Uvádíme zde velmi jednoduché, i když ne zcela přesné odvození vzorce pro plochu kulového povrchu; svou myšlenkou se velmi blíží metodám integrálního počtu. Dostaneme tedy určitou kouli o poloměru R. Vyberme na jejím povrchu nějakou malou plochu (obr. 412) a uvažujme jehlan nebo kužel s vrcholem ve středu koule O, který má tuto plochu jako svou báze; přísně vzato, mluvíme pouze podmíněně o kuželu nebo pyramidě, protože základna není plochá, ale kulovitá. Pokud je ale velikost základny malá ve srovnání s poloměrem koule, bude se od ploché lišit jen velmi málo (například při měření nepříliš velkého pozemku zanedbávají skutečnost, že neleží na rovině, ale na kouli).
Poté, když označíme základnu „pyramidy“ přes oblast této sekce, zjistíme její objem jako součin jedné třetiny výšky plochou základny (výška je poloměr koule) :
Pokud se nyní celý povrch koule rozloží na velmi velký počet N takových malých ploch, tedy objem koule o N objemů „pyramid“, které mají tyto plochy jako své základny, pak celý objem bude reprezentován součtem
kde poslední součet se rovná celkové ploše koule:
Objem koule se tedy rovná jedné třetině součinu jejího poloměru a plochy povrchu. Pro plochu tedy máme vzorec
Poslední výsledek je formulován takto:
Povrch koule se rovná čtyřnásobku plochy jejího velkého kruhu.
Výše uvedený závěr je vhodný i pro povrchovou plochu sektoru koule (máme na mysli pouze základnu, tedy kulovou plochu neboli „čepici“; viz obr. 409). A v tomto případě se objem sektoru rovná jedné třetině součinu poloměru míče a plochy jeho kulové základny:
kde najdeme vzorec pro oblast čepice
Kulový povrch kulové vrstvy se nazývá sférický pás (viz obr. 408). Pro výpočet povrchové plochy kulového pásu najdeme rozdíl mezi povrchy dvou kulových čepiček:
kde je výška vrstvy. Povrch kulového pásu pro daný míč tedy závisí pouze na výšce odpovídající vrstvy, ale ne na jeho poloze na míči.
Úkol. Boční povrch kužel opsaný kolem koule má plochu rovnající se jedenapůlnásobku povrchu koule. Najděte výšku kužele, pokud je poloměr koule .
Řešení. Pro usnadnění zaveďme úhel a mezi výškou a tvořící přímkou kužele (obr. 413). Najdeme výrazy pro výšku, poloměr základny a tvořící přímku kužele
Mít s sebou jen jeden vzorec a od začátku vědět jaký rovný průměru nebo poloměr, můžete snadno vypočítat povrch míče. Vzorec bude vypadat S = 4πR2, kde pi se vynásobí 4, pak poloměrem koule na druhou mocninu. Ale před přímými výpočty byste měli okamžitě porozumět podmínkám.
Výklad významů
Toto byste měli vědět:
- Míč- geometrický objekt vzniklý rotačními půlkruhovými pohyby kolem středu. Jakýkoli bod na povrchu koule je ve stejné vzdálenosti od středu.
- Koule- není to stejné jako míč. Pokud se jedná o objemový objekt a zahrnuje vnitřní prostor, pak je koule pouze povrchem tohoto objektu a má pouze svou vlastní plochu. Jinými slovy, nelze říci, že koule má na rozdíl od koule takový a takový objem.
- Pi je konstantní číslo rovné poměru obvodu kruhu k jeho průměru. Ve zkrácené podobě se obvykle označuje číslem rovným 3,14. Ale ve skutečnosti je po trojici více než tisíc čísel!
- Poloměr koule je roven ½ jejího průměru. Přesný průměr lze vypočítat pomocí několika plochých a rovných objektů. Stačí upnout kouli mezi tyto předměty, které upnou kouli a jsou umístěny navzájem kolmo, a poté změřit výsledný průměr.
