Pojem numerické funkce. Metody pro specifikaci funkce. Vlastnosti funkcí.
Číselná funkce je funkce, která působí z jednoho číselného prostoru (množiny) do jiného číselného prostoru (množiny).
Tři hlavní způsoby, jak definovat funkci: analytická, tabulková a grafická.
1. Analytické.
Metoda určení funkce pomocí vzorce se nazývá analytická. Tato metoda je hlavní v podložce. analýza, ale v praxi to není pohodlné.
2. Tabulková metoda zadání funkce.
Funkci lze zadat pomocí tabulky obsahující hodnoty argumentů a jejich odpovídající hodnoty funkcí.
3. Grafický způsob zadání funkce.
O funkci y=f(x) se říká, že je dána graficky, pokud je sestrojen její graf. Tento způsob zadávání funkce umožňuje určit hodnoty funkce pouze přibližně, protože sestavení grafu a nalezení hodnot funkcí na něm je spojeno s chybami.
Vlastnosti funkce, které je třeba vzít v úvahu při konstrukci jejího grafu:
1) Oblast definice funkcí.
Funkční doména, tedy ty hodnoty, které může nabývat argument x funkce F =y (x).
2) Intervaly rostoucích a klesajících funkcí.
Funkce se nazývá rostoucí na uvažovaném intervalu, pokud vyšší hodnotu argument odpovídá větší hodnotě funkce y(x). To znamená, že pokud jsou dva libovolné argumenty x 1 a x 2 převzaty z uvažovaného intervalu a x 1 > x 2, pak y(x 1) > y(x 2).
Funkce se nazývá klesající na uvažovaném intervalu, pokud větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce y(x). To znamená, že pokud jsou dva libovolné argumenty x 1 a x 2 převzaty z uvažovaného intervalu a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Funkční nuly.
Body, ve kterých funkce F = y (x) protíná osu úsečky (získáme je řešením rovnice y(x) = 0), se nazývají nuly funkce.
4) Sudé a liché funkce.
Funkce se nazývá sudá, pokud pro všechny hodnoty argumentů od doména definice
y(-x) = y(x).
Graf sudé funkce je symetrický podle ordináty.
Funkce se nazývá lichá, pokud pro všechny hodnoty argumentu z domény definice
y(-x) = -y(x).
Graf sudé funkce je symetrický podle počátku.
Mnoho funkcí není ani sudých, ani lichých.
5) Periodicita funkce.
Funkce se nazývá periodická, pokud existuje číslo P takové, že pro všechny hodnoty argumentu z domény definice
y(x + P) = y(x).
Lineární funkce, jeho vlastnosti a graf.
Lineární funkce je funkcí tvaru y = kx + b, definované na množině všech reálných čísel.
k– sklon (skutečné číslo)
b– fiktivní termín (skutečné číslo)
x– nezávislá proměnná.
· Ve speciálním případě, je-li k = 0, získáme konstantní funkci y = b, jejímž grafem je přímka rovnoběžná s osou Ox procházející bodem se souřadnicemi (0; b).
· Je-li b = 0, pak dostaneme funkci y = kx, což je přímá úměrnost.
Ó Geometrický význam koeficient b je délka segmentu odříznutého přímkou podél osy Oy, počítáno od počátku souřadnic.
o Geometrický význam koeficientu k je úhel sklonu přímky ke kladnému směru osy Ox, počítáno proti směru hodinových ručiček.
Vlastnosti lineární funkce:
1) Definiční obor lineární funkce je celá reálná osa;
2) Pokud k ≠ 0, pak rozsah hodnot lineární funkce je celá reálná osa.
Pokud k = 0, pak rozsah hodnot lineární funkce se skládá z čísla b;
3) Rovnost a lichost lineární funkce závisí na hodnotách koeficientů k a b.
a) b ≠ 0, k = 0, tedy y = b – sudé;
b) b = 0, k ≠ 0, tedy y = kx – liché;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, proto y = kx + b je funkce celkový pohled;
d) b = 0, k = 0, proto y = 0 je sudá i lichá funkce.
