Podívejme se na tři způsoby, jak najít nejmenší společný násobek.
Zjištění faktorizací
První metodou je najít nejmenší společný násobek rozkladem daných čísel na prvočinitele.
Řekněme, že potřebujeme najít LCM čísel: 99, 30 a 28. Abychom to udělali, rozložme každé z těchto čísel do prvočísel:
Aby bylo požadované číslo dělitelné 99, 30 a 28, je nutné a postačující, aby zahrnovalo všechny prvočinitele těchto dělitelů. Abychom to udělali, musíme vzít všechny prvočinitele těchto čísel na největší možnou moc a vynásobit je dohromady:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
LCM (99, 30, 28) = 13 860 tedy žádné jiné číslo menší než 13 860 není dělitelné 99, 30 nebo 28.
Chcete-li najít nejmenší společný násobek daných čísel, započítáte je do jejich prvočísel, pak vezmete každý prvočinitel s největším exponentem, ve kterém se vyskytuje, a vynásobíte tyto faktory dohromady.
Protože je to vzájemné prvočísla nemají žádné společné prvočinitele, pak se jejich nejmenší společný násobek rovná součinu těchto čísel. Například tři čísla: 20, 49 a 33 jsou relativně prvočísla. Proto
LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.
Totéž je třeba udělat při hledání nejmenšího společného násobku různých prvočísel. Například LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Hledání výběrem
Druhou metodou je nalezení nejmenšího společného násobku výběrem.
Příklad 1. Když je největší z daných čísel děleno jiným daným číslem, pak se LCM těchto čísel rovná největšímu z nich. Například zadaná čtyři čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je dělitelné 60, proto:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
V ostatních případech se k nalezení nejmenšího společného násobku používá následující postup:
- Určete největší číslo z uvedených čísel.
- Dále najdeme čísla, která jsou násobky největšího čísla, vynásobíme je přirozenými čísly v rostoucím pořadí a zkontrolujeme, zda je výsledný součin dělitelný zbývajícími danými čísly.
Příklad 2. Jsou dána tři čísla 24, 3 a 18. Určíme největší z nich - toto je číslo 24. Dále najdeme čísla, která jsou násobky 24, přičemž zkontrolujeme, zda je každé z nich dělitelné 18 a 3:
24 · 1 = 24 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.
24 · 2 = 48 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.
24 · 3 = 72 – dělitelné 3 a 18.
LCM (24, 3, 18) = 72.
Hledání postupným hledáním LCM
Třetí metodou je nalezení nejmenšího společného násobku postupným hledáním LCM.
LCM dvou daných čísel se rovná součinu těchto čísel dělenému jejich největším společným dělitelem.
Příklad 1. Najděte LCM dvou daných čísel: 12 a 8. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tato čísla:
Produkt dělíme podle jejich gcd:
LCM (12, 8) = 24.
Chcete-li najít LCM tří nebo více čísel, použijte následující postup:
- Nejprve najděte LCM libovolných dvou z těchto čísel.
- Potom LCM nalezeného nejmenšího společného násobku a třetího daného čísla.
- Potom LCM výsledného nejmenšího společného násobku a čtvrtého čísla atd.
- Hledání LCM tedy pokračuje, dokud existují čísla.
Příklad 2. Nalezneme LCM tří daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 jsme již našli v předchozím příkladu (toto je číslo 24). Zbývá najít nejmenší společný násobek čísla 24 a třetího daného čísla - 9. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslem 9:
Produkt dělíme podle jejich gcd:
LCM (12, 8, 9) = 72.
