Kladná a záporná čísla se učí na samém začátku kurzu matematiky, v šesté třídě. Přestože další školení vyžaduje neustálou práci s těmito čísly, není divu, že se postupem času na některé drobnosti zapomene – a lidé začnou dělat vážné chyby.
Násobení a dělení jsou některé z nejběžnějších operací s čísly, která mají různá znaménka. Pojďme na to přijít a zapamatovat si, jak násobit a rozdělit taková čísla mezi sebe a uvést do odpovědi správné znaménko.
Násobení čísel různými znaménky
Toto pravidlo je jedno z nejjednodušších v aritmetice.
- Pokud máme před sebou určité kladné číslo „a“ a potřebujeme ho vynásobit záporným číslem „z“, pak čísla jednoduše vynásobíme – a pak před výsledek dáme znaménko „mínus“.
- Dá se to říct takto – násobit čísla mezi sebou různá znamení, musíte mezi sebou vynásobit moduly násobičů a poté v odpovědi vrátit znaménko mínus.
Pro příkaz je platný následující digitální zápis: -a*z = - (|a|*|z|). Připomínáme také, že pro nulu platí zvláštní pravidla – pokud se jí vynásobí jakékoli číslo, kladné nebo záporné, odpověď bude v každém případě nula.
Uveďme si pár jednoduchých příkladů.
- Pokud výraz vypadá – 5*6, pak je třeba jej vyřešit následovně: -5*6 = - (|5|*|6|) = - 30.
- Pokud je výraz následujícího typu - - 7*0, pak se do odpovědi okamžitě zapíše 0.
Dělení čísel různými znaménky
Pro takové případy také platí velmi jednoduché pravidlo. Je to podobné jako v předchozím - pokud úkol vyžaduje dělení „–a“ „b“ nebo „a“ pomocí „–b“, pak nejprve vezmeme moduly čísel, jejich absolutní hodnoty a provedeme dělení proces bez jakéhokoli přeskupení dividendy a dělitele .
Tímto způsobem se najde podíl - a pak se k němu přidá znaménko mínus. Nezáleží na tom, zda je dividenda záporné číslo, nebo naopak, číslo se znaménkem plus dělíme záporným - odpověď bude vždy se znaménkem mínus. Jinými slovy, pomocí numerické metody to zapíšeme takto: -a: b = - (|a| : |b|).
Například - 10: 2 = - (10:2) = - 5 nebo 21: (-3) = - (21:3) = - 7. Rozdělení nakonec není vůbec složité a obvyklé operace s čísly modulů.
A stejně jako v předchozím případě je nula ve zvláštní pozici. Jeho přítomnost ve výrazu automaticky vytvoří v odpovědi nulu. A nezáleží na tom, zda je to 0:a nebo a:0 - pokus o dělení nulou i dělení nulou dávají stejný výsledek.
Třída: 6
„Znalosti jsou souborem faktů. Moudrost je schopnost je používat"
Účel lekce: 1) odvození pravidla pro násobení kladných a záporná čísla; způsoby použití těchto pravidel v nejjednodušších případech;
2) rozvoj dovedností porovnávat, identifikovat vzorce, zobecňovat;
3) hledat různými způsoby a metody řešení praktických problémů;
4) vytvořte miniprojekt. Zpravodajský bulletin.
Zařízení: model teploměru, karty pro vzájemný simulátor, projektor.
Během vyučování
Pozdravy. Zjistěte který nové téma Dnes se na to podíváme ústní počítání. Vypočítejte příklady, nahraďte odpovědi písmeny pomocí „číslo - písmeno“.
Snímek č. 1 Přemýšlejte trochu
Snímek č. 2 Kdo je to?
Indický matematik Brahmagupta, který žil v 7. století, představoval kladná čísla jako „vlastnosti“ a záporná čísla jako „dluhy“.
