Vaše dítě přineslo domácí práce ze školy a nevíš jak to vyřešit? Pak je tato mini lekce právě pro vás!
Jak přidat desetinná místa
Je vhodnější přidat desetinné zlomky do sloupce. K provedení sčítání desetinná místa, musíte dodržovat jedno jednoduché pravidlo:
- Místo musí být pod místem, čárka pod čárkou.
Jak vidíte na příkladu, celé jednotky jsou umístěny pod sebou, desetinné a setinové číslice jsou umístěny pod sebou. Nyní sečteme čísla, čárku ignorujeme. Co dělat s čárkou? Čárka se přesune na místo, kde stála v celočíselné kategorii.
Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli
Chcete-li provést sčítání se společným jmenovatelem, musíte ponechat jmenovatele nezměněný, najít součet čitatelů a získat zlomek, který bude celkovým součtem.
Sčítání zlomků s různými jmenovateli pomocí metody společného násobku
První věc, kterou musíte věnovat pozornost, jsou jmenovatelé. Jmenovatele jsou různé, nejsou navzájem dělitelné, že ano prvočísla. Nejprve to musíte přivést k jednomu společnému jmenovateli. Existuje několik způsobů, jak to udělat:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, k vyřešení tohoto příkladu potřebujeme najít nejmenší společný násobek (LCM), který bude dělitelný 2 jmenovateli. K označení nejmenšího násobku aab – LCM (a;b). V tomto příkladu LCM(3;4)=12. Kontrolujeme: 12:3=4; 12:4=3.
- Faktory vynásobíme a výsledná čísla sečteme, dostaneme 13/12 - nevlastní zlomek.
- Abychom převedli nevlastní zlomek na vlastní zlomek, vydělme čitatele jmenovatelem, dostaneme celé číslo 1, zbytek 1 je čitatel a 12 je jmenovatel.
Sčítání zlomků metodou křížového násobení
Chcete-li sečíst zlomky s různými jmenovateli, existuje další metoda využívající vzorec „cross to cross“. Toto je zaručený způsob, jak vyrovnat jmenovatele, k tomu je třeba vynásobit čitatele jmenovatelem jednoho zlomku a naopak. Pokud jste teprve v počáteční fázi učení zlomků, pak je tato metoda nejjednodušší a nejpřesnější způsob, jak získat správný výsledek při sčítání zlomků s různými jmenovateli.
Tato lekce bude zahrnovat sčítání a odčítání. algebraické zlomky s různými jmenovateli. Už víme, jak sčítat a odčítat běžné zlomky s různými jmenovateli. K tomu je třeba zlomky zredukovat na společného jmenovatele. Ukazuje se, že algebraické zlomky se řídí stejnými pravidly. Přitom už víme, jak redukovat algebraické zlomky na společného jmenovatele. Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli je jedním z nejdůležitějších a nejobtížnějších témat kurzu pro 8. ročník. Navíc se toto téma objeví v mnoha tématech v kurzu algebry, který budete v budoucnu studovat. V rámci lekce si prostudujeme pravidla pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli a také rozebereme řadu typických příkladů.
Uvažujme nejjednodušší příklad pro obyčejné zlomky.
Příklad 1. Přidejte zlomky: .
Řešení:
Připomeňme si pravidlo pro sčítání zlomků. Pro začátek je třeba zlomky zredukovat na společného jmenovatele. Společným jmenovatelem obyčejných zlomků je nejmenší společný násobek(LCM) původních jmenovatelů.
Definice
Nejméně přirozené číslo, který je současně dělitelný čísly a .
Chcete-li najít LCM, musíte rozdělit jmenovatele na prvočinitele a poté vybrat všechny prvočísla, které jsou zahrnuty v rozšíření obou jmenovatelů.
; . Potom LCM čísel musí obsahovat dvě dvojky a dvě trojky: .
Po nalezení společného jmenovatele musíte pro každý zlomek najít další faktor (ve skutečnosti vydělte společného jmenovatele jmenovatelem odpovídajícího zlomku).
Každý zlomek se pak vynásobí výsledným dodatečným faktorem. Dostáváme zlomky se stejnými jmenovateli, které jsme se naučili sčítat a odčítat v předchozích lekcích.
Dostaneme: .
Odpovědět:.
Podívejme se nyní na sčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli. Nejprve se podívejme na zlomky, jejichž jmenovateli jsou čísla.
Příklad 2 Přidejte zlomky: .