Lancinova Aisa
Stažení:
Náhled:
Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet ( účet) Google a přihlaste se: https://accounts.google.com
Popisky snímků:
Úlohy na GCD a LCM čísel Práce studentky 6. ročníku MCOU "Kamyshovskaya střední škola" Lantsinova Aisa Vedoucí Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, učitelka matematiky p. Kamyshevo, 2013
Příklad nalezení gcd čísel 50, 75 a 325. 1) Rozložme čísla 50, 75 a 325 na prvočinitele. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Z faktorů zahrnutých do rozšíření jednoho z těchto čísel odškrtneme ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření ostatních . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Najděte součin zbývajících faktorů 5 ∙ 5 = 25 Odpověď: GCD (50, 75 a 325) = 2 přirozené číslo, kterým se čísla a a b beze zbytku dělí, se nazývá největší společný dělitel těchto čísel.
Příklad nalezení LCM čísel 72, 99 a 117. 1) Rozložme čísla 72, 99 a 117 na prvočinitele 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 1 ∙ . 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Zapište činitele zahrnuté v rozvoji jednoho z čísel 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 a přidejte k nim chybějící činitele zbývajících čísel. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Najděte součin výsledných faktorů. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odpověď: LCM (72, 99 a 117) = 10296 Nejmenší společný násobek přirozených čísel aab je nejmenší přirozené číslo, které je násobkem a a b.
List lepenky má tvar obdélníku, jehož délka je 48 cm a šířka je 40 cm Tento list je nutné bez odpadu rozstříhat na stejné čtverce. Jaké největší čtverce lze získat z tohoto listu a kolik? Řešení: 1) S = a ∙ b – plocha obdélníku. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². - plocha lepenky. 2) a – strana čtverce 48: a – počet čtverců, které lze položit po délce kartonu. 40: a – počet čtverců, které lze položit přes šířku kartonu. 3) GCD (40 a 48) = 8 (cm) – strana čtverce. 4) S = a² – plocha jednoho čtverce. S = 8² = 64 (cm²) - plocha jednoho čtverce. 5) 1960: 64 = 30 (počet čtverců). Odpověď: 30 čtverců o straně každého 8 cm. Problémy s GCD
Krb v místnosti musí být kachlový ve tvaru čtverce. Kolik dlaždic bude potřeba na krb o rozměru 195 ͯ 156 cm a jaké to jsou? největší rozměry dlaždice? Řešení: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S plochy krbu. 2) GCD (195 a 156) = 39 (cm) – strana dlaždice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – plocha 1 dlaždice. 4) 30420: = 20 (kusů). Odpověď: 20 dlaždic o rozměrech 39 ͯ 39 (cm). Problémy s GCD
Zahradní pozemek o rozměrech 54 ͯ 48 m po obvodu musí být oplocen, k tomu musí být v pravidelných rozestupech umístěny betonové sloupky. Kolik stožárů je třeba dovézt na místo a v jaké maximální vzdálenosti od sebe budou stožáry umístěny? Řešení: 1) P = 2(a + b) – obvod lokality. P = 2(54 + 48) = 204 m 2) GCD (54 a 48) = 6 (m) – vzdálenost mezi pilíři. 3) 204: 6 = 34 (pilíře). Odpověď: 34 pilířů, ve vzdálenosti 6 m problémy GCD
Kytice byly shromážděny z 210 vínových, 126 bílých a 294 červených růží, přičemž každá kytice obsahovala stejný počet růží stejné barvy. Který největší počet z těchto růží byly vyrobeny kytice a kolik růží každé barvy je v jedné kytici? Řešení: 1) GCD (210, 126 a 294) = 42 (kytice). 2) 210:42 = 5 (vínové růže). 3) 126:42 = 3 (bílé růže). 4) 294:42 = 7 (červené růže). Odpověď: 42 kytic: 5 vínových, 3 bílé, 7 červených růží v každé kytici. Problémy s GCD
