Общее сочетание определенных моделей и подходов, основанных на различных экономических и математических принципах в сочетании с конкретными условиями формирования портфеля, позволяющее соотнести состав и структуру портфеля с требованиями, предъявляемыми инвестором – все это можно назвать портфельной теорией.
В некоторых условиях возникает необходимость осуществления сразу нескольких инвестиций. Возникает необходимость обоснования принимаемых решений, для анализа которых и используется современная портфельная теория . Благодаря этой теории возникает возможность выявить наиболее подходящие инвестиционные активы с учетом различных факторов, таких как: личные предпочтения инвестора, ситуация на рынке, перспективы и личных финансовых возможностей.
Помимо базовых элементов, существует комплекс процедур, алгоритмов и методик, которые позволяют воспользоваться ими, как отдельными инструментами при анализе.
Основные элементы классической портфельной теории
Ими являются:
- Конструирование инвестиционного портфеля
В процессе конструирования определяется состав и структура формируемого портфеля. Начальным этапом конструирования является первичный отбор активов. При отборе, в первую очередь, опираются на доступность активов для инвестора. А также учитываются все ограничения, в том числе и законодательные. После того, как был проведен отбор, основанный на исключении активов, инвестирование которых не допустимо по различным причинам и параметрам, производится вторичный отбор. Во время вторичного отбора исключаются инвестиционные активы, которые не подходят уже по более узким параметрам.
Таким образом, основной информацией для проведения первичного отбора является статус инвестора и объем его финансовых ресурсов, срочность инвестирования, доступность подходящих активов. Вторичный отбор включает в себя более личные и субъективные требования.
Существует оптимальный алгоритм, согласно классическим портфельным теориям. Он представляет собой первоначальную процедуру сегментации или разделения инвестиционного фонда между активами, соблюдая определенные пропорции и дальнейшего комбинирования портфеля в соответствии с проведенным анализом активов одного типа. Комбинирование является одним из самых ключевых моментов во всей портфельной теории, поскольку благодаря ему производится выбор наиболее выгодного сочетания активов.
- Оценка инвестиционных качеств активов и портфелей
Это вспомогательный элемент, который обеспечивает исходные данные для последующей оптимизации инвестиционного портфеля. Оценка качеств включает в себя большое количество различных отдельных методик, с помощью которых можно оценить отдельные качества активов, такие как:
б) доходность;
в) активов.
Все это позволяет, как оценить в целом, так и отдельные его активы. Причем при проведении анализа качества и показатели для всех активов должны быть одни и те же.
Благодаря такой многофакторности появляется возможность оценки каждого сложного параметра отдельными частными показателями.
- Оценка эффективного портфельного инвестирования
Производится после непосредственного формирования портфеля. На основании этой оценки принимается решение о продолжении инвестирования, реструктуризации портфеля, об изменении параметров либо же о ликвидации инвестиционного портфеля. Производится такая оценка на основании достижения поставленных инвестором целей или на сравнительном анализе дохода или полученного результата.
Ограничения
При формировании портфельной теории должны учитываться следующие ограничения:
- Ограниченный объем финансовых ресурсов в распоряжении менеджера. Состав этих ресурсов может состоять как исключительно из средств инвестора, так и с привлечением заимствований.
- Неограниченность параметров, по которым производится оценка активов.
- Ставка по без рисковым заимствованиям выше, чем ставка по вложениям.
- Минимизация рисковых факторов при стремлении к максимизации прибыли. Однако в некоторых случаях к отдельным рисковым факторам инвесторы могут оказаться нечувствительны.
- В течение всего срока существования портфеля его структура остается неизменной.
- Все сделки совершаются инвесторами по рыночным ценам.
В классической портфельной теории существует бесспорное предположение о наличии у инвестора финансовых ресурсов в некотором объеме. Однако, этот вопрос может быть весьма спорным, поскольку теоретически формирование портфеля исключительно из заемных средств возможно. Да и на практике подобный случай маловероятен. Объем заимствованных ресурсов остается ограниченным даже с учетом наличия права у инвестора использовать заемные средства или у менеджера – привлечения дополнительных ресурсов.
Приведем пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица с помощью программы Excel, разберем достоинства и недостатки данной модели в современной экономике и пути их решения.