Řešení:
Algoritmus řešení je naprosto podobný předchozímu příkladu. Je snadné najít společného jmenovatele těchto zlomků: a další faktory pro každý z nich.
.
Odpovědět:.
Pojďme tedy formulovat algoritmus pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli:
1. Najděte nejnižšího společného jmenovatele zlomků.
2. Najděte další faktory pro každý ze zlomků (vydělením společného jmenovatele jmenovatelem daného zlomku).
3. Vynásobte čitatele odpovídajícími dalšími faktory.
4. Sečtěte nebo odečtěte zlomky pomocí pravidel pro sčítání a odčítání zlomků s podobnými jmenovateli.
Uvažujme nyní příklad se zlomky, jejichž jmenovatel obsahuje písmenné výrazy.
Příklad 3 Přidejte zlomky: .
Řešení:
Vzhledem k tomu, že výrazy písmen v obou jmenovatelích jsou stejné, měli byste pro čísla najít společného jmenovatele. Konečný společný jmenovatel bude vypadat takto: . Řešení tohoto příkladu tedy vypadá takto:.
Odpovědět:.
Příklad 4. Odečtěte zlomky: .
Řešení:
Pokud nemůžete při volbě společného jmenovatele „ošelit“ (nemůžete jej faktorizovat ani použít zkrácené vzorce pro násobení), musíte jako společný jmenovatel vzít součin jmenovatelů obou zlomků.
Odpovědět:.
Obecně platí, že při řešení takových příkladů je nejtěžší úkol najít společného jmenovatele.
Podívejme se na složitější příklad.
Příklad 5. Zjednodušte: .
Řešení:
Při hledání společného jmenovatele se musíte nejprve pokusit rozdělit jmenovatele původních zlomků (pro zjednodušení společného jmenovatele).
V tomto konkrétním případě:
Pak je snadné určit společného jmenovatele: .
Zjistíme další faktory a vyřešíme tento příklad:
Odpovědět:.
Nyní stanovíme pravidla pro sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli.
Příklad 6. Zjednodušte: .
Řešení:
Odpovědět:.
Příklad 7. Zjednodušte: .
Řešení:
.
Odpovědět:.
Uvažujme nyní příklad, ve kterém se nesčítají dva, ale tři zlomky (ostatně pravidla sčítání a odčítání pro větší počet zlomků zůstávají stejná).
Příklad 8. Zjednodušte: .
Kalkulačka zlomků určený pro rychlé výpočetní operace se zlomky, pomůže vám snadno sčítat, násobit, dělit nebo odčítat zlomky.
Moderní školáci začínají se zlomky už v 5. třídě a cvičení s nimi je rok od roku složitější. Matematické termíny a veličiny, které se učíme ve škole, nám mohou být v dospělosti jen zřídka užitečné. Zlomky se však na rozdíl od logaritmů a mocnin vyskytují v každodenním životě poměrně často (měření vzdáleností, vážení zboží atd.). Naše kalkulačka je navržena pro rychlé operace se zlomky.
Nejprve si definujme, co jsou zlomky a co jsou. Zlomky jsou poměrem jednoho čísla k druhému je to číslo sestávající z celého čísla zlomků jednotky.
Druhy zlomků:
- Obyčejný
- Desetinný
- Smíšený
Příklad obyčejné zlomky:
Horní hodnota je čitatel, spodní je jmenovatel. Pomlčka nám ukazuje, že horní číslo je dělitelné spodním. Místo tohoto formátu psaní, když je pomlčka vodorovná, můžete psát jinak. Můžete umístit nakloněnou čáru, například:
1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1
Desetinná čísla jsou nejoblíbenějším typem zlomků. Skládají se z celočíselné části a zlomkové části, oddělené čárkou.
Příklad desetinných zlomků:
0,2 nebo 6,71 nebo 0,125
Skládá se z celého čísla a zlomkové části. Chcete-li zjistit hodnotu tohoto zlomku, musíte sečíst celé číslo a zlomek.
Příklad smíšených frakcí:
![](https://i2.wp.com/calcsoft.ru/!newimg/smeshannie-drobi.jpg)
Zlomková kalkulačka na našem webu je schopna rychle provádět jakékoli matematické operace se zlomky online:
- Přidání
- Odčítání
- Násobení
- Divize
Chcete-li provést výpočet, musíte do polí zadat čísla a vybrat akci. U zlomků je potřeba vyplnit čitatel a jmenovatel celé číslo (pokud je zlomek obyčejný). Nezapomeňte kliknout na tlačítko „rovná se“.
