Typ práce: 7
Stav
Přímka y=3x+2 je tečnou ke grafu funkce y=-12x^2+bx-10.
Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.Zobrazit řešení
Řešení
Nechť x_0 je úsečka bodu na grafu funkce y=-12x^2+bx-10, kterým prochází tečna k tomuto grafu. Hodnota derivace v bodě x_0 je rovna strmosti tečny, tedy y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhou stranu bod tečnosti náleží současně oběma grafům tečny. funkce a tečny, tedy -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2
\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)
Řešením tohoto systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1.
Typ práce: 7
Podle podmínky abscisy jsou tečné body menší než nula, takže x_0=-1, pak b=3+24x_0=-21. Odpověď Podrobit:
Stav
Geometrický význam
Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.Zobrazit řešení
derivát. Tečna ke grafu funkce
Přímka y=-3x+4 je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce y=-x^2+5x-7.
Řešením tohoto systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1.
Najděte úsečku tečného bodu. Úhlový koeficient přímky ke grafu funkce y=-x^2+5x-7 v libovolném bodě x_0 je roven y"(x_0). Ale y"=-2x+5, což znamená y" (x_0)=-2x_0+5 Úhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmínce je roven -3 Rovnoběžné úsečky mají tedy stejné úhlové koeficienty, že = -2x_0 +5=-3. Dostaneme: x_0 = 4.
Typ práce: 7
Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017.
Stav
Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.Zobrazit řešení
Úroveň profilu " Ed. F. F. Lysenko, S. Ju. Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce
Z obrázku určíme, že tečna prochází body A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) průsečík přímek x=-6 a y=1 a \alphaúhel ABC (obrázek ukazuje, že je ostrý). Potom přímka AB svírá úhel \pi -\alpha s kladným směrem osy Ox, která je tupá.
Řešením tohoto systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1.
Jak je známo, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivace funkce f(x) v bodě x_0.
Typ práce: 7
Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017.
Stav
Všimněte si toho
Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.Zobrazit řešení
Nechť x_0 je úsečka bodu na grafu funkce y=16x^2+bx+12, přes který
je tečný k tomuto grafu.
Hodnota derivace v bodě x_0 je rovna strmosti tečny, tedy y"(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhou stranu bod tečnosti náleží současně oběma grafům tečny. funkce a tečny, tedy 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)
Řešením systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1.
Řešením tohoto systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1.
Jak je známo, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivace funkce f(x) v bodě x_0.
Typ práce: 7
Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017.
Stav
Podle podmínky abscisy jsou tečné body větší než nula, takže x_0=1, pak b=-2-32x_0=-34.
Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.Zobrazit řešení
Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x), definované na intervalu (-2; 8).
Řešením tohoto systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1.
Jak je známo, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivace funkce f(x) v bodě x_0.
Typ práce: 7
Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017.
Stav
Určete počet bodů, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s přímkou y=6.
Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.Zobrazit řešení
Přímka y=6 je rovnoběžná s osou Ox. Proto najdeme body, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s osou Ox.
Řešením tohoto systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1.
Jak je známo, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivace funkce f(x) v bodě x_0.
Typ práce: 7
Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017.
Stav
Na tomto grafu jsou takové body extrémní body (maximální nebo minimální body). Jak vidíte, existují 4 extrémní body.
Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.Zobrazit řešení
Přímka y=4x-6 je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce y=x^2-4x+9.
Najděte úsečku tečného bodu. Směrnice tečny ke grafu funkce y=x^2-4x+9 v libovolném bodě x_0 je rovna y"(x_0). Ale y"=2x-4, což znamená y"(x_0)= 2x_0-4 Směrnice tečny y =4x-7, zadaná v podmínce, je rovna 4. Rovnoběžné čáry mají stejné úhlové koeficienty, najdeme tedy hodnotu x_0, že 2x_0-4=4. Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.) = 3Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 + 4Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. Z obrázku určíme, že tečna prochází body A(1; 1) a B(5; 4). Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. Označme C(5; 1) průsečík přímek x=5 a y=1 a \alpha úhel BAC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom přímka AB svírá úhel \alpha s kladným směrem osy Ox. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 = 1.