Tanya a Masha koupily stejné číslo poštovní sady. Tanya zaplatila 90 rublů a Masha zaplatila 5 rublů. více. Kolik stojí jedna sada? Kolik sad si každý koupil? Řešení: 1) 90 + 5 = 95 (rub.) Máša zaplacena. 2) GCD (90 a 95) = 5 (rub.) – cena za 1 sadu. 3) 980: 5 = 18 (sady) – koupila Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sady) – koupil Masha. Odpověď: 5 rublů, 18 sad, 19 sad. Problémy s GCD
V přístavním městě začínají tři turistické výlety lodí, z nichž první trvá 15 dní, druhý – 20 a třetí – 12 dní. Po návratu do přístavu se lodě téhož dne znovu vydaly na cestu. Dnes lodě opustily přístav na všech třech trasách. Za kolik dní spolu znovu poprvé vyplují? Kolik plaveb podnikne každá loď? Řešení: 1) NOC (15,20 a 12) = 60 (dní) – čas setkání. 2) 60: 15 = 4 (plavby) – 1 loď. 3) 60: 20 = 3 (plavby) – 2 lodě. 4) 60: 12 = 5 (letů) – 3 lodě. Odpověď: 60 dní, 4 lety, 3 lety, 5 letů. NOC úkoly
Máša koupila vejce pro Medvěda v obchodě. Cestou do lesa si uvědomila, že počet vajec je dělitelný 2, 3, 5, 10 a 15. Kolik vajec koupila Máša? Řešení: NOC (2;3;5;10;15) = 30 (vejce) Odpověď: Máša koupila 30 vajec. NOC úkoly
Je potřeba vyrobit krabici se čtvercovým dnem pro krabice o rozměrech 16 ͯ 20 cm Jaká je nejkratší délka strany čtvercového dna, aby se krabice těsně vešly do krabice? Řešení: 1) LCM (16 a 20) = 80 (krabice). 2) S = a ∙ b – plocha 1 krabice. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – spodní plocha 1 krabice. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – plocha čtvercového dna. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – rozměry krabice. Odpověď: 160 cm je strana čtvercového dna. NOC úkoly
Podél silnice z bodu K jsou každých 45 m sloupy elektrického vedení Rozhodli se tyto sloupy vyměnit za jiné, umístit je ve vzdálenosti 60 m od sebe. Kolik tam bylo sloupů a kolik jich bude? Řešení: 1) LCM (45 a 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – byly tam sloupy. 3) 180: 60 = 3 – staly se pilíři. Odpověď: 4 pilíře, 3 pilíře. NOC úkoly
Kolik vojáků pochoduje na přehlídce, pokud pochodují ve formaci 12 lidí v řadě a mění se v kolonu 18 lidí v řadě? Řešení: 1) NOC (12 a 18) = 36 (lidí) - pochod. Odpověď: 36 lidí. NOC úkoly
Násobek je číslo, které je dělitelné dané číslo beze stopy. Nejmenší společný násobek (LCM) skupiny čísel je nejmenší číslo, které je dělitelné každým číslem ve skupině bez zanechání zbytku. Chcete-li najít nejmenší společný násobek, musíte najít prvočinitele daných čísel. LCM lze také vypočítat pomocí řady dalších metod, které platí pro skupiny dvou nebo více čísel.
Kroky
Řada násobků
- Najděte například nejmenší společný násobek 5 a 8. Jedná se o malá čísla, takže můžete použít tuto metodu.
-
Násobek je číslo, které je beze zbytku dělitelné daným číslem. Násobky najdete v násobilce.
- Například čísla, která jsou násobky 5, jsou: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Napište řadu čísel, která jsou násobky prvního čísla. Udělejte to pod násobky prvního čísla a porovnejte dvě sady čísel.
- Například čísla, která jsou násobky 8, jsou: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.
-
Najděte nejmenší číslo, které je přítomno v obou sadách násobků. Možná budete muset napsat dlouhé řady násobků, abyste našli celkový počet. Nejmenší číslo, které je přítomno v obou souborech násobků, je nejmenší společný násobek.
- Například, nejmenší číslo, který je přítomen v řadě násobků 5 a 8, je číslo 40. Proto je 40 nejmenší společný násobek 5 a 8.