- Čtvercový stupeň označuje se jako dvojka a znamená, že toto číslo se musí samo sebou jednou vynásobit. Pokud by mocnina čísla byla ve tvaru tři, pak byste se museli násobit dvakrát. Když si výraz napíšete na papír, pochopíte, proč se používá dvojka a trojka, a ne jednička a dvojka.
- Objem– veličina udávající velikost v prostoru obsazeném objektem. Objem koule závisí na průměru. Vzorec se bude rovnat čtyřem třetinám násobeným pí a opět násobeným jeho poloměrem na krychli.
- Náměstí– veličina udávající velikost povrchu předmětu, nikoli však vnitřní prostor.
Zajímavá fakta
Toto je zajímavé:
- Číslo „pí“ má své fankluby po celém světě. Členové společnosti se snaží zapamatovat si co nejvíce znaků z tohoto čísla a také se snaží odhalit univerzální tajemství skrytá v čísle.
- Rozloha Země je pouze 29,2 % jejího celkového povrchu. Přesné číslo oblasti je obtížné uvést kvůli nerovnoměrné topografii Země, jako jsou deprese a hory.
- Znalosti o vzorci pro oblast koule lze použít v každodenním životě. Také s touto znalostí můžete potlačit svého protivníka ve sporu.
Prokázáním rozsahu svých znalostí v oblasti geometrie si zpočátku můžete získat respekt a opravářům a prodejcům můžete dát jasně najevo, že se prostě nedáte napálit.
Aplikace vzorce
Podívejme se na příklad, jak vypočítat plochu kulaté koule, jehož průměr je 50 cm Podle vzorce je třeba vydělit 50 dvěma (pro získání poloměru), odmocnit výsledné číslo a vynásobit to celé nejprve 4, poté 3,14. Ve výsledku dostaneme číslo 7 850 centimetrů čtverečních.
Vzorec pro výpočet plochy Používá se nejen mezi učiteli ve škole a výzkumníky v laboratoři. Tento vzorec může být užitečné pro průměrného malíře. Pokud je totiž koule velká a barvy je málo, vyvstává otázka: bude tato směs stačit k natření celého předmětu? A to není zdaleka jediný každodenní případ, kdy se vzorec může hodit.
Vzorec pro výpočet objemu Může být také užitečné pro stavební tým provádějící opravy. A nezáleží na tom, jaký druh objektu to je - průmyslová budova, malý dům nebo obyčejný byt. To je to, co profesionály odlišuje - vědí, jak uplatnit své znalosti v praxi.
Ale co dělat pokud není možné objekt změřit? Tato otázka může vyvstat, pokud obrovská velikost objektu nebo jeho nepřístupnosti. V tomto případě mohou pomoci elektronické technologie, jejichž základem je skenování prostoru určitými frekvencemi a lasery. S moderní technologie Není nutné znát všechny vzorce nazpaměť. Stačí mít připojení k internetu a přejít na jakoukoli online kalkulačku.
Obecně se uznává, že první člověk najde a odvodí vzorec pro objem a plochu koule , byl Archimedes. Toto je největší starověký řecký vědec, který žil 300 let před naším letopočtem. Byl nejen matematik, ale také fyzik a inženýr. Je jedním z prvních lidí, kteří se pokusili „digitalizovat“ svět kolem nás. Jeho teorémy a práce se používají dodnes.
Byl to Archimedes, kdo určil hranice čísla „pí“ a identifikovali je, aniž by měli nějaké moderní pomůcky. Sám Archimedes byl velmi hrdý na vzorec, který našel, s jehož pomocí se vypočítá objem koule. Na počest toho jeho potomci zobrazili na jeho náhrobku válec a kouli.
Pokud by se nějakým zázrakem znovuzrodil v naší době, byl by okamžitě schopen proměnit tento svět a pozvednout ho na novou úroveň.
Video
Pokud použijete toto video jako příklad, bude pro vás snadné pochopit, jak najít povrch míče.