Příklad 1 Daná funkce Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. F x – 5. Zapišme rovnici tečny ke grafu funkce
= (3Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 + 4Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.) v bodě grafu s úsečkou Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. + 4.
Řešení. Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0) = Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(1) = 2; (Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. Derivace funkce
) existuje pro libovolné x = (Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0) (Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0) + Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0),
) existuje pro libovolné x = 10(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 1) + 2,
) existuje pro libovolné x = 10Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 8.
R ) existuje pro libovolné x = 10Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 8.
. Pojďme ji najít: Směrnice tečny ke grafu funkce y=x^2-4x+9 v libovolném bodě x_0 je rovna y"(x_0). Ale y"=2x-4, což znamená y"(x_0)= 2x_0-4 Směrnice tečny y =4x-7, zadaná v podmínce, je rovna 4. Rovnoběžné čáry mají stejné úhlové koeficienty, najdeme tedy hodnotu x_0, že 2x_0-4=4. Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.) = Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 3 – 3Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 + 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.– 5)′ = 6 Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. Pak 0) = = 10. Rovnice tečny má tvar: = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 11.
Příklad 1 Daná funkce Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. F x – 5. Zapišme rovnici tečny ke grafu funkce
= (Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 3 – 3Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 + 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. y Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 – 6Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. + 2.
Odpověď. Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. Příklad 2 Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 5. Zapišme rovnici tečny ke grafu funkce 0) = = 10. Rovnice tečny má tvar: = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.), rovnoběžně s čárou y+ 5)′ = 3 Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. Od tečny ke grafu funkce Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.– 6Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.) v bodě úsečky Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 je rovnoběžná s přímkou Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 = 2. Protože v obou případech Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0) = 5, pak rovně ) existuje pro libovolné x = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. + b se dotýká grafu funkce buď v bodě (0; 5) nebo v bodě (2; 5).
V prvním případě platí číselná rovnost 5 = 2×0 + b, kde b= 5 a ve druhém případě platí číselná rovnost 5 = 2×2 + b, kde b = 1.
Jsou tedy dvě tečny ) existuje pro libovolné x = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 5 a ) existuje pro libovolné x = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 1 ke grafu funkce Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.), rovnoběžně s čárou 0) = = 10. Rovnice tečny má tvar: = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 11.
R ) existuje pro libovolné x = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. + 5, ) existuje pro libovolné x = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. + 1.
Příklad 3 Směrnice tečny ke grafu funkce y=x^2-4x+9 v libovolném bodě x_0 je rovna y"(x_0). Ale y"=2x-4, což znamená y"(x_0)= 2x_0-4 Směrnice tečny y =4x-7, zadaná v podmínce, je rovna 4. Rovnoběžné čáry mají stejné úhlové koeficienty, najdeme tedy hodnotu x_0, že 2x_0-4=4. Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.) = Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 – 6Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 7. Zapišme rovnici tečny ke grafu funkce Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.), procházející bodem A (2; –5).
Příklad 1 Protože Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(2) –5, pak bod A nepatří do grafu funkce Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.). Nechat Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 - úsečka tečného bodu.
Derivace funkce Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. F x – 5. Zapišme rovnici tečny ke grafu funkce
= (Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 – 6Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 1)′ = 2 Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 6.
Řešení. Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0) = Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.– 6Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 + 7; (Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0) = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 – 6. Rovnice tečny má tvar:
) existuje pro libovolné x = (2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 – 6)(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0) + Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.– 6Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 7,
) existuje pro libovolné x = (2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 – 6)Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.– Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 7.
Od věci A patří tečně, pak platí číselná rovnost
–5 = (2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0–6)×2– Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 7,
kde Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 = 0 nebo Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 = 4. To znamená, že přes bod A ke grafu funkce můžete nakreslit dvě tečny Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.).
Li Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 = 0, pak má rovnice tečny tvar ) existuje pro libovolné x = –6Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 7. Pokud Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 0 = 4, pak má tečná rovnice tvar ) existuje pro libovolné x = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 9.