Prvočíselný rozklad
-
Podívejte se na tato čísla. Zde popsaná metoda se nejlépe používá, když jsou zadána dvě čísla, z nichž každé je větší než 10. Pokud jsou uvedena menší čísla, použijte jinou metodu.
- Najděte například nejmenší společný násobek čísel 20 a 84. Každé z čísel je větší než 10, takže můžete použít tuto metodu.
-
Rozdělte první číslo na prvočinitele. To znamená, že musíte najít taková prvočísla, která po vynásobení dají dané číslo. Jakmile najdete prvočinitele, zapište je jako rovnosti.
- Například, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krát 10=20) A 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísly čísla 20 jsou tedy čísla 2, 2 a 5. Napište je jako výraz: .
-
Rozložte druhé číslo na prvočinitele. Udělejte to stejným způsobem, jako jste rozložili první číslo, tedy najděte taková prvočísla, která po vynásobení dají dané číslo.
- Například, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) A 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísly čísla 84 jsou tedy čísla 2, 7, 3 a 2. Napište je jako výraz: .
-
Zapište společné faktory pro obě čísla. Napište takové faktory jako operaci násobení. Při psaní každého faktoru jej škrtněte v obou výrazech (výrazy, které popisují rozklad čísel na prvočinitele).
- Například obě čísla mají společný faktor 2, tak napište 2 × (\displaystyle 2\times ) a škrtněte 2 v obou výrazech.
- Co mají obě čísla společného, je další faktor 2, tak napište 2 × 2 (\displaystyle 2\krát 2) a v obou výrazech škrtněte druhé 2.
-
Přidejte zbývající faktory do operace násobení. Jedná se o faktory, které nejsou v obou výrazech přeškrtnuté, tedy faktory, které nejsou společné pro obě čísla.
- Například ve výrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) Obě dvě (2) jsou přeškrtnuté, protože se jedná o společné faktory. Faktor 5 není přeškrtnutý, takže operaci násobení zapište takto: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5)
- Ve výrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obě dvojky (2) jsou také přeškrtnuty. Faktory 7 a 3 nejsou přeškrtnuté, takže operaci násobení zapište takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).
-
Vypočítejte nejmenší společný násobek. Chcete-li to provést, vynásobte čísla v operaci písemného násobení.
- Například, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže nejmenší společný násobek 20 a 84 je 420.
Hledání společných faktorů
-
Nakreslete mřížku jako při hře piškvorky. Taková mřížka se skládá ze dvou rovnoběžných čar, které se protínají (v pravém úhlu) s dalšími dvěma rovnoběžnými čarami. Získáte tak tři řádky a tři sloupce (mřížka vypadá hodně jako ikona #). Napište první číslo do prvního řádku a druhého sloupce. Napište druhé číslo do prvního řádku a třetího sloupce.
- Najděte například nejmenší společný násobek čísel 18 a 30. Do prvního řádku a druhého sloupce napište číslo 18 a do prvního řádku a třetího sloupce zapište číslo 30.
-
Najděte dělitele společného oběma číslům. Napište to do prvního řádku a prvního sloupce. Je lepší hledat primární faktory, ale není to podmínkou.
- Například 18 a 30 jsou sudá čísla, takže jejich společný faktor bude 2. Napište tedy 2 do prvního řádku a prvního sloupce.
-
Každé číslo vydělte prvním dělitelem. Zapište každý podíl pod příslušné číslo. Kvocient je výsledkem dělení dvou čísel.
- Například, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napište 9 pod 18.
- 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak zapište 15 pod 30.
-
Najděte dělitele společného oběma kvocientům. Pokud takový dělitel neexistuje, přeskočte následující dva kroky. V opačném případě zapište dělitele do druhého řádku a prvního sloupce.
- Například 9 a 15 jsou dělitelné 3, takže do druhého řádku a prvního sloupce napište 3.