Koule je množina všech bodů v prostoru rozprostírajících se od středu ve vzdálenosti určitého poloměru R. Poloměr je zase segment spojující střed míč s každým bodem na jeho povrchu.
budete potřebovat
- - vzorec pro povrchovou plochu míče;
- – vzorec pro objem míče;
- – aritmetické dovednosti.
Instrukce
1. V každodenní životČasto je potřeba počítat náměstí kulový povrch nebo jeho část za účelem výpočtu řekněme spotřeby materiálu. Po výpočtu objemu míč, můžete projít měrná hmotnost Vypočítejte hmotnost látky, která tvoří obsah koule. Aby bylo možné objevit náměstí a objem míč, stačí znát jeho poloměr nebo průměr. Pomocí vzorců, které si dnešní školáci odvodí v 11. třídě střední školy, si tyto parametry snadno spočítáte.
2. Řekněme, že průměr fotbalového míče podle každého požadavku FIFA by měl být v rozmezí 21,8-22,2 cm Průměr pro snadnější výpočet do 22 cm. 2) - 11 cm je zajímavé vědět jaký náměstí povrch fotbalového míče?
3. Vezměte vzorec pro povrchovou plochu míč:S míč= 4tmR2 Dosaďte poloměr fotbalového míče do výše uvedeného vzorce - 11 cm S = 4 x 3,14 x 11x11.
4. Po provedení jednoduchých matematických operací dostanete výsledek: 1519,76. Tedy, náměstí Povrch fotbalového míče je 1 519,76 centimetrů čtverečních.
5. Nyní vypočítejte objem míče. Vezměte vzorec pro výpočet objemu míč: V = 4/3tmR3 Dosaďte opět hodnotu poloměru fotbalového míče - 11 cm V = 4/3 x 3,14 x 11 x 11 x 11.
6. Po výpočtech, řekněme, na kalkulačce dostanete: 5576,89 Ukáže se, že objem vzduchu ve fotbalovém míči je 5 576,89 centimetrů krychlových.
Koule je nejjednodušší trojrozměrný geometrický obrazec, k označení velikosti každého parametru stačí. Hranice tohoto obrazce se obvykle nazývají koule. Objem prostoru omezeného koulí lze vypočítat pomocí příslušného trigonometrické vzorce a to pomocí improvizovaných prostředků.
Instrukce
1. Použijte klasický vzorec pro objem (V) koule, pokud je z podmínek znám její poloměr (r) - zvyšte poloměr na třetinovou mocninu, vynásobte číslem Pi a zvyšte součet o další třetinu. Tento vzorec lze zapsat následovně: V=4*?*r?/3.
2. Pokud je možné změřit průměr (d) koule, rozdělte ji na polovinu a použijte ji jako poloměr ve vzorci z předchozího kroku. Nebo najděte jednu šestinu krychlového průměru vynásobenou Pi: V=?*d?/6.
3. Známe-li objem (v) válce, do kterého je koule vepsána, pak pro zjištění jeho objemu určete, jaké dvě třetiny známého objemu válce se rovnají: V=?*v.
4. Pokud znáte průměrnou hustotu (p) materiálu, ze kterého se koule skládá, a její hmotnost (m), pak to pro určení objemu také stačí - vydělte druhé prvním: V=m/p.
5. Použijte některé odměrné nádoby jako praktický prostředek k měření objemu kulovité nádoby. Řekněme, že ji naplníme vodou a pomocí odměrky odměříme množství nalévané tekutiny. Výslednou hodnotu v litrech převeďte na metry krychlové – tato jednotka je převzata v mezinárodním systému SI pro měření objemu. Jako ukazatel pro přepočet z litrů na metry krychlové použijte číslo 1000, protože jeden litr se rovná jednomu decimetru krychlovému a do každého metru krychlového se jich vejde přesně tisíc.
6. Pokud nelze kulové těleso naplnit kapalinou, ale lze do ní ponořit, použijte opačné pravidlo měření, než jaké bylo popsáno v předchozím kroku. Naplňte odměrnou nádobu vodou, zameťte patro, ponořte měřené kulové těleso do kapaliny a na základě rozdílu vrstev určete množství vytlačené vody. Poté převeďte výsledný součet z litrů na metry krychlové stejným způsobem, jak je popsáno v předchozím kroku.