4) Lineární funkce nemá vlastnost periodicity;
5) Průsečíky se souřadnicovými osami:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, proto (-b/k; 0) je průsečík s osou x.
Oy: y = 0k + b = b, proto (0; b) je průsečík s pořadnicí.
Komentář. Jestliže b = 0 ak = 0, pak funkce y = 0 zaniká pro jakoukoli hodnotu proměnné x. Jestliže b ≠ 0 ak = 0, pak funkce y = b nezaniká pro žádnou hodnotu proměnné x.
6) Intervaly stálosti znaménka závisí na koeficientu k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – kladné na x od (-b/k; +∞),
y = kx + b – záporné pro x od (-∞; -b/k).
b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – kladné na x od (-∞; -b/k),
y = kx + b – záporné pro x z (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b je kladné v celé oblasti definice,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Intervaly monotonie lineární funkce závisí na koeficientu k.
k > 0, proto y = kx + b roste v celém definičním oboru,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Funkce y = ax 2 + bx + c, její vlastnosti a graf.
Funkce y = ax 2 + bx + c (a, b, c jsou konstanty, a ≠ 0) se nazývá kvadratický V nejjednodušším případě y = ax 2 (b = c = 0) je grafem zakřivená čára procházející počátkem. Křivka sloužící jako graf funkce y = ax 2 je parabola. Každá parabola má tzv. osu symetrie osa paraboly. Nazývá se bod O průsečíku paraboly s její osou. |
vrchol paraboly Graf lze sestrojit podle následujícího schématu: 1) Najděte souřadnice vrcholu paraboly x 0 = -b/2a; yo = y(x 0). 2) Sestrojíme několik dalších bodů, které patří do paraboly, při konstrukci můžeme použít symetrie paraboly vzhledem k přímce x = -b/2a. 3) Naznačené body spojte hladkou čarou. |
Příklad. Nakreslete graf funkce b = x 2 + 2x - 3.
Řešení. Grafem funkce je parabola, jejíž větve směřují nahoru. Úsečka vrcholu paraboly x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, její pořadnice y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4.
Takže vrchol paraboly je bod (-1; -4). Sestavme tabulku hodnot pro několik bodů, které jsou umístěny vpravo od osy symetrie paraboly - přímka x = -1.
Vlastnosti funkce.
Definice lineární funkce
Uveďme definici lineární funkce
Definice
Funkce ve tvaru $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, se nazývá lineární funkce.
Grafem lineární funkce je přímka. Číslo $k$ se nazývá sklon přímky.
\ \
Když $b=0$, lineární funkce se nazývá funkce přímé úměrnosti $y=kx$.
Zvažte obrázek 1.
Rýže. 1. Geometrický význam sklonu přímky
Uvažujme trojúhelník ABC. Vidíme, že $ВС=kx_0+b$. Najdeme průsečík přímky $y=kx+b$ s osou $Ox$:
Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Pojďme najít poměr těchto stran:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
Na druhou stranu $\frac(BC)(AC)=tg\úhel A$.
Můžeme tedy vyvodit následující závěr:
- Závěr
- Geometrický význam koeficientu $k$. Úhlový koeficient přímky $k$ je roven tečně úhlu sklonu této přímky k ose $Ox$.
- Studium lineární funkce $f\left(x\right)=kx+b$ a jejího grafu
Nejprve zvažte funkci $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.
$f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. V důsledku toho se tato funkce zvyšuje v celé oblasti definice. Neexistují žádné extrémní body.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Graf (obr. 2).
- $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkce není ani sudá, ani lichá.
- Pro $x=0,f\left(0\right)=b$. Když $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.
Průsečíky se souřadnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Funkce tedy nemá žádné inflexní body.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Graf (obr. 3).
1) Funkční doména a funkční rozsah.