-
Vydělte každý podíl jeho druhým dělitelem. Každý výsledek dělení zapište pod odpovídající podíl.
- Například, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napište 3 pod 9.
- 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napište 5 pod 15.
-
V případě potřeby přidejte do mřížky další buňky. Opakujte popsané kroky, dokud nebudou mít podíly společného dělitele.
-
Zakroužkujte čísla v prvním sloupci a posledním řádku mřížky. Poté zapište vybraná čísla jako operaci násobení.
- Například čísla 2 a 3 jsou v prvním sloupci a čísla 3 a 5 jsou v posledním řádku, takže operaci násobení zapište takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).
-
Najděte výsledek násobení čísel. Tím se vypočte nejmenší společný násobek dvou daných čísel.
- Například, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže nejmenší společný násobek 18 a 30 je 90.
Euklidův algoritmus
-
Pamatujte na terminologii spojenou s operací dělení. Dividenda je číslo, které se dělí. Dělitel je číslo, kterým se dělí. Kvocient je výsledkem dělení dvou čísel. Zbytek je číslo, které zbývá, když jsou dvě čísla rozdělena.
- Například ve výrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
15 je dividenda
6 je dělitel
2 je kvocient
3 je zbytek.
- Například ve výrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
Podívejte se na tato čísla. Zde popsaná metoda se nejlépe používá, když jsou zadána dvě čísla, z nichž každé je menší než 10. Pokud jsou zadána větší čísla, použijte jinou metodu.
Jak najít nejmenší společný násobek?
Jak najít NOC
Zde je video, které vám ukáže dva způsoby, jak najít nejmenší společný násobek (LCM). Po procvičení pomocí první z navrhovaných metod můžete lépe pochopit, co je nejmenší společný násobek.
- Každé číslo reprezentujeme jako součin jeho prvočísel:
- Zapíšeme mocniny všech prvočinitelů:
- Vybereme všechny prvočíselné dělitele (násobiče) s největší mocninou, vynásobíme je a najdeme LCM:
- Prvním krokem je zahrnout tato čísla do prvočísel.
- Vypíšeme faktory, které jsou obsaženy v rozšíření čísla 30. To je 2 x 3 x 5.
- Nyní je potřebujeme vynásobit chybějícím faktorem, který máme při expanzi 42, což je 7. Dostaneme 2 x 3 x 5 x 7.
- Zjistíme, čemu se rovná 2 x 3 x 5 x 7 a dostaneme 210.
- Obě čísla rozložíme na prvočinitele: 8=2*2*2 a 12=3*2*2
- Snížíme stejné faktory jednoho z čísel. V našem případě se 2 * 2 shodují, zmenšíme je na číslo 12, pak 12 zbude jeden faktor: 3.
- Najděte součin všech zbývajících faktorů: 2*2*2*3=24
Musíme najít každý faktor každého ze dvou čísel, pro které najdeme nejmenší společný násobek, a pak vzájemně vynásobit faktory, které se shodují v prvním a druhém čísle. Výsledkem součinu bude požadovaný násobek.
Například máme čísla 3 a 5 a potřebujeme najít LCM (nejmenší společný násobek). Nás potřeba množit a tři a pět pro všechna čísla začínající od 1 2 3 ... a tak dále, dokud na obou místech neuvidíme stejné číslo.
Vynásobte třemi a dostanete: 3, 6, 9, 12, 15
Vynásobte pěti a dostanete: 5, 10, 15
Metoda prvočíselného rozkladu je nejklasičtější metodou pro nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) několika čísel. Tato metoda je jasně a jednoduše demonstrována v následujícím videu:
Sčítat, násobit, dělit, redukovat na Společným jmenovatelem a další aritmetické operace Velmi vzrušující činnost, Obdivuji především příklady, které zabírají celou stránku.