Video k tématu
Opravy, stěhování, malování předmětu - to vše bude vyžadovat výpočet plochy. Pamatovat si školní osnovy není zločin.
Instrukce
1. Připomeňme si, co je to oblast. Plocha je měřítkem plochá postava ve vztahu ke standardnímu údaji. Nebo správná hodnota, jejíž číselná hodnota má následující vlastnosti: Pokud lze obrázek rozdělit na části, které budou primitivními obrázky, pak se plocha takového obrázku bude rovnat součtu ploch jeho částí. Plocha čtverce se stranou, která se rovná měrné jednotce, se rovná jedné Stejná čísla mají stejnou plochu Z těchto pravidel vyplývá, že plocha není určitá veličina, to znamená, že plocha dává pouze podmíněné řazení k nějaké postavě. Když potřebujete najít plochu libovolného obrázku, musíte vypočítat, kolik čtverců se stranou (která se rovná jedné) může toto číslo pojmout.
2. Příklad: Vezměme si obrazec – obdélník, takový, do kterého se šestkrát vejde centimetr čtvereční. Pak se plocha takového obdélníku bude rovnat 6 cm2. Vezmeme-li obtížnější figuru, řekněme lichoběžník, tak to dopadne takto: Pokud je lichoběžník tak velký, že se do něj vejde centimetr čtvereční jen dvakrát a třetí díl se nevejde celý a zůstane malý trojúhelník. Chcete-li změřit plochu tohoto zbývajícího trojúhelníku, musíte na něj použít zlomky centimetru čtverečního, můžete vzít milimetr; Je pravda, že tato metoda není příliš pohodlná pro obtížné postavy. V důsledku toho pro výpočet plochy různých čísel existují různé vzorce. Pokud potřebujete vypočítat plochu určitou postavu, pak si můžete vzít učebnici geometrie a zapamatovat si látku, kterou jste kdysi probrali ve škole, takže vzorec pro obsah krychle: plocha krychle se rovná počtu ploch vynásobených plochou. obličeje, tj. 6*a2
Video k tématu
Všechny planety čisté soustavy mají tvar míč. Navíc mnoho předmětů vyrobených člověkem, včetně částí, má kulový nebo podobný tvar. technická zařízení. Koule, jako každé rotační těleso, má osu, která se shoduje s jejím průměrem. Nejedná se však o výjimečnou hlavní kvalitu míč. Níže jsou uvedeny hlavní vlastnosti tohoto geometrický obrazec a způsob, jak najít jeho oblast.
Instrukce
1. Pokud vezmete půlkruh nebo kruh a otočíte jej kolem své osy, dostanete těleso zvané koule. Jinými slovy, koule je těleso ohraničené koulí. Koule je skořápka míč a jeho průřez je kruh. Z míč liší se tím, že je dutý. Jako náprava míč, takže u koule se shoduje s průměrem a prochází středem. Poloměr míč nazývá se segment nakreslený od jeho středu k libovolnému vnějšímu bodu. Na rozdíl od koule, sekce míč jsou kruhy. Mnoho planet a nebeských těles má tvar blízký kulovému. V různých bodech míč existují tvarově identické, ale nestejné velikosti, tzv. řezy - kruhy různých oblastí.
2. Koule a koule jsou na rozdíl od kužele zaměnitelná tělesa, přestože kužel je také rotačním tělesem. Kulové plochy ve svém průřezu vždy tvoří kružnici, bez ohledu na to, jak přesně se otáčí - vodorovně nebo svisle. Kuželová plocha se získá pouze otočením trojúhelníku podél jeho osy kolmé k základně. V důsledku toho kužel, na rozdíl od míč, a nepovažuje se za zaměnitelné těleso rotace.