Je vhodné, aby kalkulačka okamžitě poskytla proces řešení příkladu se zlomky, a ne jen hotovou odpověď. Právě díky detailnímu řešení můžete tento materiál využít k řešení školních problémů a k lepšímu zvládnutí probrané látky.
Musíte provést příklad výpočtu:
Po zadání indikátorů do polí formuláře získáme:
![](https://i0.wp.com/calcsoft.ru/!newimg/raschet-summy-dvux-drobey.jpg)
Pro vlastní výpočet zadejte údaje do formuláře.
Kalkulačka zlomků
Zadejte dva zlomky:+ - * : | |||||||
Související sekce.
Online kalkulačka.
Vyhodnoťte výraz pomocí číselných zlomků.
Násobení, odčítání, dělení, sčítání a zmenšování zlomků s různými jmenovateli.
S touto online kalkulačkou můžete násobit, odčítat, dělit, sčítat a zmenšovat zlomky s různými jmenovateli.
Program pracuje s pravidelnými, nesprávnými a smíšenými zlomky čísel.
Tento program (online kalkulačka) může:
- provádět sčítání smíšených zlomků s různými jmenovateli
- provést odečítání smíšených zlomků s různými jmenovateli
- dělit smíšené zlomky s různými jmenovateli
- násobte smíšené zlomky s různými jmenovateli
- snížit zlomky na společného jmenovatele
- převést smíšené zlomky na nesprávné zlomky
- snížit zlomky
Můžete také zadat nikoli výraz se zlomky, ale jeden jediný zlomek.
V tomto případě se zlomek zmenší a z výsledku se oddělí celá část.
Online kalkulačka pro výpočet výrazů s číselnými zlomky nejenže dává odpověď na problém, ale také detailní řešení s vysvětlivkami, tzn. zobrazuje proces hledání řešení.
Tento program může být užitečný pro studenty středních škol při přípravě na střední školy testy a zkoušky, při testování znalostí před Jednotnou státní zkouškou, pro rodiče ke zvládnutí řešení mnoha problémů z matematiky a algebry. Nebo je pro vás možná příliš drahé najmout si lektora nebo koupit nové učebnice? Nebo jen chcete mít domácí úkoly z matematiky či algebry hotové co nejrychleji? V tomto případě můžete využít i naše programy s detailními řešeními.
Tímto způsobem můžete provádět své vlastní školení a/nebo školení vaše. mladší bratři nebo sestry, přičemž se zvyšuje úroveň vzdělání v oblasti řešených problémů.
Pokud se nevyznáte v pravidlech pro zadávání výrazů s číselnými zlomky, doporučujeme se s nimi seznámit.
Pravidla pro zadávání výrazů s číselnými zlomky
Pouze celé číslo může fungovat jako čitatel, jmenovatel a celá část zlomku.
Jmenovatel nemůže být záporný.
Při zadávání číselného zlomku se čitatel odděluje od jmenovatele znaménkem dělení: /
Vstup: -2/3 + 7/5
Výsledek: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)
Celá část je oddělena od zlomku znakem ampersand: &
Vstup: -1&2/3 * 5&8/3
Výsledek: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)
Dělení zlomků se uvozuje dvojtečkou: :
Vstup: -9&37/12: -3&5/14
Výsledek: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Pamatujte, že nelze dělit nulou!
Při zadávání výrazů s číselnými zlomky můžete použít závorky.
Vstup: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Výsledek: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)
Bylo zjištěno, že některé skripty potřebné k vyřešení tohoto problému nebyly načteny a program nemusí fungovat.
Možná máte povolený AdBlock.
V takovém případě jej deaktivujte a obnovte stránku.
Aby se řešení objevilo, musíte povolit JavaScript.
Zde je návod, jak povolit JavaScript ve vašem prohlížeči.
Protože Existuje mnoho lidí ochotných problém vyřešit, váš požadavek byl zařazen do fronty.
Za několik sekund se řešení objeví níže.
Prosím, čekejte sek...
jestli ty zaznamenal chybu v řešení, pak o tom můžete napsat do formuláře zpětné vazby.
Nezapomeň uveďte jaký úkol ty rozhodneš co zadejte do polí.
Naše hry, hádanky, emulátory:
Trochu teorie.
Obyčejné zlomky. Rozdělení se zbytkem
Pokud potřebujeme vydělit 497 4, tak při dělení uvidíme, že 497 není dělitelné 4 rovnoměrně, tzn. zbytek divize zůstává. V takových případech se říká, že je hotovo rozdělení se zbytkem a řešení je napsáno takto:
497:4 = 124 (1 zbytek).