Инвестиционный портфель – это совокупность различных финансовых инструментов, удовлетворяющих цели инвестора и, как правило, заключается в создании таких комбинаций активов, которые бы обеспечили максимальную доходность при минимальном уровне риска.
Модель Марковица
Г. Марковиц в 1952 году впервые предложил математическую модель формирования инвестиционного портфеля. В основе его модели лежат два ключевых показателя любого финансового инструмента: доходность и риск, которые были количественно измерены. Доходность по модели представляет собой математическое ожидание доходностей, а риск определяется как разброс доходностей возле математического ожидания и рассчитывается через стандартное отклонение.
До модели Г. Марковица инвестирование происходило, как правило, в выборочные активы или финансовые инструменты, предложенная же им модель позволила снизить систематические (рыночные) риски за счет группировки активов с отрицательной корреляцией доходностей.
Следует заметить универсальность модели, так инвестиционный портфель может быть технически составлен для любых видов финансовых инструментов и активов: акций, облигаций, фьючерсов, индексов, недвижимости и т.д.
Цели формирования инвестиционного портфеля
Выделяют две инвестиционные стратегии при формировании портфеля:
Максимизации доходности инвестиционного портфеля при ограниченном уровне риск.
Минимизация риска инвестиционного портфеля при минимально допустимом уровне доходности.
Расчет доходности инвестиционного портфеля Марковица
Общая доходность портфеля будут представлять собой взвешенную сумму доходностей каждого отдельного финансового инструмента (актива):
где:
r p – доходность инвестиционного портфеля;
w – доля i-го финансового инструмента в портфеле;
r i – доходность i-го финансового инструмента.
Оценка риска инвестиционного портфеля Марковица
В модели Г. Марковица риск отдельно взятого финансового инструмента рассчитывается как стандартное отклонение доходностей. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить их совокупное изменение и взаимное влияние (через ковариацию), для этого воспользуемся следующей формулой:
σp – риск инвестиционного портфеля;
σ i – стандартное отклонение доходностей i-го финансового инструмента;
k ij – коэффициент корреляции между I,j-м финансовым инструментом;
w i – доля i-го финансового инструмента (акций) в портфеле;
V ij – ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;
n – количество финансовых инструментов инвестиционного портфеля.
Эконометрический вид модели Марковица
Для того чтобы сформировать инвестиционный портфель необходимо решить оптимизационную задачу. Существует два вида задач: поиск долей акций в портфеле для достижения максимальной эффективности при заданном уровне риска (σ p) и минимизация риска при заданном уровне доходности портфеля (r p). Помимо этого на уравнения накладываются дополнительные очевидные ограничения: сумма долей активов должна быть равна 1 и сами доли активов должны быть положительными.
В таблице ниже показаны формулы и наложенные на них ограничения для поиска оптимальных долей финансовых инструментов (акций).
Портфель Марковица минимального риска | Портфель Марковица максимальной эффективности |
|
Пример формирования инвестиционного портфеля Марковица в Excel
Рассмотрим наглядный пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица в программе Excel. Наш портфель будет состоять из четырех отечественных акций: ОАО «Газпром» (GAZP), ОАО «Норильский никель» (GMKN), ОАО «Мечел» (MTLR) и ОАО «Сбербанк» (SBER). Были взяты акции различных секторов: нефтегазового, промышленного и финансового, такой выбор увеличивает диверсификацию портфеля и снижает его рыночный риск.
Рекомендуется брать период рассмотрения динамики изменения стоимости акций минимум один год. Это позволяет сделать более точный долгосрочный прогноз доходности и риска портфеля. На рисунке ниже показана ежемесячная стоимость акций за период с 01.02.2014 – 01.02.2015г.
Котировки акций Газпрома, ГМКНорНикеля, Мечела и Сбербанка
На следующем этапе формирования портфеля необходимо рассчитать ежемесячные доходности по каждой акции. Для этого воспользуемся формулой процентов в Excel:
Доходность Газпром =LN(B6/B5)
Доходность ГМКНорНикель =LN(C6/C5)
Доходность Мечел =LN(D6/D5)
Доходность Сбербанк =LN(E6/E5)
Расчет ежемесячных доходностей акций для модели Марковица в Excel
Ожидаемая доходность Газпром =СРЗНАЧ(F5:F17)
Ожидаемая доходность ГМКНорНикель =СРЗНАЧ(G5:G17)
Ожидаемая доходность Мечел =СРЗНАЧ(H5:H17)
Ожидаемая доходность Сбербанк =СРЗНАЧ(I5:I17)
Оценка ожидаемой доходности акций портфеля в Excel
Доходность акции ОАО «Сбербанк» имеет отрицательное ожидание доходности, поэтому ее следует исключить из портфеля. Оценка риска каждой акции – это ее изменчивость (волатильность) по отношению к математическому ожиданию доходностей.