Pravidla pro sčítání kladných a záporných čísel vyjádřil takto:
„Součet dvou vlastností je vlastnost“:
„Součet dvou dluhů je dluh“:
A pravidlo se naučíme poté, co zvážíme téma „Násobení záporných a kladných čísel“
Vaším úkolem je naučit se násobit kladná a záporná čísla a také násobit záporná čísla.
Vypracujeme miniprojekt.
Mini projekt.
Zpravodajský bulletin
"Násobení kladných a záporných čísel"
Práce ve skupinách (4 skupiny).(Akce je umístěna v matematickém simulátoru)
Úkol 1 (1 skupina)
Teplota vzduchu klesá každou hodinu o dva stupně. Nyní teploměr ukazuje nula stupňů. Jakou teplotu ukáže po třech hodinách? Nakreslete to na souřadnicovou čáru. Uveďte podobné příklady. Udělejte závěr a zobecněte.
Řešení:
Protože nyní je teplota nula stupňů a každou hodinu klesne o 2 stupně, pak za 3 hodiny bude rovna -6,
(-2) 3=-(23)=-6
Úkol 1 (skupina 2)
Teplota vzduchu klesá každou hodinu o dva stupně. Nyní teploměr ukazuje nula stupňů. Jakou teplotu vzduchu ukazoval teploměr před 3 hodinami? Nakreslete to na souřadnicovou čáru. Dojít k závěru.
Řešení:
Protože teplota každou hodinu klesá o dva stupně a nyní je nula stupňů, pak před 3 hodinami bylo +6.
(-2)·(-3)=2.3=6
Úkol 1 (skupina 3)
Továrna vyrábí 200 za den pánské obleky. Když začali vyrábět obleky nového stylu, spotřeba látky na oblek se změnila na -0,4 m2. Jak moc se změnila spotřeba látky u obleků za den?
Řešení:
To znamená, že spotřeba látky na obleky za den se změnila na -80.
(-0,4) 200=-(0,4200)=-80.
Úkol 1 (skupina 4)
Teplota vzduchu klesá každou hodinu o dva stupně. Nyní teploměr ukazuje nula stupňů. Jakou teplotu vzduchu ukazoval teploměr před 4 hodinami?
Řešení:
Protože teplota každou hodinu klesá o dva stupně a nyní je nula stupňů, pak před 4 hodinami bylo +8, tzn.
(-2)·(-4)=2-4=8
Závěry (studenti zadávají informace do vzhledu zpravodaje).
Snímek číslo 4 Dobře si promyslete
Primární porozumění a aplikace naučeného.
Stolní práce u tabule a v terénu (pomocí rozložení newsletteru).
Opakujeme pravidlo (žáci kladou otázky).
Práce s učebnicí:
- 1 student: č. 1105 (f, h, i) 2 student: č. 1105 (k, l, m)
- č. 1107 (pracujeme ve skupinách) Skupina 1: a), d);
Skupina 2: b), d);
Skupina 3: c), d).
Minuta tělesné výchovy (2 min.)
Opakujeme pravidlo pro rovnici kladných a záporných čísel.
Snímek č. 5 Úkol 2
Úkol 2 (stejný pro všechny skupiny).
Použijte komutativní a asociativní vlastnost, proveďte součin několika čísel a vyvodte závěr:
Pokud je počet záporných faktorů sudý, pak je součin číslo _?_
Pokud je počet záporných faktorů lichý, pak je součin číslo _?_
Přidejte do vzhledu zpravodaje ještě jednu informaci.
Snímek č. 6 Pravidlo znamení.
Určete znak produktu:
1) „+“·«-»·«-»·«+»·«-»·«-»
2) „-“·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«+»·«-»·«-»
3) „-“·«+»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«-»·«+»·«-»·«-»·«+»
Pojďme si tedy projít celý bulletin a zopakovat si pravidla a aplikovat je na řešení úkolů na kartách.