Složky dělení na levé straně rovnosti se nazývají stejně jako při dělení beze zbytku: 497 - dividenda, 4 - dělič. Výsledek dělení při dělení se zbytkem se nazývá neúplné soukromé. V našem případě je to číslo 124. A konečně poslední složka, která není v běžném dělení, je zbytek. V případech, kdy není žádný zbytek, se říká, že jedno číslo je děleno druhým beze stopy nebo úplně. Předpokládá se, že s takovým rozdělením zbytek rovna nule. V našem případě je zbytek 1.
Zbytek je vždy menší než dělitel.
Dělení lze zkontrolovat násobením. Pokud existuje například rovnost 64: 32 = 2, pak lze kontrolu provést takto: 64 = 32 * 2.
Často v případech, kdy se provádí dělení se zbytkem, je vhodné použít rovnost
a = b * n + r,
kde a je dividenda, b je dělitel, n je částečný podíl, r je zbytek.
Podíl přirozených čísel lze zapsat jako zlomek.
Čitatel zlomku je dividenda a jmenovatel je dělitel.
Protože čitatel zlomku je dividenda a jmenovatel je dělitel, věřte, že čára zlomku znamená akci dělení. Někdy je vhodné zapsat dělení jako zlomek bez použití znaménka ":".
Podíl dělení přirozených čísel m a n lze zapsat jako zlomek \(\frac(m)(n)\), kde čitatel m je dělenec a jmenovatel n je dělitel:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Platí následující pravidla:
Chcete-li získat zlomek \(\frac(m)(n)\), musíte jednotku rozdělit na n stejných částí (podílů) a vzít m takových částí.
Chcete-li získat zlomek \(\frac(m)(n)\), musíte vydělit číslo m číslem n.
K nalezení části celku je potřeba vydělit číslo odpovídající celku jmenovatelem a výsledek vynásobit čitatelem zlomku, který tuto část vyjadřuje.
K nalezení celku z jeho části je potřeba vydělit číslo odpovídající této části čitatelem a výsledek vynásobit jmenovatelem zlomku, který tuto část vyjadřuje.
Pokud se čitatel i jmenovatel zlomku vynásobí stejným číslem (kromě nuly), hodnota zlomku se nezmění:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Pokud jsou čitatel i jmenovatel zlomku děleny stejným číslem (kromě nuly), hodnota zlomku se nezmění:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Tato vlastnost se nazývá hlavní vlastnost zlomku.
Poslední dvě transformace se nazývají snížení zlomku.
Pokud je třeba zlomky reprezentovat jako zlomky se stejným jmenovatelem, pak se tato akce nazývá snížení zlomků na společného jmenovatele.
Vlastní a nevlastní zlomky. Smíšená čísla
Už víte, že zlomek lze získat rozdělením celku na stejné části a odebráním několika takových částí. Například zlomek \(\frac(3)(4)\) znamená tři čtvrtiny jedné. V mnoha problémech v předchozím odstavci byly zlomky použity k reprezentaci částí celku. Selský rozum navrhuje, že část by měla být vždy menší než celek, ale co potom zlomky jako například \(\frac(5)(5)\) nebo \(\frac(8)(5)\)? Je jasné, že toto již není součástí jednotky. Pravděpodobně proto se nazývají zlomky, jejichž čitatel je větší nebo roven jmenovateli nesprávné zlomky. Zbývající zlomky, tedy zlomky, jejichž čitatel menší než jmenovatel, volal správné zlomky.
Jak víte, jakýkoli společný zlomek, správný i nevlastní, lze považovat za výsledek dělení čitatele jmenovatelem. Proto v matematice, na rozdíl od běžného jazyka, termín „nepravý zlomek“ neznamená, že jsme udělali něco špatně, ale pouze to, že čitatel tohoto zlomku je větší nebo roven jmenovateli.
Pokud se číslo skládá z celé části a zlomku, pak takové zlomky se nazývají smíšené.
Například:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je celočíselná část a \(\frac(2)(3) \) je zlomková část.