Формула расчета риска акций следующая:
Риск Газпром =СТАНДОТКЛОН(F5:F17)
Риск ГМКНорНикель =СТАНДОТКЛОН(G5:G17)
Риск Мечел =СТАНДОТКЛОН(H5:H17)
Мы получили первоначальные необходимые данные для оценки долей данных акций в инвестиционном портфеле. Для оценки уровня риска всего инвестиционного портфеля воспользуемся надстройкой в Excel. Для этого зайдем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».
Результатом будет таблица ковариаций доходностей акций между собой. Расположим ее ниже под таблицей. Можно заметить, что диагональные значения представляют собой дисперсию доходностей акций.
Пример расчета ковариационной матрицы для инвестиционного портфеля Марковица в Excel.
Для расчета общего риска портфеля воспользуемся формулой рассмотренной выше и для этого нам необходимо перемножить доли весов акций между собой и значения ковариаций этих акций. Для того чтобы понять принцип расчета, установим доли акций 0.3, 0.3 и 0.4 и рассчитаем общий риск портфеля. Доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенная сумма доходностей отдельных акций. Так как мы будем перемножать матрицы необходимо транспонировать столбец с долям (wT). Формула расчета риска инвестиционного портфеля будет иметь следующий вид:
Общий риск инвестиционного портфеля =КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(F26:H26;F23:H25);D23:D25))
Общая доходность инвестиционного портфеля =F18*F26+G18*G26+H18*H26
Формирование инвестиционного портфеля минимального риска
Для данной задачи необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (r p). Возьмем r p ≥ 4%. При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню Excel → «Данные» → «Поиск решений», а также введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.
В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля), ввести, какие параметры необходимо изменять (доли акций) и текущие ограничения. Целевая ячейка – это ячейка с формулой общего риска инвестиционного портфеля. Программа будет изменять значения долей акций при выставленных ограничениях. Формула ограничения размера доли в портфеле будет иметь следующий вид:
Ограничение на сумму долей акций (F30) =СУММ(F26:H26)
Расчет долей акций в инвестиционном портфеле в Excel
В результате мы получаем следующий расчет общего риска и доходности портфеля. Общий риск портфеля составил 8,7%, тогда как общая доходность 4%. Доли акций Газпрома получились равными 27%, доли ГМКНорНикель 73% и Мечела 0%. При заданных условиях эффективнее будет формирование портфеля из двух акций ОАО «Газпром» и ОАО «ГМКНорНикель».
Формирование инвестиционного портфеля Марковица в Excel. Пример расчета для минимального риска
Визуально доли портфеля будут соотноситься следующим образом.
Формирование эффективного инвестиционного портфеля
Вторая задача, которая решается на основе модели Г. Марковица – посторонние портфеля с максимальным уровнем доходности и ограниченным уровнем риска. Разберем на примере данную задачу. Установим максимально допустимый уровень риска портфеля σ p ≤10%. С помощью надстройки «Поиск решений» определим доли акций в данной интерпретации задачи. Целевая ячейка будет ячейка с формулой доходности портфеля, ее следует максимизировать, изменяя значения долей акций при ограничениях по риску. На рисунке ниже показаны основные параметры для формирования портфеля с максимальной доходностью.
Оптимизация инвестиционного портфеля для максимизации доходности
В результате мы получили доли акций в инвестиционном портфеле: 9% акций ОАО «Газпром», 88% акций ОАО «ГМКНорНикель» и 2% акций ОАО «Мечел». Общий риск портфеля не превысил 10%, а доходность составила 4,82%.
Визуально доли инвестиционного портфеля будут соотноситься следующим образом.
Достоинства и недостатки модели Г. Марковица
Рассмотрим ряд недостатков присущих модели Г. Марковица.