R ) existuje pro libovolné x = –6Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. + 7, ) existuje pro libovolné x = 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 9.
Příklad 4. Funkce dané Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.) = Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 – 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 2 a G(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.) = –Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 – 3. Zapišme rovnici společné tečny ke grafům těchto funkcí.
Příklad 1 Nechat Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 1 - osa tečného bodu požadované přímky s grafem funkce Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.), A Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 - úsečka tečného bodu téže přímky s grafem funkce G(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.).
Derivace funkce Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. F x – 5. Zapišme rovnici tečny ke grafu funkce
= (Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 – 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 2)′ = 2 Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – 2.
Řešení. Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0.(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 1) = Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.– 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 1 + 2; (Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 1) = 2x 1 – 2. Rovnice tečny má tvar:
) existuje pro libovolné x = (2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 1 – 2)(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 1) + Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.– 2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 1 + 2,
0) = = 10. Rovnice tečny má tvar: = (2Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 1 – 2)Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. – Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.+ 2. (1)
Pojďme najít derivaci funkce G(Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.):
= (–Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0. 2 – 3)′ = –2 Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0..
V tomto článku analyzujeme všechny typy problémů, které je třeba najít
Připomeňme si geometrický význam derivace: je-li ke grafu funkce v bodě nakreslena tečna, pak je koeficient sklonu tečny (rovný tangenci úhlu mezi tečnou a kladným směrem osy) roven derivaci funkce. na místě.
Vezměme si libovolný bod na tečně se souřadnicemi:
A zvažte pravoúhlý trojúhelník:
V tomto trojúhelníku
Odtud
Toto je rovnice tečny nakreslené ke grafu funkce v bodě.
K napsání rovnice tečny nám stačí znát rovnici funkce a bod, ve kterém je tečna nakreslena. Pak můžeme najít a .
Existují tři hlavní typy úloh tečných rovnic.
1. Dané kontaktní místo
2. Je dán koeficient sklonu tečny, tedy hodnota derivace funkce v bodě.
3. Jsou dány souřadnice bodu, kterým je tečna vedena, ale který není bodem tečnosti.
Podívejme se na jednotlivé typy úkolů.
1. Napište rovnici tečny ke grafu funkce na místě .
.
b) Najděte hodnotu derivace v bodě . Nejprve najdeme derivaci funkce
Dosadíme nalezené hodnoty do rovnice tečny:
Otevřeme závorky na pravé straně rovnice. Dostáváme:
Odpověď: .
2. Najděte úsečku bodů, ve kterých jsou funkce tečné ke grafu rovnoběžně s osou x.
Pokud je tečna rovnoběžná s osou x, pak úhel mezi tečnou a kladným směrem osy rovna nule, proto je tangens úhlu tečny nulový. To znamená, že hodnota derivace funkce v bodech dotyku je nula.
a) Najděte derivaci funkce .
b) Srovnejme derivaci s nulou a najdeme hodnoty, ve kterých je tečna rovnoběžná s osou:
Přirovnáním každého faktoru k nule dostaneme:
Odpověď: 0;3;5
3. Napište rovnice pro tečny ke grafu funkce , paralelní řídit .
Tečna je rovnoběžná s přímkou. Sklon této přímky je -1. Protože je tečna rovnoběžná s touto přímkou, je sklon tečny také -1. To znamená známe sklon tečny a tím, derivační hodnota v bodě tečnosti.
Toto je druhý typ problému k nalezení tečné rovnice.
Dostaneme tedy funkci a hodnotu derivace v bodě tečnosti.
a) Najděte body, ve kterých je derivace funkce rovna -1.
Nejprve najdeme derivační rovnici.
Přirovnejme derivaci k číslu -1.
Pojďme najít hodnotu funkce v bodě.
(podle podmínek)
.
b) Najděte rovnici tečny ke grafu funkce v bodě .
Pojďme najít hodnotu funkce v bodě.
(podle podmínek).
Dosadíme tyto hodnoty do rovnice tečny:
.