Najděte tedy společný násobek dvou čísel, který bude nejmenším číslem, kterým se ta dvě čísla dělí. Chtěl bych poznamenat, že v budoucnu není nutné uchýlit se k vzorcům, abyste našli to, co hledáte, pokud umíte počítat v hlavě (a to se dá natrénovat), pak se vám v hlavě objeví samotná čísla a pak zlomky praskají jako ořechy.
Pro začátek se naučíme, že můžete vynásobit dvě čísla navzájem a pak toto číslo zmenšit a střídavě dělit těmito dvěma čísly, takže najdeme nejmenší násobek.
Například dvě čísla 15 a 6. Vynásobte a dostanete 90. To je jednoznačně větší číslo. Navíc 15 je dělitelné 3 a 6 je dělitelné 3, což znamená, že také dělíme 90 3. Dostaneme 30. Zkusíme 30 dělit 15 rovná se 2. A 30 dělit 6 rovná se 5. Protože 2 je limita, obrací se že nejmenší násobek čísel je 15 a 6 bude 30.
S většími počty to bude trochu složitější. ale pokud víte, která čísla dávají nulový zbytek při dělení nebo násobení, pak v zásadě neexistují žádné velké potíže.
Uvádím další způsob, jak najít nejmenší společný násobek. Podívejme se na to na jasném příkladu.
Musíte najít LCM tří čísel najednou: 16, 20 a 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16, 20, 28) = 560.
Výsledkem výpočtu tedy bylo číslo 560. Je to nejmenší společný násobek, to znamená, že je beze zbytku dělitelné každým ze tří čísel.
Nejmenší společný násobek je číslo, které lze rozdělit na několik daných čísel bez zanechání zbytku. Abyste mohli vypočítat takové číslo, musíte vzít každé číslo a rozložit ho na jednoduché faktory. Odpovídající čísla jsou odstraněna. Nechá všechny po jednom, násobte je postupně mezi sebou a získejte požadovaný - nejmenší společný násobek.
NOC, popř nejmenší společný násobek, je nejmenší přirozené číslo ze dvou nebo více čísel, které je dělitelné každým z daných čísel beze zbytku.
Zde je příklad, jak najít nejmenší společný násobek 30 a 42.
Za 30 je to 2 x 3 x 5.
Pro 42 je to 2 x 3 x 7. Protože 2 a 3 jsou v rozšíření čísla 30, škrtneme je.
V důsledku toho zjistíme, že LCM čísel 30 a 42 je 210.
Najít nejmenší společný násobek, musíte provést několik jednoduchých kroků za sebou. Podívejme se na to na příkladu dvou čísel: 8 a 12
Při kontrole se ujistíme, že 24 je dělitelné jak 8, tak 12, a to je nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné každým z těchto čísel. Tady jsme našel nejmenší společný násobek.
Pokusím se vysvětlit na příkladu čísla 6 a 8 Nejmenší společný násobek je číslo, které lze těmito čísly dělit (v našem případě 6 a 8) a nezůstane.
Nejprve tedy začneme násobit 6 1, 2, 3 atd. a 8 1, 2, 3 atd.
Níže uvedený materiál je logickým pokračováním teorie z článku s názvem LCM - nejmenší společný násobek, definice, příklady, souvislost mezi LCM a GCD. Zde budeme mluvit o nalezení nejmenšího společného násobku (LCM), A Speciální pozornost Zaměřme se na řešení příkladů. Nejprve si ukážeme, jak se počítá LCM dvou čísel pomocí GCD těchto čísel. Dále se podíváme na nalezení nejmenšího společného násobku rozkladem čísel na prvočinitele. Poté se zaměříme na nalezení LCM tří nebo více čísel a také věnujeme pozornost výpočtu LCM záporných čísel.
Navigace na stránce.
Výpočet nejmenšího společného násobku (LCM) pomocí GCD
Jeden způsob, jak najít nejmenší společný násobek, je založen na vztahu mezi LCM a GCD. Stávající spojení mezi LCM a GCD nám umožňuje vypočítat nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel prostřednictvím známého největšího společného dělitele. Odpovídající vzorec je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Podívejme se na příklady nalezení LCM pomocí daného vzorce.