- Данная модель была разработана для эффективных рынков капитала, на которых наблюдается постоянный рост стоимости активов и отсутствуют резкие колебания курсов, что было в большей степени характерно для экономики развитых стран 50-80-х годов. Корреляция между акциями не постоянна и меняется со временем, в итоге в будущем это не уменьшает систематический риск инвестиционного портфеля.
- Будущая доходность финансовых инструментов (акций) определяется как среднеарифметическое. Данный прогноз основывается только на историческом значении доходностей акции и не включает влияние макроэкономических (уровень ВВП, инфляции, безработицы, отраслевые индексы цен на сырье и материалы и т.д.) и микроэкономических факторов (ликвидность, рентабельность, финансовая устойчивость, деловая активность компании).
- Риск финансового инструмента оценивается с помощью меры изменчивости доходности относительно среднеарифметического, но изменение доходности выше не является риском, а представляет собой сверхдоходность акции.
Многие из данных недостатков модели были решены последователями: прогнозирование доходности с помощью многофакторных моделей (Ю. Фама, К. Френч, Росс и др.), нейронных сетей; оценка риска на основе моделей ARCH, GARCH и т.д. Следует отметить одно из главных достоинств модели Г. Марковица: систематизация подхода к формированию инвестиционного портфеля и управление его доходностью и риском.
Резюме
В данной статье мы рассмотрели, как с помощью Excel можно сформировать инвестиционный портфель по модели Г. Марковица и решить две классические задачи: максимизация доходности портфеля при минимальном риске и минимизация риска при заданной доходности. Портфель Марковица позволяет снизить систематические риски за счет комбинации различных активов. Несмотря на сложности использования данной модели в современной экономике данная модель применима для таких низковолатильных активов как недвижимость, облигации товарные фьючерсы и т.д. В настоящее время сократился срок пересмотра активов в портфеле, так если раньше он мог составлять год, то сейчас это 2-6 месяцев. С вами был Иван Жданов, спасибо за внимание.
На практике используют множество методик формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Большинство из них основано на методике Марковица. Он впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской по экономике.
Основными постулатами, на которых построена классическая портфельная теория, являются следующие:
Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.
Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.
Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.
Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске.
Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.
Рассмотрим подробнее сформировавшиеся на данный момент портфельные теории, некоторые из которых будут применены далее при проведении практического расчета оптимального портфеля ценных бумаг.
Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом случайно определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Это получило название вероятностной модели рынка. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы распределены нормально.
По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций.
В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.
Математическое ожидание дохода по i -й ценной бумаге (m i ) рассчитывается следующим образом:
где R i – возможный доход поi -й ценной бумаге, руб.;
P ij – вероятность получение дохода;
n – количество ценных бумаг.
Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Мерой рассеивания является среднеквадратическое отклонение:
.
В отличии от вероятностной модели, параметрическая модель допускает эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом.
Любой портфель ценных бумаг характеризуется двумя величинами: ожидаемой доходностью
,
где X i – доля общего вложения, приходящаяся наi -ю ценную бумагу;
m i – ожидаемая доходностьi -й ценной бумаги, %;
m p – ожидаемая доходность портфеля, %
и мерой риска – среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения
где p – мера риска портфеля;
ij – ковариация между доходностямиi -й иj -й ценных бумаг;
X i иX j – доли общего вложения, приходящиеся наi -ю иj -ю ценные бумаги;
n – число ценных бумаг портфеля.
Ковариация доходностей ценных бумаг ( ij ) равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:
где ij – коэффициент корреляции доходностейi -ой иj -ой ценными бумагами;
i , j – стандартные отклонения доходностейi -ой иj -ой ценных бумаг.
Для i =j ковариация равна дисперсии акции.
Рассматривая теоретически предельный случай, при котором в портфель можно включать бесконечное количество ценных бумаг, дисперсия (мера риска портфеля) асимптотически будет приближаться к среднему значению ковариации.
Графическое представление этого факта представлено на рисунке 2
Совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части: рыночный риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени, и собственный риск, который можно избежать при помощи диверсификации. При этом сумма вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных долей в общем объеме должна равняться единице.
Проблема заключается в численном определении относительных долей акций и облигаций в портфеле, которые наиболее выгодны для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. При помощи разработанного Марковицем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.
Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентом составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей.
Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности». Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством.
На рисунке 3 представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества.