Simulátor (4 možnosti).
Zkontroluj se.
Odpovědi na karty.
1 možnost | Možnost 2 | Možnost 3 | Možnost 4 | |
1) | 18 | 20 | 24 | 18 |
2) | -20 | -18 | -18 | -24 |
3) | -24 | 16 | 24 | 18 |
4) | 15 | -15 | 1 | -2 |
5) | -4 | 0 | -5 | 0 |
6) | 0 | 2 | 2 | -5 |
7) | -1 | -3 | -1,5 | -3 |
8) | -0,8 | -3,5 | -4,8 | 3,6 |
Tento článek dává podrobná recenze dělení čísel různými znaménky. Nejprve je uvedeno pravidlo pro dělení čísel s různými znaménky. Níže jsou uvedeny příklady dělení kladných čísel zápornými a záporných čísel kladnými.
Navigace na stránce.
Pravidlo pro dělení čísel různými znaménky
V členění celých čísel bylo získáno pravidlo pro dělení celých čísel s různými znaménky. Lze jej rozšířit jak na racionální čísla, tak na reálná čísla opakováním všech úvah z výše uvedeného článku.
Tak, pravidlo pro dělení čísel s různými znaménky má následující formulaci: Chcete-li vydělit kladné číslo záporným nebo záporné číslo kladným, musíte vydělit dělenec modulem dělitele a před výsledné číslo umístit znaménko mínus.
Napišme toto pravidlo dělení pomocí písmen. Pokud mají čísla a a b různá znaménka, pak vzorec platí a:b=−|a|:|b| .
Z uvedeného pravidla je zřejmé, že výsledkem dělení čísel s různými znaménky je záporné číslo. Protože modul dělení a modul dělitele jsou kladná čísla, jejich podíl je kladné číslo a znaménko mínus činí toto číslo záporným.
Všimněte si, že uvažované pravidlo redukuje dělení čísel s různými znaménky na dělení kladných čísel.
Můžete uvést jinou formulaci pravidla pro dělení čísel s různými znaménky: pro dělení čísla a číslem b je třeba vynásobit číslo a číslem b −1, převráceným k číslu b. to znamená, a:b=a b −1 .
Toto pravidlo lze použít, když je možné jít za množinu celých čísel (protože ne každé celé číslo má inverzní). Jinými slovy, platí pro množinu racionálních čísel i množinu reálných čísel.
Je jasné, že toto pravidlo pro dělení čísel s různými znaménky umožňuje přejít od dělení k násobení.
Stejné pravidlo se používá při dělení záporných čísel.
Zbývá zvážit, jak se toto pravidlo pro dělení čísel s různými znaménky uplatní při řešení příkladů.
Příklady dělení čísel různými znaménky
Podívejme se na řešení několika charakteristik příklady dělení čísel různými znaménky pochopit princip aplikace pravidel z předchozího odstavce.
Příklad.
Vydělte záporné číslo −35 kladným číslem 7.
Řešení.
Pravidlo pro dělení čísel s různými znaménky předepisuje nejprve najít moduly děliče a dělitele. Modul −35 je 35 a modul 7 je 7. Nyní musíme vydělit modul dividendy modulem dělitele, to znamená, že potřebujeme vydělit 35 7. Když si zapamatujeme, jak se provádí dělení přirozených čísel, dostaneme 35:7=5. Posledním krokem, který zbývá do pravidla pro dělení čísel s různými znaménky, je dát před výsledné číslo mínus, máme −5.
Zde je celé řešení: .
Bylo možné vyjít z jiné formulace pravidla pro dělení čísel s různými znaménky. V tomto případě nejprve najdeme převrácenou hodnotu dělitele 7. Toto číslo je společný zlomek 1/7. Tím pádem, . Zbývá násobit čísla s různými znaménky: . Pochopitelně jsme došli ke stejnému výsledku.
Odpovědět:
(−35):7=−5 .