Doména funkce je množina všech platných hodnot argumentů x(proměnná x), pro které je funkce y = f(x) určeno. Rozsah funkce je množina všech reálných hodnot y, kterou funkce přijímá.
V elementární matematice se funkce studují pouze na množině reálných čísel.
2) Funkční nuly.
Funkce nula je hodnota argumentu, při které je hodnota funkce rovna nule.
3) Intervaly konstantního znaménka funkce.
Intervaly konstantního znaménka funkce jsou sady hodnot argumentů, na kterých jsou hodnoty funkce pouze kladné nebo pouze záporné.
4) Monotónnost funkce.
Rostoucí funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší hodnotě funkce.
Klesající funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá menší hodnotě funkce.
5) Sudá (lichá) funkce.
Sudá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice rovnost f(-x) = f(x).
Graf sudé funkce je symetrický podle ordináty. X Lichá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný z oblasti definice platí rovnost f(-x) = - f(x ). Naplánovat
lichá funkce.
symetrické podle původu.
6) Omezené a neomezené funkce.
Funkce se nazývá omezená, pokud existuje kladné číslo M takové, že |f(x)| ≤ M pro všechny hodnoty x. Pokud takové číslo neexistuje, pak je funkce neomezená. goniometrické funkce jsou periodické. (Trigonometrické vzorce).
19. Základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy. Aplikace funkcí v ekonomii.
Základní elementární funkce. Jejich vlastnosti a grafy
1. Lineární funkce.
Lineární funkce se nazývá funkce tvaru , kde x je proměnná, aab jsou reálná čísla.
Číslo A nazývá se sklon přímky, je roven tečně úhlu sklonu této přímky ke kladnému směru osy úsečky. Grafem lineární funkce je přímka. Je definována dvěma body.
Vlastnosti lineární funkce
1. Definiční obor - množina všech reálných čísel: D(y)=R
2. Množina hodnot je množina všech reálných čísel: E(y)=R
3. Funkce nabývá nulové hodnoty, když nebo.
4. Funkce se zvětšuje (snižuje) v celém definičním oboru.
5. Lineární funkce je spojitá přes celý definiční obor, diferencovatelná a .
2. Kvadratická funkce.
Volá se funkce tvaru, kde x je proměnná, koeficienty a, b, c jsou reálná čísla kvadratický
Instrukce
Je-li graf přímka procházející počátkem souřadnic a svírající s osou OX úhel α (úhel sklonu přímky ke kladné poloose OX). Funkce popisující tento řádek bude mít tvar y = kx. Koeficient úměrnosti k je roven tan α. Prochází-li přímka 2. a 4. čtvrtou souřadnic, pak k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 a funkce je rostoucí Nechť je umístěna přímka různými způsoby vzhledem k souřadnicovým osám. Toto je lineární funkce a má tvar y = kx + b, kde proměnné x a y jsou na první mocninu a kab mohou být buď kladné nebo záporné nebo rovné nule. Přímka je rovnoběžná s přímkou y = kx a odřízne se v ose |b| jednotek. Je-li přímka rovnoběžná s osou úsečky, pak k = 0, je-li osa pořadnice, pak má rovnice tvar x = konst.
Křivka sestávající ze dvou větví umístěných v různých čtvrtích a symetrických vzhledem k počátku souřadnic je hyperbola. Tento graf je inverzní závislost proměnné y na x a je popsán rovnicí y = k/x. Zde k ≠ 0 je koeficient úměrnosti. Navíc, je-li k > 0, funkce klesá; pokud k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Kvadratická funkce má tvar y = ax2 + bx + c, kde a, b a c jsou konstantní veličiny a a 0. Pokud je splněna podmínka b = c = 0, rovnice funkce vypadá y = ax2 ( nejjednodušší případ) a jeho grafem je parabola procházející počátkem. Graf funkce y = ax2 + bx + c má stejný tvar jako nejjednodušší případ funkce, ale jeho vrchol (průsečík s osou OY) neleží v počátku.