Рисунок 3 – Допустимое и эффективное множества
В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Использую более техническую терминологию, можно сказать, что инвестор по каждому активу находится в длинной позиции. Длинная позиция – это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.
Из-за недопустимости коротких позиций в модели Марковица на доли ценных бумаг в портфели накладывается условие неотрицательности. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей, т.к. доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.
Для выбора наиболее приемлемого для инвестора портфеля ценных бумаг можно использовать кривые безразличия. В данном случае эти кривые отражают предпочтение инвестора в графической форме. Предположения, сделанные относительно предпочтений, гарантируют, что инвесторы могут указать на предпочтение, отдаваемое одной из альтернатив или на отсутствие различий между ними.
Если же рассматривать отношение инвестора к риску и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск, мерой которого является среднеквадратическое отклонение ( p ), а по вертикальной оси – вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (r p ), то можно получить семейство кривых безразличия.
Располагая информацией об ожидаемой доходности и стандартных отклонениях возможных портфелей ценных бумаг, можно построить карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия – это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальны доход.
Различные позиции инвесторов по отношению к риску можно представить в виде карт кривых, отражающих полезность вложений в те или иные инвестиционные портфели (рисунок 4). Каждая из указанных на рисунке 4 позиций инвестора к риску характерна тем, что любое уменьшение им риска сказывается на сокращении доходности и стандартном отклонении каждого из портфелей. И поскольку портфель включает в себя набор различных бумаг, то вполне объяснимым является зависимость его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель.
Инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием. Исходя из этого, оптимальный портфель находится в точке касания одной из кривых безразличия самого эффективного множества. На рисунке 5 оптимальный портфель для некоторого инвестора обозначен O * .
Определение кривой безразличия клиента является нелегкой задачей. На практике ее часто получают в косвенной или приближенной форме путем оценки уровня толерантности риска, определяемой как наибольший риск, который инвестор готов принять для данного увеличения ожидаемой доходности.
Поэтому, с точки зрения методологии модель Марковица можно определить как практически-нормативную, что не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.
Разработчиком современной теории портфельных инвестиций считается Гарри Марковиц, который в 1952 г. предложил математическую модель портфеля ценных бумаг и разработал методику его оптимизации. Основное допущение, использование которого позволило совершить прорыв в разработке теории инвестиций, состоит в интерпретации понятия риска как среднеквадратического отклонения доходности инвестиционного портфеля от своего среднего значения. Хотя недостатки такого допущения очевидны, однако интегральность этого параметра и разработанность используемого аппарата математической статистики обеспечили эффективность применения подобного подхода для решения практических задач портфельного инвестирования.
При таком способе описания инвестиционный портфель, который состоит из одного вида ценных бумаг, характеризующихся некоторой доходностью и риском, изображается на графике "Риск – Доходность" точкой 1 (рис. 6.3). Портфели, которые состоят из двух видов ценных бумаг в различной пропорции, описываются линией, соединяющей точки 1 и 2 на графике. Инвестиционные портфели, содержащие больше двух видов ценных бумаг, изображаются на графике областью, которая называется областью допустимых инвестиционных портфелей (область 1–2–3 ).
Рис. 6.3.
Относительно поведения инвесторов в теории портфельных инвестиций сделано два предположения. Первое: при прочих равных условиях инвестор выбирает актив с большей доходностью; второе: из двух активов с одинаковой доходностью инвестор предпочитает актив с меньшим риском.
На графике "Риск – Доходность" (рис. 6.4) инвестиционные предпочтения инвестора описываются некоторой кривой L 1, называемой кривой безразличия. Особенность данной кривой состоит в том, что инвестиции в ценные бумаги, характеристики которых расположены на данной линии, равнопривлекательны для инвестора. Если кривая безразличия (то, во что инвестор готов инвестировать, – линия L 1) не пересекается с областью, описывающей допустимые инвестиционные портфели (то, что предлагает рынок, – область 1–2–3 ), то такие инвестиционные портфели не удовлетворяют инвестора (рис 6.4, а ). Для того чтобы инвестор затратил денежные средства на приобретение ценных бумаг, необходимо изменить структуру инвестиционного портфеля таким образом, чтобы кривая безразличия L 1 стала проходить через область допустимых инвестиционных портфелей (рис. 6.4, б, область 5–4–3 ).