Příklad.
Vypočítejte podíl 8:(−60) .
Řešení.
Podle pravidla pro dělení čísel s různými znaménky máme 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Výsledný výraz odpovídá zápornému obyčejnému zlomku (viz dělení jako zlomkový pruh), zlomek můžete zmenšit o 4, dostaneme .
Celé řešení si stručně zapišme: .
Odpovědět:
.
Při dělení zlomků racionální čísla s různými znaménky jsou jejich dividenda a dělitel obvykle reprezentovány jako obyčejné zlomky. To je způsobeno tím, že není vždy vhodné provádět dělení čísly v jiném zápisu (například v desítkové soustavě).
Příklad.
Řešení.
Modul dělitele je roven , a modul dělitele je roven 0,(23) . Abychom vydělili modul děliče modulem děliče, přejděme k obyčejným zlomkům.
Převedeme smíšené číslo na obyčejný zlomek: , a
V tomto článku uvedeme definici dělení záporného čísla záporným, formulujeme a zdůvodníme pravidlo, uvedeme příklady dělení záporných čísel a analyzujeme proces jejich řešení.
Dělení záporných čísel. Pravidlo
Připomeňme si, co je podstatou operace dělení. Tato akce zahrnuje nalezení neznámého faktoru ze známého produktu a známého jiného faktoru. Číslo c se nazývá podíl čísel a a b, jestliže součin c · b = a je pravdivý. V tomto případě a ÷ b = c.
Pravidlo pro dělení záporných čísel
Podíl dělení jednoho záporného čísla jiným záporným číslem se rovná podílu dělení modulů těchto čísel.
Nechť a a b jsou záporná čísla. Pak
a ÷ b = a ÷ b.
Toto pravidlo redukuje dělení dvou záporných čísel na dělení kladných čísel. To platí nejen pro celá čísla, ale také pro racionální a reálná čísla. Výsledkem dělení záporného čísla záporným číslem je vždy kladné číslo.
Uveďme jinou formulaci tohoto pravidla, vhodnou pro racionální a reálná čísla. Udává se pomocí reciprokých čísel a říká: vydělit záporné číslo a číslem nedefinovaným, vynásobit číslem b - 1, převrácená hodnota b.
a ÷ b = a · b - 1 .
Stejné pravidlo, které redukuje dělení na násobení, lze použít i pro dělení čísel s různými znaménky.
Rovnost a ÷ b = a · b - 1 lze dokázat pomocí vlastnosti násobení reálných čísel a definice reciprokých čísel. Zapišme si rovnosti:
a · b - 1 · b = a · b - 1 · b = a · 1 = a .
Vzhledem k definici operace dělení tato rovnost dokazuje, že existuje podíl dělení čísla číslem b.
Pojďme k příkladům.
Začněme jednoduchými případy a přejdeme ke složitějším.
Příklad 1: Jak dělit záporná čísla
Dělit - 18 na - 3.
Moduly dělitele a dividendy jsou 3 a 18. Zapišme si:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6.
Příklad 2: Jak dělit záporná čísla
Dělit - 5 krát - 2.
Podobně píšeme podle pravidla:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Stejného výsledku dosáhneme, pokud použijeme druhou formulaci pravidla s převráceným číslem.
5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Při dělení zlomkových racionálních čísel je nejvýhodnější je reprezentovat ve formě obyčejných zlomků. Konečné desetinné zlomky však lze také dělit.
Příklad 3: Jak dělit záporná čísla
Vydělme - 0,004 krát - 0,25.
Nejprve si zapíšeme moduly těchto čísel: 0,004 a 0,25.
Nyní si můžete vybrat jeden ze dvou způsobů:
- Oddělte desetinné zlomky pomocí sloupce.
- Přejděte na zlomky a dělejte dělení.
Podívejme se na oba způsoby.