Odpověď:
4. Napište rovnici tečny ke křivce , procházející bodem
Nejprve zkontrolujeme, zda je bod tečným bodem. Pokud je bod tečným bodem, pak patří do grafu funkce a jeho souřadnice musí splňovat rovnici funkce. Dosadíme souřadnice bodu do rovnice funkce.
Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} záporné číslo, rovnost není pravdivá a bod nepatří do grafu funkce a není styčným bodem.
Toto je poslední typ problému k nalezení tečné rovnice. Především potřebujeme najít úsečku tečného bodu.
Pojďme najít hodnotu.
Buď styčným bodem. Bod patří tečně ke grafu funkce. Dosadíme-li souřadnice tohoto bodu do rovnice tečny, dostaneme správnou rovnost:
.
Hodnota funkce v bodě je .
Najdeme hodnotu derivace funkce v bodě.
Nejprve najdeme derivaci funkce. Toto .
Derivace v bodě je rovna .
Dosadíme výrazy za a do rovnice tečny. Dostaneme rovnici pro:
Pojďme vyřešit tuto rovnici.
Snižte čitatel a jmenovatel zlomku o 2:
Zredukujeme pravou stranu rovnice na společný jmenovatel. Dostáváme:
Zjednodušme čitatel zlomku a vynásobme obě strany - tento výraz je přísně větší než nula.
Dostáváme rovnici
Pojďme to vyřešit. Chcete-li to provést, udělejte čtverec obou částí a přejděte k systému.
Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) )) ( )">!}
Pojďme vyřešit první rovnici.
Pojďme se rozhodnout kvadratická rovnice, dostáváme
Druhý kořen nesplňuje podmínku title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}
Zapišme rovnici tečny ke křivce v bodě. Chcete-li to provést, dosaďte hodnotu do rovnice - už jsme to zaznamenali.
Odpověď:
.
Y = f(x) a lze-li v tomto bodě nakreslit tečnu ke grafu funkce, která není kolmá k ose úsečky, pak je úhlový koeficient tečny roven f"(a). to bylo několikrát použito Například v § 33 bylo stanoveno, že graf funkce y = sin x (sinusoida) v počátku svírá s osou x (přesněji tečnou k ose x) úhel 45°. graf na počátku svírá úhel 45° s kladným směrem osy x) a v příkladu 5 § 33 bodů bylo nalezeno podle plánu funkcí, ve kterém je tečna rovnoběžná s osou x. V příkladu 2 § 33 byla sestavena rovnice pro tečnu ke grafu funkce y = x 2 v bodě x = 1 (přesněji v bodě (1; 1), častěji je však pouze hodnota úsečky). naznačeno v domnění, že je-li známa hodnota úsečky, pak lze hodnotu na ose y najít z rovnice y = f(x)). V této části vyvineme algoritmus pro sestavení tečné rovnice ke grafu libovolné funkce.
Nechť je dána funkce y = f(x) a bod M (a; f(a)) a je také známo, že f"(a) existuje. Sestavme rovnici pro tečnu ke grafu a daná funkce v daném bodě tato rovnice je jako rovnice jakékoli přímky, která není rovnoběžná s osou pořadnice, má tvar y = kx+m, takže úkolem je najít hodnoty koeficientů k a m.
S úhlovým koeficientem k nejsou žádné problémy: víme, že k = f "(a). Pro výpočet hodnoty m využijeme toho, že požadovaná přímka prochází bodem M(a; f (a)) To znamená, že dosadíme-li do rovnice přímky souřadnice bodu M, dostaneme správnou rovnost: f(a) = ka+m, z čehož zjistíme, že m = f(a) - ka.
Zbývá dosadit nalezené hodnoty koeficientů soupravy rovniceřídit:
Získali jsme rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = f(x) v bodě x=a.
Pokud, řekněme,
Dosazením nalezených hodnot a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 do rovnice (1) dostaneme: y = 1+2(x-f), tedy y = 2x-1.
Porovnejte tento výsledek s výsledkem získaným v příkladu 2 z § 33. Přirozeně se stalo totéž.