Pokud je čitatel zlomku \(\frac(a)(b)\) dělitelný přirozeným číslem n, pak aby bylo možné tento zlomek vydělit n, musí být jeho čitatel dělen tímto číslem:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Pokud čitatel zlomku \(\frac(a)(b)\) není dělitelný přirozeným číslem n, pak pro dělení tohoto zlomku n musíte jeho jmenovatele vynásobit tímto číslem:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Všimněte si, že druhé pravidlo platí také, když je čitatel dělitelný n. Můžeme jej tedy použít, když je na první pohled obtížné určit, zda je čitatel zlomku dělitelný n nebo ne.
Akce se zlomky. Sčítání zlomků.
Se zlomkovými čísly si stejně jako s přirozenými čísly vystačíte aritmetické operace. Nejprve se podíváme na sčítání zlomků. Je snadné sčítat zlomky s podobnými jmenovateli. Najdeme například součet \(\frac(2)(7)\) a \(\frac(3)(7)\). Je snadné pochopit, že \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Chcete-li sečíst zlomky se stejnými jmenovateli, musíte sečíst jejich čitatele a jmenovatele ponechat stejný.
Pomocí písmen lze pravidlo pro sčítání zlomků s podobnými jmenovateli napsat takto:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Pokud potřebujete sečíst zlomky s různými jmenovateli, je třeba je nejprve zredukovat na společného jmenovatele. Například:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Pro zlomky, stejně jako pro přirozená čísla, platí komutativní a asociativní vlastnosti sčítání.
Přidávání smíšených frakcí
Jsou volány zápisy jako \(2\frac(2)(3)\). smíšené frakce. V tomto případě se volá číslo 2 celá část smíšený zlomek a číslo \(\frac(2)(3)\) je jeho zlomková část. Záznam \(2\frac(2)(3)\) zní takto: „dvě a dvě třetiny“.
Při dělení čísla 8 číslem 3 můžete získat dvě odpovědi: \(\frac(8)(3)\) a \(2\frac(2)(3)\). Vyjadřují stejné zlomkové číslo, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Nevlastní zlomek \(\frac(8)(3)\) je tedy reprezentován jako smíšený zlomek \(2\frac(2)(3)\). V takových případech říkají, že z nesprávného zlomku zvýraznil celou část.
Odečítání zlomků (zlomkových čísel)
Odčítání zlomková čísla, stejně jako přirozené, se určuje na základě akce sčítání: odečíst další od jednoho čísla znamená najít číslo, které po přičtení k druhému dává první. Například:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) protože \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)
Pravidlo pro odečítání zlomků s podobnými jmenovateli je podobné pravidlu pro sčítání takových zlomků:
Chcete-li najít rozdíl mezi zlomky se stejnými jmenovateli, musíte odečíst čitatele druhého od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele stejného.
Pomocí písmen je toto pravidlo napsáno takto:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Násobení zlomků
Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vynásobit jejich čitatele a jmenovatele a napsat první součin jako čitatel a druhý jako jmenovatel.
Pomocí písmen lze pravidlo pro násobení zlomků napsat takto:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Pomocí formulovaného pravidla můžete vynásobit zlomek přirozeným číslem smíšená frakce, a také násobit smíšené frakce. K tomu je třeba napsat přirozené číslo jako zlomek se jmenovatelem 1, smíšený zlomek - jako nevlastní zlomek.
Výsledek násobení by měl být zjednodušen (pokud je to možné) zmenšením zlomku a izolací celé části nesprávného zlomku.
Pro zlomky, stejně jako pro přirozená čísla, platí komutativní a kombinační vlastnosti násobení a také distributivní vlastnost násobení vůči sčítání.
Dělení zlomků
Vezměme zlomek \(\frac(2)(3)\) a „překlopíme“ jej, přičemž prohodíme čitatel a jmenovatel. Dostaneme zlomek \(\frac(3)(2)\). Tento zlomek se nazývá zvrátit zlomky \(\frac(2)(3)\).
Pokud nyní zlomek \(\frac(3)(2)\ „obrátíme“, dostaneme původní zlomek \(\frac(2)(3)\). Proto se zlomky jako \(\frac(2)(3)\) a \(\frac(3)(2)\) nazývají vzájemně inverzní.
Například zlomky \(\frac(6)(5) \) a \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) a \(\frac (18) )(7)\).
Pomocí písmen lze vzájemné zlomky zapsat takto: \(\frac(a)(b) \) a \(\frac(b)(a) \)
Je jasné že součin reciprokých zlomků je roven 1. Například: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Pomocí reciprokých zlomků můžete dělení zlomků omezit na násobení.
Pravidlo pro dělení zlomku zlomkem je:
Chcete-li vydělit jeden zlomek druhým, musíte dividendu vynásobit převrácenou hodnotou dělitele.