Příklad.
Najděte nejmenší společný násobek dvou čísel 126 a 70.
Řešení.
V tomto příkladu a=126, b=70. Použijme spojení mezi LCM a GCD, vyjádřené vzorcem LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). To znamená, že nejprve musíme najít největšího společného dělitele čísel 70 a 126, poté můžeme pomocí napsaného vzorce vypočítat LCM těchto čísel.
Najděte GCD(126, 70) pomocí euklidovského algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tedy GCD(126, 70)=14.
Nyní najdeme požadovaný nejmenší společný násobek: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126-70:14=630.
Odpovědět:
LCM(126,70)=630.
Příklad.
Čemu se rovná LCM(68, 34)?
Řešení.
Protože 68 je dělitelné 34, pak GCD(68, 34)=34. Nyní vypočítáme nejmenší společný násobek: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68-34:34=68.
Odpovědět:
LCM(68,34)=68.
Všimněte si, že předchozí příklad odpovídá následujícímu pravidlu pro nalezení LCM pro kladná celá čísla a a b: je-li číslo a dělitelné b, pak nejmenší společný násobek těchto čísel je a.
Nalezení LCM rozdělením čísel na prvočinitele
Dalším způsobem, jak najít nejmenší společný násobek, je rozklad čísel na prvočinitele. Pokud poskládáte součin ze všech prvočinitelů daných čísel a poté z tohoto součinu vyloučíte všechny společné prvočinitele přítomné v rozkladech daných čísel, bude výsledný součin roven nejmenšímu společnému násobku daných čísel. .
Uvedené pravidlo pro nalezení LCM vyplývá z rovnosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Ve skutečnosti se součin čísel a a b rovná součinu všech faktorů podílejících se na expanzi čísel a a b. Na druhé straně gcd(a, b) rovnající se produktu všechny prvočinitele, které jsou současně přítomny v rozšířeních čísel a a b (jak je popsáno v části o hledání GCD pomocí rozšíření čísel na prvočinitele).
Uveďme příklad. Dejte nám vědět, že 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. Sestavme součin ze všech faktorů těchto rozšíření: 2·3·3·5·5·5·7 . Nyní z tohoto součinu vyloučíme všechny faktory přítomné jak v rozšíření čísla 75, tak v rozšíření čísla 210 (tyto faktory jsou 3 a 5), pak bude mít součin tvar 2·3·5·5·7 . Hodnota tohoto součinu se rovná nejmenšímu společnému násobku 75 a 210, tj. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1 050.
Příklad.
Rozložte čísla 441 a 700 na prvočinitele a najděte nejmenší společný násobek těchto čísel.
Řešení.
Rozložme čísla 441 a 700 na prvočinitele:
Dostaneme 441=3·3·7·7 a 700=2·2·5·5·7.
Nyní vytvořte součin ze všech faktorů podílejících se na rozšíření těchto čísel: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Vylučme z tohoto součinu všechny faktory, které jsou současně přítomny v obou expanzích (existuje pouze jeden takový faktor - toto je číslo 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tím pádem, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Odpovědět:
NOC(441, 700)= 44100.
Pravidlo pro nalezení LCM pomocí rozkladu čísel na prvočinitele lze formulovat trochu jinak. Pokud se chybějící faktory z rozvoje čísla b sečtou k faktorům z rozvoje čísla a, bude hodnota výsledného součinu rovna nejmenšímu společnému násobku čísel a a b.
Vezměme například stejná čísla 75 a 210, jejich rozklady na prvočinitele jsou následující: 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. K činitelům 3, 5 a 5 z rozšíření čísla 75 přičteme chybějící činitele 2 a 7 z rozšíření čísla 210, získáme součin 2·3·5·5·7, jehož hodnota je rovno LCM(75, 210).
Příklad.