Graf je také parabola výkonová funkce, vyjádřeno rovnicí y = xⁿ, je-li n libovolné sudé číslo. Pokud n je libovolné liché číslo, bude graf takové mocninné funkce vypadat jako kubická parabola.
Je-li n libovolné , rovnice funkce má tvar. Graf funkce pro liché n bude hyperbola a pro sudé n budou jejich větve symetrické vzhledem k ose op.
zpátky dovnitř školní léta Funkce jsou podrobně studovány a jsou sestrojeny jejich grafy. Ale bohužel prakticky neučí, jak číst graf funkce a najít její typ z prezentovaného výkresu. Je to vlastně docela jednoduché, pokud si zapamatujete základní typy funkcí.
Instrukce
Pokud je prezentovaný graf , což je přes počátek souřadnic a s osou OX úhel α (což je úhel sklonu přímky ke kladné poloose), pak funkce popisující takovou přímku bude prezentováno jako y = kx. V tomto případě je koeficient úměrnosti k roven tečně úhlu α.
Pokud daná přímka prochází druhou a čtvrtou čtvrtou souřadnic, pak se k rovná 0 a funkce se zvětšuje. Nechť prezentovaný graf je přímka umístěná jakýmkoliv způsobem vzhledem k souřadnicovým osám. Pak funkce takových grafika bude lineární, což je reprezentováno tvarem y = kx + b, kde proměnné y a x jsou v první a b a k mohou nabývat záporných i kladných hodnot nebo.
Pokud je přímka rovnoběžná s přímkou s grafem y = kx a ořezává b jednotek na ose pořadnice, pak má rovnice tvar x = const, pokud je graf rovnoběžný s osou úsečky, pak k = 0.
Zakřivená čára, která se skládá ze dvou větví, symetrických kolem počátku a umístěných v různých čtvrtích, je hyperbola. Takový graf ukazuje inverzní závislost proměnné y na proměnné x a je popsán rovnicí tvaru y = k/x, kde k nemá být rovna nule, protože je to koeficient inverzní úměrnost. Navíc, pokud je hodnota k větší než nula, funkce klesá; je-li k menší než nula, zvyšuje se.
Pokud je navrhovaným grafem parabola procházející počátkem, bude mít jeho funkce za podmínky, že b = c = 0, tvar y = ax2. Toto je nejjednodušší případ kvadratická funkce. Graf funkce ve tvaru y = ax2 + bx + c bude mít stejný tvar jako v nejjednodušším případě, ale vrchol (bod, kde graf protíná osu pořadnice) nebude v počátku. V kvadratické funkci, reprezentované tvarem y = ax2 + bx + c, jsou hodnoty a, b a c konstantní, zatímco a se nerovná nule.
Parabola může být také grafem mocninné funkce vyjádřené rovnicí tvaru y = xⁿ pouze v případě, že n je libovolné sudé číslo. Pokud je hodnota n liché číslo, bude takový graf mocninné funkce reprezentován kubickou parabolou. V případě, že proměnná n je libovolná záporné číslo, rovnice funkce má tvar .
Video k tématu
Souřadnice absolutně libovolného bodu v rovině je určena jeho dvěma veličinami: podél osy úsečky a osy pořadnice. Soubor mnoha takových bodů představuje graf funkce. Z něj vidíte, jak se mění hodnota Y v závislosti na změně hodnoty X. Můžete také určit, ve kterém úseku (intervalu) funkce narůstá a ve kterém klesá.
Instrukce
Co můžete říci o funkci, je-li jejím grafem přímka? Podívejte se, zda tato čára prochází počátečním bodem souřadnic (tj. tím, kde jsou hodnoty X a Y roveny 0). Pokud projde, pak je taková funkce popsána rovnicí y = kx. Je snadné pochopit, že čím větší je hodnota k, tím blíže k ose pořadnice bude tato přímka umístěna. A samotná osa Y vlastně nekonečně odpovídá velký význam k.