Принимая во внимание первое предположение о поведении инвесторов (при прочих равных условиях инвестор выбирает актив с большей доходностью ), из всей области допустимых инвестиционных портфелей инвестор выберет портфели, которые описываются линией А–Б (область эффективных портфелей Марковица, см. рис. 6.4, б ). Из этого множества эффективных портфелей необходимо выбрать портфель с оптимальным соотношением параметров "риск – доходность". Для этого следует из всех кри-
Рис. 6.4.
а – структура инвестиционного портфеля не удовлетворяет инвестора; б – структура инвестиционного портфеля удовлетворяет инвестора
вых безразличия выбрать такую линию, которая отвечает наибольшему неприятию риска (L 2). Такая кривая будет смещена максимально влево-вверх, пересекаясь с областью допустимых портфелей Марковица в одной точке (А), которая определяет оптимальный инвестиционный портфель (рис. 6.5).
Рис. 6.5.
Нахождение оптимального портфеля является оптимизационной задачей, для решения которой в настоящее время разработано достаточно много эффективных алгоритмов. Однако наибольшая трудность при решении такой задачи состоит в определении кривой безразличия инвестора. Поэтому модель Марковица имеет в основном методологическое значение, показывая принципиальную возможность нахождения оптимального портфеля.
Модель Тобина с безрисковым активом. Дж. Тобин предложил метод нахождения оптимального инвестиционного портфеля путем включения в него безрисковых ценных бумаг. Понятие безрисковой ценной бумаги в модели Марковица означает, что доходность такой ценной бумаги имеет среднеквадратическое отклонение, равное нулю. На графике "Риск – Доходность" безрисковая ценная бумага изображается точкой О (рис. 6.6). Комбинация безрисковой ценной бумаги с любыми другими ценными бумагами из эффективного инвестиционного портфеля изображается прямой линией (например, прямая ОБ, см. рис. 6.6). Выбираем структуру портфеля с безрисковым ак-
Рис. 6.6.
швом таким образом, чтобы он отвечал наибольшей доходности (наибольшая крутизна линии ОБ). Этому портфелю на графике "Риск – Доходность" (см. рис. 6.6) отвечает прямая линия ОА, касающаяся линии эффективного портфеля в точке А. В результате получим новую совокупность эффективных портфелей, содержащих безрисковые ценные бумаги, описываемых на графике "Риск – Доходность" прямой ОА и линией эффективного портфеля АБ. При этом оптимальный инвестиционный портфель, содержащий безрисковые ценные бумаги, определяется точкой А.
Для определения параметров оптимального портфеля, содержащего безрисковые ценные бумаги, был разработан алгоритм Элтона – Груббера – Падберга, который позволяет вычислять доли (веса) ценных бумаг, входящих в оптимальный инвестиционный портфель.
Индексная модель Шарпа
У. Шарп предложил модель, в которой ценные бумаги и их поведение сравниваются с поведением рынка в целом. Модель основана на предположении, что операции с любыми ценными бумагами имеют приблизительно одинаковую доходность. Если доходности каких-либо ценных бумаг начинают отличаться от среднерыночных показателей, это указывает на изменение их инвестиционной привлекательности по сравнению с рынком в целом. В зависимости от значения предложенных индикаторов даются рекомендации, что надо делать с этими ценными бумагами: покупать, продавать или держать. Шарп ввел следующие параметры:
- коэффициент β – показатель, который представляет собой ковариацию между поведением рассматриваемой ценной бумаги и поведением рынка в целом, взвешенную на степень ее риска по отношению к риску рынка в целом;
- коэффициент α – показатель, характеризующий смещение доходности рассматриваемой ценной бумаги (r i) относительно среднерыночного значения (r т). Соотношение между этими величинами имеет вид r i = α +β r m;
- коэффициент корреляции доходностей ценной бумаги и рынка R 2, являющийся для модели вспомогательным параметром.
- 1) покупать следует, если ценная бумага недооценена (α
- против падающего рынка (β
- по растущему рынку (β > 0);
- по падающему рынку (β > 0) или
- против растущего рынка (β
При этом необходимо, чтобы R 2 –> 0. Во всех остальных случаях ценные бумаги следует держать.
На западных рынках значения α, β и R 2 регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией и совершая сделки купли-продажи, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг.