Najděte nejmenší společný násobek 84 a 648.
Řešení.
Nejprve získáme rozklady čísel 84 a 648 na prvočinitele. Vypadají jako 84=2·2·3·7 a 648=2·2·2·3·3·3·3. K činitelům 2, 2, 3 a 7 z rozšíření čísla 84 přičteme chybějící činitele 2, 3, 3 a 3 z rozšíření čísla 648, získáme součin 2 2 2 3 3 3 3 7, což se rovná 4 536 . Požadovaný nejmenší společný násobek 84 a 648 je tedy 4 536.
Odpovědět:
LCM(84,648)=4,536.
Nalezení LCM tří nebo více čísel
Nejmenší společný násobek tří nebo více čísel lze najít postupným hledáním LCM dvou čísel. Připomeňme si odpovídající větu, která umožňuje najít LCM tří nebo více čísel.
Teorém.
Nechť jsou dána celá čísla kladná čísla a 1 , a 2 , …, a k , nejmenší společný násobek m k těchto čísel zjistíme sekvenčním výpočtem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3), …, m k = LCM(mk-1, ak) .
Uvažujme aplikaci této věty na příkladu hledání nejmenšího společného násobku čtyř čísel.
Příklad.
Najděte LCM čtyř čísel 140, 9, 54 a 250.
Řešení.
V tomto příkladu a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Nejprve najdeme m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140; 9). Abychom to udělali, pomocí euklidovského algoritmu určíme GCD(140, 9), máme 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, tedy GCD(140, 9)=1 , odkud GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140-9:1 = 1260. To znamená, m2 = 1 260.
Nyní najdeme m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Vypočítejme to pomocí GCD(1 260, 54), které také určíme pomocí euklidovského algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potom gcd(1,260, 54)=18, z čehož gcd(1,260,54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To znamená, m3 = 3 780.
Zbývá jen najít m4 = LOC(m3, a4) = LOC(3 780, 250). K tomu najdeme GCD(3,780, 250) pomocí euklidovského algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Proto GCM(3,780, 250)=10, odkud GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3 780 - 250:10 = 94 500. To znamená, m4 = 94 500.
Nejmenší společný násobek původních čtyř čísel je tedy 94 500.
Odpovědět:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
V mnoha případech je vhodné najít nejmenší společný násobek tří a více čísel pomocí prvočíselných rozkladů daných čísel. V tomto případě byste měli dodržovat následující pravidlo. Nejmenší společný násobek několika čísel se rovná součinu, který se skládá takto: chybějící činitele z rozšíření druhého čísla se přičtou ke všem činitelům z rozšíření prvního čísla, chybějící činitele z rozšíření prvního čísla třetí číslo se přičte k výsledným faktorům a tak dále.
Podívejme se na příklad nalezení nejmenšího společného násobku pomocí prvočíselného rozkladu.
Příklad.
Najděte nejmenší společný násobek pěti čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Řešení.
Nejprve získáme rozklady těchto čísel na prvočísla: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prvočíslo, shoduje se s jeho rozkladem na prvočinitele) a 143=11·13.
Chcete-li najít LCM těchto čísel, k faktorům prvního čísla 84 (jsou to 2, 2, 3 a 7), musíte přidat chybějící faktory z rozšíření druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chybějící faktory, protože jak 2, tak 3 jsou již přítomny v rozkladu prvního čísla 84. Dále k faktorům 2, 2, 3 a 7 přidáme chybějící faktory 2 a 2 z rozšíření třetího čísla 48, dostaneme množinu faktorů 2, 2, 2, 2, 3 a 7. V dalším kroku nebude nutné do této sady přidávat násobiče, protože 7 je v ní již obsažena. Nakonec k faktorům 2, 2, 2, 2, 3 a 7 přidáme chybějící faktory 11 a 13 z rozšíření čísla 143. Dostaneme součin 2·2·2·2·3·7·11·13, který se rovná 48 048.