Vytvořme rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = tan x na počátku. máme: to znamená cos x f"(0) = 1. Dosazením nalezených hodnot a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 do rovnice (1) dostaneme: y = x.
Proto jsme tečnu v § 15 (viz obr. 62) nakreslili přes počátek souřadnic pod úhlem 45° k ose úsečky.
Vyřešit je dost jednoduché příklady, vlastně jsme použili určitý algoritmus, který je obsažen ve vzorci (1). Udělejme tento algoritmus explicitním.
ALGORITHM PRO VÝVOJ ROVNICE PRO TEČNU KE GRAFU FUNKCE y = f(x)
1) Označte úsečku tečného bodu písmenem a.
2) Vypočítejte 1 (a).
3) Najděte f"(x) a vypočítejte f"(a).
4) Dosaďte nalezená čísla a, f(a), (a) do vzorce (1).
Najděte úsečku tečného bodu. Napište rovnici pro tečnu ke grafu funkce v bodě x = 1.
Použijme algoritmus, vezmeme-li v úvahu, že v tomto příkladu
Na Obr. 126 je znázorněna hyperbola, je sestrojena přímka y = 2.
Kresba potvrzuje výše uvedené výpočty: skutečně se přímka y = 2 dotýká hyperboly v bodě (1; 1).
Odpověď: y = 2-x.
. Pojďme ji najít: Nakreslete tečnu ke grafu funkce tak, aby byla rovnoběžná s přímkou y = 4x - 5.
Ujasněme si formulaci problému. Požadavek „nakreslit tečnu“ obvykle znamená „vytvořit rovnici pro tečnu“. To je logické, protože pokud byl člověk schopen vytvořit rovnici pro tečnu, pak pravděpodobně nebude mít potíže se sestrojením přímky na souřadnicové rovině pomocí její rovnice.
Použijme algoritmus pro sestavení tečné rovnice, přičemž vezmeme v úvahu, že v tomto příkladu je zde ale na rozdíl od předchozího příkladu nejednoznačnost: úsečka tečného bodu není explicitně označena.
Začněme přemýšlet takto. Požadovaná tečna musí být rovnoběžná s přímkou y = 4x-5. Dvě čáry jsou rovnoběžné právě tehdy, když jsou jejich sklony stejné. To znamená, že úhlový koeficient tečny se musí rovnat úhlovému koeficientu dané přímky: Hodnotu a tedy můžeme najít z rovnice f"(a) = 4.
máme:
Z rovnice To znamená, že existují dvě tečny, které splňují podmínky úlohy: jedna v bodě s úsečkou 2, druhá v bodě s úsečkou -2.
Nyní můžete postupovat podle algoritmu.
Příklad 3 Z bodu (0; 1) nakreslete tečnu ke grafu funkce
Použijme algoritmus pro sestavení rovnice tečny, přičemž v tomto příkladu vezmeme v úvahu, že zde, stejně jako v příkladu 2, není úsečka tečného bodu výslovně uvedena. Přesto postupujeme podle algoritmu.
Podle podmínky prochází tečna bodem (0; 1). Dosazením hodnot x = 0, y = 1 do rovnice (2) získáme:
Jak vidíte, v tomto příkladu se nám až ve čtvrtém kroku algoritmu podařilo najít úsečku tečného bodu. Dosazením hodnoty a =4 do rovnice (2) získáme:
Na Obr. 127 představuje geometrické znázornění uvažovaného příkladu: vynese se graf funkce
V § 32 jsme poznamenali, že pro funkci y = f(x), která má derivaci v pevném bodě x, platí přibližná rovnost:
Pro usnadnění dalšího uvažování změňme zápis: místo x budeme psát a, místo x budeme psát x a podle toho místo x-a. Pak bude mít výše napsaná přibližná rovnost tvar:
Nyní se podívejte na obr. 128. Ke grafu funkce y = f(x) je nakreslena tečna v bodě M (a; f (a)). Bod x je vyznačen na ose x poblíž a. Je jasné, že f(x) je pořadnicí grafu funkce v určeném bodě x. Co je f(a) + f"(a) (x-a)? Toto je pořadnice tečny odpovídající stejnému bodu x - viz vzorec (1). Co znamená přibližná rovnost (3)? Skutečnost že Chcete-li vypočítat přibližnou hodnotu funkce, vezměte hodnotu na pořadnici tečny.