Современная портфельная теория предполагает диверсификацию инвестиционных рисков. Теория позволяет создать совокупность активов с более низким уровнем риска, чем любой отдельный актив. Таким образом, образуется портфель с максимальной доходностью при заданном риске или портфель с минимальным риском при заданной прибыли. Таким образом, современная портфельная теория является стратегическим инструментом диверсификации инвестиций.
Модель Гарри Марковица
Современная Портфельная Теория - представляет собой математическую формулировку диверсификации рисков в инвестировании, которая направлена на выбор группы инвестиционных активов, которые в совокупности имеют более низкий риск, чем любой из активов сам по себе. Это становится возможным, поскольку стоимость различных типов активов часто изменяется в противоположных направлениях. На самом деле инвестирование, будучи компромиссом между риском и доходностью, предполагает, высокую ожидаемую доходность активов с высокой степенью риска.
Таким образом, современная портфельная теория показывает, как выбрать портфель с максимально возможной ожидаемой доходностью для данного уровня риска . Она также описывает, как выбрать портфель с минимальным возможным риском при ожидаемой доходности. Поэтому современная портфельная теория рассматривается как одна из форм диверсификации, которая объясняет, как найти наилучшую стратегию диверсификации.
Модель Гарри Марковица , также известная как Среднедисперсионная Модель основана на ожидаемой доходности (средний показатель) и стандартных отклонениях (дисперсии) различных портфелей. Применяя данную модель, возможно, сделать наиболее эффективный выбор, анализируя различные портфели определенных активов. Метод наглядно указывает инвесторам, как снизить риск, в случае, если они выбрали активы не "двигающиеся" синхронно.
Основные Положения Современной Портфельной Теории
Современная портфельная теория опирается на следующие ключевые понятия:
- Для покупки и продажи ценных бумаг нет транзакционных издержек. Нет спреда между ценой покупки и продажи. Не уплачивается налог, единственное, что играет роль в определении того, какие ценные бумаги инвестор будет покупать, это риск.
- Инвестор имеет возможность открыть любую позицию любого размера и для любого актива. Ликвидность рынка бесконечна, и никто не может сдвинуть рынок. Так что ничто не мешает инвестору открыть позицию любого размера для любого актива.
- При принятии инвестиционных решений, инвестор не принимает во внимание налоги, полученные дивиденды или прирост стоимости капитала.
- Инвесторы, как правило, рациональны и не склонны рисковать. Они курсе всех инвестиционных рисков, и занимают позиции, степень риска которых известна и ожидают повышения доходности при повышенной волатильности рынков.
- Соотношения риска и доходности, рассматриваются в течение одного и того же периода времени. Долгосрочный и краткосрочный спекулянты имеют одинаковые мотивы: ожидаемая прибыль и временной диапазон
- Инвесторы имеют одинаковые взгляды на оценку рисков. Всем инвесторам предоставляется информация и их продажа или покупка зависит от идентичной оценки инвестиций, и все имеют одинаковые ожидания от инвестиций. Продавец мотивирован, совершить продажу только потому, что другой актив имеет уровень волатильности, которая соответствует его желаемой прибыли. Покупатель совершит покупку, потому что этот актив имеет уровень риска, который соответствует желаемой доходности.
- Инвесторы стремятся контролировать риск, только путем диверсификации активов
- На рынке все активы могут быть куплены и проданы, в том числе человеческий капитал.
- Политика и психология инвестора не влияют на рынок.
- Риск портфеля напрямую зависит от нестабильности доходов данного портфеля.
- Инвестор отдает предпочтение повышению уровня утилизации.
- Инвестор либо максимизирует свою прибыль с минимальным риском либо максимизирует доходность своего портфеля при заданном уровне риска.
- Анализ основан на одной периодичной модели инвестирования.
Выбор Наилучшего Портфеля
Чтобы выбрать лучший портфель из ряда возможных , необходимо принять два существенных решения:
- Определить набор эффективных портфелей
- Выбрать наилучший портфель из эффективного множества.
Будучи важным достижением в финансовой сфере, теория также нашла свое применение в других областях. В 1970-х годах, она широко применялась в области региональных наук, для определения соотношения между вариабельностью и экономическим ростом. Так же она была использована в области социальной психологии,для формирования концепции самости. В настоящее время она применяется для моделирования проектных портфелей как финансовых, так и нефинансовых инструментов.