3. Největší možný kruh se získá řezáním míč rovina procházející středem O. Všechny kružnice, které procházejí středem O, se vzájemně protínají ve stejném průměru. Poloměr je vždy roven polovině průměru. Přes dva body A a B, umístěné kdekoli na povrchu míč, může procházet neomezeným počtem kruhů nebo kruhů. Z tohoto důvodu může být kreslen neomezený počet meridiánů skrz zemské póly.
4. Při hledání oblasti míč zvážit před kýmkoli jiným náměstí kulový povrch.Plocha míč, nebo spíše koule tvořící její povrch, lze vypočítat na základě plochy kruhu se stejným poloměrem R. Ze skutečnosti, že náměstí kruhu je součin polokruhu a poloměru, lze jej vypočítat následujícím způsobem: S = ?R^2 Protože přes střed míč projít čtyři hlavní obrovské kruhy, pak podle toho náměstí míč(koule) se rovná:S = 4 ?R^2
5. Tento vzorec může být vhodný, pokud známe buď průměr nebo poloměr míč nebo koule. Tyto parametry však nejsou uvedeny jako podmínky ve všech geometrických úlohách. Existují také problémy, ve kterých je kulička vepsána do válce. V tomto případě byste měli použít Archimédův teorém, jehož podstatou je to náměstí povrchy míč jedenapůlkrát menší než celkový povrch válce: S = 2/3 S válec, kde S válec. – náměstí celý povrch válce.
Video k tématu
Koule je nejjednodušší trojrozměrný obrazec geometricky kladného tvaru, jehož všechny body prostoru uvnitř hranic jsou vzdáleny od jeho středu ve vzdálenosti nepřesahující poloměr. Povrch tvořený většinou bodů nejvzdálenějších od středu se nazývá koule. Pro kvantitativní vyjádření míry prostoru obsaženého v kouli je poskytnut parametr, který se nazývá objem míče.
Instrukce
1. Pokud je nutné měřit objem koule ne teoreticky, ale pouze dostupnými prostředky, pak to lze provést řekněme stanovením objemu jí vytlačené vody. Tento způsob je použitelný v případě, kdy je možnost umístit míček do nějaké k tomu úměrné nádoby - kádinky, sklenice, dózy, kbelíku, sudu, bazénu atd. V tomto případě před umístěním míče omeťte vrstvu vody, po úplném ponoření to zopakujte a poté najděte rozdíl mezi značkami. Tradičně továrně vyráběné odměrné nádoby mají dílky ukazující objem v litrech a od toho odvozené jednotky - mililitry, dekalitry atd. Pokud je třeba získanou hodnotu převést na metry krychlové a více jednotek objemu, pak vycházejte z toho, že jeden litr odpovídá jednomu decimetru krychlovému nebo jedné tisícině metru krychlového.
2. Pokud je znám materiál, ze kterého je koule vyrobena, a hustota tohoto materiálu se dá zjistit řekněme z referenční knihy, pak lze objem určit vážením daného předmětu. Jednoduše vydělte výsledek vážení referenční hustotou výrobní látky: V=m/p.
3. Pokud je poloměr koule určen z podmínek úlohy nebo jej lze změřit, pak lze pro výpočet objemu použít odpovídající matematický vzorec. Vynásobte čtyřnásobné číslo Pi třetí mocninou poloměru a výsledný součet vydělte třemi: V=4*?*r?/3. Řekněme, že při poloměru 40 cm bude objem koule 4 * 3,14 * 40?/3 = 267946,67 cm? ? 0,268 m?.
4. Měření průměru je často jednodušší než měření poloměru. V tomto případě není nutné jej dělit na polovinu pro použití se vzorcem z předchozího kroku - je lepší zjednodušit samotný vzorec. V souladu s převedeným vzorcem vynásobte číslo Pi průměrem na třetí mocninu a vydělte součet šesti: V=?*d?/6. Řekněme, že koule o průměru 50 cm by měla mít objem 3,14 * 50?/6 = 65416,67 cm? ? 0,654 m?.
Problémy s výpočtem plochy kruhu se často vyskytují ve školních kurzech geometrie. Aby bylo možné objevit náměstí kruh, musíte znát délku průměr nebo poloměr kruhu, ve kterém je uzavřen.
budete potřebovat
- – délka průměru kruhu.