Tato lekce se bude zabývat sčítáním a odčítáním algebraických zlomků s různými jmenovateli. Už víme, jak sčítat a odčítat běžné zlomky s různými jmenovateli. K tomu je třeba zlomky zredukovat na společného jmenovatele. Ukazuje se, že algebraické zlomky se řídí stejnými pravidly. Přitom už víme, jak redukovat algebraické zlomky na společného jmenovatele. Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli je jedním z nejdůležitějších a nejobtížnějších témat kurzu pro 8. ročník. Navíc se toto téma objeví v mnoha tématech v kurzu algebry, který budete v budoucnu studovat. V rámci lekce si prostudujeme pravidla pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli a také rozebereme řadu typických příkladů.
Podívejme se na nejjednodušší příklad pro obyčejné zlomky.
Příklad 1. Přidejte zlomky: .
Řešení:
Připomeňme si pravidlo pro sčítání zlomků. Pro začátek je třeba zlomky zredukovat na společného jmenovatele. Společným jmenovatelem obyčejných zlomků je nejmenší společný násobek(LCM) původních jmenovatelů.
Definice
Nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné jak čísly, tak .
Chcete-li najít LCM, musíte rozdělit jmenovatele na prvočinitele a poté vybrat všechny prvočísla, které jsou zahrnuty v rozšíření obou jmenovatelů.
; . Potom LCM čísel musí obsahovat dvě dvojky a dvě trojky: .
Po nalezení společného jmenovatele musíte pro každý zlomek najít další faktor (ve skutečnosti vydělte společného jmenovatele jmenovatelem odpovídajícího zlomku).
Každý zlomek se pak vynásobí výsledným dodatečným faktorem. Dostáváme zlomky se stejnými jmenovateli, které jsme se naučili sčítat a odčítat v předchozích lekcích.
Dostaneme: .
Odpovědět:.
Podívejme se nyní na sčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli. Nejprve se podívejme na zlomky, jejichž jmenovateli jsou čísla.
Příklad 2 Přidejte zlomky: .
Řešení:
Algoritmus řešení je naprosto podobný předchozímu příkladu. Je snadné najít společného jmenovatele těchto zlomků: a další faktory pro každý z nich.
.
Odpovědět:.
Pojďme tedy formulovat algoritmus pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli:
1. Najděte nejnižšího společného jmenovatele zlomků.
2. Najděte další faktory pro každý ze zlomků (vydělením společného jmenovatele jmenovatelem daného zlomku).
3. Vynásobte čitatele odpovídajícími dalšími faktory.
4. Sečtěte nebo odečtěte zlomky pomocí pravidel pro sčítání a odčítání zlomků s podobnými jmenovateli.
Uvažujme nyní příklad se zlomky, jejichž jmenovatel obsahuje písmenné výrazy.
Příklad 3 Přidejte zlomky: .
Řešení:
Vzhledem k tomu, že výrazy písmen v obou jmenovatelích jsou stejné, měli byste pro čísla najít společného jmenovatele. Konečný společný jmenovatel bude vypadat takto: . Řešení tohoto příkladu tedy vypadá takto:.
Odpovědět:.
Příklad 4. Odečtěte zlomky: .
Řešení:
Pokud nemůžete při volbě společného jmenovatele „ošelit“ (nemůžete jej faktorizovat ani použít zkrácené vzorce pro násobení), musíte jako společný jmenovatel vzít součin jmenovatelů obou zlomků.
Odpovědět:.
Obecně platí, že při řešení takových příkladů je nejtěžší úkol najít společného jmenovatele.
Podívejme se na složitější příklad.
Příklad 5. Zjednodušte: .
Řešení:
Při hledání společného jmenovatele se musíte nejprve pokusit rozdělit jmenovatele původních zlomků (pro zjednodušení společného jmenovatele).
V tomto konkrétním případě:
Pak je snadné určit společného jmenovatele: .
Zjistíme další faktory a vyřešíme tento příklad:
Odpovědět:.
Nyní stanovíme pravidla pro sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli.
Příklad 6. Zjednodušte: .
Řešení:
Odpovědět:.
Příklad 7. Zjednodušte: .
Řešení:
.
Odpovědět:.
Uvažujme nyní příklad, ve kterém se nesčítají dva, ale tři zlomky (ostatně pravidla sčítání a odčítání pro větší počet zlomků zůstávají stejná).
Příklad 8. Zjednodušte: .