Příklad 4. Najděte přibližnou hodnotu číselné vyjádření 1,02 7 .
Hovoříme o nalezení hodnoty funkce y = x 7 v bodě x = 1,02. Použijme vzorec (3) a vezměme to v úvahu v tomto příkladu
V důsledku toho dostaneme:
Pokud použijeme kalkulačku, dostaneme: 1,02 7 = 1,148685667...
Jak vidíte, přesnost aproximace je docela přijatelná.
Odpověď: 1,02 7 =1,14.
A.G. Mordkovichova algebra 10. třída
Kalendář-tematické plánování v matematice, video v matematice online, Matematika ve škole ke stažení
Obsah lekce poznámky k lekci podpůrná rámcová lekce prezentace akcelerační metody interaktivní technologie Praxe úkoly a cvičení autotest workshopy, školení, případy, questy domácí úkoly diskuze otázky řečnické otázky studentů Ilustrace audio, videoklipy a multimédia fotografie, obrázky, grafika, tabulky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenství, rčení, křížovky, citáty Doplňky abstraktyčlánky triky pro zvídavé jesličky učebnice základní a doplňkový slovník pojmů ostatní Zkvalitnění učebnic a lekcíopravovat chyby v učebnici aktualizace fragmentu v učebnici, prvky inovace v lekci, nahrazení zastaralých znalostí novými Pouze pro učitele perfektní lekce kalendářní plán na rok metodická doporučení diskusní pořady Integrované lekceNechť je dána funkce f, která má v určitém bodě x 0 konečnou derivaci f (x 0). Potom se přímka procházející bodem (x 0 ; f (x 0)) s úhlovým koeficientem f '(x 0) nazývá tečna.
Co se stane, když derivace v bodě x 0 neexistuje? Jsou dvě možnosti:
- Neexistuje ani tečna ke grafu. Klasický příklad- funkce y = |x | v bodě (0; 0).
- Tečna se stane svislou. To platí například pro funkci y = arcsin x v bodě (1; π /2).
Rovnice tečny
Libovolná nesvislá přímka je dána rovnicí ve tvaru y = kx + b, kde k je sklon. Tangenta není výjimkou a k vytvoření její rovnice v nějakém bodě x 0 stačí znát hodnotu funkce a derivace v tomto bodě.
Nechť je tedy dána funkce y = f (x), která má na segmentu derivaci y = f ’(x). Potom v libovolném bodě x 0 ∈ (a ; b) lze ke grafu této funkce nakreslit tečnu, která je dána rovnicí:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Zde f '(x 0) je hodnota derivace v bodě x 0 a f (x 0) je hodnota samotné funkce.
Úkol. Je dána funkce y = x 3 . Napište rovnici pro tečnu ke grafu této funkce v bodě x 0 = 2.
Rovnice tečny: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Bod x 0 = 2 je nám dán, ale hodnoty f (x 0) a f '(x 0) bude nutné vypočítat.
Nejprve najdeme hodnotu funkce. Všechno je zde snadné: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Nyní najdeme derivaci: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Do derivace dosadíme x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Celkem dostaneme: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Toto je tečná rovnice.
Úkol. Napište rovnici pro tečnu ke grafu funkce f (x) = 2sin x + 5 v bodě x 0 = π /2.
Tentokrát nebudeme podrobně popisovat každou akci - pouze naznačíme klíčové kroky. máme:
f (x 0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Rovnice tečny:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
V druhém případě se přímka ukázala jako vodorovná, protože jeho úhlový koeficient k = 0. Na tom není nic špatného – právě jsme narazili na extrémní bod.