1. Při dělení desetinných zlomků sloupcem posuňte desetinnou čárku o dvě číslice doprava.
Odpověď: - 0,004 ÷ 0,25 = 0,016
2. Nyní si dáme řešení s převodem desetinných zlomků na obyčejné.
0,004 = 41000; 0,25 = 25 100 0,004 ÷ 0,25 = 4 1 000 ÷ 25 100 = 4 1 000 100 25 = 4 250 = 0,016
Získané výsledky jsou konzistentní.
Na závěr poznamenáváme, že pokud jsou dělenec a dělitel iracionální čísla a jsou uvedeny v odmocnině, mocnině, logaritmu atd., zapíše se výsledek dělení ve tvaru číselné vyjádření, jehož přibližná hodnota se v případě potřeby vypočítá.
Příklad 4. Jak dělit záporná čísla
Vypočítejme podíl dělení čísel - 0, 5 a - 5.
0, 5 ÷ - 5 = - 0, 5 ÷ - 5 = 0, 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
V tomto článku zformulujeme pravidlo pro násobení záporných čísel a poskytneme jeho vysvětlení. Proces násobení záporných čísel bude podrobně diskutován. Příklady ukazují všechny možné případy.
Násobení záporných čísel
Definice 1Pravidlo pro násobení záporných čísel je, že pro vynásobení dvou záporných čísel je nutné vynásobit jejich moduly. Toto pravidlo je napsáno následovně: pro všechna záporná čísla – a, - b se tato rovnost považuje za pravdivou.
(- a) · (- b) = a · b.
Výše je pravidlo pro násobení dvou záporných čísel. Na jeho základě dokážeme výraz: (- a) · (- b) = a · b. Člen násobící čísla různými znaménky říká, že platí rovnosti a · (- b) = - a · b, stejně jako (- a) · b = - a · b. Vyplývá to z vlastnosti opačných čísel, díky které budou rovnosti zapsány takto:
(- a) · (- b) = (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.
Zde můžete jasně vidět důkaz pravidla pro násobení záporných čísel. Na základě příkladů je zřejmé, že součin dvou záporných čísel je kladné číslo. Při násobení modulů čísel je výsledkem vždy kladné číslo.
Toto pravidlo platí pro násobení reálných čísel, racionálních čísel a celých čísel.
Nyní se podívejme na příklady násobení dvou záporných čísel podrobně. Při výpočtu musíte použít pravidlo napsané výše.
Příklad 1
Vynásobte čísla - 3 a - 5.
Řešení.
Absolutní hodnota dvou násobených čísel se rovná kladným číslům 3 a 5. Výsledkem jejich produktu je 15. Z toho vyplývá, že součin daných čísel je 15
Stručně zapišme samotné násobení záporných čísel:
(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15
Odpověď: (- 3) · (- 5) = 15.
Při násobení záporných racionálních čísel pomocí diskutovaného pravidla můžete mobilizovat k násobení zlomků, násobení smíšených čísel, násobení desetinných míst.
Příklad 2
Vypočítejte součin (- 0 , 125) · (- 6) .
Řešení.
Pomocí pravidla pro násobení záporných čísel dostaneme, že (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Chcete-li získat výsledek, musíte násobit desetinný na přirozené číslo sloupců. Vypadá to takto:
Zjistili jsme, že výraz bude mít tvar (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.
Odpověď: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.
V případě, že faktory jsou iracionální čísla, lze jejich součin zapsat jako číselné vyjádření. Hodnota se počítá pouze v případě potřeby.
Příklad 3
Je nutné vynásobit záporné - 2 nezáporným log 5 1 3.
Řešení
Nalezení modulů daných čísel:
2 = 2 a log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .
Podle pravidel pro násobení záporných čísel dostaneme výsledek - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Tento výraz je odpovědí.
Odpovědět: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .
Chcete-li pokračovat ve studiu tématu, musíte zopakovat část o násobení reálných čísel.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter