je snadné odhadnout, že výsledek bude téměř vždy jiný. Důležitá vlastnost komplexních funkcí: když se změní pořadí akcí, změní se funkce.
Druhý příklad: (totéž). .
Akce, kterou uděláme jako poslední, bude vyvolána „externí“ funkce, a akce provedená jako první – podle toho „vnitřní“ funkce(jedná se o neformální názvy, používám je pouze k vysvětlení látky jednoduchým jazykem).
Zkuste sami určit, která funkce je vnější a která vnitřní:
Jaká je derivace funkce? Oddělení vnitřních a vnějších funkcí je velmi podobné změně proměnných: například ve funkci
- Jakou akci provedeme jako první? Nejprve vypočítejme sinus a teprve potom jej počítejme. To znamená, že jde o vnitřní funkci, ale o vnější.
A původní funkcí je jejich složení: . - Interní: ; externí: .
Vyšetření: . - Interní: ; externí: .
Vyšetření: . - Interní: ; externí: .
Vyšetření: . - Interní: ; externí: .
Vyšetření: .
Změníme proměnné a dostaneme funkci.
Nyní vyjmeme naši čokoládovou tyčinku a budeme hledat derivát. Postup je vždy obrácený: nejprve hledáme derivaci vnější funkce, poté výsledek vynásobíme derivací vnitřní funkce. Ve vztahu k původnímu příkladu to vypadá takto:
Další příklad:
Pojďme tedy konečně formulovat oficiální pravidlo:
Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:
Vypadá to jednoduše, že?
Podívejme se na příklady:
na místě.
1) Interní: ;
Externí: ;
2) Interní: ;
(Jen to teď nezkoušejte odříznout! Z pod kosinusu nic nevychází, pamatujete?)
3) Interní: ;
Externí: ;
Okamžitě je jasné, že se jedná o tříúrovňovou komplexní funkci: vždyť to je již sama o sobě komplexní funkce a navíc z ní extrahujeme kořen, to znamená, že provedeme třetí akci (dáme čokoládu do obalu a se stuhou v kufříku). Není ale důvod se bát: i tak tuto funkci „rozbalíme“ ve stejném pořadí jako obvykle: od konce.
To znamená, že nejprve rozlišujeme kořen, potom kosinus a teprve potom výraz v závorkách. A pak to všechno znásobíme.
V takových případech je vhodné akce očíslovat. To znamená, že si představme, co víme. V jakém pořadí provedeme akce pro výpočet hodnoty tohoto výrazu? Podívejme se na příklad:
Čím později je akce provedena, tím „externější“ bude odpovídající funkce. Pořadí akcí je stejné jako dříve:
Zde je hnízdění obecně 4-úrovňové. Pojďme určit postup.
1. Radikální vyjádření. .
2. Kořen. .
3. Sinus. .
4. Čtverec. .
5. Dejte to všechno dohromady:
DERIVÁT. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH
Derivace funkce- poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu pro nekonečně malý přírůstek argumentu:
Základní deriváty:
Pravidla rozlišování:
Konstanta je vyjmuta z derivačního znaménka:
Derivát součtu:
Derivát produktu:
Derivát kvocientu:
Derivace komplexní funkce:
Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:
- Definujeme „vnitřní“ funkci a najdeme její derivaci.
- Definujeme „externí“ funkci a najdeme její derivaci.
- Výsledky prvního a druhého bodu vynásobíme.
Ne vždy nás život zajímá přesné hodnoty jakékoli množství. Někdy je zajímavé znát změnu této veličiny, například průměrnou rychlost autobusu, poměr množství pohybu k časovému úseku atd. Chcete-li porovnat hodnotu funkce v určitém bodě s hodnotami stejné funkce v jiných bodech, je vhodné použít pojmy jako „přírůstek funkce“ a „přírůstek argumentu“.
Pojmy „přírůstek funkce“ a „přírůstek argumentu“
Řekněme, že x je nějaký libovolný bod, který leží v nějakém okolí bodu x0. Přírůstek argumentu v bodě x0 je rozdíl x-x0. Přírůstek je označen následovně: ∆х.
- ∆x=x-x0.
Někdy se této veličině říká také přírůstek nezávisle proměnné v bodě x0. Ze vzorce vyplývá: x = x0+∆x. V takových případech říkají, že počáteční hodnota nezávisle proměnné x0 obdržela přírůstek ∆x.
Pokud změníme argument, změní se i hodnota funkce.
- f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).
Přírůstek funkce f v bodě x0, odpovídající přírůstek ∆х je rozdíl f(x0 + ∆х) - f(x0). Přírůstek funkce je označen následovně: ∆f. Podle definice tedy dostáváme:
- ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).
Někdy se ∆f nazývá také přírůstek závislé proměnné a ∆у se pro toto označení používá, pokud funkce byla např. y=f(x).
Geometrický význam přírůstku
Podívejte se na následující obrázek.
Jak vidíte, přírůstek ukazuje změnu na ose a úsečce bodu. A poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu určuje úhel sklonu sečny procházející počáteční a konečnou polohou bodu.
Podívejme se na příklady inkrementace funkce a argumentu
Příklad 1 Najděte přírůstek argumentu ∆x a přírůstek funkce ∆f v bodě x0, jestliže f(x) = x 2, x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1
Použijme výše uvedené vzorce:
a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;
- ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;
b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;
- ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.
Příklad 2 Vypočítejte přírůstek ∆f pro funkci f(x) = 1/x v bodě x0, pokud je přírůstek argumentu roven ∆x.
Opět použijeme vzorce získané výše.
- ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).
Definice 1
Pokud je pro každý pár $(x,y)$ hodnot dvou nezávislých proměnných z nějaké domény přidružena určitá hodnota $z$, pak se říká, že $z$ je funkcí dvou proměnných $(x,y) $. Zápis: $z=f(x,y)$.
Ve vztahu funkcí$z=f(x,y)$ uvažujme koncepty obecných (celkových) a částečných přírůstků funkce.
Nechť je dána funkce $z=f(x,y)$ dvou nezávislých proměnných $(x,y)$.
Poznámka 1
Protože proměnné $(x,y)$ jsou nezávislé, jedna z nich se může měnit, zatímco druhá zůstává konstantní.
Dejme proměnné $x$ přírůstek $\Delta x$, přičemž hodnotu proměnné $y$ zachováme nezměněnou.
Poté funkce $z=f(x,y)$ obdrží přírůstek, který se bude nazývat částečný přírůstek funkce $z=f(x,y)$ vzhledem k proměnné $x$. Označení:
Podobně dáme proměnné $y$ přírůstek $\Delta y$, přičemž hodnotu proměnné $x$ zachováme nezměněnou.
Poté funkce $z=f(x,y)$ obdrží přírůstek, který se bude nazývat částečný přírůstek funkce $z=f(x,y)$ vzhledem k proměnné $y$. Označení:
Pokud je argumentu $x$ dán přírůstek $\Delta x$ a argument $y$ má přírůstek $\Delta y$, pak je plný přírůstek dané funkce $z=f(x,y)$ se získá. Označení:
Máme tedy:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - částečný přírůstek funkce $z=f(x,y)$ o $x$;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - částečný přírůstek funkce $z=f(x,y)$ o $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - celkový přírůstek funkce $z=f(x,y)$.
Příklad 1
Řešení:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - částečný přírůstek funkce $z=f(x,y)$ přes $x$;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - částečný přírůstek funkce $z=f(x,y)$ vzhledem k $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - celkový přírůstek funkce $z=f(x,y)$.
Příklad 2
Vypočítejte částečný a celkový přírůstek funkce $z=xy$ v bodě $(1;2)$ pro $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.
Řešení:
Definicí dílčího přírůstku zjistíme:
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - částečný přírůstek funkce $z=f(x,y)$ přes $x$
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - částečný přírůstek funkce $z=f(x,y)$ o $y$;
Podle definice celkového přírůstku zjistíme:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - celkový přírůstek funkce $z=f(x,y)$.
Proto,
\[\Delta _(x) z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Poznámka 2
Celkový přírůstek dané funkce $z=f(x,y)$ není roven součtu jejích dílčích přírůstků $\Delta _(x) z$ a $\Delta _(y) z$. Matematický zápis: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
Příklad 3
Zkontrolujte funkci příkazu
Řešení:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (získáno v příkladu 1)
Najdeme součet dílčích přírůstků dané funkce $z=f(x,y)$
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
Definice 2
Pokud je ke každé trojici $(x,y,z)$ hodnot tří nezávislých proměnných z nějaké domény přidružena určitá hodnota $w$, pak se říká, že $w$ je funkcí tří proměnných $(x, y,z)$ v této oblasti.
Zápis: $w=f(x,y,z)$.
Definice 3
Pokud je ke každé množině $(x,y,z,...,t)$ hodnot nezávislých proměnných z určité oblasti přidružena určitá hodnota $w$, pak se říká, že $w$ je funkcí proměnné $(x,y, z,...,t)$ v této oblasti.
Zápis: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Pro funkci tří nebo více proměnných se stejným způsobem jako pro funkci dvou proměnných určí dílčí přírůstky pro každou z proměnných:
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - částečný přírůstek funkce $w=f(x,y,z,... ,t )$ o $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - částečný přírůstek funkce $w =f (x,y,z,...,t)$ o $t$.
Příklad 4
Napište funkce částečného a celkového přírůstku
Řešení:
Definicí dílčího přírůstku zjistíme:
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - částečný přírůstek funkce $w=f(x,y,z)$ přes $x$
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - částečný přírůstek funkce $w=f(x,y,z)$ přes $y$;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - částečný přírůstek funkce $w=f(x,y,z)$ přes $z$;
Podle definice celkového přírůstku zjistíme:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - celkový přírůstek funkce $w=f(x,y,z)$.
Příklad 5
Vypočítejte částečný a celkový přírůstek funkce $w=xyz$ v bodě $(1;2;1)$ pro $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.
Řešení:
Definicí dílčího přírůstku zjistíme:
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - částečný přírůstek funkce $w=f(x,y,z)$ přes $x$
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - částečný přírůstek funkce $w=f(x,y,z)$ přes $y$;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - částečný přírůstek funkce $w=f(x,y,z)$ přes $z$;
Podle definice celkového přírůstku zjistíme:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - celkový přírůstek funkce $w=f(x,y,z)$.
Proto,
\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]
S geometrický bod Z pohledu pohledu celkový přírůstek funkce $z=f(x,y)$ (podle definice $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) se rovná přírůstku aplikace grafu funkce $z =f(x,y)$ při pohybu z bodu $M(x,y)$ do bodu $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (obr. 1).
Obrázek 1.