Instrukce
1. Kruh je obrazec v rovině sestávající z mnoha bodů umístěných ve stejné vzdálenosti od jiného bodu, který se nazývá střed. Kruh je plochý geometrický útvar, který se skládá z mnoha bodů uzavřených v kruhu, který je hranicí kruhu. Průměr je úsečka spojující dva body na kružnici a procházející jejím středem. Poloměr je úsečka spojující bod na kružnici a její střed. ? - číslo „pi“, matematická konstanta, spojitá hodnota. Ukazuje poměr obvodu kruhu k jeho délce průměr. Vypočítat přesnou hodnotučísla? nemožné. V geometrii se používá přibližná hodnota tohoto čísla: ? ? 3.14
2. Plocha kruhu se rovná součinu čtverce poloměru a čísla a vypočítá se podle vzorce: S=?R^2, kde S - náměstí kružnice, R je délka poloměru kružnice.
3. Z definice poloměru vyplývá, že je roven polovině průměr. Vzorec má tedy tvar: S=?(D/2)^2, kde D je délka průměr kruhy. Dosaďte hodnotu do vzorce průměr, vypočítat náměstí kruh.
4. Plocha kruhu se měří v jednotkách plochy - mm2, cm2, m2 atd. V jakých jednotkách jsou vyjádřeny informace, které dostáváte? náměstí kružnice závisí na jednotkách, ve kterých byl udán průměr kružnice.
5. Pokud potřebujete spočítat náměstí prstence, použijte vzorec: S=?(R-r)^2, kde R, r jsou poloměry vnější a vnitřní kružnice prstence.
Užitečná rada
Je Mezinárodní den pí, který se slaví 14. března. Přesný čas triumfálního data je 1 hodina 59 minut 26 sekund, podle čísel data - 3,1415926...
Video k tématu
Věnovat pozornost!
Zajímavost: objem koule o průměru třikrát větším než je průměr jiné koule je 9krát větší než celkový objem 3 takových kuliček.
Užitečná rada
Abyste v dětech rozvinuli vášeň pro matematické výpočty, nabídněte jako příklady pro výpočet okolní předměty: klubko, meloun, klubko babiččiny příze. Je to vizuální, a proto fascinující.
Mnozí z nás rádi hrají fotbal, nebo alespoň téměř každý z nás o tomto slavném slyšel sportovní hra. Každý ví, že fotbal se hraje s míčem.
Když se zeptáte kolemjdoucího, jaký geometrický tvar má koule, pak někdo řekne, že je kulový, někdo řekne, že je kulový. Která je tedy ta pravá? A jaký je rozdíl mezi koulí a koulí?
Důležité!
Míč je prostorové těleso. Vnitřek koule je něčím vyplněn. Proto lze zjistit objem koule.
Příklady koule v životě: meloun a ocelová koule.
Koule a koule, stejně jako kruh a kruh, mají střed, poloměr a průměr.
Důležité!
Koule- povrch míče. Můžete najít povrch koule.
Příklady sfér života: volejbal a míček na stolní tenis.
Jak najít oblast koule
Pamatujte!
Vzorec pro oblast koule: S=4 π R 2
Abyste našli oblast koule, musíte si zapamatovat, co je mocnina čísla.
Když známe definici stupně, můžeme napsat vzorec pro oblast koule následovně. S=4
πR2 = 4πR · R; Pojďme si upevnit nabyté znalosti a
Pojďme vyřešit problém na ploše koule.
Zubareva 6. třída. Číslo 692(a)
- Problémový stav:
Vypočítejte obsah koule, pokud je její poloměr
= = =
= 188 88 - 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
- R3 = 1
Důležité!
R = 1 m
Vážení rodiče!
Při konečném výpočtu poloměru není třeba nutit dítě počítat odmocninu. Žáci 6. ročníku ještě nebrali a neznají definici kořenů v matematice.
V 6. třídě při řešení takového problému použijte metodu hrubé síly.